Matura – Matematyka – Maj 2014 – Odpowiedzi

A

Wszystkie proste przedstawione są w postaci \(y=ax+b\), a naszym zadaniem jest tak naprawdę odczytanie z rysunku potrzebnych informacji i ustalenie poszczególnych współczynników \(a\) oraz \(b\).

Krok 1. Ustalenie wzoru pierwszej prostej (rosnącej).
Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom to pierwsza prosta jest przedstawiona w dwóch wariantach: \(y=x+1\) lub \(y=x-1\). Musimy więc tak naprawdę ustalić współczynnik \(b\) tej prostej i dowiedzieć się, czy jest on równy \(1\), czy \(-1\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu z osią \(Oy\) przetnie się wykres prostej. W naszym przypadku przeciął się on w punkcie \((0;1)\), a więc \(b=1\). To oznacza, że pierwsza prosta ma na pewno postać \(y=x+1\).

Krok 2. Ustalenie wzoru drugiej prostej (malejącej).
Druga prosta jest opisana w odpowiedziach na dwa sposoby: \(y=2x+4\) lub \(y=-2x+4\). To znaczy, że musimy tym razem zweryfikować wartość współczynnika \(a\) i stwierdzić, czy jest on równy \(2\), czy może \(-2\). Skoro prosta jest malejąca, to bez żadnych zbędnych obliczeń jesteśmy w stanie stwierdzić, że prosta jest malejąca, czyli \(a=-2\).
Przy okazji widzimy też, że współczynnik \(b=4\), bo prosta ta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;4)\), więc z całą pewnością wzorem tej prostej jest \(y=-2x+4\).

To oznacza, że poszukiwanym przez nas układem jest ten z pierwszej odpowiedzi.

B

Skoro liczba \(78\) jest o \(50\%\) większa od liczby \(c\), to znaczy że:
$$78=1,5c \\
c=52$$

C

Krok 1. Obliczenie części składowych tego wyrażenia.
Jeśli nie czujemy się zbyt pewnie w działaniach na pierwiastkach, to dobrze jest rozbić sobie ten przykład na dwie części, obliczając oddzielnie wartość każdego z tych dwóch ułamków. Aby obliczyć wartości tych ułamków musimy po prostu usunąć niewymierności znajdujące się w mianownikach. I tak oto:
$$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\cdot(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)\cdot(\sqrt{3}+1)}=\frac{2\sqrt{3}+2}{3-1}=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}=\sqrt{3}+1\\
\\
\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\cdot(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\cdot(\sqrt{3}-1)}=\frac{2\sqrt{3}-2}{3-1}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$$

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Uważając na znaki możemy teraz bez przeszkód obliczyć wartość naszego wyrażenia:
$$\sqrt{3}+1-(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2$$

D

Krok 1. Obliczenie wartości logarytmu.
Najpierw obliczmy wartość \(\log_{8}16\). Z definicji logarytmu wiemy, że:
$$\log_{8}16=x \Longleftrightarrow 8^{x}=16$$

Widzimy wyraźnie, że wynik tego logarytmu nie jest liczbą całkowitą, bo nie istnieje taka liczba całkowita, do której można podnieść liczbę \(8\), by otrzymać \(16\). Przykładowo \(8^1=8\), natomiast \(8^2=64\). Wynik naszego logarytmu jest więc gdzieś pomiędzy jedynką i dwójką (nawet możemy stwierdzić, że jest bliżej jedynki).

Skoro nie obliczymy tego logarytmu w pamięci to musimy zamienić ósemkę i szesnastkę na potęgi o wspólnej podstawie:
$$8^{x}=16 \\
(2^3)^x=2^4 \\
2^{3x}=2^4$$

Po doprowadzeniu liczb do wspólnej podstawy możemy teraz porównać wykładniki potęg:
$$3x=4 \\
x=\frac{4}{3}$$

W ten sposób udało nam się obliczyć, że \(\log_{8}16=\frac{4}{3}\).

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
$$\log_{8}16+1=\frac{4}{3}+\frac{3}{3}=\frac{7}{3}$$

Podpowiedź:
Kluczowe jest wyliczenie logarytmu i wiele osób ma z tym problem. Pokażę więc jak drogą dedukcji i eliminacji można rozwiązać to zadanie. Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie do jakiej potęgi trzeba podnieść \(8\), aby otrzymać \(16\). No na pewno nie do potęgi pierwszej, bo \(8^1=8\), ani nie do drugiej, bo \(8^2=64\). Widzimy, że wartość tego logarytmu musi być czymś pomiędzy jedynką i dwójką. Do tego mamy dodać jeszcze \(1\), więc wynik powinien być większy niż \(2\) i mniejszy niż \(3\). Taki wynik jest tylko w ostatniej odpowiedzi i w ten oto sposób nawet nie wykonując obliczeń możemy zaznaczyć prawidłową odpowiedź.

