Matura – Matematyka – Zbiór zadań 2023 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się odpowiedzi do zadań ze zbioru zadań przygotowanego przez CKE, który jest materiałem edukacyjnym dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki na poziomie podstawowym (tzw. Formuła 2023). Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury.

Z racji tego, iż CKE zmieniło podstawę egzaminacyjną, to przygotowując się do matury 2023 i 2024, możesz pominąć zadania:
9, 10, 13, 23, 29, 36, 44, 50, 51, 52

Zbiór zadań maturalnych - CKE (Formuła 2023)

Zadanie 1. (2pkt) Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez \(3\).

Zadanie 2. (1pkt) Liczbę \(a=(\sqrt{2}+\sqrt{7})^2\) można zapisać w postaci \(a=x+y\sqrt{14}\), gdzie \(x\in\mathbb{Z}\) oraz \(y\in\mathbb{Z}\).



Uzupełnij poniższe równości. Wpisz właściwe liczby w wykropkowanych miejscach.

$$x=............ \\

y=............$$

Zadanie 3. (3pkt) Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki: \(a\neq0\) oraz \(b\neq0\) oraz \(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0\)



Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki. Wynik podaj w postaci ułamka bez niewymierności w mianowniku.

Zadanie 4. (2pkt) Dana jest liczba

$$a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$



Wykaż, że \(a\) jest liczbą całkowitą. Zapisz obliczenia.

Zadanie 5. (1pkt) Która z podanych równości (A–D) jest prawdziwa?

Zadanie 6. (2pkt) Okres \(T\) drgań wahadła w pewnym zegarze dany jest wzorem:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$



gdzie \(l\) oznacza długość wahadła, a \(g\) oznacza przyśpieszenie grawitacyjne. Przyjmij do obliczeń, że przyśpieszenie grawitacyjne na Ziemi wynosi \(g_{Z}=9,81\frac{m}{s^2}\), a przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi \(g_{K}=1,62\frac{m}{s^2}\).



Oblicz \(\frac{T_{K}}{T_{Z}}\) - stosunek okresu drgań tego wahadła, gdyby znajdowało się ono na Księżycu, do okresu drgań tego samego wahadła znajdującego się na Ziemi. Wynik podaj z dokładnością do \(0,01\).

Zadanie 7. (1pkt) Wartość wyrażenia \(log {k}+log\frac{1}{100}k^2-log\frac{1}{10}k^3\), gdzie \(k\gt0\), jest równa:

Zadanie 8. (2pkt) Liczby rzeczywiste \(x, y, z\) spełniają następujące warunki:

$$x,y,z\gt0 \;\text{ oraz }\; x,y,z\neq1 \;\text{ oraz }\; y^z=x$$



Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych. Z podanych warunków wynika, że prawdziwe są równości:

A. \(log_{x}y=z\)

B. \(y^{-log_{y}x}=\frac{1}{x}\)

C. \(log_{x}z=y\)

D. \(y^{log_{x}y}=x\)

E. \(log_{y}x=z\)

F. \(z^{-log_{x}z}=\frac{1}{y}\)

Zadanie 9. (1pkt) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyrażenie \(2x^2-1\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \((1-x\sqrt{2})(x\sqrt{2}-1)\).
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((2+x)^3-x^2(x+6)-12x\) jest równa \(8\).

Zadanie 10. (1pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=x^3-9x^2+26x-24\), który ma trzy pierwiastki całkowite. Jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba:

Zadanie 11. (3pkt) Dane jest wyrażenie

$$\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)$$



gdzie \(a\in R,\; b\in R,\; a\neq b,\; a\neq-b\)



Przekształć dane wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla \(a=\frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(b=-\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Zadanie 12. (2pkt) Wyrażenie wymierne \(\frac{2}{x-3}+5\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\), gdzie \(a,b,c,d\) są pewnymi współczynnikami rzeczywistymi. Wyznacz wartości liczbowe współczynników \(a,b,c,d\).

Zadanie 13. (1pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=x^3-4x^2+x+6\), gdzie \(x\in R\).



Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.



Wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez:

matura z matematyki

Zadanie 14. (2pkt) Rozwiąż nierówność. Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

$$2x\ge\sqrt{5}\cdot x+3\sqrt{5}-6$$

Zadanie 15. (2pkt) Rozwiąż równanie

$$-2x^3+x^2+18x-9=0$$

Zadanie 16. (3pkt) Rozwiąż równanie

$$-x^3+13x-12=0$$

Zadanie 17. (4pkt) Szymon przygotowuje się do egzaminu na prawo jazdy. Opanował już \(97\) spośród \(3697\) zadań. Postanowił, że każdego kolejnego dnia będzie rozwiązywał \(n\) zadań. Zauważył, że gdyby dzienną liczbę rozwiązanych zadań zwiększył o \(5\), czas potrzebny na rozwiązanie wszystkich zadań skróciłby się o \(10\) dni. Oblicz, ile dni zajmie Szymonowi przygotowanie do egzaminu, jeśli nie będzie zwiększał dziennej liczby rozwiązanych zadań.

Zadanie 18. (1pkt) Równanie \(\dfrac{(3x^2-6x)(x^2-9)}{(x-2)(x-3)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:

Zadanie 19. (2pkt) Niech \(\frac{m}{n}\) będzie ułamkiem nieskracalnym. Jeśli do licznika dodamy \(6\), a do mianownika dodamy \(15\), jego wartość nie zmieni się. Oblicz liczby \(m\) i \(n\).

Zadanie 20. (2pkt) Dana jest liczba dwucyfrowa \(a\), w której suma cyfr jest równa \(14\). Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o \(18\) mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr. Oblicz liczbę \(a\).

Zadanie 21. (3pkt) Pies goni lisa. Początkowa odległość między zwierzętami równa była \(30 m\). Długość każdego skoku psa jest równa \(2 m\), długość każdego skoku lisa jest równa \(1 m\). W czasie, w którym lis wykonuje trzy skoki, pies skacze dwa razy. Oblicz dystans, po przebiegnięciu którego pies dogoni lisa.

Zadanie 22. (2pkt) Suma liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) równa jest \(527\). Wiemy, że \(8\%\) liczby \(a\) jest równe \(7,5\%\) liczby \(b\). Oblicz liczby \(a\) i \(b\).

Zadanie 23. (4pkt) Rozwiąż układ równań

\begin{cases}

x^2+y^2-4x+4y-17=0 \\

2x-y-1=0

\end{cases}

Zadanie 24. (2pkt) Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(y=f(x)=x^2+5x+6\), gdzie \(x\in R\).



Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.



1. Postać kanoniczna funkcji \(f\) wyraża się wzorem:

A. \(y=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)

B. \(y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)

C. \(y=\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{5}{2}\)

D. \(y=\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{5}{2}\)



2. Postać iloczynowa funkcji \(f\) wyraża się wzorem:

E. \(y=(x-2)(x-3)\)

F. \(y=(x-2)(x+3)\)

G. \(y=(x+2)(x-3)\)

H. \(y=(x+2)(x+3)\)

Zadanie 25. (3pkt) W kartezjańskim układzie w współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: \(f, g, h, s\).

matura z matematyki



Zadanie 1.

Największą wartość dla argumentu \(x=2\) przyjmuje funkcja:

A. \(f\)

B. \(g\)

C. \(h\)

D. \(s\)



Zadanie 2. Dla argumentu \(x=3\) tę samą wartość przyjmują funkcje:

A. \(f\) i \(s\)

B. \(s\) i \(h\)

C. \(f\) i \(g\)

D. \(g\) i \(s\)



Zadanie 3. Zapisz maksymalny przedział, w którym prawdziwa jest nierówność \(g(x)\gt h(x)\).

Zadanie 26. (3pkt) Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o \(0,6^{o}C\), gdy wysokość wzrasta o \(100 m\), a gdy wysokość maleje o \(100 m\) – temperatura rośnie o \(0,6^{o}C\). W Zakopanem, które znajduje się na wysokości \(1000\) metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa \(13^{o}C\). W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach.



Zadanie 1.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.



