Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2013 – Odpowiedzi

D

Musimy najpierw rozwiązać daną nierówność, a następnie wskazać rysunek z poprawnie zaznaczonym przedziałem:
$$2(3-x)\gt x \\
6-2x\gt x \\
6\gt3x \\
x\lt2$$

Taki przedział jest zaznaczony na czwartym rysunku i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

A

Zgodnie z treścią zadania musimy ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$17\%\cdot21-21\%\cdot17= \\
=\frac{17}{100}\cdot21-\frac{21}{100}\cdot17= \\
=\frac{17\cdot21}{100}-\frac{21\cdot17}{100}=0$$

B

To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej będzie chyba rozbić liczbę \(25\) na \(5\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\), bo wtedy skróci nam się od razu pierwiastek z mianownika. Można też potraktować \(25\) jako \(5^2\), a następnie standardowo usunąć niewymierność z mianownika. Obydwie metody prowadzą skutecznie do tego samego wyniku:
$$\require{cancel}
\frac{5^3\cdot25}{\sqrt{5}}=\frac{5^3\cdot5\cdot\sqrt{5}\cdot\cancel{\sqrt{5}}}{\cancel{\sqrt{5}}}=5^4\sqrt{5}$$

D

Najprostszym sposobem na poznanie odpowiedzi będzie po prostu rozwiązanie tego układu równań. Tu możemy zastosować dowolną metodę, ale najszybciej będzie chyba wymnożyć to drugie równanie przez \(-5\) i zastosować metodę przeciwnych współczynników:
\begin{cases}
3x-5y=0 \\
2x-y=14 \quad\bigg/\cdot(-5)
\end{cases}\begin{cases}
3x-5y=0 \\
-10x+5y=-70 \quad\bigg/\cdot(-5)
\end{cases}

Teraz dodając równanie stronami otrzymamy:
$$-7x=-70 \\
x=10$$

Znając wartość \(x=10\) możemy podstawić ją do jednego z równań, otrzymując w ten sposób wartość \(y\), zatem:
$$3\cdot10-5y=0 \\
30=5y \\
y=6$$

Zarówno \(x\) jak i \(y\) wyszły nam dodatnie, tak więc prawidłowa jest odpowiedź czwarta.

C

Zgodnie z treścią zadania musimy podstawić do wzoru wartość \(x=2\). W ten sposób wyznaczymy poszukiwaną wartość funkcji.
$$f(2)=\frac{2\cdot2}{2-1} \\
f(2)=\frac{4}{1} \\
f(2)=4$$

B

Z treści zadania wynika, że możemy ułożyć następującą równość:
$$(a+b)+(b+c)+(c+a)=3+4+5 \\
2a+2b+2c=12 \\
2\cdot(a+b+c)=12 \\
a+b+c=6$$

B

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć identyczny współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przypadku prosta z treści zadania ma \(a=\frac{2}{3}\), więc i prosta do niej równoległa musi mieć tą samą wartość tego współczynnika. W odpowiedziach tylko drugie równanie spełnia warunki naszego założenia i to jest tym samym prawidłowa odpowiedź.

C

Teoretycznie można byłoby wymnożyć każdą z odpowiedzi i sprawdzić która z nich da nam równowartość pożądanego wyrażenia. Gdybyśmy chcieli jednak to zadanie rozwiązać nieco bardziej matematycznie, to naszym celem jest odpowiednie pogrupowanie wyrazów i wyłączenie przed nawias odpowiednich wartości, tak aby móc zamienić to wyrażenie na postać iloczynową, zatem:
$$a-b+ab-1=(ab-b)+(a-1)= \\
=b\cdot(a-1)+1\cdot(a-1)=(a-1)(b+1)$$

C

Krok 1. Ustalenie wartości współrzędnej \(q\).
Skoro wierzchołek określony współrzędnymi \(W=(p;q)\) leży na prostej o równaniu \(y=6\), to znaczy że współrzędna "igrekowa" tego wierzchołka jest równa \(6\), zatem \(q=6\).