C

Pierwiastkiem równania jest liczba, która jest po prostu rozwiązaniem danego równania. Po podstawieniu takiej liczby równanie uznaje się za spełnione, czyli prawdziwe.

Krok 1. Wskazanie pierwiastków pierwszego równania.
Aby wartość pierwszego równania była równa zero, to wartość któregoś z wyrażeń zawartych w nawiasach musi być równa zero. To oznacza, że rozwiązaniami tego równania są:
$$x^2-1=0 \quad\lor\quad x-10=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=10 \quad\lor\quad x=5$$

Krok 2. Wskazanie pierwiastków drugiego równania.
Aby wartość drugiego równania była równa \(0\), to licznik musi być równy \(0\). Zatem:
$$2x-10=0 \\
2x=10 \\
x=5$$

Krok 3. Określenie wspólnych pierwiastków obydwu równań.
Wspólnym rozwiązaniem jest tylko i wyłącznie \(x=5\).

B

Krok 1. Ustalenie kiedy funkcja będzie malejąca.
Funkcja jest malejąca wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest mniejszy od zera (czyli \(a\lt0\)). W tym przypadku współczynnik \(a\) został zapisany z parametrem, więc aby nasza funkcja była malejąca, to \(m^2-4\) musi być mniejsze od zera.

Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności.
Aby dowiedzieć się kiedy funkcja jest malejąca musimy rozwiązać nierówność \(m^2-4\lt0\). Możemy ją oczywiście obliczyć za pomocą delty lub zapisując ją w postaci iloczynowej, ale tak naprawdę jest to prosta nierówność, którą śmiało możemy rozwiązać w pamięci. Rozwiązaniem tej nierówności jest oczywiście przedział \(m\in(-2;2)\). Jeśli jednak nie umiemy tego wyliczyć w pamięci, to możemy rozwiązać to jak każdą inną nierówność w trzech prostych krokach:

1. Najpierw szukamy miejsc zerowych, więc przyrównujemy \(m^2-4\) do zera:
$$m^2-4=0 \\
(m-2)(m+2)=0 \\
m=2 \quad\lor\quad m=-2$$

2. Następnie rysujemy szkic paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane ku górze, bo przed \(m^2\) nie stoi znak minusa:



3. Teraz odczytujemy dla jakich wartości funkcja przyjmuje wartości ujemne (czyli dla jakich argumentów wykres funkcji znalazł się pod osią \(Ox\)), a jest to przedział \(m\in(-2;2)\).

D

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\).
Funkcja ma ramiona paraboli skierowane do dołu, a to oznacza, że współczynnik \(a\) musi być ujemny. To oznacza, że wyboru wzoru musimy dokonać spośród odpowiedzi \(C\) oraz \(D\).

Krok 2. Odczytanie miejsc zerowych funkcji.
Musimy przedstawić wzór funkcji w postaci iloczynowej typu \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\), gdzie \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) to miejsca zerowe tej funkcji. Z wykresu odczytujemy, że nasza funkcja ma miejsca zerowe \(x_{1}=3\) oraz \(x_{1}=-1\), a więc jej wzór określimy jako \(f(x)=a(x-3)(x+1)\).

Z rozważań zawartych w pierwszym i drugim kroku wynika, że prawidłowym wzorem funkcji jest tylko i wyłącznie ten zawarty w czwartej odpowiedzi - ma on bowiem współczynnik kierunkowy \(a\) mniejszy od zera oraz odpowiada on miejscom zerowym które odczytaliśmy z wykresu funkcji.

D

Z własności figur geometrycznych wiemy, że trapez ma podstawy równoległe względem siebie. Wiemy też, że aby dwie proste opisane wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). W naszym przypadku \(a=2\), więc pasującą odpowiedzią jest tylko i wyłącznie ostatnia prosta.

D

Krok 1. Opuszczenie wartości bezwzględnej z licznika.
W liczniku pojawiła nam się wartość bezwzględna \(|x+3|\). Aby ją usunąć musimy się dowiedzieć, czy jej wartość będzie dodatnia, czy też ujemna. Wiemy, że nasz \(x\) jest większy od \(-3\) i mniejszy od \(0\). Jakiejkolwiek liczby z tego przedziału byśmy nie podstawili do \(|x+3|\) to wyjdzie nam wewnątrz wartość dodatnia. Przykładowo gdy \(x=-1\), to \(|-1+3|=|2|\).

Co nam ta wiedza daje? Skoro wiemy, że w nawiasach wartości bezwzględnej jest zawsze liczba dodatnia, to możemy opuścić tę wartość bez zmiany znaków. Tak więc wyrażenie z treści zadania możemy już zapisać jako \(\frac{x+3-x+3}{x}\).