1. Na Rysach, na wysokości \(2499\) metrów n.p.m., zmierzona temperatura powietrza nie przekraczała \(5^{o}C\).

2. W Białce Tatrzańskiej (\(650\) metrów n.p.m.) zmierzona temperatura powietrza była równa \(16,5^{o}C\).



Zadanie 2.

Niech \(f(x)=ax+b\) będzie funkcją opisującą zależność temperatury powietrza od wysokości \(x\) n.p.m. w dowolnym punkcie nad Zakopanem. Oblicz wartość współczynnika \(a\) i wartość współczynnika \(b\).

Zadanie 27. (1pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2x^2+bx+c\) i przyjmuje wartości dodatnie tylko dla \(x\in(-4,2)\).



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji jest prosta \(x=1\).
Postać iloczynowa funkcji \(f\) wyraża się wzorem \(f(x)=-2(x+4)(x-2)\).

Zadanie 28. (2pkt) Dana jest funkcja kwadratowa \(f\). Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych \((0, 8)\), a osią symetrii jej wykresu jest prosta o równaniu \(x=4\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest \(x_{1}=2\). Wyznacz i zapisz wzór funkcji \(y=f(x)\) w postaci iloczynowej.

Zadanie 29. (1pkt) Aby zaorać pole o powierzchni \(P\) w ciągu \(8\) godzin, potrzeba trzech ciągników. Przyjmijmy, że każdy ciągnik w ustalonej jednostce czasu może zaorać tę samą powierzchnię pola.



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zaoranie pola o powierzchni \(P\) przy pomocy dwóch ciągników zajęłoby \(12\) godzin.
Cztery ciągniki, które pracują o połowę szybciej, zaorałyby to pole w ciągu \(4\) godzin.

Zadanie 30. (1pkt) Dane są liczby: \(a=2\sqrt{2}, b=4, c=4\sqrt{2}\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.



Liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) tworzą w podanej kolejności:

matura z matematyki

Zadanie 31. (2pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Jego różnica jest równa \(4\), a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 32. (3pkt) Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{3}\), trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(\frac{1}{9}\), a suma wszystkich wyrazów to \(\frac{364}{243}\). Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg.

Zadanie 33. (4pkt) Liczby \(x, y, z\), których suma jest równa \(114\), tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczby te są również wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), gdzie \(n\ge1\), w którym \(x=a_{1}\), \(y=a_{4}\) i \(z=a_{25}\). Oblicz liczby \(x, y, z\).

Zadanie 34. (4pkt) Trzy liczby, których suma jest równa \(24\), tworzą ciąg arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o \(4\), \(10\) i \(40\) będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny. Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny.

Zadanie 35. (3pkt) Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca 2020 roku wpłaciła \(300\) złotych. Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o \(25 zł\) więcej niż w miesiącu poprzednim.



Zadanie 1.

Oblicz kwotę, jaką pani Joanna wpłaciła na subkonto pierwszego czerwca 2022 roku.



Zadanie 2.

Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim pani Joanna powinna odkładać, aby pierwszego czerwca 2025 roku (uwzględniając również wpłatę w tym dniu) na subkoncie była kwota \(76860\) złotych.

Zadanie 36. (3pkt) Z okna wieży kontroli lotów widać startujący samolot \(S\) pod kątem \(38°\) do poziomu. Kontroler \(K\) znajduje się na wysokości \(136 m\) od płyty lotniska (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Oblicz odległość \(x\) samolotu \(S\) od podstawy \(W\) tej wieży. Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych metrów.

Zadanie 37. (5pkt) Dane są dwa trójkąty \(ABC\) i \(ADE\) o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku \(A\). Ponadto \(|AB|=24\), \(|AC|=10\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(ADE\) jest dwukrotnie większe od pola trójkąta \(ABC\).

matura z matematyki



Zadanie 1.

Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina odcinek \(DE\) w punkcie \(P\), takim że \(\frac{|DP|}{|PE|}=\frac{3}{4}\). Oblicz długości boków \(AD\) i \(AE\) trójkąta \(ADE\).



Zadanie 2.

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(72\). Oblicz długość boku \(BC\) trójkąta \(ABC\).