Krok 2. Obliczenie wartości parametru \(c\).
Równanie paraboli w postaci kanonicznej możemy zapisać jako \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Przyrównując postać kanoniczną do równania z treści zadania widzimy wyraźnie, że wyraz \(2c\) pokrywa się ze współrzędną \(q\) zatem musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2c=q \\
2c=6 \\
c=3$$

B

Skorzystamy tutaj ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c} \\
\log_{2}100-\log_{2}50=\log_{2}\frac{100}{50}=\log_{2}2=1$$

A

Zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) otrzymamy:
$$(3x^2-2)^2=(3x^2)^2-2\cdot3x^2\cdot2+2^2= \\
=9x^4-12x^2+4$$

Jeśli masz problem z określeniem ile to jest \((3x^2)^2\) to można to sobie rozpisać jako:
$$(3x^2)^2=3^2\cdot(x^2)^2=9\cdot x^{2\cdot2}=9x^4$$

C

Skoro trojkąt \(AOD\) jest równoboczny i jego obwód jest równy \(15\), to każdy jego bok ma długość \(15:3=5\).
Jeśli przyjrzymy się uważnie rysunkowi to zauważymy, że z początkowego obwodu prostokąta ubył nam bok \(AD\) o długości \(5\), ale za to przybyły dwa boki \(AO\) i \(DO\) o długości \(5+5=10\). To oznacza, że całkowity obwód figury zwiększył się o \(5\), tak więc:
$$Obw=30+5=35$$

D

Dla trzech kolejnych liczb ciągu geometrycznego zajdzie równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając nasze dane do tego wzoru otrzymamy:
$$8^2=(3x-4)\cdot2 \\
64=6x-8 \\
6x=72 \\
x=12$$

D

Jeśli dobrze się przyjrzymy wszystkim informacjom, to zauważymy że niewiadoma \(a\) występuje tylko we współrzędnej iksowej punktów \(A\) i \(B\). To oznacza, że wszystko jesteśmy w stanie obliczyć korzystając ze wzoru na środek odcinka:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
4=\frac{a+a+3}{2} \\
8=2a+3 \\
2a=5 \\
a=\frac{5}{2}$$

C

Liczby trzycyfrowe podzielne przez \(5\) możemy rozpatrywać jako ciąg arytmetyczny, w którym:
\(a_{1}=100\) (bo jest to najmniejsza liczba trzycyfrowa podzielna przez \(5\))
\(a_{n}=995\) (bo jest to największa liczba trzycyfrowa podzielna przez \(5\))
\(r=5\) (bo każda kolejna liczba jest o \(5\) większa od swojej poprzedniczki)

Otrzymamy zatem:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
995=100+(n-1)\cdot5 \\
895=5n-5 \\
900=5n \\
n=180$$

B

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(BOC\).
Kąty \(BOC\) oraz \(AOC\) są kątami przyległymi, a więc takimi których łączna miara jest równa \(180°\). Zatem:
$$|\sphericalangle BOC|=180°-100°=80°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Musimy zauważyć, że odcinki \(BO\) oraz \(CO\) są jednakowej długości (dokładnie jest to promień okręgu). To oznacza, że trójkąt \(OCB\) jest równoramienny o podstawie \(BC\). Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają taką samą miarę, więc:
$$80°+2α=180° \\
2α=100° \\
α=50°$$

C

Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest jednocześnie średnicą okręgu opisanego na tej figurze. My do obliczenia pola powierzchni koła potrzebujemy długości promienia, tak więc:
$$r=\frac{8}{2}=4$$

Pole koła będzie więc równe:
$$P=πr^2 \\
P=π\cdot4^2 \\
P=16π$$

A

W rozwiązaniu tego zadania pomoże nam wzór na pole równoległoboku, który znajdziemy w tablicach matematycznych:
$$P=a\cdot b\cdot sinα$$

Gdzie \(a\) i \(b\) to boki równoległoboku, a \(α\) to kąt ostry w figurze.
Podstawiając do tego wzoru dane z treści zadania otrzymamy:
$$P=4\cdot12\cdot sin30° \\
P=48\cdot\frac{1}{2} \\
P=24$$