Krok 2. Uproszczenie powstałego wyrażenia.
Tak naprawdę cała trudność w tym zadaniu była zawarta w pierwszym kroku. Teraz już tylko wystarczy poprawnie uprościć powstałe wyrażenie:
$$\frac{x+3-x+3}{x}=\frac{6}{x}$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości pierwiastków równania.
Pierwiastki, czyli rozwiązania tego równania, wyliczymy dość prosto, bo równanie mamy podane w postaci iloczynowej. Wiemy, że aby równanie było równe zero, to jeden z czynników tego równania (czyli jedna z wartości w nawiasach) musi nam to równanie "wyzerować". Zatem:
$$2(x+2)(x-2)=0 \\
x+2=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x_{1}=-2 \quad\lor\quad x_{2}=2$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\).
Naszym zadaniem jest obliczenie wartości \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\) i sprawdzenie która z odpowiedzi jest poprawna:
$$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{-2}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości różnicy ciągu arytmetycznego \(r\).
Wybierając dwa dowolne kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego bez problemu obliczymy różnicę ciągu.
$$r=a_{2}-a_{1}=-1-2=-3$$

Krok 2. Ustalenie wzoru ogólnego wskazanego ciągu.
Znając wartość pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu możemy ustalić jego wzór w następujący sposób:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{n}=2+(n-1)\cdot(-3) \\
a_{n}=2+(-3n)+3 \\
a_{n}=2-3n+3 \\
a_{n}=-3n+5$$

C

Musimy obliczyć skalę podobieństwa boku \(A'B'\) względem \(AB\). Matematycznie rzecz ujmując skalę podobieństwa zapiszemy jako \(\frac{A'B'}{AB}=k\). Naszym zadaniem jest teraz wyznaczyć wartość tego współczynnika \(k\) korzystając z wiedzy na temat pól trójkątów podanych w treści zadania. Jeżeli dwie figury są figurami podobnymi, to ich pola są do siebie podobne w skali \(k^2\). To pozwoli nam ułożyć następujące równanie:
$$k^2=\frac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}} \\
k^2=\frac{50cm^2}{25cm^2} \\
k^2=2 \\
k=\sqrt{2}$$

W ten sposób korzystając z pól powierzchni obliczyliśmy skalę podobieństwa \(k\) między dwoma bokami trójkąta, czyli dokładnie to czego szukaliśmy w tym zadaniu.

D

W tym zadaniu skorzystamy z jednej z ważniejszych zależności ciągów geometrycznych, która mówi nam, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Znamy dokładne wartości drugiego i trzeciego wyrazu, więc bez przeszkód wyznaczymy z tego wzoru wartość \(x\), która znalazła się w pierwszym wyrazie.
$$6^2=(x-2)\cdot12 \\
36=12x-24 \\
12x=60 \\
x=5$$

A

Zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej jest chyba podzielić sobie zarówno licznik jak i mianownik przez \(cosα\). Co nam to da? Dzięki temu otrzymamy w kilku miejscach \(\frac{sinα}{cosα}\), co z definicji tangensa jest równe \(tgα\) (wartość tangensa jest podana w treści zadania). W pozostałych miejscach dzięki temu zabiegowi skróci nam się wartość \(cosα\), co pozwoli nam szybko wyznaczyć pożądaną wartość. Zatem:
$$\frac{3cosα-2sinα}{sinα-5cosα}=\frac{\frac{3cosα}{cosα}-\frac{2sinα}{cosα}}{\frac{sinα}{cosα}-\frac{5cosα}{cosα}}= \\
=\frac{3-2tgα}{tgα-5}=\frac{3-2\cdot\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}-5}=\frac{3-\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}-5}= \\
=\frac{\frac{11}{5}}{-\frac{23}{5}}=\frac{11}{5}\cdot\left(-\frac{5}{23}\right)=-\frac{11}{23}$$

B

Krok 1. Odczytanie współrzędnych środka okręgu.
Okrąg o równaniu w postaci \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) ma środek w punkcie \(S=(a;b)\). To oznacza, że z treści zadania i z zapisanego tam równania możemy odczytać współrzędne środka (uważając na znaki), a będzie to \(S=(-2;3)\).

Krok 2. Obliczenie długości promienia.
Z tego samego równania okręgu wynika też, że \(r^2\) (czyli kwadrat promienia) jest równy \(4\). Skoro \(r^2=4\), to \(r=2\).

Krok 3. Sporządzenie rysunku poglądowego i wybór prawidłowej odpowiedzi.