Zadanie 38. (2pkt) Dany jest trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny. Punkt \(O\) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, a punkt \(H\) jest jego ortocentrum.



Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

A. Punkt \(O\) jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta.

B. Punkt \(O\) jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta.

C. Punkt \(O\) jest równo oddalony od trzech boków tego trójkąta.

D. Punkt \(H\) jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta.

E. Punkt \(H\) jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta.

F. Punkt \(H\) jest równo oddalony od trzech boków tego trójkąta.

Zadanie 39. (1pkt) Dany jest ośmiokąt foremny wpisany w okrąg \(K\). Punkty \(A\) oraz \(B\) są sąsiednimi wierzchołkami tego ośmiokąta oraz \(\alpha\) jest kątem między styczną do okręgu \(K\) w punkcie \(A\) i bokiem \(AB\) wielokąta (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Miara kąta \(\alpha\) jest równa:

Zadanie 40. (1pkt) Dane są trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\) i \(|\sphericalangle ACB|=45°\), oraz kwadrat \(DEFG\) o polu równym \(1\). Wierzchołki \(E\) i \(F\) kwadratu leżą na ramieniu \(BC\) danego trójkąta, wierzchołek \(G\) leży na ramieniu \(AC\), a wierzchołek \(D\) leży na podstawie \(AB\) trójkąta (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Oceń prawdziwość poniższych relacji. Wybierz P, jeśli relacja jest prawdziwa, albo F – jeśli jest fałszywa.

\(|\sphericalangle AGD|=45°\)
\(|AG|-|BE|=2-\sqrt{2}\)

Zadanie 41. (2pkt) Dane są:

• okrąg o środku \(S\) i promieniu \(r=1\)

• prosta \(k\) przechodząca przez \(S\) i przecinająca okrąg w punktach \(P\) i \(Q\)

• prosta \(l\) styczna do danego okręgu w punkcie \(T\).



Prosta \(k\) przecina prostą \(l\) w punkcie \(R\). Prosta przechodząca przez punkt \(Q\) i równoległa do odcinka \(ST\) przecina styczną \(l\) w punkcie \(U\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Oblicz długość odcinka \(TU\) wiedząc, że spełniony jest warunek \(\frac{|PQ|}{|QR|}=\frac{2}{3}\).

Zadanie 42. (3pkt) W wycinek koła wyznaczony przez kąt środkowy \(KSL\) o mierze \(45°\) wpisano kwadrat \(ABCD\) w taki sposób, że wierzchołki \(A\) oraz \(B\) leżą na promieniu \(SK\), wierzchołek \(D\) leży na promieniu \(SL\), a wierzchołek \(C\) leży na łuku \(KL\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Oblicz stosunek pola kwadratu \(ABCD\) do pola wycinka kołowego \(KSL\).

Zadanie 43. (4pkt) Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), gdzie \(|AB|\gt|CD|\). Kąt ostry tego trapezu ma miarę \(60°\), a przekątna jest prostopadła do ramienia, którego długość jest równa \(6\). Oba ramiona tego trapezu przedłużono, otrzymując trapez \(DCFG\) podobny do trapezu \(ABCD\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole trapezu \(DCFG\).

matura z matematyki

Zadanie 44. (2pkt) W trójkącie równobocznym o boku długości \(a\) poprowadzono dwa odcinki równoległe do jednego z jego boków. Długości tych odcinków są równe \(b\) i \(c\), przy czym \(c\lt b\lt a\) (zobacz rysunek). Odcinki podzieliły trójkąt równoboczny na trzy figury: dwa trapezy i trójkąt.

matura z matematyki



Wykaż, że stosunek pola trapezu o podstawach \(b\) i \(c\) do pola trapezu o podstawach \(a\) i \(b\) jest równy \(\dfrac{b^2-c^2}{a^2-b^2}\).

Zadanie 45. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), rozważamy dwie proste o równaniach \(y=a+b\cdot x\) oraz \(y=-\frac{1}{a}-\frac{2}{3}b^2\cdot x\), gdzie \(a\neq0, b\neq0\).



Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.



