Matura próbna – Matematyka – Operon 2010 – Odpowiedzi

A

Korzystając z działań na potęgach możemy tę liczbę rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{4^{\frac{1}{2}}\cdot4^{-1}}{4^0-0,5}=\frac{4^{\frac{1}{2}-1}}{1-0,5}= \\
=\frac{4^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=\frac{(2^2)^{-\frac{1}{2}}}{2^{-1}}=\frac{2^{-1}}{2^{-1}}=1$$

C

Mamy jednakowe podstawy logarytmów, zatem możemy tę różnicę rozpisać jako:
$$log_{3}36-log_{3}4=log_{3}\frac{36}{4}=log_{3}9=2$$

B

Aby wybrać odpowiedni rysunek, to najpierw musimy rozwiązać tę nierówność, tak jak rozwiązuje się nierówności z wartością bezwzględną, czyli:
$$|x-1|\lt5 \\
x-1\lt5 \quad\lor\quad x-1\gt-5 \\
x\lt6 \quad\lor\quad x\gt-4 \\
x\in(-4;6)$$

Zbiór rozwiązań tej nierówności został więc przedstawiony na drugim rysunku.

A

Po podwyżce o \(20\%\) stół kosztuje \(1,2\cdot320zł=384zł\).

C

Zgodnie z poleceniem musimy odjąć od siebie te wielomiany i uprościć cały zapis:
$$W(x)-M(x)=3x^3-2x^2+4-(x^3-2x^2+5)= \\
=3x^3-2x^2+4-x^3+2x^2-5=2x^3-1$$

B

Miejsce zerowe równe \(2\) oznacza, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2;0)\). Aby sprawdzić jaki parametr \(m\) ma nasza prosta wystarczy podstawić do jej równania współrzędne tego miejsca zerowego, czyli podstawić \(x=2\) oraz \(y=0\).
$$f(x)=(m-1)x+5 \\
0=(m-1)\cdot2+5 \\
0=2m-2+5 \\
0=2m+3 \\
2m=-3 \\
m=-1,5$$

C

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Tutaj pewną pułapką w zadaniu jest fakt, że nie podpisano nam na osi igreków wartości \(-4\), natomiast po kratkach możemy odczytać, że ta funkcja przyjmuje właśnie wartości od \(-4\) do \(2\). Ustalmy jeszcze jakie nawiasy powinny znaleźć się w zapisie. Dla wartości \(-4\) kropka jest zamalowana, więc nawias będzie domknięty. Dla wartości \(2\) nawias będzie także domknięty, bo funkcja jak najbardziej przyjmuje tę wartość (dla argumentu \(x=0)\). Stąd też możemy zapisać, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \(\langle-4,2\rangle\).

D

To równanie najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż:
$$\frac{x-6}{2x-4}=\frac{2}{3} \\
3\cdot(x-6)=2\cdot(2x-4) \\
3x-18=4x-8 \\
-x=10 \\
x=-10$$

D

Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Pierwiastki równania kwadratowego to nic innego jak rozwiązania równania. Aby rozpocząć obliczenia (czyli żeby zacząć liczyć deltę) musimy zapisać to równanie w postaci ogólnej, czyli takiej w której po prawej stronie znajdzie się \(0\). W związku z tym musimy do wyjściowego równania dodać obustronnie jedynkę, otrzymując w ten sposób:
$$x^2+6x+10=0$$

Krok 2. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=6,\;c=10\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot10=36-40=-4$$

Krok 3. Interpretacja ujemnej delty.
Wyszła nam ujemna delta, a to w przypadku równań kwadratowych oznacza, że takie równanie nie ma rozwiązań (czyli nie ma pierwiastków).

A

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, czyli w bardzo łatwy sposób wyznaczymy jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera:
$$x-1=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo gdybyśmy zaczęli wymnażać te nawiasy, to przed \(x^2\) nie stałby żaden minus. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i szkicujemy wykres paraboli.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości większych od zera, zatem rozwiązaniem naszej nierówności jest suma przedziałów: \(x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty)\).

C

Aby rozwiązać to zadanie wystarczy narysować parabolę i sprawdzić która prosta przecina ją w dwóch miejscach. Musimy ustalić tylko jak będzie wyglądać ta parabola. Wykres funkcji \(x^2\) umiemy rysować (jest to parabola o wierzchołku w miejscu początku układu współrzędnych). Skoro stoi przed nią minus, to na pewno będzie zwrócona ramionami do dołu. I skoro jeszcze mamy we wzorze \(+1\), to całość będzie przesunięta o jedną kratkę do góry. Całość zatem wyglądać będzie następująco:



Z rysunku dość jasno wynika, że jedynie prosta \(y=-1\) przecina naszą parabolę w dwóch miejscach.

C

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość drugiego wyrazu oraz wartość ilorazu ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \\
-4=a_{1}\cdot\frac{1}{2} \\
a_{1}=-8$$

Krok 2. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Znając wartość pierwszego wyrazu oraz wartość ilorazu ciągu możemy obliczyć wartość piątego wyrazu.
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^4 \\
a_{5}=-8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4 \\
a_{5}=-8\cdot\frac{1}{16} \\
a_{5}=-\frac{1}{2}$$

A

Znając wartości dwóch wyrazów możemy obliczyć różnicę ciągu, dzięki której obliczymy wartość poszukiwanego trzeciego wyrazu. Możemy jednak postąpić nieco sprytniej i skorzystać z własności ciągów arytmetycznych, która związana jest z trzema kolejnymi wyrazami ciągu. Zazwyczaj z tej własności korzystamy przy pierwszych trzech wyrazach, natomiast mogą to być trzy dowolne (następujące po sobie) wyrazy. Między takimi wyrazami zachodzi następująca zależność:
$$a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2} \\
a_{3}=\frac{-1+3}{2} \\
a_{3}=\frac{2}{2} \\
a_{3}=1$$

C

Trójkąt ma sumę kątów równą \(180°\).
Czworokąt ma sumę kątów \(360°\).
Pięciokąt ma sumę katów \(540°\).

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin^2α\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Znamy wartość cosinusa, zatem:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{1}{3}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{1}{9}=1 \quad\bigg/-\frac{1}{9} \\
sin^2α=\frac{8}{9}$$

Samego sinusa wyliczać już nie musimy, bo w naszym wyrażeniu mamy i tak \(sin^2α\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
$$sin^2α+cosα=\frac{8}{9}+\frac{1}{3}=\frac{8}{9}+\frac{3}{9}=\frac{11}{9}=1\frac{2}{9}$$

Otrzymana wartość jest więc większa od \(1\).

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dorysowując wysokość z drugiego wierzchołka otrzymamy następującą sytuację:



Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
Skorzystamy z trójkąta prostokątnego, który nam powstał na powyższym rysunku, a poszukiwaną wysokość obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+h^2=5^2 \\
9+h^2=25 \\
h^2=16 \\
h=4 \quad\lor\quad h=-4$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(h=4\).

B

Krok 1. Obliczenie długości boku trójkąta.
Długość boku obliczymy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
1=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
2=a\sqrt{3} \\
a=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Teoretycznie moglibyśmy usunąć jeszcze niewymierność z mianownika, ale w tym przypadku jesteśmy w trakcie dalszych obliczeń, więc nie ma takiej konieczności.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Tym razem skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{\frac{4}{3}\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{4}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{1}{4} \\
P=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z naszego rysunku możemy stworzyć tak naprawdę następujący trójkąt prostokątny:



Krok 2. Obliczenie wartości sinusa kąta \(α\).
W celu obliczenia miary kąta skorzystamy z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej rzecz ujmując z sinusa:
$$sinα=\frac{250m}{500m} \\
sinα=\frac{1}{2}$$

Krok 3. Odczytanie z tablic trygonometrycznych miary kąta \(α\).
Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że sinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta \(30°\).

