Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczając w układzie współrzędnych dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:

Warto zwrócić uwagę na to, że kąt \(ANM\) będzie także miał miarę \(90°\), bo proste \(BC\) oraz \(MN\) są względem siebie równoległe, zatem miary kątów \(ACB\) oraz \(ANM\) są sobie równe.
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AN\) (oraz \(AC\)).
Prosta \(AN\) (lub \(AC\)) to prosta prostopadła do prostej \(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to prosta \(AN\) będzie mieć ten współczynnik \(a=-2\), bo \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\). To oznacza, że prosta \(AN\) wyrażać się będzie równaniem \(y=-2x+b\). Do poznania pełnego wzoru musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\).
Współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając do zapisanego przed chwilą równania wartości współrzędnych jakiegoś punktu, który przez tą prostą przechodzi. W naszym przypadku znamy współrzędne punktu \(A=(1,6)\), zatem podstawiając \(x=1\) oraz \(y=6\) do postaci \(y=-2x+b\) otrzymamy:
$$6=-2\cdot1+b \\
6=-2+b \\
b=8$$
To oznacza, że równanie prostej \(AN\) przyjmuje postać \(y=-2x+8\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(N\).
Punkt \(N\) jest miejscem przecięcia się prostych \(MN\) oraz \(AN\). Znamy równania jednej i drugiej prostej, zatem tworząc z nich układ równań będziemy mogli wyznaczyć współrzędne punktu \(N\):
$$\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \\
y=-2x+8
\end{cases}$$
Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=-2x+8 \\
2\frac{1}{2}x=7\frac{1}{2} \\
x=3$$
Znamy już wartość współrzędnej iksowej, musimy jeszcze poznać wartość współrzędnej igrekowej, a dokonamy tego podstawiając \(x=3\) do wybranego równania (np. drugiego):
$$y=-2x+8 \\
y=-2\cdot3+8 \\
y=-6+8 \\
y=2$$
To oznacza, że \(N=(3;2)\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(N\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znamy współrzędne punktu \(A=(1,6)\), znamy też już współrzędne punktu \(N=(3;2)\), zatem możemy ze wzoru na środek odcinka wyznaczyć współrzędne punktu \(C\). Dla przejrzystości obliczeń najlepiej jest oddzielnie policzyć współrzędną iksową i oddzielnie współrzędną igrekową:
$$x_{N}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
3=\frac{1+x_{C}}{2} \\
6=1+x_{C} \\
x_{C}=5 \\
\quad \\
y_{N}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
2=\frac{6+y_{C}}{2} \\
4=6+y_{C} \\
y_{C}=-2$$
Wyszło nam zatem, że \(C=(5;-2)\).
Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prosta \(BC\) jest równoległa do prostej \(MN\), zatem te dwie proste będą mieć jednakowy współczynnik \(a\). Skoro więc prosta \(MN\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to i prosta \(BC\) będzie mieć \(a=\frac{1}{2}\). To z kolei oznacza, że prosta \(BC\) będzie wyrażać się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\). Musimy jeszcze poznać wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(C\).
$$-2=\frac{1}{2}\cdot5+b \\
-2=2\frac{1}{2}+b \\
b=-4\frac{1}{2}$$
To oznacza, że równaniem prostej \(BC\) będzie \(y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}\).
Krok 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
O punkcie \(B\) wiemy tyle, że leży on na osi igreków, czyli na pewno współrzędna iksowa tego punktu jest równa \(x=0\). Możemy więc do równania prostej \(BC\), czyli \(y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}\) podstawić \(x=0\) i otrzymamy współrzędną igrekową naszego punktu. Tak prawdę mówiąc, to współrzędną igrekową punktu \(B\) możemy wprost odczytać ze wzoru funkcji - wystarczy spojrzeć na współczynnik \(b\) tej prostej, bo to on pokazuje nam jaka jest współrzędna igrekowa naszego punktu \(B\). Skoro współczynnik \(b=-4\frac{1}{2}\), to współrzędna \(y=-4\frac{1}{2}\). To oznacza, że \(B=\left(0;-4\frac{1}{2}\right)\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AN\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(N\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(BC\) (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Super maturka. Pozdrawiam
czy w zadaniu 31 nie powinno być 19/1728 ponieważ są jeszcze trzy ciągi malejące o ilorazie całkowitym?
Nie utworzysz ciągu malejącego, który ma całkowity iloraz :) Ciąg malejący moglibyśmy otrzymać przy q równym np. 1/2. Wtedy mielibyśmy chociażby ciąg (12;6;3).
Dlaczego w zadaniu 11 będą nas interesować same q dodatnie?
Funkcja przyjmuje największą lub najmniejszą wartość w wierzchołku. Skoro więc najmniejsza wartość naszej funkcji to 2, to q musi być równe 2 :)
Witam, dlaczego w 6 zadaniu jeśli liczymy na piechotę to prawidłowa odpowiedz wychodzi b? na koncu wyjdzie -9< 0
Musisz coś źle obliczać :) Strzelam, że winne są tutaj obliczenia rachunkowe oraz źle zastosowany wzór skróconego mnożenia. Pamiętaj, że (2-x)^2 to nie jest wbrew pozorom 4-x^2 :) Musimy tutaj skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Co stało się z 9 w 28 zadaniu ?
Zastosowałem tu wzór skróconego mnożenia (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, zwijając całość wyrażenia :) (2x^2-3)^2=4x^4-12x^2+9
Zadanie 32. Skoro odcinek PC jest równy SP, i oba wynoszą 2√3, to dlaczego długość krawędzi, która jest równocześnie przeciwprostokątną trójkąta PSC nie jest równa
2√3*√2=2√6 (z własności trójkąta o kątach 45,45,90)?
Dobrze kombinujesz, ta krawędź boczna ma długość 2√6, tylko tylko że my jej nie potrzebujemy do obliczeń :) My musimy poznać wysokość trójkąta znajdującego się w podstawie, a potem z tej wysokości przejść do długości krawędzi podstawy – krawędź boczna nas nie interesuje ;)