Jeśli stworzymy dobry (i w miarę dokładny) rysunek szkicowy, to zauważymy że jest tylko jeden punkt wspólny między okręgiem a osiami układu współrzędnych i tym punktem będzie \(A=(0;3)\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Z rysunku widać wyraźnie, że wartość \(h\) (czyli wysokość naszego trapezu) wyliczymy korzystając z sinusa kąta \(60°\). Możemy też zastosować tutaj własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
$$sin60°=\frac{h}{2\sqrt{3}} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{2\sqrt{3}} \\
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2\sqrt{3} \\
h=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$

A

Jeżeli łuk jest równy \(\frac{4}{9}\) długości okręgu, to kąt środkowy będzie stanowił \(\frac{4}{9}\) miary kąta pełnego (czyli kąta \(360°\)). To oznacza, że nasz kąt środkowy ma miarę:
$$\frac{4}{9}\cdot360°=160°$$

A

Krok 1. Obliczenie współczynnika \(a\) funkcji \(f\).
Poszukiwana funkcja ma postać \(y=ax+b\). Na podstawie danych z zadania możemy stworzyć prosty układ równań. W pierwszym równaniu wykorzystamy informację, że \(f(1)=2\), czyli podstawimy \(x=1\) oraz \(y=2\). W drugim równaniu podstawimy współrzędne punktu, czyli \(x=-2\) oraz \(y=3\). Tak oto powstaje nam układ równań:
\begin{cases}
2=1a+b \\
3=-2a+b
\end{cases}

Powstały układ równań możemy obliczyć dowolną metodą (np. wyznaczając z pierwszego równania \(b=2-a\) i podstawiając tę wartość do drugiego równania). Najprościej jest jednak odjąć obie strony równania, otrzymując:
$$-1=3a \\
a=-\frac{1}{3}$$

W ten oto sposób wiemy już, że poszukiwana funkcja ma postać \(y=-\frac{1}{3}+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), choć już w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, bo już na podstawie tylko i wyłącznie współczynnika \(a\) możemy odrzucić odpowiedzi \(B\), \(C\) oraz \(D\). Obliczmy jednak dla wprawy także i współczynnik \(b\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\).
Korzystając z dowolnego z równań z układu współrzędnych i podstawiając za \(a=-\frac{1}{3}\) otrzymamy:
$$2=1a+b \\
2=-\frac{1}{3}+b \\
b=\frac{7}{3}$$

Poszukiwana funkcja jest opisana wzorem: \(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).

A

Jeśli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów wielokąta, który znajdzie się w podstawie ostrosłupa, to bryła ta będzie mieć \(2n\) krawędzi i \(n\) ścian bocznych. Z treści zadania wynika, że mamy \(10\) krawędzi, tak więc:
$$2n=10 \\
n=5$$

Czyli nasz ostrosłup ma \(5\) ścian bocznych.

C

Pole powierzchni bocznej stożka możemy zapisać wzorem: \(πrl\)
Pole powierzchni bocznej walca możemy zapisać jako: \(2πrH\)
Skoro pola są sobie równe to:
$$πrl=2πrH \quad\bigg/:πr \\
l=2H$$

Z powyższej analizy wynika, że tworząca stożka jest dwa razy dłuższa od wysokości walca.

C

Zadanie choć wygląda na dość skomplikowane, to w praktyce jest bardzo proste. Wystarczy zauważyć, że cała wartość mianownika jest podniesiona do potęgi zerowej (a wartość tego mianownika jest na pewno różna od zera, bo dodajemy do siebie trzy liczby dodatnie). To z kolei oznacza, że bez dalszych obliczeń możemy stwierdzić, że wartość całego wyrażenia w mianowniku jest równa \(1\), bo każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi \(0\) daje wynik równy \(1\). Stąd też:
$$\left(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^0}\right)^{-2}=\left(\frac{1}{1}\right)^{-2}=1^{-2}=1$$

B

Aby sprawdzić który z tych punktów należy do wykresu funkcji wystarczy podstawić współrzędne każdego punktu do wzoru funkcji i sprawdzić kiedy równanie będzie prawidłowe:
Odp. A.
\(A=(1;-2)\), więc \(x=1\) oraz \(y=-2\)
$$-2=-2^{1-2} \\
-2=-2^{-1} \\
-2=-\frac{1}{2} \\
L\neq P$$

Odp. B.
\(B=(2;-1)\), więc \(x=2\) oraz \(y=-1\)
$$-1=-2^{2-2} \\
-1=-2^0 \\
-1=-1 \\
L=P$$

Odp. C.
\(C=(1;\frac{1}{2})\), więc \(x=1\) oraz \(y=\frac{1}{2}\)
$$\frac{1}{2}=-2^{1-2} \\
\frac{1}{2}=-2^{-1} \\
\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \\
L\neq P$$

Odp. D.
\(D=(4;4)\), więc \(x=4\) oraz \(y=4\)
$$4=-2^{4-2} \\
4=-2^{2} \\
4=-4 \\
L\neq P$$

Prawidłowa jest więc odpowiedź \(B\).

A

Jeśli zdarzenie \(A'\) jest przeciwne do zdarzenia \(A\), to możemy zapisać, że \(P(A')=1-P(A)\). To oznacza, że:
$$P(A)=2\cdot P(A') \\
P(A)=2\cdot(1-P(A)) \\
P(A)=2-2P(A) \\
3P(A)=2 \\
P(A)=\frac{2}{3}$$

C

Zadanie można policzyć na dwa sposoby.
I sposób - korzystając z tzw. reguły mnożenia.
Wybierając pierwszego gracza dokonujemy wyboru spośród \(10\) zawodników.
Wybierając drugiego gracza dokonamy wyboru już tylko spośród \(9\) zawodników.
To dałoby nam łączną liczbę kombinacji równą \(10\cdot9=90\), ale to niestety nie jest koniec zadania. Musimy jeszcze zauważyć, że w ten sposób niejako zdublowały nam się poszczególne pary. Przykładowo wybór Lewandowski-Grosicki jest tym samym co wybór Grosicki-Lewandowski, a według tego co obliczyliśmy przed chwilą byłyby to dwie oddzielne kombinacje. Dlatego też musimy jeszcze nasze \(90\) kombinacji podzielić na \(2\) i tak oto otrzymamy odpowiedź, że możemy naszych zawodników wybrać na \(45\) sposobów.

II sposób - korzystając ze wzoru na liczbę kombinacji.
$$C_{10}^2=\binom{10}{2}=\frac{10!}{(10-2)!\cdot2!}=\frac{8!\cdot9\cdot10}{8!\cdot2}=\frac{90}{2}=45$$

D

Krok 1. Uporządkowanie zestawu danych.
Aby móc przystąpić do obliczeń z medianą musimy na wstępie uporządkować wszystkie wyrazy ciągu w porządku niemalejącym. Uporządkujmy sobie na wstępie wszystkie wartości które znamy (czyli bez \(a\)):
$$2,3,5,10,12$$

W tej sytuacji mediana jest równa \(5\). My wiemy, że po dodaniu do tego zestawu liczby \(a\) mediana musi być równa \(7\). Musimy więc przeanalizować gdzie to nasze \(a\) może się znaleźć. Gdyby \(a\) było mniejsze od \(5\), to mediana byłaby mniejsza od \(5\). Gdyby \(a\) było większe od \(10\), to mediana byłaby równa \(\frac{5+10}{2}=7\frac{1}{2}\). Jedyną więc możliwością jest sytuacja, w której \(a\) znajdzie się między piątką i dziesiątką. Stąd też:
$$2,3,5,a,10,12$$

Krok 2. Obliczenie parametru \(a\) na podstawie mediany.
Mamy parzystą liczbę wyrazów naszego zestawu, więc medianę obliczymy jako średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W ten oto sposób uda nam się wyznaczyć wartość \(a\):
$$mediana=\frac{5+a}{2} \\
7=\frac{5+a}{2} \\
14=5+a \\
a=9$$

Podpowiedź: Oczywiście nic nie stoi też na przeszkodzie, by podstawić pod \(a\) każdą z czterech odpowiedzi i tym samym sprawdzić kiedy mediana będzie równa \(7\).

\(b=-16\) oraz \(c=32\)

Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:

I sposób - z wykorzystaniem postaci kanonicznej.
Krok 1. Odczytanie i podstawienie danych z treści zadania do postaci kanonicznej.
Funkcja przyjmuje postać \(f(x)=a(x-x_{W})^2+y_{W}\) dla współrzędnych wierzchołka \(W=(x_{W};y_{W})\). Współrzędne wierzchołka mamy podane w treści zadania, znamy też wartość współczynnika \(a\), bo z postaci ogólnej możemy odczytać, że \(a=2\). Podstawiając te wszystkie informacje do postaci kanonicznej otrzymamy:
$$f(x)=2\cdot(x-4)^2+0 \\
f(x)=2\cdot(x^2-8x+16) \\
f(x)=2x^2-16x+32$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ten sposób otrzymaliśmy wzór ogólny, który możemy teraz przyrównać do postaci z treści zadania, czyli do \(f(x)=2x^2+bx+c\). Widzimy wyraźnie, że wartość poszukiwanych współczynników to \(b=-16\) oraz \(c=32\).

II sposób - z wykorzystaniem wzoru na współrzędne wierzchołka.
Krok 1. Obliczenie wartości współczynnika \(b\).
Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako:
$$(x_{W};y_{W})=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-Δ}{4a}\right)$$

Znając wartość \(x_{W}\) oraz \(a\) bardzo szybko wyliczymy współczynnik \(b\), korzystając właśnie ze współrzędnej iksowej.
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
4=\frac{-b}{2\cdot2} \\
4=\frac{-b}{4} \\
16=-b \\
b=-16$$

Krok 2. Obliczenie wartości delty oraz współczynnika \(c\).
Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(c\). Wyznaczymy go sobie z delty o której wiemy, że jest równa \(0\) (wynika to z tego, że współrzędna \(y=0\)). Jeśli nie widzimy tego, że delta jest równa \(0\), to oto dowód:
$$y_{W}=\frac{-Δ}{4a} \\
0=\frac{-Δ}{4\cdot2} \\
0=\frac{-Δ}{8} \quad\bigg/\cdot8 \\
0=-Δ \quad\bigg/\cdot(-1) \\
Δ=0$$

W związku z tym:
$$Δ=b^2-4ac \\
0=(-16)^2-4\cdot2\cdot c \\
0=256-8c \\
8c=256 \\
c=32$$

W ten sposób obliczyliśmy, że \(b=-16\) oraz \(c=32\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(f(x)=2\cdot(x-4)^2+0\) (patrz: I sposób - Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość współczynnika \(b=-16\) (patrz: I sposób - Krok 2. oraz II sposób - Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-2 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(9x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(4\). To oznacza, że:
$$9x^3+18x^2-4x-8=0 \\
9x^2(x+2)-4(x+2) \\
(9x^2-4)(x+2)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$9x^2-4=0 \quad\lor\quad x+2=0$$

Z działaniem \(x+2=0\) nie mamy pewnie problemu, bo tutaj \(x=-2\). Jak jednak szybko rozwiązać \(9x^2-4=0\)? Można to obliczyć dokładnie tak samo jak każdą inną funkcję kwadratową, czyli metodą delty, niestety jest ona dość czasochłonna. Niektóre osoby, które dobrze opanowały wzory skróconego mnożenia pewnie też zauważą, że \(9x^2-4=0\) możemy zapisać jako \((3x-2)(3x+2)=0\) i z tego już łatwo wyliczymy poszczególne miejsca zerowe. Najłatwiej będzie rozwiązać to równanie w taki oto sposób:
$$9x^2-4=0 \\
9x^2=4 \\
x^2=\frac{4}{9} \\
x=\sqrt{\frac{4}{9}} \\
x=\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3}$$

To oznacza, że rozwiązaniem naszego równania są: \(x=-2 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono przedstawioną tezę zapisując liczbę \(3k^2\) w postaci \(7\cdot(21n^2+12n+1)+5\).

Jeżeli liczba \(k\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\) to możemy ją zapisać w postaci \(k=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(3k^2\) otrzymamy:
$$3k^2=3\cdot(7n+2)^2=3\cdot(49n^2+28n+4)=147n^2+84n+12$$

Teraz musimy udowodnić, że ta liczba którą otrzymaliśmy dzieli się przez \(7\) i daje resztę \(5\). Dobrze byłoby więc wyłączyć siódemkę przed nawias, ale przeszkadza nam w tym liczba \(12\). Rozbijmy więc ją sobie na działanie \(7+5\) i tak oto:
$$147n^2+84n+7+5=7\cdot(21n^2+12n+1)+5$$

W ten oto sposób pokazaliśmy, że dzieląc to wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę całkowitą (opisaną jako \(21n^2+12n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(5\) reszty. Dowodzenie można więc uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wyrażenie w postaci \(3(7n+2)^2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

a) \(x\in(2;3)\)
b) \(x=6\)

Krok 1. Podanie pożądanego zbioru argumentów.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera tylko dla \(x\in(2;3)\).

Krok 2. Podanie miejsca zerowego dla funkcji \(g(x)=f(x-3)\).
Nasza funkcja \(f(x)\) ma tylko jedno miejsce zerowe i jest to \(x=3\). Przesunięcie tej funkcji o trzy jednostki w prawo (a tak będzie wyglądać funkcja \(g(x)\)) sprawi, że miejsce zerowe nadal będzie jedno i tym razem będzie to \(x=6\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie zbiór argumentów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wskażesz miejsce funkcji \(g(x)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{3}{32}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro losowanie liczb jest ze zwracaniem, to w pierwszym losowaniu mamy \(8\) możliwości wyboru i w drugim losowaniu także mamy \(8\) możliwości. Zatem wszystkich kombinacji jest: \(|Ω|=8\cdot8=64\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy teraz wypisać wszystkie zdarzenia sprzyjające, czyli spełniające warunki zadania. Są to:
$$(5,1), (6,2), (7,3), (8,4) \\
(7,1), (8,2)$$
Łącznie jest to sześć zdarzeń, czyli \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów równoramiennych i przystających.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zadanie jest najprostsze do udowodnienia w momencie, gdy dorysujemy sobie odcinek pomocniczy \(CS\). Powstaną nam w tym momencie dwa trójkąty \(ASC\) oraz \(SBC\), o których wiemy że są równoramienne i przystające. Skąd to wiemy? Ramiona tych dwóch trójkątów mają długość równą promieniowi koła, więc z tego faktu możemy wysnuć wniosek, że są to trójkąty równoramienne. O tym, że są przystające wiemy dzięki temu, że w treści zadania podano nam informację, że boki \(AC\) oraz \(BC\) są równej miary - czyli obydwa te trójkąty mają ramiona równej długości i mają tą samą długość podstawy.

To z kolei pozwoli nam wysnuć wniosek, że jeżeli kąt \(SBC\) oznaczymy jako \(α\), to także kąty \(SCB\), \(SAC\) oraz \(SCA\) będą miały miarę równą \(α\) (wiemy to, bo kąty równoramienne mają identyczne miary kątów przy swojej podstawie). Wszystkie ewentualne wątpliwości rozwieje poniższy rysunek.



Krok 2. Wyznaczenie miary kątów \(ASC\) oraz \(BSC\).
Skoro już ustaliliśmy, że trójkąty \(ASC\) oraz \(SBC\) mają po dwa kąty o mierze równej \(α\), to i trzeci kąt jesteśmy w stanie obliczyć i będzie to \(180°-2α\). W związku z tym:
$$|\sphericalangle ASC|=180°-2α \\
|\sphericalangle BSC|=180°-2α$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(ASB\).
Znając miary kątów wyliczone w drugim kroku możemy teraz obliczyć miarę kąta \(ASB\):
$$|\sphericalangle ASB|=360°-|\sphericalangle ASC|-|\sphericalangle BSC| \\
|\sphericalangle ASB|=360°-(180°-2α)-(180°-2α) \\
|\sphericalangle ASB|=360°-180°+2α-180°+2α \\
|\sphericalangle ASB|=4α$$

W ten oto sposób udowodniliśmy, że miara kąta \(ASB\) jest czterokrotnie większa od miary kąta \(SBC\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dorysujesz sobie odcinek \(CS\) i udowodnisz równość kątów \(SBC\) oraz \(SCB\) i/lub \(SBC\) oraz \(SAC\) (patrz: Krok 1.)
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Przekątna prostopadłościanu ma długość \(3\sqrt{14}\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Krok 2. Obliczenie długości \(x\).
Znając pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i relacje między poszczególnymi długościami boków (patrz rysunek z pierwszego kroku) możemy obliczyć długość każdej z krawędzi.
$$P_{c}=2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x \\
198=4x^2+6x^2+12x^2 \\
198=22x^2 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zostaje nam \(x=3\).

Znając wartość \(x=3\) znamy tak naprawdę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu: \(x=3\), \(2x=6\) oraz \(3x=9\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Musimy poznać długość odcinka \(BD\), tak aby potem użyć jej do obliczenia przekątnej bryły. Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\
3^2+6^2=|BD|^2 \\
9+36=|BD|^2 \\
|BD|^2=45 \\
|BD|=\sqrt{45}$$

Krok 4. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Ponownie skorzystamy ze wzoru na Twierdzenie Pitagorasa.
$$|BD|^2+|DH|^2=|BH|^2 \\
(\sqrt{45})^2+9^2=|BH|^2 \\
45+81=|BH|^2 \\
|BH|^2=126 \\
|BH|=\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależności między długościami boków: \(x, 2x, 3x\) (patrz: Krok 1.)
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole powierzchni całkowitej z użyciem jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość jednej z krawędzi prostopadłościanu (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Prędkość wchodzenia na wzgórze jest równa \(v=3,5\frac{km}{h}\).

Krok 1. Wypisanie danych i relacji z treści zadania.
\(t\) - czas wchodzenia na wzgórze
\(1\) godzina i \(4\) minuty, czyli \(1\frac{4}{60}=\frac{16}{15}\) godziny - czas wchodzenia i schodzenia ze wzgórza
\(\frac{16}{15}-t\) - czas schodzenia ze wzgórza
\(v\) - prędkość wchodzenia na wzgórze
\(v+1\) - prędkość schodzenia ze wzgórza
\(s=2,1\) - długość drogi w kilometrach (w jednym kierunku)

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości wchodzenia i schodzenia w formie układu równań:
\begin{cases}
vt=2,1 \\
(v+1)(\frac{16}{15}-t)=2,1
\end{cases}\begin{cases}
t=\frac{2,1}{v} \\
\frac{16}{15}v-vt+\frac{16}{15}-t=2,1
\end{cases}

