Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2020
Arkusz maturalny zawiera 25 zadań zamkniętych oraz 9 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Liczbą odwrotną do liczby \(\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-5}{2^{-2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}\) jest:
Zadanie 2. (1pkt) Przedział liczbowy \(\langle2, 7\rangle\) jest iloczynem zbioru \(A=\langle m;\infty)\) i zbioru \(B=(-3,7\rangle\) dla \(m\) równego:
Zadanie 3. (1pkt) Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Licznik tego ułamka zwiększono
o \(20\%\), a jego mianownik zmniejszono o \(20\%\). Otrzymano w ten sposób liczbę \(b\), taką, że:
Zadanie 4. (1pkt) W rozwinięciu dziesiętnym ułamka \(\frac{5}{7}\) na setnym miejscu po przecinku stoi cyfra:
Zadanie 5. (1pkt) Wartość wyrażenia \(|8-4\sqrt{5}|-(3\sqrt{5}-8)\) jest równa:
Zadanie 6. (1pkt) Jeżeli \(log5=a\) i \(log3=b\), to \(log15\) jest równy:
Zadanie 7. (1pkt) Stosunek pól dwóch trójkątów równobocznych wynosi \(\frac{9}{16}\), a długość boku większego trójkąta jest równa \(12cm\). Mniejszy trójkąt ma bok długości:
Zadanie 8. (1pkt) Punkt \(S\) jest środkiem boku kwadratu \(ABCD\), a długość odcinka \(AS\) wynosi \(5cm\). Obwód trójkąta \(ADS\) jest równy:
Zadanie 9. (1pkt) Prosta \(AB\) jest styczna w punkcie \(B\) do okręgu o środku \(O\) (patrz rysunek).
Miara kąta \(ACB\) jest równa:
Zadanie 10. (1pkt) Punkty \(A=(1, 2)\) i \(B=(-3, 5)\) są dwoma wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Obwód tego kwadratu jest równy:
Zadanie 11. (1pkt) Wartości ujemnych nie przyjmuje funkcja \(f\) określona wzorem:
Zadanie 12. (1pkt) Prosta będąca wykresem funkcji \(f(x)=ax+b\) przechodzi tylko przez \(I\), \(II\) i \(IV\) ćwiartkę układu współrzędnych. Wynika stąd, że:
Zadanie 13. (1pkt) Wspólnym pierwiastkiem równania \(3x(x+\frac{2}{3})(2x-5)=0\) oraz równania \(\frac{2x-5}{3x+2}=0\) jest liczba:
Zadanie 14. (1pkt) Jeżeli sinus kąta ostrego \(\alpha\) wynosi \(\frac{2\sqrt{3}}{5}\), to wartość tangensa kąta ostrego \(\alpha\) jest równa:
Zadanie 15. (1pkt) Trzecim wyrazem ciągu geometrycznego jest liczba \(3\), a szóstym jest liczba \(-24\). Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu wynosi:
Zadanie 16. (1pkt) Jeśli nieskończony ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym, w którym \(a_{1}=5\) i różnica \(r=-3\), to:
Zadanie 17. (1pkt) Największą liczbą naturalną, która nie spełnia nierówności \(32^{10}-2^{48}\cdot x+8\cdot4^{23}\le(64^4)^2\), jest liczba:
Zadanie 18. (1pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Dziedziną funkcji \(f\) jest:
Zadanie 19. (1pkt) Proste o równaniach \(y=(2m+1)x-4\) i \(y=(6-3m)x+4\) są równoległe wtedy, gdy:
Zadanie 20. (1pkt) Funkcja kwadratowa, której miejscami zerowymi są liczby \(-2\) i \(4\) oraz do której należy punkt o współrzędnych \((0, 8)\), jest określona wzorem:
Zadanie 21. (1pkt) W turnieju bilardowym, w którym zawodnicy grali każdy z każdym, rozegrano \(28\) partii. Liczba zawodników biorących udział w tym turnieju wynosi:
Zadanie 22. (1pkt) W trójkącie \(ABC\) o polu równym \(10cm^2\) długość boku \(AB\) wynosi \(5cm\), a kąt przy wierzchołku \(A\) ma miarę \(45°\). Długość boku \(AC\) jest równa:
Zadanie 23. (1pkt) Liczba wierzchołków pewnego ostrosłupa jest o \(5\) mniejsza od liczby krawędzi. Podstawą tego ostrosłupa jest:
Zadanie 24. (1pkt) Przekątna przekroju osiowego walca ma długości \(4cm\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60°\). Obwód podstawy tego walca jest równy:
Zadanie 25. (1pkt) Ze zbioru liczb \(1, 8, 2, 8, 4, 8, 6\) usunięto jedną liczbę w ten sposób, że mediana otrzymanego zbioru liczb zmniejszyła się o \(1\). Wynika stąd, że usunięto liczbę:
Zadanie 26. (2pkt) Oblicz wartość parametru \(m\), dla którego miejscem zerowym funkcji \(f(x)=\frac{5-2m}{2}x+2\) jest liczba \(4\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Miejsce zerowe funkcji to argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Krótko mówiąc, wystarczy do wzoru funkcji podstawić \(x=4\) i sprawdzić kiedy ta funkcja przyjmie wartość równą \(0\). Otrzymamy zatem równanie:
$$0=\frac{5-2m}{2}\cdot4+2 \\
0=(5-2m)\cdot2+2 \\
0=10-4m+2 \\
4m=12 \\
m=3$$
Zadanie 27. (2pkt) Punkty \(A=(2, 5)\), \(B=(0, 7)\), \(C=(-4, 5)\) są trzema kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(D\) tego równoległoboku.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(S\) (patrz: Krok 2.) oraz zapiszesz równanie pozwalające obliczyć współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych:
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości i to będzie punkt wyjścia do obliczenia brakującego punktu \(D\).
Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(S\).
Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{2+(-4)}{2};\frac{5+5}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-2}{2};\frac{10}{2}\right) \\
S=(-1;5)$$
Krok 3. Obliczenie współrzędnych punktu \(D\).
$$x_{S}=\frac{x_{B}+x_{D}}{2} \\
-1=\frac{0+x_{D}}{2} \\
-2=0+x_{D} \\
x_{D}=-2$$
$$y_{S}=\frac{y_{B}+y_{D}}{2} \\
5=\frac{7+y_{D}}{2} \\
10=7+y_{D} \\
y_{D}=3$$
To oznacza, że \(D=(-2;3)\).
Zadanie 28. (2pkt) Wartość wyrażenia \(\dfrac{tg30°\cdot tg60°-4sin^2 60°}{cos^2 40°+cos^2 50°}\) sprowadź do najprostszej postaci.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie podstawisz wszystkie wartości funkcji trygonometrycznych w liczniku (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że wartość mianownika jest równa \(1\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wypisanie kluczowych wartości z tablic trygonometrycznych.
Zanim zaczniemy obliczenia, to przyjrzyjmy się całemu przykładowi i omówmy sobie strategię rozwiązywania.
Spójrzmy na licznik naszego wyrażenia. Wszystkie wartości możemy odczytać z tak zwanej "małej tabelki" trygonometrycznej, co pozwoli nam za chwilę wykonywać dokładne i precyzyjne obliczenia. Wypiszmy sobie zatem potrzebne dane:
$$tg30°=\frac{\sqrt{3}}{3} \\
tg60°=\sqrt{3} \\
sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Teraz spójrzmy na mianownik. Korzystając ze wzorów redukcyjnych możemy zauważyć, że:
$$cos40°=sin(90°-50°)=sin50°$$
Skoro tak, to analogicznie \(cos^2 40°\) będzie równe \(sin^2 50°\). To oznacza, że w mianowniku pojawi nam się działanie \(sin^2 50°+cos^2 50°\), czyli tzw. "jedynka trygonometryczna".
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Korzystając z danych zapisanych w pierwszym kroku możemy zapisać, że:
$$\frac{tg30°\cdot tg60°-4sin^2 60°}{cos^2 40°+cos^2 50°}= \\
=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}-4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{sin^2 50°+cos^2 50°}= \\
=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}-4\cdot\frac{3}{4}}{1}= \\
=\frac{3}{3}-3=1-3=-2$$
Zadanie 29. (2pkt) Liczba naturalna \(a\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\). Wykaż, że reszta z dzielenia liczby \(2a^2\) przez \(7\) jest równa \(1\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz równanie typu \(2\cdot(49n^2+28n+4)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Wiemy, że liczba \(a\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), zatem możemy ją zapisać w postaci \(a=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(2a^2\) otrzymamy:
$$2a^2=2\cdot(7n+2)^2=2\cdot(49n^2+28n+4)=98n^2+56n+8$$
Jak teraz udowodnić, że ta otrzymana przed chwilą liczba dzieli się przez przez \(7\), dając resztę \(1\)? Moglibyśmy wyłączyć siódemkę przed nawias (\(98:7\) to \(14\), a \(56:7=8\)), ale przeszkadza nam w tym \(8\), która nie dzieli się przez \(7\). Rozbijmy sobie zatem \(8\) na sumę \(7+1\) i zapiszmy, że:
$$98n^2+56n+7+1=7\cdot(14n^2+8n+1)+1$$
Otrzymany wynik mówi nam, że dzieląc całe wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę naturalną (opisaną jako \(14n^2+8n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(1\) reszty, co należało właśnie udowodnić.
Zadanie 30. (2pkt) Ustal, czy w ciągu \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n}=n^2-3n-10\) są wyrazy równe \(0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz rozwiązania równania, ale nie odrzucisz ujemnego rozwiązania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot1}=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot1)}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$$
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem wynik \(n=-2\) nas nie interesuje. Pasuje nam za to wynik \(n=5\) i oznacza on, że w tym ciągu jest jeden wyraz mający wartość równą \(0\) i jest to wyraz piąty.
Zadanie 31. (2pkt) Pole wycinka koła jest równe \(\frac{3\pi}{5}cm^2\), a kąt wycinka tego koła ma miarę \(24°\). Oblicz długość łuku tego wycinka koła.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości promienia koła (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda następująco:
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni koła.
Wycinek stanowi \(\frac{24°}{360°}=\frac{1}{15}\) całego koła. Skoro ten wycinek ma pole powierzchni równe \(\frac{3\pi}{5}cm^2\), to pole całego koła będzie \(15\) razy większe, czyli będzie równe:
$$P=15\cdot\frac{3\pi}{5}cm^2 \\
P=9\pi\;cm^2$$
Krok 3. Obliczenie długości promienia koła.
Korzystając ze wzoru na pole koła możemy zapisać, że:
$$P=\pi r^2 \\
9\pi=\pi\cdot r^2 \\
r^2=9 \\
r=3 \quad\lor\quad r=-3$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=3cm\).
Krok 4. Obliczenie długości łuku wycinka koła.
Skoro promień ma długość \(r=3\), to obwód całego koła będzie równy:
$$Obw=2\pi r \\
Obw=2\pi\cdot3cm \\
Obw=6\pi\;cm$$
Nas interesuje poznanie długości wycinka koła, który stanowi \(\frac{1}{15}\) całego koła, zatem:
$$Obw_{w}=\frac{1}{15}\cdot6\pi\;cm \\
Obw_{w}=\frac{2}{5}\pi\;cm$$
Zadanie 32. (4pkt) Grupa studentów zaplanowała wyjazd na narty. Postanowiono podzielić się po równo kosztem pobytu, który dla całej grupy wynosił \(3840zł\). Okazało się jednak, że z wyjazdu zrezygnowały \(4\) osoby, więc każdy z uczestników musiał zapłacić o \(160zł\) więcej. Oblicz, ile osób wzięło udział w tym wyjeździe na narty i jaką kwotę każda z nich zapłaciła.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie (patrz: Krok 1.) ALBO układ równań pozwalających obliczyć liczbę studentów.
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci ogólnej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę studentów (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz kwotę, jaką zapłacił każdy ze studentów (patrz: Krok 4.), ale nie odpowiesz na pytanie z treści zadania, że było \(8\) studentów.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do danych treści zadania.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba studentów, która pojechała na narty
\(x+4\) - liczba studentów przed rezygnacją \(4\) osób
\(\frac{3840}{x}\) - ostateczna cena wyjazdu pojedynczego studenta
\(\frac{3840}{x+4}\) - cena wyjazdu pojedynczego studenta, przed rezygnacją \(4\) osób
Z treści zadania wynika, że ostateczna cena na jedną osobę była o \(160zł\) wyższa, zatem powstaje nam następujące równanie:
$$\frac{3840}{x}-160=\frac{3840}{x+4}$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
$$\frac{3840}{x}-160=\frac{3840}{x+4} \quad\bigg/\cdot x \\
3840-160x=\frac{3840x}{x+4} \quad\bigg/\cdot(x+4) \\
3840\cdot(x+4)-160x\cdot(x+4)=3840x \\
3840x+15360-(160x^2+640x)=3840x \\
3840x+15360-160x^2-640x=3840x \\
-160x^2-640x+15360=0$$
Aby działać na nieco mniejszych liczbach, możemy (choć nie musimy) podzielić obie strony tego równania przez \(-160\), dzięki czemu otrzymamy:
$$x^2+4x-96=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=400 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-20}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+20}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo liczba studentów nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(x=8\).
Krok 4. Obliczenie kwoty, jaką zapłacił każdy ze studentów.
Wyszło nam, że \(x=8\), czyli że było \(8\) studentów. Skoro zapłacili oni za wycieczkę \(3840zł\), to każdy z nich zapłacił:
$$3840zł:8=480zł$$
Zadanie 33. (4pkt) W urnie są \(3\) kule czerwone i \(5\) niebieskich. Z urny losujemy dwa razy bez zwracania po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:
a) dwóch kul czerwonych,
b) dwóch kul różnych kolorów.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy narysujesz tak zwane drzewko (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=56\).
2 pkt
• Gdy na drzewku zapiszesz prawdopodobieństwa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu \(A\), czyli \(|A|=6\).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu \(B\), czyli \(|B|=30\).
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz \(P(A)\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz \(P(B)\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania kuli czerwonej.
W urnie mamy łącznie \(3+5=8\) kul. Początkowe prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe \(\frac{3}{8}\), a kuli niebieskiej \(\frac{5}{8}\). Jeżeli w pierwszym losowaniu byśmy wylosowali kulę czerwoną, to liczba kul czerwonych spada do \(2\) sztuk, a łącznie wszystkich kul pozostanie \(7\). Na podstawie tych obserwacji możemy zbudować proste drzewko:
Nas interesuje tylko ten przypadek, w którym losujemy dwie czerwone kule. To oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia takiego zdarzenia będzie równe:
$$P=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$$
Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania kul różnych kolorów.
Sytuacja jest bardzo podobna do tej z poprzedniego podpunktu, tylko po prostu inne gałęzie drzewka będą nas interesować.
Pasuje nam zarówno wylosowanie najpierw kuli czerwonej, a potem niebieskiej, jak i najpierw niebieskiej, a potem czerwonej. Stąd też prawdopodobieństwa obydwu tych sytuacji będziemy musieli do siebie dodać:
$$P=\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}+\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}$$
Zadanie 34. (5pkt) Objętość prostopadłościanu jest równa \(216\), a długości trzech jego krawędzi poprowadzone z jednego wierzchołka są liczbami naturalnymi i tworzą niemalejący ciąg geometryczny, którego iloraz jest liczbą pierwszą. Oblicz wymiary tego prostopadłościanu oraz długość jego przekątnej.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(abc=216\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(b^2=ac\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość jednej z krawędzi prostopadłościanu (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(aq=6\).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(b=6\) (patrz: Krok 1.) i wypiszesz wszystkie warianty długości, które spełniają warunek \(ac=36\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a=2\) i \(q=3\) oraz \(a=3\) i \(q=2\).
4 pkt
• Gdy wyznaczysz długości krawędzi dwóch poszukiwanych prostopadłościanów (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wymiary jednego prostopadłościanu (patrz: Krok 2.) i długość jego przekątnej (patrz: Krok 3.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości jednej z krawędzi prostopadłościanu.
Na razie potraktujmy to zadanie jako typowy przykład z ciągów. Z treści zadania możemy wywnioskować, że liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) tworzą ciąg geometryczny, a iloczyn tych liczb jest równy \(216\). Czyli mamy taką oto sytuację:
$$a\cdot b\cdot c=216$$
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\), czyli w naszym przypadku \(b^2=a\cdot c\). Skoro tak, to możemy podstawić tę zależność do naszego zapisu:
$$a\cdot b\cdot c=216 \\
a\cdot c\cdot b=216 \\
b^2\cdot b=216 \\
b^3=216 \\
b=6$$
Krok 2. Ustalenie, jakie są wymiary pozostałych boków.
Wiemy już, że jeden z boków ma długość \(b=6\). Tym samym możemy zapisać, że:
$$a\cdot6\cdot c=216 \\
a\cdot c=36$$
Z treści zadania wynika, że wszystkie długości krawędzi są liczbami naturalnymi. Musimy się więc zastanowić jakie dwie liczby naturalne pomnożone przez siebie dają wynik równy \(36\). Będą to:
$$1\cdot36=36 \\
2\cdot18=36 \\
3\cdot12=36 \\
4\cdot9=36 \\
6\cdot6=36$$
Możemy więc mówić o następujących ciągach:
I wersja: \(1,6,36 \Rightarrow q=6\)
II wersja \(2,6,18 \Rightarrow q=3\)
III wersja \(3,6,12 \Rightarrow q=2\)
IV wersja \(4,6,9 \Rightarrow q=1,5\)
V wersja \(6,6,6 \Rightarrow q=1\)
I, IV oraz V wersję musimy odrzucić, ponieważ iloraz ciągu ma być liczbą pierwszą, a zarówno \(1\), jak i \(1,5\) jak i \(6\) nie są takimi liczbami. To oznacza, że warunki naszego zadania spełniają dwa prostopadłościany: \(2\times6\times18\) oraz \(3\times6\times12\).
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Mamy dwa prostopadłościany spełniające warunki zadania, więc i dwie przekątne będziemy musieli obliczyć. Spójrzmy na rysunek pomocniczy:
Do wyznaczenia długości przekątnej prostopadłościanu potrzebujemy znać długość przekątnej podstawy. Obliczmy zatem tę długość w pierwszym i drugim wariancie:
I wariant - \(2\times6\times18\)
$$2^2+6^2=d^2 \\
4+36=d^2 \\
d^2=40 \\
d=\sqrt{40} \quad\lor\quad d=-\sqrt{40}$$
Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(d=\sqrt{40}\) (i póki co możemy to zostawić w takiej postaci).
II wariant - \(3\times6\times12\)
$$3^2+6^2=d^2 \\
9+36=d^2 \\
d^2=45 \\
d=\sqrt{45} \quad\lor\quad d=-\sqrt{45}$$
I tutaj także ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(d=\sqrt{45}\).
Teraz mając długości przekątnych podstawy, możemy obliczyć długości przekątnych całego prostopadłościanu:
I wariant - \(2\times6\times18\)
$$18^2+(\sqrt{40})^2=s^2 \\
324+40=s^2 \\
s^2=364 \\
s=\sqrt{364} \quad\lor\quad s=-\sqrt{364}$$
Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(s=\sqrt{364}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{4\cdot91}=2\sqrt{91}\)
II wariant - \(3\times6\times12\)
$$12^2+(\sqrt{45})^2=s^2 \\
144+45=s^2 \\
s^2=189 \\
s=\sqrt{189} \quad\lor\quad s=-\sqrt{189}$$
Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(s=\sqrt{189}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{9\cdot21}=3\sqrt{21}\).
Poprzednie
Zakończ
Następne