B

Krok 1. Obliczenie długości średnicy okręgu.
Jeżeli trójkąt jest wpisany w okrąg i jego bok jest jednocześnie średnicą tego okręgu, to na pewno ten trójkąt jest prostokątny. Ta obserwacja pozwoli nam obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta (i tym samym średnicy okręgu) stosując dla tego trójkąta Twierdzenie Pitagorasa. Równie dobrze możemy też skorzystać z własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\) (wiemy że takie miary kątów ma ten trójkąt, bo jest to trójkąt prostokątny równoramienny).

Skorzystajmy zatem z Twierdzenia Pitagorasa. Obydwa ramiona \(AC\) oraz \(BC\) mają taką samą długość (bo jest to trójkąt równoramienny) i zgodnie z treścią zadania wynosi ona \(6\sqrt{2}\). To oznacza, że przeciwprostokątna trójkąta, a tym samym średnica okręgu jest równa:
$$(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=|AB|^2 \\
36\cdot2+36\cdot2=|AB|^2 \\
72+72=|AB|^2 \\
|AB|^2=144 \\
|AB|=12 \quad\lor\quad |AB|=-12$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo średnica nie może mieć ujemnej długości, zatem \(|AB|=12\).

Krok 2. Obliczenie długości (czyli obwodu) okręgu.
Do obliczenia długości obwodu będziemy potrzebować długość promienia, zatem skoro średnica ma długość \(12\), to promień ma długość \(12:2=6\). Teraz możemy już bez problemu obliczyć długość okręgu:
$$Obw=2\pi r \\
Obw=2\pi\cdot6 \\
Obw=12\pi$$

C

Krok 1. Obliczenie miary kąta ostrego.
Spróbujmy obliczyć miarę kąta ostrego, który znajduje się w tym rombie. Wiemy, że suma kątów przy jednym ramieniu rombu musi być równa \(180°\), zatem kąt ostry ma miarę:
$$180°-120°=60°$$

Krok 2. Obliczenie pola rombu.
Znając długość boku rombu oraz miarę jego kąta ostrego możemy zastosować "wzór na pole rombu z sinusem", czyli:
$$P=a^2\cdot sinα \\
P=8^2\cdot sin60° \\
P=64\cdot\frac{3}{2} \\
P=32\sqrt{3}$$

D

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Musimy przekształcić nasze równanie do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Aby tego dokonać wystarczy po prostu poprzenosić odpowiednio poszczególne wyrazy:
$$4x-2y+1=0 \\
4x+1=2y \quad\bigg/:2 \\
y=2x+\frac{1}{2}$$

Krok 2. Określenie współczynnika kierunkowego prostej równoległej.
Jeżeli prosta ma być równoległa, to znaczy że musi mieć identyczny współczynnik kierunkowy (czyli liczbę znajdującą się przed iksem). W naszym przypadku współczynnik kierunkowy jest równy \(a=2\), zatem prosta równoległa także musi mieć \(a=2\).

A

Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Aby poznać współrzędne środka okręgu musimy dostosować nasze równanie do postaci równania okręgu. To oznacza, że musimy doprowadzić do sytuacji w której w naszym równaniu będziemy mieli w nawiasach odejmowanie. Dopiero wtedy odczytamy współrzędne środka. Nasze równanie możemy przekształcić więc w następujący sposób:
$$x^2+(y+2)^2=1 \\
(x-0)^2+(y-(-2))^2=1^2$$

Teraz bez przeszkód możemy odczytać, że \(a=0\) oraz \(b=-2\), zatem okrąg ten ma środek o współrzędnych \(S=(0,- 2)\).

D

Krok 1. Obliczenie długości boku \(KL\).
To zadanie nie jest do końca precyzyjne, bo nie wiemy czy \(K\) oraz \(L\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, czy też wierzchołkami leżącymi po przekątnej. W zasadzie dopiero z nazwy kwadratu (czyli \(KLAM\)) powinniśmy wywnioskować, że faktycznie będą to sąsiednie boki. Skoro tak to odległość od punktu \(K\) do punktu \(L\) będzie jednocześnie długością boku takiego kwadratu. Długość odcinka \(KL\) obliczymy z następującego wzoru:
$$|KL|=\sqrt{(x_{L}-x_{K})^2+(y_{L}-y_{K})^2} \\
|KL|=\sqrt{(6-0)^2+(-4-4)^2} \\
|KL|=\sqrt{6^2+(-8)^2} \\
|KL|=\sqrt{36+64} \\
|KL|=\sqrt{100} \\
|KL|=10$$