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(t=\frac{2,1}{v}\) do drugiego równania. Warto też będzie wymnożyć sobie wszystkie strony powstałego równania np. przez \(30\), tak aby pozbyć się wszystkich ułamków, zatem:
$$\frac{16}{15}v-v\cdot\frac{2,1}{v}+\frac{16}{15}-\frac{2,1}{v}=2,1 \quad\bigg/\cdot 30 \\
32v-63+32-\frac{63}{v}=63 \quad\bigg/\cdot v \\
32v^2-63v+32v-63=63v \\
32v^2-94v-63=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=32,\;b=-94,\;c=-63\)
$$Δ=b^2-4ac=(-94)^2-4\cdot32\cdot(-63)=8836-(-8064)=16900 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16900}=130$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)-130}{2\cdot32}=\frac{94-130}{64}=\frac{-36}{64}=-\frac{9}{16} \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)+130}{2\cdot32}=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3,5$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo prędkość nie może być ujemna. Zatem \(v=3,5\frac{km}{h}\) i to jest nasza końcowa odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=4+\frac{19\sqrt{3}}{6}\)

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństw trójkątów.
Rozpatrzmy sobie trzy małe trójkąty: \(DAE\), \(CDG\) oraz \(GFB\).
- każdy z nich jest prostokątny, co do tego nie mamy chyba wątpliwości.
- skoro \(|\sphericalangle DAE|=30°\) to \(|\sphericalangle EDA|=60°\) (bo suma kątów w trójkącie \(DAE\) musi być równa \(180°\)).
- skoro \(|\sphericalangle EDA|=60°\) oraz \(|\sphericalangle GDE|=90°\), to z kątów przyległych widzimy że \(|\sphericalangle CDG|=30°\).
- skoro \(|\sphericalangle CDG|=30°\) to \(|\sphericalangle CGD|=60°\) (bo suma kątów w trójkącie \(CDG\) musi być równa \(180°\)).
- skoro \(|\sphericalangle CGD|=60°\) oraz \(|\sphericalangle FGD|=90°\), to z kątów przyległych widzimy że \(|\sphericalangle BGF|=30°\).
- skoro \(|\sphericalangle BGF|=30°\) to \(|\sphericalangle GBF|=60°\) (bo suma kątów w trójkącie \(GFB\) musi być równa \(180°\)).
Wszystkie te trójkąty mają więc miary kątów równe \(30°, 60°, 90°\).
Dodatkowo każdy z tych trójkątów ma długość jednego z boków równą \(2\), bo skoro pole kwadratu jest równe \(4\), to:
$$|GD|=|DE|=|FE|=|GF|=2$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(DA\), \(GC\), \(CD\) oraz \(BG\).
Wszystkie te długości możemy obliczyć albo wykorzystując cechy trójkątów \(30°, 60°, 90°\), albo wykorzystując funkcje trygonometryczne.
a) Obliczenie długości \(|DA|\)
$$\frac{|DE|}{|DA|}=sin30° \\
\frac{2}{|DA|}=\frac{1}{2} \\
2=\frac{1}{2}\cdot|DA| \\
|DA|=4$$

b) Obliczenie długości \(|GC|\)
$$\frac{|GC|}{|GD|}=sin30° \\
\frac{|GC|}{2}=\frac{1}{2} \\
|GC|=1$$

c) Obliczenie długości \(|CD|\)
$$\frac{|CD|}{|GD|}=cos30° \\
\frac{|CD|}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
|CD|=\sqrt{3}$$

d) Obliczenie długości \(|BG|\)
$$\frac{|GF|}{|BG|}=cos30° \\
\frac{2}{|BG|}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
2=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot|BG| \\
|BG|=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\
|BG|=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
$$a=|CD|+|DA|=\sqrt{3}+4 \\
h=|BG|+|GC|=\frac{4\sqrt{3}}{3}+1$$

Podstawiając poszczególne długości boków możemy teraz wyliczyć pole naszego trójkąta.
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt{3}+4\right)\cdot\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}+1\right) \\
P=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)\cdot\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}+1\right) \\
P=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+2 \\
P=\frac{12}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+2 \\
P=2+\frac{3\sqrt{3}}{6}+\frac{16\sqrt{3}}{6}+2 \\
P=4+\frac{19\sqrt{3}}{6}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku kwadratu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość jednego z "krótkich" odcinków np. \(DA\), \(GC\), \(CD\) lub \(BG\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole jednego z "małych" trójkątów: \(P_{ADE}=2\sqrt{3}\) lub \(P_{GBF}=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{3}\) lub \(P_{DCG}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz całą długość jednego z boków trójkąta (czyli obliczysz tak naprawdę przynajmniej dwie miary "krótkich" odcinków, które tworzą jedno ramię trójkąta \(ABC\)) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pola trzech "małych" trójkątów: \(P_{ADE}=2\sqrt{3}\) oraz \(P_{GBF}=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{3}\) oraz \(P_{DCG}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.