Dla \(a=2\) i \(b=-\frac{3}{2}\) rozważane proste są:

matura z matematyki

Zadanie 46. (6pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest trójkąt \(ABC\). Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: \(A=(-15,-8), B=(-6,4), C=(-19,-5)\).



Zadanie 1.

Wykaż, że trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.



Zadanie 2.

Wierzchołki trójkąta \(ABC\) są trzema wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Odcinek \(AC\) jest przekątną tego równoległoboku. Oblicz współrzędne wierzchołka \(D\).



Zadanie 3.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wyznaczonych miejscach, aby zdanie było prawdziwe.

Punkt \(S\) przecięcia środkowych trójkąta \(ABC\) ma współrzędne:

$$S=(......, .......)$$

Zadanie 47. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(O\) o równaniu \(x^2+y^2=2\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(y=m\), gdzie \(m\in R\).



Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.



Okrąg \(O\) i prosta \(k\) mają dwa punkty wspólne tylko wtedy, gdy \(m\in.....\)

Zadanie 48. (4pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest trójkąt \(ABC\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=-3x+6\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą – odpowiednio – na osi \(Oy\) oraz \(Ox\). Wierzchołek \(C\) ma współrzędne \((3,7)\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

Zadanie 49. (4pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-8,12)\) i \(B=(−2,4)\) są końcami cięciwy okręgu \(O\). Środek tego okręgu leży na prostej \(k\) o równaniu \(y=4x+2\). Wyznacz współrzędne środka okręgu \(O\) i promień tego okręgu.

Zadanie 50. (3pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=-x^2+2x+3\). Funkcja liniowa \(g\) określona jest wzorem \(g(x)=-x+5\). Oblicz współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji \(y=f(x)\) oraz funkcji \(y=g(x)\).

Zadanie 51. (2pkt) Każda krawędź czworościanu \(ABCS\) ma długość \(a\). Punkty \(D\) i \(E\) są środkami boków – odpowiednio – \(AC\) oraz \(BC\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Oblicz pole trójkąta \(DES\).

Zadanie 52. (2pkt) Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(A, B, D\) i \(E\) są wierzchołkami ostrosłupa (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Oblicz pole powierzchni ostrosłupa \(ABDE\).

Zadanie 53. (2pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(2\) i wysokości \(8\). Wpisano w niego sześcian w taki sposób, że dolna podstawa sześcianu zawiera się w podstawie ostrosłupa, a krawędzie jego górnej podstawy zawierają się w ścianach bocznych ostrosłupa (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Krawędź sześcianu jest dłuższa niż \(1,5\).
Ostrosłup jest czterokrotnie wyższy od sześcianu.
Objętość sześcianu jest większa od \(4\).

Zadanie 54. (1pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, o krawędzi podstawy \(a\) oraz wysokości \(h\). Wpisano w niego ostrosłup prawidłowy czworokątny w taki sposób, że krawędzie podstawy ostrosłupa i graniastosłupa pokrywają się, zaś górny wierzchołek ostrosłupa jest środkiem podstawy górnej graniastosłupa (zobacz rysunek). Niech \(F\) będzie bryłą powstałą po wycięciu ostrosłupa z graniastosłupa.

matura z matematyki



Różnica objętości bryły \(F\) i objętości ostrosłupa jest równa:

Zadanie 55. (1pkt) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) zaznaczono środki krawędzi \(AB\), \(AC\) i \(AS\) odpowiednio punktami \(D, E, F\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni ostrosłupa \(ADEF\) jest dwukrotnie mniejsze od pola powierzchni ostrosłupa \(ABCS\).
Objętość ostrosłupa \(ADEF\) jest ośmiokrotnie mniejsza od objętości ostrosłupa \(ABCS\).

Zadanie 56. (1pkt) Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których cyfra \(5\) występuje dokładnie jeden raz, jest:

Zadanie 57. (1pkt) Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest:

Zadanie 58. (1pkt) Na dwóch półkach ustawiano \(9\) książek: \(4\) biograficzne i \(5\) fantasy. Ustawiono je w taki sposób, aby na każdej półce znalazły się książki wyłącznie jednego rodzaju.