D

Krok 1. Obliczenie liczby kątów figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa.
Z własności graniastosłupów wiemy, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w swojej podstawie ma \(3n\) krawędzi. Zatem w podstawie graniastosłupa znajduje się:
$$3n=24 \\
n=8 \\
\text{(czyli ośmiokąt)}$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w swojej podstawie ma \(2n\) wierzchołków, zatem łącznie wszystkich wierzchołków będziemy mieć:
$$2\cdot8=16$$

D

Objętość walca obliczamy za pomocą następującego wzoru:
$$V=πr^2h$$

Znamy wartość \(h=8\), wiemy też, że \(V=72π\), tak więc bez problemu wyznaczymy z tego wzoru długość promienia podstawy:
$$72π=πr^2\cdot8 \\
r^2=9 \\
r=3$$

C

W ciągu arytmetycznym trzy kolejne wyrazy tworzą zależność, którą możemy opisać następującym równaniem:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając nasze dane do tego wzoru otrzymamy:
$$a=\frac{7+49}{2} \\
a=\frac{56}{2} \\
a=28$$

B

Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby.
I sposób - metoda podstawiania:
Możemy podstawiać pod \(n\) poszczególne liczby z odpowiedzi (czyli \(n=2\), \(n=3\), \(n=6\) oraz \(n=30\)) i sprawdzić kiedy wynik będzie równy \(6\). Całość wyglądałaby wtedy następująco:
$$a_{2}=2^2-2=4-2=2 \\
a_{3}=3^2-3=9-3=6 \\
a_{6}=n^2-n=6^2-6=36-6=30 \\
a_{30}=n^2-n=30^2-30=900-30=870$$

To oznacza, że to właśnie trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(6\).

II sposób - tworząc odpowiednie równanie kwadratowe:
Gdyby się okazało, że tego typu zadanie jest zadaniem otwartym, bez podpowiedzi, to całość moglibyśmy rozwiązać tworząc i rozwiązując odpowiednie równanie kwadratowe:
$$n^2-n=6 \\
n^2-n-6=0$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Skoro \(n\gt1\), to ujemny wynik odrzucamy i zostaje nam \(n=3\), czyli trzeci wyraz.

D

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W pierwszym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z sześciu wyników. Analogicznie będzie w drugim rzucie. Z reguły mnożenia wynika, że wszystkich zdarzeń elementarnych będzie w takim razie:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest w tym przypadku otrzymanie dwukrotnie pięciu oczek. To oznacza, że tylko wariant \((5;5)\) spełnia nasze wymagania, zatem:
$$|A|=1$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{1}{36}$$

B

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cos^2α\).
W zadaniu wykorzystamy tak zwaną jedynkę trygonometryczną:
$$sin^2α+cos^2α=1$$

Widzimy że w poszukiwanym wyrażeniu pojawia się \(cos^2α\), więc spróbujmy wyznaczyć jego wartość, podstawiając do jedynki trygonometrycznej \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\):
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{3}{9}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{6}{9}$$

Wartości "czystego" cosinusa obliczać już nie musimy, bo nam do wyrażenia potrzebna jest wartość \(cos^2α\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2cos^2α-1\).
Znając wartość \(cos^2α\) możemy bez problemu obliczyć wartość całego wyrażenia:
$$2cos^2α-1=2\cdot\frac{6}{9}-1=\frac{12}{9}-1=\frac{1}{3}$$

B

W tym zadaniu jest mała pułapka, bo musimy zwracać uwagę tylko i wyłącznie na przedział \(\langle-1,1\rangle\), a nie na cały wykres funkcji! Zbiór wartości i tym samym największą wartość funkcji odczytujemy z osi \(y\) (krótko mówiąc: będzie to najwyżej położony punkt). W naszym przypadku w przedziale \(\langle-1,1\rangle\) funkcja przyjmuje najwyższą wartość równą \(3\).

\(\langle0;3\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Taką nierówność jak każdą inną tego typu możemy rozwiązać metodą delty i za chwilę to zrobimy (zwłaszcza że jest tu pewna pułapka którą warto omówić). Jednak można tu się też pokusić o wyłączenie \(x\) przed nawias (o ile zauważymy taką możliwość). Otrzymalibyśmy wtedy \(x(3-x)\ge0\) i w ten oto sposób bardzo szybko moglibyśmy wyznaczyć miejsca zerowe - wystarczyłoby się zachować tak jak przy postaci iloczynowej i przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad 3-x=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$

Gdybyśmy jednak chcieli to obliczyć za pomocą delty to zanim zaczniemy cokolwiek liczyć musimy uporządkować te wyrazy, tak aby kwadrat liczby znalazł się na początku zatem:
$$-x^2+3x\ge0$$

Dopiero teraz możemy wypisać współczynniki, pamiętając o tym że \(c=0\).
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot0=9-0=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-3}{2\cdot(-1)}=\frac{-6}{-2}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+3}{2\cdot(-1)}=\frac{0}{-2}=0$$

Otrzymaliśmy dokładnie takie same wyniki jak przed chwilą.

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) stoi znak minusa. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy naszą parabolę.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe lub równe zero, stąd też przedziałem będącym rozwiązaniem tego zadania będzie: \(\langle0;3\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=2\sqrt{3} \quad\lor\quad x=-2\sqrt{3} \quad\lor\quad x=6\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tego typu równania trzeciego stopnia możemy rozwiązać wyłączając przed nawias odpowiednie wyrazy, tak aby móc potem przekształcić zapis na postać iloczynową. Całość obliczeń wygląda następująco:
$$x^3-6x^2-12x+72=0 \\
x^2(x-6)-12(x-6)=0 \\
(x^2-12)(x-6)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Aby to równanie dało nam wynik równy zero, to któryś z nawiasów musi to równanie nam "wyzerować". Możemy więc przyrównać poszczególne nawiasy do zera i w ten sposób rozwiązać całe równanie:
$$x^2-12=0 \quad\lor\quad x-6=0 \\
x=\sqrt{12} \quad\lor\quad x=-\sqrt{12} \quad\lor\quad x=6$$

Możemy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka i w ten sposób otrzymamy nasze trzy rozwiązania tego równania:
$$x=2\sqrt{3} \quad\lor\quad x=-2\sqrt{3} \quad\lor\quad x=6$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wartość wyrażenia jest równa \(\frac{1}{3}\).

Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Możemy spokojnie przekształcać wszystkie zapisy, bo wiemy że kąt \(α\) jest ostry, a więc nie ma obaw że wykonamy dzielenie przez \(0\), bo \(sinα\gt0\) oraz \(cosα\gt0\).

Krok 1. Zapisanie wartości sinusa.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie powyżej:
$$\frac{sinα}{cosα}=2 \\
sinα=2cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Do naszego wyrażenia z treści zadania podstawiamy teraz \(sinα=2cosα\), dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}=\frac{2cosα-cosα}{2cosα+cosα}=\frac{cosα}{3cosα}=\frac{1}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz całe wyrażenie do postaci w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna.
ALBO
• Gdy narysujesz trójkąt prostokątny i zapiszesz, że \(sinα=\frac{2}{c}\) lub że \(sinα=\frac{1}{c}\).
ALBO
• Gdy odczytasz z tablic maturalnych, że \(α\approx63°\) lub \(α\approx64°\), ale nie obliczysz wartości wskazanego wyrażenia.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik
ALBO
• Gdy otrzymasz wynik przybliżony, podstawiając do wzoru poszczególne wartości sinusa lub cosinusa dla kąta \(α\approx63°\) lub \(α\approx64°\).

\(x=3\)

Musimy ułożyć odpowiednie równanie, dokładnie tak jak chcielibyśmy obliczyć średnią arytmetyczną. Otrzymamy wtedy:
$$\frac{0\cdot1+4\cdot2+9\cdot3+13\cdot4+x\cdot5+1\cdot6}{0+4+9+13+x+1}=3,6 \\
\frac{93+5x}{27+x}=3,6 \quad\bigg/\cdot(27+x) \\
93+5x=3,6\cdot(27+x) \\
93+5x=97,2+3,6x \\
1,4x=4,2 \\
x=3$$

To oznacza, że trzy osoby otrzymały ocenę bardzo dobrą.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z użyciem średniej arytmetycznej i na tym zakończysz albo np. popełnisz błąd rachunkowy w trakcie obliczeń.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono podnosząc do kwadratu obie strony równości.

To zadanie najprościej jest podnosząc do kwadratu obie strony pierwszej równości:
$$a+\frac{1}{a}=3 \quad\bigg/^{2} \\
\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=3^2 \\
a^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\left(\frac{1}{a}\right)^2=9 \\
a^2+2+\frac{1}{a^2}=9 \\
a^2+\frac{1}{a^2}=7$$

W ten sposób udało nam się udowodnić tezę zawartą w treści zadania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podniesiesz obustronnie równość do kwadratu i na tym zakończysz albo np. popełnisz błąd rachunkowy w trakcie obliczeń.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(s=3+\sqrt{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną sześcianu (\(s\)) oraz przekątną podstawy (\(d\)), która przyda nam się do dalszych obliczeń. I tu od razu możemy zauważyć, że nasza przekątna podstawy jest tak naprawdę przekątną kwadratu, który znalazł się w podstawie sześcianu. Zatem jeśli długość krawędzi oznaczymy jako \(a\) to \(d=a\sqrt{2}\).



Krok 2. Wyznaczenie wzoru ogólnego na długość przekątnej sześcianu.
Ten krok możemy pominąć, jeśli po prostu pamiętamy że przekątna sześcianu jest opisana wzorem \(s=a\sqrt{3}\). Niestety tego wzoru nie ma w tablicach maturalnych, dlatego zobaczmy jak go łatwo możemy sobie wyprowadzić.

Spójrzmy na trójkąt \(BDH\). Jest on prostokątny, a jego przyprostokątne mają długośc odpowiednio \(a\) oraz \(a\sqrt{2}\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+(a\sqrt{2})^2=s^2 \\
a^2+2a^2=s^2 \\
s^2=3a^2 \\
s=\sqrt{3\cdot a^2} \\
s=a\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Z treści zadania wynika, że \(a=s-2\). Możemy teraz podstawić tą zależność do wyznaczonego wzoru z kroku drugiego i otrzymamy wtedy:
$$s=(s-2)\sqrt{3} \\
s=s\sqrt{3}-2\sqrt{3} \\
s-s\sqrt{3}=-2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot(-1) \\
s\sqrt{3}-s=2\sqrt{3} \\
s(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3} \\
s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$

(Mnożenie przez \(-1\) nie było koniecznie, ale sprawiało że pozbyliśmy się minusów, więc warto było ten krok wykonać). Teoretycznie otrzymany wynik można byłoby uznać za prawidłowy, ale warto tutaj jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym przypadku wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez (\(\sqrt{3}+1\)).
$$s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \\
s=\frac{2\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1\cdot(\sqrt{3}+1)} \\
s=\frac{6+2\sqrt{3}}{3-1} \\
s=\frac{6+2\sqrt{3}}{2} \\
s=3+\sqrt{3}$$

0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy do wzoru na przekątną sześcianu \(s=a\sqrt{3}\) (patrz: Krok 2.) podstawisz równanie \(s=a+2\) lub \(a=s-2\) (patrz: Krok 3.), ale same obliczenia wykonasz błędnie.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(60m\times100m\) lub \(150m\times40m\)

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania i ułożenie układu równań.
\(s\) - szerokość pierwszej działki
\(d\) - długość pierwszej działki
\(s+10\) - szerokość drugiej działki
\(d+15\) - długość drugiej działki

Skoro pole prostokąta to P=ab, to dla dwóch działek możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
s\cdot d=6000 \\
(s+10)\cdot(d+15)=6000+2250
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Wymnóżmy najpierw poszczególne nawiasy w drugim równaniu, otrzymując wtedy:
\begin{cases}
s\cdot d=6000 \\
sd+15s+10d+150=8250
\end{cases}

Zgodnie z pierwszym równaniem możemy podstawić do drugiego równania \(sd=6000\) oraz \(s=\frac{6000}{d}\), zatem:
$$6000+15\cdot\frac{6000}{d}+10d+150=8250 \\
\frac{90000}{d}+10d-2100=0 \quad\bigg/\cdot d \\
10d^2-2100d+90000=0 \quad\bigg/:10 \\
d^2-210d+9000=0$$

Wykonanie ostatniego dzielenia przez \(10\) nie jest konieczne, ale dzięki temu będziemy operować na mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-210,\;c=9000\)
$$Δ=b^2-4ac=(-210)^2-4\cdot1\cdot9000=44100-36000=8100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{8100}=90$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-210)-90}{2\cdot1}=\frac{210-90}{2}=\frac{120}{2}=60 \\
d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-210)+90}{2\cdot1}=\frac{210+90}{2}=\frac{300}{2}=150$$

Krok 4. Wyznaczenie wymiarów działki.
Otrzymaliśmy dwa wyniki i żadnego z nich nie możemy wykluczyć. To oznacza, że to zadanie będzie miało dwa rozwiązania.
Jeśli długość działki jest równa \(d=60\), to szerokość wynosi:
$$s=\frac{6000}{d} \\
s=\frac{6000}{60} \\
s=100$$

Jeśli długość działki wynosi \(d=150\), to jej szerokością będzie:
$$s=\frac{6000}{150} \\
s=40$$

Pierwsza działka ma wymiary \(60m\times100m\) lub \(150m\times40m\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(s\) lub \(d\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=24\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
To zadanie jest chyba jednym z najbardziej rozbudowanych zadań jakie pojawiły się na maturze w ciągu ostatnich lat, zwłaszcza jeśli chcielibyśmy to obliczać standardową metodą. Prześledźmy sobie ten najbardziej typowy tok rozwiązania tego zadania, a ja za chwilę powiem Ci jak można to zadanie zrobić znacznie szybciej.



Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\). Możemy też sobie mniej lub bardziej dokładnie zaznaczyć punkt \(D\), tak aby wiedzieć jak wygląda ten równoległobok. Nie mniej jednak punkt \(D\) nam nie będzie potrzebny, bo do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy znać długość podstawy (czyli \(|AB|\)) oraz wysokość trójkąta. Z tą wysokością problem jest taki, że znajduje się ona poza figurą i chcąc poznać jej długość musimy zaznaczyć sobie nowy punkt \(E\), którego współrzędnych nie znamy. O punkcie \(E\) Wiemy tylko tyle, że leży na pewno na przedłużeniu odcinka \(AB\) i to pozwoli nam wyznaczyć jego współrzędne. Ogólnie proces liczenia będzie bardzo długi i żmudny:
- musimy wyznaczyć wzór prostej przechodzącej przed punkty \(A\) i \(B\) (ze wzoru lub z układu równań)
- musimy wyznaczyć wzór prostej prostopadłej, która przejdzie przez punkt \(C\)
- na przecięciu się tych dwóch prostych znajdzie się ten problematyczny punkt \(E\) (rozwiązując układ równań poznamy jego współrzędne)
- musimy obliczyć długość odcinka \(AB\)
- musimy obliczyć długość odcinka \(CE\)
- no i na koniec musimy wymnożyć wartości długości tych dwóch odcinków obliczając tym samym pole

Rozwiązywanie tego w ten sposób zajmie naprawdę dużo czasu, a i o pomyłkę będzie dość prosto. Awaryjnie można też byłoby skorzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej, dzięki czemu moglibyśmy pominąć obliczenie współrzędnych punktu \(E\). Wtedy podstawilibyśmy do tego wzoru współrzędne punktu \(C\) oraz wzór prostej przechodzącej przez odcinek \(AB\).

Teoretycznie można byłoby się też pokusić o pewne uproszczenie, wyznaczając długości odcinków \(AB\) oraz \(CE\) z Twierdzenia Pitagorasa i licząc po kratkach poszczególne długości przyprostokątnych.

Wszystkie problemy jednak znikają kiedy dostrzeżemy, że wystarczyłoby obliczyć pole trójkąta \(ABC\) i pomnożyć tą wartość przez \(2\), wszak przekątna równoległoboku dzieli figurę na dwa trójkąty o równej powierzchni. I już za sam fakt dostrzeżenia tego można było na maturze otrzymać jeden punkt. Pytanie tylko jak wyliczyć pole tego trójkąta. I tu z pomocą przychodzi nam wzór z tablic, o którym mało kto wie, bo jest bardzo rzadko stosowany.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
W tablicach odczytujemy wzór na pole trójkąta, znając współrzędne wszystkich trzech punktów:
Pole trójkąta \(ABC\) o znanych współrzędnych wierzchołków wyliczymy z następującego wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})|$$

Podstawiając odpowiednie współrzędne otrzymamy:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|(3-(-1))(4-(-5))-(-1-(-5))(2-(-1))| \\
P=\frac{1}{2}\cdot|4\cdot9-4\cdot3| \\
P=\frac{1}{2}\cdot|36-12| \\
P=\frac{1}{2}\cdot24 \\
P=12$$

Krok 3. Obliczenie pola równoległoboku.
Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy, przekątna \(AC\) dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty, tak więc skoro znamy pole trójkąta \(ABC\) to wystarczy teraz wynik ten pomnożyć przez \(2\) i otrzymamy pole równoległoboku:
$$P=2\cdot12 \\
P=24$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że pole czworokąta jest dwa razy większe od pola trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AB\), czyli \(|AB|=4\sqrt{2}\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole trójkąta z użyciem współrzędnych wierzchołka (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(E\), czyli \(E=(5;1)\).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość równoległoboku: \(|CE|=3\sqrt{2}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(tgα=\frac{\sqrt{3}}{9}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie wysokość ściany bocznej, oznaczmy kąt którego tangensa musimy obliczyć. Przyjmijmy też, że krawędź podstawy jest równa \(a\):



Musimy obliczyć tangens między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną, czyli:
$$tgα=\frac{|OD|}{|SO|}$$

Długość odcinka \(OD\) jest nam znana, bo jest to długość promienia okręgu, czyli \(|OD|=r=2\). Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć wysokość całego ostrosłupa i dopiero wtedy będziemy mogli obliczyć wartość tego tangensa.

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
Aby wyznaczyć wysokość ostrosłupa musimy najpierw policzyć pole podstawy, bowiem znając pole podstawy i objętość bryły (a ta jest podana w treści zadania) bez problemu obliczymy poszukiwaną wysokość ostrosłupa. Do obliczenia pola podstawy brakuje nam tak naprawdę znajomości długości krawędzi trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie i to właśnie tą długość teraz wyznaczymy (wiemy, że jest to trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny).

Punktem wyjścia będzie promień okręgu wpisanego w podstawę (którego długość znamy, bo \(r=2\)), który stanowi \(\frac{1}{3}\) wysokości tego trójkąta. Skoro jest to trójkąt równoboczny to wzór na jego wysokość możemy zapisać jako \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$r=\frac{1}{3}\cdot h\\
r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
2=\frac{a\sqrt{3}}{6} \\
a\sqrt{3}=12 \\
a=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Znając długość krawędzi możemy bez przeszkód obliczyć pole podstawy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{16\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=12\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Zgodnie z tym co opisaliśmy sobie wcześniej - wysokość ostrosłupa wyznaczymy ze wzoru na objętość:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
72=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot H \\
72=4\sqrt{3}\cdot H \\
H=\frac{72}{4\sqrt{3}} \\
H=\frac{18}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Oblicznie wartości tangensa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, możemy więc wyznaczyć wartość tangensa między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:
$$|OD|=r=2 \\
|SO|=H=6\sqrt{3} \\
\text{więc} \\
tgα=\frac{|OD|}{|SO|} \\
tgα=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy na rysunku zaznaczysz kąt między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość boku trójkąta znajdującego się w podstawie (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.