Krok 2. Obliczenie obwodu kwadratu.
Skoro jest to kwadrat o boku \(a=10\), to jego obwód będzie równy:
$$Obw=4\cdot10 \\
Obw=40$$

A

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Skoro stosunek krawędzi prostopadłościanu jest równy \(1:2:3\), to możemy zapisać że:
\(x\) - pierwsza długość
\(2x\) - druga długość
\(3x\) - trzecia długość

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie równania.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(P=2ab+2ac+2bc\) możemy zapisać, że:
$$2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x=88 \\
4x^2+6x^2+12x^2=88 \\
22x^2=88 \\
x^2=4 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna. To oznacza, że \(x=2\).

Krok 3. Obliczenie sumy długości trzech krawędzi prostopadłościanu.
Korzystając z naszych oznaczeń i z obliczonej wartości \(x=2\) możemy teraz zapisać, że:
\(2\) - pierwsza długość
\(2\cdot2=4\) - druga długość
\(3\cdot2=6\) - trzecia długość

Suma tych trzech długości jest równa \(2+4+6=12\).

D

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Układając równanie ze średnią arytmetyczną otrzymamy:
$$\frac{150+170+185+x}{4}=170 \\
505+x=680 \\
x=175$$

Krok 2. Wybór właściwej odpowiedzi.
Udało nam się obliczyć, że czwarty chłopiec ma \(175cm\), a tym samym możemy stwierdzić, że najwyższy chłopiec mierzy \(185cm\).

\(x=\sqrt{6} \lor x=-\sqrt{6} \lor x=-2\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
W tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-6\). To oznacza, że:
$$x^3+2x^2-6x-12=0 \\
x^2(x+2)-6(x+2)=0 \\
(x^2-6)(x+2)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$x^2-6=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x^2=6 \quad\lor\quad x=-2 \\
x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-2$$

Wszystkie otrzymane rozwiązania są poprawne, zatem to równanie ma trzy rozwiązania: \(x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x\in(-3;5)\cup(5;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Nasza nierówność podana jest w wygodnej formie iloczynowej, zatem aby obliczyć jej miejsca zerowe wystarczy przyrównać wartości znajdujące się w nawiasach do zera. Otrzymamy zatem:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu.
Nierówność jest nierównością trzeciego stopnia (to nie jest nierówność kwadratowa!), zatem jej wykresem nie będzie zwykła parabola, tylko linia tego typu:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których nierówność przyjmuje wartości większe od zera. W związku z tym: \(x\in(-3;5)\cup(5;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono obliczając deltę.

Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Spróbujmy zapisać to równanie w postaci ogólnej, tak aby móc z niego wyliczyć deltę. W tym celu musimy tak naprawdę wymnożyć tylko wartość \(k\) przez to co jest w nawiasie, zatem:
$$x^2+k(x-1)=0 \\
x^2+kx-k=0$$

Krok 2. Obliczenie delty.
Mając równanie w postaci ogólnej możemy przejść do obliczenia delty. To, że mamy tutaj parametr \(k\) zamiast liczb zupełnie nam nie przeszkadza i całość wyglądać będzie następująco:
Współczynniki: \(a=1,\;b=k,\;c=-k\)
$$Δ=b^2-4ac=k^2-4\cdot1\cdot(-k)=k^2+4k$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanej delty i zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że parametr \(k\) ma być większy od zera. Skoro tak, to otrzymana delta będzie zawsze dodatnia, bo \(k^2\) jest wtedy dodatnie oraz \(4k\) będzie dodatnie. Skoro delta jest dodatnia dla \(k\gt0\), to znaczy że równanie ma wtedy dwa rozwiązania (czyli właśnie dwa pierwiastki) i to należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz deltę (patrz: Krok 2.), ale nie wyciągniesz z niej żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono obliczając wartość cosinusa.

Krok 1. Zbudowanie układu równań.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Skoro tak, to spróbujmy z tych własności oraz z danych z treści zadania ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
\frac{sinα}{cosα}=2 \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie chyba wyznaczyć sinusa z pierwszego równania i podstawić go do drugiego równania, zatem:
$$\begin{cases}
\frac{sinα}{cosα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
sinα=2cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$

Podstawiając sinusa z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$(2cosα)^2+cos^2α=1 \\
4cos^2α+cos^2α=1 \\
5cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{1}{5} \\
cosα=\sqrt{\frac{1}{5}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{1}{5}}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo mamy podaną informację że \(α\) jest kątem ostrym, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. To oznacza, że \(cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}\), a skoro \(\sqrt{\frac{1}{5}}\) jest liczbą niewymierną, to na tym możemy zakończyć dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności funkcji trygonometrycznych utworzysz poprawny układ równań (patrz: Krok 1.).
ALBO
Gdy narysujesz trójkąt prostokątny i poprawnie zaznaczysz, że przyprostokątna przy kącie \(α\) ma miarę \(x\), druga przyprostokątna ma \(2x\), a z samego Twierdzenia Pitagorasa wyjdzie Ci, że w takim razie przeciwprostokątna ma długość \(x\sqrt{5}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(|DE|=4,8\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W zadaniu jest sporo informacji, więc spróbujmy je przedstawić na rysunku pomocniczym:



Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie proporcji.
Musimy zauważyć, że trójkąty \(DBE\) oraz \(ABC\) są trójkątami podobnymi, a skoro tak to możemy ułożyć odpowiednią proporcję, która pozwoli nam odnaleźć długość odcinka \(DE\).
$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|DB|}{|DE|} \\
\frac{10}{12}=\frac{4}{|DE|}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$10\cdot|DE|=48 \\
|DE|=4,8$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz proporcję (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=39cm^2\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie narysowanie wysokości trapezu, która utworzy nam trójkąt prostokątny.



Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
Wysokość trapezu możemy obliczyć korzystając z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z tangensa:
$$tg45°=\frac{h}{3} \\
1=\frac{h}{3} \\
h=3[cm]$$

Mogliśmy tu też skorzystać z własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\) i wtedy także otrzymalibyśmy informację, że \(h=3\).

Krok 3. Obliczenie pola trapezu.
Znając wysokość trapezu możemy przystąpić do obliczenia jego pola:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(10+16)\cdot3 \\
P=\frac{1}{2}\cdot26\cdot3 \\
P=13\cdot3 \\
P=39[cm^2]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy dorysowując wysokość trapezu (patrz: Krok 1.) oraz obliczysz, że \(h=2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=400\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny to znaczy, że w jego podstawie znajduje się kwadrat. Wiemy, że kwadrat ten ma pole powierzchni równe \(100\), zatem:
$$P=a^2 \\
100=a^2 \\
a=10 \quad\lor\quad a=-10$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy i zostaje nam, że krawędź boczna ma długość \(a=10\).

Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
W ścianie bocznej o polu powierzchni \(P_{b}=65\) mamy trójkąt o podstawie \(a=10\). To oznacza, że możemy bez przeszkód obliczyć wysokość ściany bocznej.
$$P_{b}=\frac{1}{2}ah \\
65=\frac{1}{2}\cdot10\cdot h \\
65=5h \\
h=13$$

Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy teraz narysować ten ostrosłup i zaznaczyć w nim obliczone przed chwilą wielkości:



Z rysunku wynika, że wysokość ostrosłupa (potrzebna do obliczenia objętości) będziemy mogli wyznaczyć z trójkąta prostokątnego, którego dolna przyprostokątna jest połową boku kwadratu (stąd też bierze się długość równa \(5\)), a przeciwprostokątna ma długość \(13\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Wysokość tego ostrosłupa najprościej będzie wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+H^2=13^2 \\
25+H^2=169 \\
H^2=144 \\
H=12 \quad\lor\quad H=-12$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem \(H=12\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając pole podstawy oraz wysokość ostrosłupa możemy bez przeszkód obliczyć objętość bryły:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot100\cdot12 \\
V=400$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(p=\frac{3}{7}\)

Krok 1. Rozpatrzenie pierwszego losowania.
W pudełku znajduje się \(6\) białych kul oraz \(2\) czarne, zatem łącznie jest \(8\) kul. Prawdopodobieństwo wylosowania w pierwszym losowaniu białej kuli jest zatem równe \(\frac{6}{8}\), natomiast czarnej jest równe \(\frac{2}{8}\).

Krok 2. Rozpatrzenie drugiego losowania.
Jeżeli za pierwszym razem wylosowaliśmy białą kulę, to zostało \(5\) białych kul i \(2\) czarne. Łącznie mamy \(7\) kul, a szanse na wylosowanie czarnej kuli są teraz równe \(\frac{2}{7}\).

Jeżeli za pierwszym razem wylosowaliśmy czarną kulę, to zostało \(6\) białych kul i \(1\) czarna. Łącznie mamy \(7\) kul, a szanse na wylosowanie białej kuli są teraz równe \(\frac{6}{7}\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa wyciągnięcia kul różnych kolorów.
Prawdopodobieństwo wylosowania za pierwszym razem białej kuli, a za drugim czarnej, jest równe:
$$p_{1}=\frac{6}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{12}{56}$$

Prawdopodobieństwo wylosowania za pierwszym razem czarnej kuli, a za drugim białej, jest równe:
$$p_{2}=\frac{2}{8}\cdot\frac{6}{7}=\frac{12}{56}$$

Interesują nas obydwa te przypadki zatem prawdopodobieństwa musimy do siebie dodać. To oznacza, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia kul różnych kolorów jest równe:
$$p=\frac{12}{56}+\frac{12}{56}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej i czarnej w pierwszym losowaniu (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych \(|Ω|=8\cdot7=56\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz (bez konkretnego wyliczania), że wydarzeniami sprzyjającymi są sytuacje w których pierwsza wylosowana kula jest biała, a druga jest czarna oraz kiedy pierwsza jest czarna, a druga biała (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz prawdopodobieństwo wylosowania najpierw kuli białej, a potem czarnej oraz najpierw czarnej, a potem białej (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających \(|A|=24\)
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(-5\) lub \(5\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania.
\(x\) - pierwsza liczba
\(x+1\) - druga liczba

Z treści zadania wynika, że iloczyn (czyli wynik mnożenia) tych liczb jest równy \(6\), zatem:
$$x\cdot(x+1)=6$$

Krok 2. Zapisanie równania kwadratowego w postaci ogólnej.
Nasze równanie będzie równaniem kwadratowym, ale aby móc je rozwiązać musimy doprowadzić je do postaci ogólnej, z której potem będziemy mogli liczyć deltę.
(Uwaga - nie możemy tutaj rozwiązać tej równości przyrównując wartości w nawiasie do zera, bo po prawej stronie nie mamy zera tylko szóstkę. Nie jest to więc postać iloczynowa).
$$x\cdot(x+1)=6 \\
x^2+x=6 \\
x^2+x-6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Teraz możemy przejść do obliczenia delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-5}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+5}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanego rozwiązania i odnalezienie pary liczb.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwie możliwości: \(x=-3\) oraz \(x=2\). Żadnej z nich nie możemy odrzucić, a to oznacza, że tak naprawdę warunki zadania będą spełniać dwie różne pary liczb:
I para: \(-3\) oraz liczba o jeden większa, czyli \(-2\)
II para: \(2\) oraz liczba o jeden większa, czyli \(3\)

Krok 5. Obliczenie sumy tych liczb.
Skoro mamy dwie pary liczb spełniających warunki zadania to i otrzymamy dwie możliwości sumy:
I para: \(-3+(-2)=-5\)
II para: \(3+2=5\)

Suma dwóch liczb jest więc równa \(-5\) lub \(5\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia oraz ułożysz na ich podstawie poprawne równanie (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci ogólnej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy poprawnie rozwiążesz równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie poszukiwane pary liczb, ale na koniec nie obliczysz odpowiednich sum.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.