Wszystkich sposobów ustawienia książek przy zadanym warunku jest:

Zadanie 59. (1pkt) Firma krawiecka produkuje prostokątne dwukolorowe obrusy w jednakowym rozmiarze. Każdy obrus jest zszyty z trzech pasów materiału tej samej szerokości (zobacz rysunek). Zewnętrzne pasy są w tym samym kolorze. Cały obrus jest obszyty lamówką w jednym kolorze. W firmowym magazynie materiały są dostępne w \(5\) kolorach, a lamówka – w \(3\) kolorach. Obrusy uznajemy za różne, gdy różnią się kolorem lamówki lub kolorem pasów zewnętrznych, lub kolorem pasa wewnętrznego.

matura z matematyki



Liczba wszystkich różnych obrusów, które firma może produkować, jest równa:

Zadanie 60. (2pkt) Do dyspozycji są dwa puste pojemniki oraz pięć kul. Każdą z kul należy umieścić w pojemniku. Liczba wszystkich różnych rozmieszczeń tych kul zależy od cech kul i pojemników. W poniższej tabeli w lewej kolumnie podano cechy obiektów (kul i pojemników).



Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź wybraną spośród A–F.

A. \(6\)

B. \(2\cdot5\)

C. \(2^4\)

D. \(3\)

E. \(2^5\)

F. \(5^2\)



matura z matematyki

Zadanie 61. (1pkt) Średnia arytmetyczna wieku czterech kobiet jest równa \(24\) lata. Średnia arytmetyczna wieku sześciu mężczyzn jest równa \(26\) lat. Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób jest równa:

Zadanie 62. (1pkt) Mediana zestawu sześciu liczb \(1, 2, 3, 4, 5, 2x\) jest równa \(3\). Liczba \(x\) jest równa:

Zadanie 63. (1pkt) Marek ma \(3\) koszulki w kolorach czerwonym, niebieskim i białym. Darek ma \(5\) koszulek w kolorach czerwonym, białym, zielonym, żółtym i szarym. Chłopcy umówili się, że następnego dnia każdy z nich założy wybraną w sposób losowy jedną ze swoich koszulek.

matura z matematyki



Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że następnego dnia chłopcy założą koszulki w tym samym kolorze, jest równe:

Zadanie 64. (1pkt) Dany jest pięciokąt foremny \(ABCDE\). Losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki tego pięciokąta. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane wierzchołki będą końcami przekątnej pięciokąta \(ABCDE\), jest równe:

Zadanie 65. (1pkt) Ze zbioru pięciu liczb \(\{1,2,3,4,5\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta, jest równe \(\frac{8}{25}\).
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie liczby będą parzyste, jest równe \(\frac{2}{25}\).

Zadanie 66. (3pkt) Firma handlowa ustaliła, że liczba sprzedanych przez nią egzemplarzy gry komputerowej w ciągu każdego tygodnia zależy od jej ceny. Liczbę sprzedanych egzemplarzy opisuje funkcja \(f(x)=2400-15x\), gdzie \(x\) oznacza cenę jednostkową gry. Jaka powinna być cena jednostkowa, aby tygodniowy przychód \(P\) ze sprzedaży gry był największy? Oblicz ten największy przychód.

Zadanie 67. (4pkt) Dany jest prostokąt \(PQRS\) o bokach długości \(|PQ|=|SR|=10\) oraz \(|PS|=|QR|=6\). Na bokach \(PQ, QR, RS, SP\) obrano odpowiednio punkty \(A, B, C, D\) takie, że \(|AQ|=|BR|=|CS|=|DP|=x\) oraz \(x\ge3\) (zobacz rysunek). Wyznacz długość odcinka \(x\), dla którego pole czworokąta \(ABCD\) jest najmniejsze. Wyznacz to pole.

matura z matematyki

Zadanie 68. (4pkt) Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(3\) i \(4\). Wpisano w niego prostokąt w taki sposób, że dwa z jego boków zawierają się w przyprostokątnych trójkąta, a jeden wierzchołek leży na przeciwprostokątnej (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Jakie wymiary powinien mieć prostokąt, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole.

Zbiór zadań w formie PDF znajdziesz tutaj:

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments