Matura – Matematyka – Zbiór zadań 2023 – Odpowiedzi

Wykazano rozpisując sumę przy użyciu wyrażeń algebraicznych.

Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(n\) - pierwsza liczba całkowita
\(n+1\) - druga liczba całkowita
\(n+2\) - trzecia liczba całkowita

W ten sposób opisaliśmy trzy kolejne liczby całkowite, które musimy teraz dodać, zatem:
$$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$$

Dzięki wyłączeniu trójki przed nawias, możemy stwierdzić, że ta suma jak najbardziej dzieli się przez \(3\), dając wynik równy \(n+1\). Dowodzenie można uznać za zakończone.

\(x=9\) oraz \(y=2\)

Spróbujmy rozpisać podaną liczbę \(a\). Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), otrzymamy:
$$(\sqrt{2}+\sqrt{7})^2=2+2\sqrt{14}+7=9+2\sqrt{14}$$

Otrzymany wynik musimy przyrównać do postaci \(x+y\sqrt{14}\). Widzimy zatem, że w tym przypadku \(x=9\) oraz \(y=2\).

\(-\frac{5\sqrt{6}}{6}\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że:
$$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0 \\
a\sqrt{2}=-b\sqrt{3}$$

Spróbujmy przekształcić to równanie, tak aby po jednej stronie mieć ułamek \(\frac{a}{b}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{2} \\
a=\frac{-b\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \quad\bigg/:b \\
\frac{a}{b}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

I analogicznie przekształćmy to nasze początkowe równanie, ale tym razem w taki sposób, aby otrzymać ułamek \(\frac{b}{a}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3} \quad\bigg/:a \\
\sqrt{2}=\frac{-b\sqrt{3}}{a} \quad\bigg/:-\sqrt{3} \\
\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Znając wartości liczbowe ułamków \(\frac{a}{b}\) oraz \(\frac{b}{a}\) możemy przystąpić do obliczenia sumy:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Krok 2. Obliczenie sumy podanego wyrażenia.
Chcąc dodać teraz do siebie te dwa ułamki, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka należałoby pomnożyć przez wartość mianownika drugiego ułamka (czyli przez \(\sqrt{3}\)) i analogicznie licznik oraz mianownik drugiego ułamka trzeba pomnożyć przez wartość mianownika pierwsze ułamka (czyli przez \(\sqrt{2}\)). Całość wyglądałaby następująco:
$$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}+\frac{-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}= \\
=\frac{-3}{\sqrt{6}}+\frac{-2}{\sqrt{6}}=\frac{-5}{\sqrt{6}}$$

Otrzymany wynik jest poprawny, ale zgodnie z poleceniem, musimy jeszcze usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. W tym celu musimy licznik oraz mianownik tego ułamka pomnożyć przez \(\sqrt{6}\), otrzymując:
$$\frac{-5}{\sqrt{6}}=\frac{-5\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=-\frac{5\sqrt{6}}{6}$$

Udowodniono dodając do siebie ułamki i usuwając niewymierność z mianownika.

Chcąc dodać do siebie jakiekolwiek ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym konkretnym zadaniu najlepszym pomysłem byłoby zaczęcie obliczeń od usunięcia niewymierności w każdym z mianowników.

W mianownikach wszystkich ułamków pojawiają nam się nie tylko same pierwiastki, ale wyrażenia z pierwiastkiem. W takich sytuacjach, chcąc usunąć niewymierność, musimy wymnożyć liczniki oraz mianowniki tych ułamków przez wyrażenie znajdujące się w mianowniku, ale ze zmienionym znakiem. Taki zabieg pozwoli nam zastosować w mianownikach wzór skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Obliczenia wyglądałyby więc następująco:
$$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})}+\frac{1\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})}+\frac{1\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{4})}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{4})}=\\
=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}= \\
=\frac{(1-\sqrt{2})+(\sqrt{2}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{4})}{-1}=\frac{1-\sqrt{4}}{-1}=\frac{1-2}{-1}=\frac{-1}{-1}=1$$

Upraszczając cały zapis otrzymaliśmy wynik równy \(1\), zatem otrzymaliśmy liczbę całkowitą, co należało udowodnić.

B

Prawdziwe jest jedynie równanie zapisane w drugiej odpowiedzi, ponieważ:
$$\sqrt{\sqrt{144}+\sqrt{16}}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4=2^2=2^{\frac{4}{2}}$$

Powiedzmy sobie może jeszcze, dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne:
Odp. A. - tutaj trzeba byłoby zastosować wzór skróconego mnożenia \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), więc od razu widać, że ten zapis jest niepoprawny.
Odp. C. - tu wystarczyło zauważyć, że \(\sqrt{2\frac{1}{4}}\) jest równe \(\sqrt{\frac{9}{4}}\), czyli \(\frac{3}{2}\). Ten ułamek podniesiony do potęgi trzeciej da zupełnie inny wynik niż to, co jest po prawej stronie.
Odp. D. - tu można dostrzec, że \(\sqrt[3]{64}\) jest równe \(4\), a \(4^{\frac{1}{8}}\) to zupełnie inna liczba niż \(8^3\) (zwróć uwagę, że \(4^{\frac{1}{8}}\) to mniej niż \(1\), a \(8^3\) jest równe ponad \(500\)).

\(\frac{T_{K}}{T_{Z}}\approx2.46\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że przyśpieszenie grawitacyjne na Ziemi jest równe \(9,81\frac{m}{s^2}\), zatem podstawiając tą daną do wzoru na okres, otrzymamy:
$$T_{Z}=2\pi\sqrt{\frac{l}{9,81}}$$

I analogicznie, podstawiając przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu równe \(1,62\frac{m}{s^2}\), otrzymamy:
$$T_{K}=2\pi\sqrt{\frac{l}{1,62}}$$

Krok 2. Obliczenie stosunku okresu drgań.
Celem zadania jest obliczenie stosunku drgań wahadła na Księżycu, względem drgań na Ziemi, zatem musimy podzielić \(T_{K}\) przez \(T_{Z}\), otrzymując:
$$\frac{T_{K}}{T_{Z}}=\frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{1,62}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{9,81}}}=\frac{\sqrt{\frac{l}{1,62}}}{\sqrt{\frac{l}{9,81}}}= \\
=\sqrt{\frac{l}{1,62}}:\sqrt{\frac{l}{9,81}}=\sqrt{\frac{l}{1,62}:\frac{l}{9,81}}= \\
=\sqrt{\frac{l}{1,62}\cdot\frac{9,81}{l}}=\sqrt{\frac{9,81}{1,62}}\approx\sqrt{6,056}\approx2,46$$

C

Zanim zaczniemy obliczać, to warto wspomnieć, że jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie jest ona równa \(10\). Stąd też przykładowo \(log\;{k}\) to nic innego jak \(log_{10}k\).

Wracając do naszego przykładu, to korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log{k\cdot\frac{1}{100}k^2:\frac{1}{10}k^3}=log{\frac{1}{100}k^3:\frac{1}{10}k^3}=log{\frac{1}{100}k^3\cdot\frac{10}{k^3}}=log{\frac{1}{10}}$$

Jeśli umiemy podać wartość końcowego logarytmu, to od ręki możemy zapisać, że całość jest równa \(-1\). Jeśli jednak nie czujemy się na siłach, to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{10}\frac{1}{10}=x \Leftrightarrow 10^x=\frac{1}{10}$$

Teraz musimy sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymując:
$$10^x=\frac{1}{10} \\
10^x=10^{-1} \\
x=-1$$

B, E

Pierwsze równanie jesteśmy w stanie ułożyć tak naprawdę z definicji logarytmu, którą znajdziemy w tablicach matematycznych, czyli:
$$log_{a}b=c \Leftrightarrow a^c=b$$

Musimy się tylko odpowiednio dopasować symbolami. Z treści zadania wynika, że \(y^z=x\), zatem:
$$log_{y}x=z \Leftrightarrow y^z=x$$

To oznacza, że jedną z poprawnych odpowiedzi jest na pewno E. Poszukajmy teraz drugiej odpowiedzi. Również w tablicach znajdziemy takie oto równanie:
$$a^{log_{a}b}=b$$

Korzystając z naszych oznaczeń, zapisalibyśmy, że:
$$y^{log_{y}x}=x$$

Dokładnie takiej odpowiedzi nie mamy, ale przyglądając się proponowanym odpowiedziom, widzimy, że jesteśmy dość blisko zapisu z odpowiedzi B. Pamiętając o tym, że ujemna potęga związana jest z odwrotnością liczby, moglibyśmy stwierdzić, że:
$$y^{-log_{y}x}=\frac{1}{x}$$

Stąd też równie poprawną odpowiedzią będzie równanie z odpowiedzi B.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Możemy oczywiście wymnożyć podane nawiasy i sprawdzić jaki wynik otrzymamy:
$$(1-x\sqrt{2})(x\sqrt{2}-1)=x\sqrt{2}-1-2x^2+x\sqrt{2}=2x^2+2\sqrt{2}x-1$$

Ewentualnie moglibyśmy dostrzec, że to zadanie opiera się na wzorach skróconego mnożenia, a konkretnie chodzi tu o wzór \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\). W naszym przypadku \(a=x\sqrt{2}\) oraz \(b=1\), więc:
$$2x^2-1=(x\sqrt{2}+1)(x\sqrt{2}-1)$$

Otrzymany wynik nie jest tożsamy z podanym wyrażeniem, więc zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), otrzymamy:
$$2^3+3\cdot2^2\cdot x+3\cdot2\cdot x^2+x^3-x^3-6x^2-12x= \\
=8+12x+6x^2-6x^2-12x=8$$

Zdanie jest więc prawdą.

D

Ustalmy najpierw najważniejszą rzecz, czyli czym są pierwiastki wielomianu, ponieważ nie mają one nic wspólnego z pierwiastkami arytmetycznymi. Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę rzeczywistą, dla której ten wielomian przyjmuje wartość równą \(0\). Mówiąc więc wprost, celem zadania jest rozwiązanie równania \(x^3-9x^2+26x-24=0\).

Równanie jako takie jest bardzo trudne do samodzielnego rozwiązania na poziomie podstawowym. Takim najszybszym sposobem byłoby chyba rozbicie tego równania na postać \(x^3-3x^2-6x^2+18x+8x-24=0\), co pozwoliłoby nam to rozpisać w taki sposób:
$$x^3-3x^2-6x^2+18x+8x-24=0 \\
x^2(x-3)-6x(x-3)+8(x-3)=0 \\
(x-3)(x^2-6x+8)=0$$

Teraz przyrównując wartości w nawiasach do zera, otrzymalibyśmy do rozwiązania dwa równania:
$$x-3=0 \quad\lor\quad x^2-6x+8=0$$

Rozwiązaniem pierwszego równania jest oczywiście \(x=3\), a rozwiązaniem równania kwadratowego \(x^2-6x+8=0\) są liczby \(2\) oraz \(4\), co sprawia, że to równanie ma trzy rozwiązania: \(x=2\), \(x=3\) oraz \(x=4\). Jedno z tych rozwiązań, czyli \(x=2\), znajduje się w proponowanych odpowiedziach i to właśnie ta odpowiedź byłaby prawidłowa.

Jeśli jednak nie potrafimy rozwiązywać takich równań, to można byłoby podejść do tematu jeszcze inaczej - wystarczyłoby podstawiać w miejsce \(x\) poszczególne odpowiedzi i sprawdzić, kiedy otrzymamy wynik równy \(0\). Tak stałoby się dla odpowiedzi \(x=2\), ponieważ:
$$W(2)=2^3-9\cdot2^2+26\cdot2-24 \\
W(2)=8-9\cdot4+52-24 \\
W(2)=8-36+52-24 \\
W(2)=0$$

\(\frac{2\sqrt{3}}{9}\)

Krok 1. Uproszczenie wyrażenia.
Chcąc dodać lub odjąć ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Tutaj powinniśmy zauważyć, że w zadaniu wykorzystamy wzór skróconego mnożenia, czyli \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\). Gdybyśmy więc licznik oraz mianownik pierwszego ułamka pomnożyli przez \((a-b)\), to otrzymamy taką oto sytuację:
$$\left(\frac{a\cdot(a-b)}{(a+b)\cdot(a-b)}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)= \\
=\left(\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)= \\
=\left(\frac{a^2-ab-a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)= \\
=\left(\frac{-ab}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)= \\
=\left(\frac{-ab}{a^2-b^2}\right)\cdot\left(\frac{a^2-b^2}{a-b}\right)=\frac{-ab}{a-b}$$

Krok 2. Obliczenie wartości liczbowej.
Mając uproszczoną postać, możemy przystąpić do podstawienia podanych liczb, czyli \(a=\frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(b=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\frac{2}{\sqrt{3}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}= \\
=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{\sqrt{3}}}=\frac{2}{3}:\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$$

\(a=5, b=-13, c=1, d=-3\)

Krok 1. Przekształcenie podanego wyrażenia.
Celem zadania jest poprawne przekształcenie podanego wyrażenia, a całość tak naprawdę sprowadza się do wykonania poprawnego dodawania. Musimy podaną sumę sprowadzić do jednego ułamka, a więc musimy dodać do siebie te dwie wartości. Aby tego dokonać, trzeba sprowadzić te liczby do wspólnych mianowników - w tym celu musimy całość rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{2}{x-3}+5=\frac{2}{x-3}+\frac{5\cdot(x-3)}{x-3}= \\
=\frac{2}{x-3}+\frac{5x-15}{x-3}=\frac{2+5x-15}{x-3}=\frac{5x-13}{x-3}$$

Krok 2. Odczytanie współczynników.
Udało nam się sprowadzić wyrażenie do postaci z treści zadania, czyli \(\frac{ax+b}{cx+d}\), więc pozostało nam już tylko przyrównanie współczynników, zatem: \(a=5, b=-13, c=1\) oraz \(d=-3\).

A. 1

Wielomian jest podzielny przez dwumian typu \((x-a)\) wtedy, gdy \(W(a)=0\). Mówiąc bardzo obrazowo, musimy podstawić do wielomianu \(x=3\) oraz \(x=6\) i sprawdzić, kiedy otrzymamy wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$W(3)=3^3-4\cdot3^2+3+6 \\
W(3)=27-4\cdot9+9 \\
W(3)=27-36+9 \\
W(3)=0$$

$$W(6)=6^3-4\cdot6^2+6+6 \\
W(6)=216-4\cdot36+12 \\
W(6)=216-144+12 \\
W(6)=84$$

To oznacza, że wielomian jest podzielny przez dwumian \((x-3)\), ponieważ liczba \(x=3\) jest pierwiastkiem wielomianu.

\(x\le-3\). Największą liczbą będzie \(-3\).

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na początek ważna uwaga - mamy nierówność, czyli musimy pamiętać, że gdy mnożymy lub dzielimy obydwie strony przez liczbę ujemną, to trzeba zmienić znak na przeciwny. To też sprawia, że musimy unikać mnożenia lub dzielenia obydwu stron przez \(x\).

Aby rozwiązać nierówność, musimy przenieść iksy na lewą stronę, a liczby na prawą. Najprościej będzie to zrobić w ten sposób:
$$2x\ge\sqrt{5}\cdot x+3\sqrt{5}-6 \quad\bigg/-(\sqrt{5}\cdot x) \\
2x-\sqrt{5}x\ge3\sqrt{5}-6 \\
(2-\sqrt{5})x\ge3\sqrt{5}-6 \quad\bigg/:(2-\sqrt{5}) \\
x\le\frac{3\sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}$$

Wyrażenie \(2-\sqrt{5}\) jest ujemne, dlatego dzieląc obydwie strony przez tą wartość, musieliśmy zmienić znak nierówności na przeciwny.

Krok 2. Uproszczenie zapisu.
W otrzymanym wyniku dobrze byłoby jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zwłaszcza, że to dość mocno uprości nam cały zapis. Jak jesteśmy spostrzegawczy, to dostrzeżemy, że wyrażenie w liczniku da się zapisać jako \(3\cdot(2-\sqrt{5})\), przez co licznik i mianownik nam się skrócą. Jeśli jednak tego nie dostrzegliśmy, to możemy standardowo wymnożyć licznik oraz mianownik przez \(2+\sqrt{5}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), zatem:
$$x\le\frac{(3\sqrt{5}-6)\cdot(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})\cdot(2+\sqrt{5})} \\
x\le\frac{6\sqrt{5}+3\cdot5-12-6\sqrt{5}}{2^2-(\sqrt{5})^2} \\
x\le\frac{15-12}{4-5} \\
x\le\frac{3}{-1} \\
x\le-3$$

Krok 3. Podanie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność.
Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze podać największą liczbę całkowitą, która spełnia tę nierówność. Wartość \(x\) musi być mniejsza lub równa \(-3\), więc największą liczbą będzie właśnie \(-3\).

\(x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}\)

Tego typu równania najprościej jest rozwiązywać metodą grupowania, wyłączając odpowiednie czynniki przed nawias:
$$-2x^3+x^2+18x-9=0 \\
x^2(-2x+1)-9(-2x+1)=0 \\
(x^2-9)(-2x+1)=0$$

Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem możemy teraz przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad -2x+1=0 \\
x^2=9 \quad\lor\quad -2x=-1 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$

\(x=1 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-4\)

Krok 1. Zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Najprościej byłoby zauważyć, że liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu, ponieważ \(W(1)=0\).
$$W(1)=-1^3+13\cdot1-12 \\
W(1)=-1+13-12 \\
W(1)=0$$

Skoro tak, to możemy podzielić wielomian \(W(x)=-x^3+13x-12\) przez \(x-1\). Jak wykonać takie dzielenie? Możemy to zrobić za pomocą dzielenia pisemnego, albo też korzystając z tak zwanego schematu Hornera. Ta druga metoda wydaje się nieco szybsza, więc to właśnie ją zastosujemy. W tym celu musimy zbudować następującą tabelkę:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\; & -1 & 0 & 13 & -12 \\
\hline
1 & -1 & \; & \; & \; \\
\hline
\end{array}$$

Liczby w górnym wierszu to współczynniki wielomianu \(-x^3+13x-12\) (zwróć uwagę, że nie mamy tutaj \(x^2\), stąd też w tym miejscu w tabelce pojawiło się \(0\)). W lewym dolnym rogu mamy \(1\), bo właśnie jedynka jest jednym z pierwiastków tego wielomianu, a liczbę \(-1\) przepisaliśmy z górnego wiersza. Teraz musimy uzupełnić dolny wiersz tabeli, wykonując następujące działania:

\(1\cdot(-1)+0=-1+0=-3 \Rightarrow\) Pod liczbą \(0\) wpisujemy \(-1\)
\(1\cdot(-1)+13=-1+13=12 \Rightarrow\) Pod liczbą \(13\) wpisujemy \(12\)
\(1\cdot12+(-12)=12-12=0 \Rightarrow\) Pod liczbą \(-12\) wpisujemy \(0\)

Tabelka wygląda więc następująco:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\; & -1 & 0 & 13 & -12 \\
\hline
1 & -1 & -1 & 12 & 0 \\
\hline
\end{array}$$

To oznacza, że wynikiem dzielenia wielomianu \(-x^3+13x-12\) przez dwumian \(x-1\) jest \(-x^2-x+12\). W takim razie możemy stwierdzić, że równanie z treści zadania da się zapisać w postaci:
$$(x-1)(-x^2-x+12)=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Najtrudniejsze już za nami, teraz musimy rozwiązać powstałe równanie w postaci iloczynowej. W tym celu wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad -x^2-x+12=0$$

Z pierwszego równania otrzymamy rozwiązanie \(x=1\). Musimy jeszcze rozwiązać to drugie równanie, które jest równaniem kwadratowym zapisanym w postaci ogólnej. W takiej sytuacji skorzystamy oczywiście z niezawodnej delty:

Współczynniki: \(a=-1,\;b=-1,\;c=12\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot12=1-(-48)=1+48=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-7}{2\cdot(-1)}=\frac{-6}{-2}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+7}{2\cdot(-1)}=\frac{8}{-2}=-4$$

To oznacza, że będziemy mieć trzy rozwiązania tego równania:
$$x=1 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-4$$

\(90\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(m\) - liczba dni potrzebnych na rozwiązanie
\(n\) - liczba rozwiązywanych zadań dziennie
\(m-10\) - skrócona liczba dni nauki
\(n+5\) - zwiększona liczba rozwiązywanych zadań

Dodatkowo z treści zadania wynika, że zadań, których Szymon jeszcze nie opanował mamy:
$$3697-97=3600$$

Krok 2. Ułożenie równań.
Na podstawie treści zadania możemy wywnioskować, że liczba dni pomnożona przez liczbę zadań rozwiązywanych dziennie powinna dać wynik równy \(3600\), zatem:
$$m\cdot n=3600$$

Chcemy, by liczba dni była skrócona o \(10\), a liczba zadań żeby była zwiększona o \(5\), zatem powstanie nam następujące równanie:
$$(m-10)\cdot(n+5)=3600 \\
mn+5m-10n-50=3600$$

Zapisaliśmy sobie przed chwilą, że \(mn=3600\), więc podstawiając tę wartość do naszego równania, otrzymamy:
$$3600+5m-10n-50=3600 \\
5m=10n+50 \\
m=2n+10$$

Teraz wracamy do równania \((m-10)\cdot(n+5)=3600\) i podstawiamy tam wyznaczone przed chwilą \(m=2n+10\), zatem:
$$(2n+10-10)\cdot(n+5)=3600 \\
2n\cdot(n+5)=3600 \\
2n^2+10n=3600 \\
2n^2+10n-3600=0 \\
n^2+5n-1800=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=5,\;c=-1800\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-1800)=25-(-7200)=7225 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{7225}=85$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-85}{2\cdot1}=\frac{-90}{2}=-45 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+85}{2\cdot1}=\frac{80}{2}=40$$

Krok 4. Obliczenie liczby dni potrzebnych na rozwiązywanie zadań.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale to ujemne musimy oczywiście odrzucić, ponieważ liczba rozwiązywanych zadań nie może być ujemna. Zostaje nam więc jedynie \(n=40\). Celem zadania jest wyznaczenie \(m\), czyli liczby dni, zatem korzystając z jednego z równań zapisanych wcześniej, możemy zapisać, że:
$$m=2n+10 \\
m=2\cdot40+10 \\
m=80+10 \\
m=90$$

C

Krok 1. Zapisanie założeń do treści zadania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość z mianownika musi być różna od zera. To sprawia, że musimy do treści zadania wprowadzić pewne założenia:
$$x-2\neq0 \quad\lor\quad (x-3)^2\neq0 \\
x\neq2 \quad\lor\quad x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony przez wartość z mianownika, zatem:
$$\dfrac{(3x^2-6x)(x^2-9)}{(x-2)(x-3)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-2)(x-3)^2 \\
(3x^2-6x)(x^2-9)=0 \\
3x^2-6x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \\
x(3x-6)=0 \quad\lor\quad x^2=9 \\
x=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3 \\
x=0 \quad\lor\quad 3x=6 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z zapisanymi założeniami. Zgodnie z nimi musimy odrzucić rozwiązania \(x=2\) oraz \(x=3\), stąd też zostają nam jedynie dwa rozwiązania, czyli \(x=0\) oraz \(x=-3\).

\(m=2\) oraz \(n=5\)

Skoro wartość licznika ma być powiększona o \(6\), a mianownika o \(15\) i całość daje w dalszym ciągu postać \(\frac{m}{n}\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{m+6}{n+15}=\frac{m}{n}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$(m+6)\cdot n=(n+15)\cdot m \\
mn+6n=mn+15m \\
6n=15m \\
6=\frac{15m}{n} \\
\frac{m}{n}=\frac{6}{15}$$

Obliczyliśmy wartość naszego ułamka, ale to jeszcze nie koniec. Z treści zadania wynika, że nasz ułamek jest nieskracalny, więc otrzymaną postać \(\frac{6}{15}\) musimy jeszcze skrócić, czyli:
$$\frac{m}{n}=\frac{2}{5}$$

Szukanymi liczbami będą więc \(m=2\) oraz \(n=5\).

\(a=86\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Zaczniemy od wprowadzenia oznaczeń dotyczących cyfr dziesiątek i jedności:
\(x\) - cyfra dziesiątek
\(y\) - cyfra jedności

Z treści wynika, że suma tych dwóch cyfr jest równa \(14\), zatem:
$$x+y=14$$

Spróbujmy teraz zapisać równanie opisujące naszą liczbę, bazując na oznaczeniach \(x\) oraz \(y\). Wbrew pozorom nie możemy zapisać, że \(a=xy\) lub \(a=x+y\). Tego typu liczby zapisujemy jako:
$$a=10\cdot x+y$$

Powyższy zapis jest standardowy w tego typu zadaniach, więc warto o nim pamiętać. Jeśli nie jest on zbyt zrozumiały (zwłaszcza to mnożenie przez \(10\)), to wystarczy sobie wyobrazić, że przykładowo dla \(x=5\) oraz \(y=8\) otrzymamy liczbę \(a=5\cdot10+8=58\).

Dodatkowo z treści zadania wiemy, że przy zamianie cyfr (czyli gdy będziemy mieli liczbę \(10y+x\)) powstanie liczba o \(18\) mniejsza, zatem:
$$10y+x=10x+y-18$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Bazując na równaniach zapisanych w poprzednim kroku, możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x+y=14 \\
10y+x=10x+y-18
\end{cases}

Najprościej będzie skorzystać z metody podstawiania. Wyznaczmy więc wartość \(x\) z pierwszego równania i przy okazji uporządkujmy to drugie równanie:
\begin{cases}
x=14-y \\
-9x+9y=-18 \quad\bigg/:(-9)
\end{cases}

\begin{cases}
x=14-y \\
x-y=2
\end{cases}

Teraz podstawiając pierwsze równanie do drugiego, otrzymamy:
$$14-y-y=2 \\
-2y=-12 \\
y=6$$

Znamy już wartość jednej z cyfr, więc musimy jeszcze obliczyć drugą. W tym celu wystarczy podstawić obliczone \(y=6\) do jednego z równań np. \(x=14-y\), otrzymując:
$$x=14-6 \\
x=8$$

To oznacza, że nasza liczba \(a\) jest równa:
$$a=8\cdot10+6 \\
a=80+6 \\
a=86$$

\(120m\)

To zadanie można rozwiązać układając odpowiednie równania, ale można też podejść do tematu nieco sprytniej. Wiemy, że na trzy skoki lisa przypadają dwa skoki psa. Rozpisując to, otrzymamy następującą sytuację:
· Skok lisa ma \(1m\), więc trzy skoki dają dystans \(3\cdot1m=3m\).
· Skok psa ma \(2m\), więc dwa skoki dają dystans \(2\cdot2m=4m\).

Można więc przyjąć, że w trakcie jednego cyklu, pies dogoni lisa na \(1m\). Do dogonienia ma on dystans \(30m\), więc będzie potrzebował \(30\) cykli. Skoro więc każdy cykl psa to trasa o długości \(4m\), to cały dystans będzie równy \(30\cdot4m=120m\).

\(a=255\) oraz \(b=272\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Skoro suma liczb \(a\) i \(b\) równa jest \(527\), to możemy ułożyć proste równanie:
$$a+b=527$$

Dodatkowo z treści zadania wynika, że \(8\%\) liczby \(a\), jest równe \(7,5\%\) liczby \(b\), czyli:
$$0,08a=0,075b$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z tych dwóch otrzymanych równań musimy teraz ułożyć układ równań:
\begin{cases}
a+b=527 \\
0,08a=0,075b
\end{cases}

Układ możemy rozwiązać na różne sposoby, najlepiej będzie chyba zastosować metodę podstawiania. W tym celu musimy przekształcić pierwsze równanie i podstawić je do drugiego, zatem:
\begin{cases}
a=527-b \\
0,08a=0,075b
\end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego, otrzymamy:
$$0,08\cdot(527-b)=0,075b \\
42,16-0,08b=0,075b \\
0,155b=42,16 \\
b=272$$

Znamy już wartość jednej liczby, musimy jeszcze poznać brakującą liczbę \(a\). W tym celu wystarczy podstawić obliczone przed chwilą \(b=272\) np. do równania \(a=527-b\), otrzymując:
$$a=527-272=255$$

Rozwiązaniem zadania jest więc para liczb: \(a=255\) oraz \(b=272\).

\(\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}\) oraz \(\begin{cases}x=-2 \\ y=-5\end{cases}\)

Krok 1. Rozwiązanie układu równań.
Tym razem mamy układ równań, w którym jedno z równań jest równaniem kwadratowym. To generalnie nie zmienia istoty sprawy i rozwiązujemy ten układ w standardowy sposób. W tym przypadku, najprościej byłoby skorzystać z metody podstawiania, przekształcając odpowiednio drugie równanie, zatem:
\begin{cases}
x^2+y^2-4x+4y-17=0 \\
y=2x-1
\end{cases}

Podstawiając teraz drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$x^2+(2x-1)^2-4x+4\cdot(2x-1)-17=0 \\
x^2+4x^2-4x+1-4x+8x-4-17=0 \\
5x^2-20=0 \quad\bigg/:5 \\
x^2-4=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego i zakończenie rozwiązywania układu równań.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. To równanie jest na tyle proste, że damy radę obliczyć je bez wyznaczania delty, zatem:
$$x^2=4 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Jak to standardowo bywa w równaniach kwadratowych, otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa te rozwiązania są jak najbardziej poprawne. Teraz musimy wyznaczyć wartość \(y\), korzystając np. z równania \(y=2x-1\). Z racji tego, iż mamy dwie różne wartości \(x\), to musimy sprawdzić jaki wynik osiągniemy gdy podstawimy \(x=2\) i jaki, gdy podstawimy \(x=-2\), zatem:

Gdy \(x=2\), to:
$$y=2\cdot2-1 \\
y=4-1 \\
y=3$$

Gdy \(x=-2\), to:
$$y=2\cdot(-2)-1 \\
y=-4-1 \\
y=-5$$

To oznacza, że rozwiązaniem tego układu równań są dwie pary liczb: \(\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}\) oraz \(\begin{cases}x=-2 \\ y=-5\end{cases}\)

B, H

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Chcąc zapisać postać kanoniczną, musimy najpierw poznać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\). W tym celu musimy skorzystać ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\), do których będziemy podstawiać współczynniki funkcji kwadratowej zapisanej w treści zadania, czyli: \(a=1\), \(b=5\) oraz \(c=6\).

Zacznijmy od współrzędnej \(p\), zatem:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$$

Teraz obliczmy współrzędną \(q\). Tutaj we wzorze pojawia nam się delta, więc może wyliczmy ją osobno dla lepszej przejrzystości zapisu:
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$

I teraz znając deltę, możemy zapisać, że:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \\
q=\frac{-1}{4\cdot1} \\
q=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$$

To oznacza, że \(W=\left(-\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right)\).

Teraz możemy przejść do zapisania postaci kanonicznej. Postać kanoniczną zapisujemy jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$

Wiemy już, że \(p=-\frac{5}{2}\) oraz \(q=-\frac{1}{4}\). Z postaci ogólnej odczytaliśmy też, że \(a=1\), zatem podstawiając te wszystkie informacje do powyższego wzoru, otrzymamy:
$$y=1\cdot\left(x-(-\frac{5}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{4}\right) \\
y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Do zapisania postaci iloczynowej będziemy potrzebować miejsc zerowych. Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+5x+6=0\), a skoro deltę liczyliśmy już w poprzednim kroku i wyszło nam, że \(Δ=1\), to możemy przejść do zapisania rozwiązań:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-1}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2$$

Teraz możemy przystąpić do zapisania postaci iloczynowej. Postać iloczynową zapisujemy jako:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$

Podstawiając wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe \(x_{1}=-3\) oraz \(x_{2}=-2\), a także współczynnik \(a=1\), otrzymamy:
$$y=1\cdot(x-(-3))(x-(-2)) \\
y=(x+3)(x+2)$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. W tym przypadku będzie miała ona ramiona skierowane w dół, ponieważ współczynnik \(a=-2\). Skoro tak, to sytuacja z treści zadania będzie wyglądać w ten oto sposób:

Widzimy, że skrajne argumenty, czyli \(x=-4\) oraz \(x=2\) to miejsca zerowe naszej funkcji i to będzie nasz punkt wyjścia do dalszym obliczeń.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Jedną z własności osi symetrii jest fakt, iż znajduje się ona dokładnie po środku między miejscami zerowymi. Do jej wyznaczenia możemy więc skorzystać ze średniej arytmetycznej:
$$x=\frac{-4+2}{2} \\
x=\frac{-2}{2} \\
x=-1$$

Zdanie jest więc fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Postać iloczynową zapisujemy jako \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Ustaliliśmy już, że miejscami zerowymi są \(x_{1}=-4\) oraz \(x_{2}=2\). Wiemy też, że współczynnik \(a=-2\). Skoro tak, to:
$$f(x)=-2(x-(-4))(x-2) \\
f(x)=-2(x+4)(x-2)$$

Zdanie jest więc prawdą.

\(f(x)=\frac{2}{3}(x-2)(x-6)\)

Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Z własności osi symetrii wynika, że jest ona oddalona od miejsc zerowych o jednakową odległość. Można więc powiedzieć, że skoro od pierwszego miejsca zerowego do osi symetrii mamy dwie jednostki, tak od osi symetrii do drugiego miejsca zerowego też będziemy mieć dwie jednostki, co prowadzi nas do wniosku, że \(x_{2}=6\).


Do tego samego wyniku możemy dojść oczywiście korzystając ze średniej arytmetycznej, z której to często wyznaczamy oś symetrii:
$$4=\frac{2+x_{2}}{2} \\
8=2+x_{2} \\
x_{2}=6$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i zapisanie postaci iloczynowej.
Postać iloczynową zapisujemy jako \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Znamy już miejsca zerowe, więc moglibyśmy zapisać, że:
$$f(x)=a(x-2)(x-6)$$

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\). Aby poznać jego wartość, wystarczy podstawić do powyższego wzoru współrzędne znanego punktu, przez który przechodzi wykres funkcji, czyli punktu o współrzędnych \((0, 8)\). Skoro tak, to:
$$8=a(0-2)(0-6) \\
8=a\cdot(-2)\cdot(-6) \\
8=12a \\
a=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$

To oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci iloczynowej będzie \(f(x)=\frac{2}{3}(x-2)(x-6)\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy zauważyć, że w tym zadaniu pojawiają nam się wielkości odwrotnie proporcjonalne (czyli im więcej ciągników, tym czas pracy będzie krótszy). Bazując na treści zadania, możemy ułożyć następującą proporcję:
$$3 \text{ ciągniki} \Rightarrow 8 \text{ godzin} \\
2 \text{ ciągniki} \Rightarrow x \text{ godzin}$$

Skoro są to wartości odwrotnie proporcjonalne, to będziemy wykonywali tak zwane mnożenie w linii (a nie na krzyż), czyli:
$$3\cdot8=2\cdot x \\
24=2x \\
x=12$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Możemy przyjąć, że \(4\) ciągniki pracujące o połowę szybciej wykonają taką samą pracę jak \(6\) standardowych ciągników, ponieważ \(4\cdot1,5=6\). Ponownie więc układamy proporcję:
$$3 \text{ ciągniki} \Rightarrow 8 \text{ godzin} \\
4\cdot1,5=6 \text{ ciągników} \Rightarrow x \text{ godzin}$$

Mnożąc w linii otrzymamy:
$$3\cdot8=6\cdot x \\
24=6x \\
x=4$$

Zdanie jest więc prawdą.

B. ciąg geometryczny, 3

Jeżeli ten ciąg jest arytmetyczny, to zajdzie w nim bardzo charakterystyczna własność między trzema kolejnymi wyrazami, czyli:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Z kolei jeśli ten ciąg jest geometryczny, to zajdzie w nim następująca własność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Sprawdźmy zatem, która z tych własności będzie spełniona, zaczynając od ciągu arytmetycznego. Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$4=\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2} \\
4=\frac{6\sqrt{2}}{2} \\
4=3\sqrt{2} \\
L\neq P$$

Wyszła nam sprzeczność, czyli wiemy już, że ten ciąg nie jest arytmetyczny. To teraz sprawdźmy, czy jest geometryczny:
$$4^2=2\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2} \\
16=8\cdot2 \\
16=16 \\
L=P$$

Taki wynik oznacza, że faktycznie ten ciąg jest geometryczny, ponieważ \(b^2=a\cdot c\) i taka też jest odpowiedź.

\(a_{1}=2\)

Z treści zadania wynika, że:
$$3\cdot(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})=a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}$$

Spróbujmy teraz rozpisać poszczególne wyrazy tego ciągu, korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{3}=a_{1}+2r \\
\text{...} \\
a_{10}=a_{1}+9r$$

Wiemy, że różnica tego ciągu to \(r=4\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+4 \\
a_{3}=a_{1}+8 \\
\text{...} \\
a_{10}=a_{1}+36$$

Podstawiając teraz te rozpisane wyrazy, otrzymamy:
$$3\cdot(a_{1}+a_{1}+4+a_{1}+8+a_{1}+12+a_{1}+16)=a_{1}+20+a_{1}+24+a_{1}+28+a_{1}+32+a_{1}+36 \\
3\cdot(5a_{1}+40)=5a_{1}+140 \\
15a_{1}+120=5a_{1}+140 \\
10a_{1}=20 \\
a_{1}=2$$

\(6\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Z treści zadania wiemy, że \(q=\frac{1}{3}\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{9}\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2 \\
\frac{1}{9}=a_{1}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2 \\
\frac{1}{9}=a_{1}\cdot\frac{1}{9} \\
a_{1}=1$$

Krok 2. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, czyli:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Podstawiając do tego wzoru znane informacje, otrzymamy:
$$\frac{364}{243}=1\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}} \\
\frac{364}{243}=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{2}{3}} \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3} \\
\frac{728}{729}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^n \quad\bigg/-1 \\
-\frac{1}{729}=-\left(\frac{1}{3}\right)^n \quad\bigg/\cdot(-1) \\
\left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{1}{729} \\
\left(\frac{1}{3}\right)^n=\left(\frac{1}{3}\right)^6 \\
n=6$$

To oznacza, że ten ciąg składa się z sześciu wyrazów.

\(x=38, y=38, z=38\) oraz \(x=2, y=14, z=98\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{1}+3r \\
a_{25}=a_{1}+24r$$

Z treści zadania wynika, że suma trzech wyrazów, czyli \(a_{1}\), \(a_{4}\) oraz \(a_{25}\) jest równa \(114\), zatem:
$$a_{1}+a_{4}+a_{25}=114 \\
a_{1}+a_{1}+3r+a_{1}+24r=114 \\
3a_{1}+27r=114 \quad\bigg/:3 \\
a_{1}+9r=38 \\
a_{1}=38-9r$$

Krok 2. Wykorzystanie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

W przypadku naszego zadania zapisalibyśmy, że w takim razie:
$$y^2=x^2+z^2 \\
{a_{4}}^2=a_{1}\cdot a_{25}$$

Korzystając z rozpisanych wyrazów z poprzedniego kroku, zapisalibyśmy, że w takim razie:
$$(a_{1}+3r)^2=a_{1}\cdot(a_{1}+24r) \\
{a_{1}}^2+6a_{1}r+9r^2={a_{1}}^2+24a_{1}r \\
6a_{1}r+9r^2=24a_{1}r \\
9r^2-18a_{1}r=0 \\
r^2-2a_{1}r=0$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu.
Mamy równanie, w którym są dwie niewiadome, czyli \(a_{1}\) oraz \(r\). Musimy więc doprowadzić całość do postaci z jedną niewiadomą i pomoże nam w tym równanie, które otrzymaliśmy w pierwszym kroku, czyli \(a_{1}=38-9r\). Podstawiając to do otrzymanego przed chwilą równania, otrzymamy:
$$r^2-2\cdot(38-9r)\cdot r=0 \\
r^2-(76-18r)\cdot r=0 \\
r^2-(76r-18r^2)=0 \\
r^2-76r+18r^2=0 \\
19r^2-76r=0 \quad\bigg/:3 \\
r^2-4r=0$$

Postało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście zrobić to za pomocą delty, ale jest akurat tutaj równanie jest na tyle proste, że damy radę rozwiązać je nieco szybciej, rozpisując to jako:
$$r(r-4)=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r-4=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=4$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników i obliczenie liczby \(x\), \(y\) oraz \(z\).
Otrzymaliśmy dwie różnice i pojawia się teraz pytanie, czy któraś z nich nie musi być przypadkiem odrzucona. Sprawdźmy jak będą wyglądać ciągi dla każdej z otrzymanych różnic.

Gdy \(r=0\), to
\(a_{1}=38-9\cdot0 \\
a_{1}=38\)

\(a_{4}=38+3\cdot0 \\
a_{4}=38\)

\(a_{25}=38+24\cdot0 \\
a_{25}=38\)

Tym samym \(x=38\), \(y=38\) oraz \(z=38\).

Gdy \(r=4\), to:
\(a_{1}=38-9\cdot4 \\
a_{1}=38-36 \\
a_{1}=2\)

\(a_{4}=a_{1}+3r \\
a_{4}=2+3\cdot4 \\
a_{4}=2+12 \\
a_{4}=14\)

\(a_{25}=a_{1}+24r \\
a_{25}=2+24\cdot4 \\
a_{25}=2+96 \\
a_{25}=98\)

Tym samym \(x=2\), \(y=14\) oraz \(z=98\).

W pierwszym przypadku (dla \(r=0\)) otrzymaliśmy ciągi stałe, a w drugim (dla \(r=4\)) ciągi rosnące. Treść zadania nie precyzuje jakie mają być nasze ciągi, więc musimy przyjąć, że obydwa warianty są jak najbardziej poprawne. Tym samym to zadanie będzie mieć dwie odpowiedzi: \(x=38, y=38, z=38\) oraz \(x=2, y=14, z=98\).

\(50,8,-34\) oraz \(2,8,14\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że mamy jakieś trzy liczby, których suma daje wynik równy \(24\), zatem:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=24$$

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{3}=a_{1}+2r$$

Podstawiając teraz te zależności do początkowego równania, otrzymamy:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=24 \\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=24 \\
3a_{1}+3r=24 \\
a_{1}+r=8 \\
a_{1}=8-r$$

To z kolei prowadzi nas do wniosku, że:
$$a_{2}=(8-r)+r \\
a_{2}=8$$

$$a_{3}=(8-r)+2r \\
a_{3}=8+r$$

Krok 2. Wykorzystanie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Z treści zadania wynika, że ciąg geometryczny powstanie w momencie, gdy pierwszy wyraz zwiększymy o \(4\), drugi o \(10\), a trzeci o \(40\). Czyli tym samym w ciągu geometrycznym mamy następujące wyrazy: \(a_{1}=8-r+4=12-r\), \(a_{2}=8+10=18\) oraz \(a_{3}=8+r+40=48+r\). Podstawiając teraz te wyrazy do własności zachodzącej dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, otrzymamy:
Podstawiając teraz zapisane wcześniej równania, otrzymamy:
$$18^2=(12-r)\cdot(48+r) \\
324=576+12r-48r-r^2 \\
324=576-36r-r^2 \\
r^2+36r-252=0$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy rozwiązać. Jest to postać ogólna, więc skorzystamy z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=36,\;c=-252\)
$$Δ=b^2-4ac=36^2-4\cdot1\cdot(-252)=1296-(-1008)=2304 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{2304}=48$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-36-48}{2\cdot1}=\frac{-84}{2}=-42 \\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-36+48}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników i wyznaczenie liczb tworzących ciąg.
Otrzymaliśmy dwie różne różnice, więc zastanówmy się, czy którąś z nich trzeba odrzucić.

Gdy \(r=-42\), to:
\(a_{1}=8-(-42)=8+42=50 \\
a_{2}=50+(-42)=50-42=8 \\
a_{3}=50+2\cdot(-42)=50-84=-34\)

Gdy \(r=6\), to:
\(a_{1}=8-6=2 \\
a_{2}=2+6=8 \\
a_{3}=8+6=14\)

Otrzymaliśmy dwa różne ciągi (jeden malejący, drugi rosnący) i żadnego z nich nie możemy wykluczyć (bo w treści zadania nie ma żadnej informacji o monotoniczności ciągu). Z tego też względu to zadanie ma dwa rozwiązania: \(50,8,-34\) oraz \(2,8,14\).

\(x\approx174m\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Korzystając z własności kątów naprzemianległych, otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie odległości \(x\).
Interesuje nas poznanie długości \(x\), czyli przyprostokątnej naszego trójkąta prostokątnego, która leży przy kącie o znanej mierze \(38°\). Korzystając zatem z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z tangensa, możemy zapisać, że:
$$tg38°=\frac{136}{x}$$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że \(tg38°\approx0,7813\), zatem:
$$0,7813\approx\frac{136}{x} \\
0,7813x\approx136 \\
x\approx174,06$$

Zgodnie z treścią zadania, wyniki mamy podawać w zaokrągleniu do pełnych metrów, zatem \(x\approx174m\).

B, D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy przykładowy trójkąt równoramienny i oznaczmy na nim dwa interesujące nas punkty (najlepiej w osobnych rysunkach, tak aby było to bardziej przejrzyste).

Ustalmy może jeszcze gdzie będą znajdować się te konkretne punkty. Aby móc narysować okrąg na trójkącie równoramiennym, to punkt \(O\) musi znajdować się w jednakowej odległości od każdego z wierzchołków. Z kolei ortocentrum to miejsce przecięcia się wszystkich wysokości trójkąta. Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Wybór właściwych odpowiedzi.
Zacznijmy od punktu \(O\), czyli środka okręgu. Tak jak sobie powiedzieliśmy w poprzednim kroku (co zresztą widać na pierwszym rysunku), narysowanie okręgu na trójkącie równoramiennym jest możliwe tylko wtedy, gdy środek jest położony w jednakowej odległości od wierzchołków (która będzie jednocześnie długością promienia \(R\)), stąd też tutaj prawidłowa będzie odpowiedź B.

Jeśli chodzi o punkt \(H\), to zgodnie z rysunkiem, będzie on równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta (tam, gdzie wysokość jest poprowadzona z ramion). Prawidłową odpowiedzią będzie więc D.

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy zwrócić uwagę, że boki ośmiokąta (w tym ten, który jest przy naszym kącie \(\alpha\)) są cięciwami okręgu, który jest opisany na tej figurze. Z twierdzenia o mierze kąta między styczną a cięciwą wynika, że miara naszego kąta \(\alpha\) jest równa mierze kąta wpisanego, który oparty byłby na łuku \(AB\). Dobrze to będzie widać na poniższym rysunku:


Na rysunku pomocniczym pojawił się też kąt \(\beta\). który jest kątem środkowym opartym na łuku \(AB\). Zgodnie z własnościami kątów wpisanych i środkowych, miara tego jest dwa razy większa od miary poszukiwanego kąta \(\alpha\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\beta\).
Miara kąta środkowego \(\beta\) stanowi \(\frac{1}{8}\) kąta pełnego (ponieważ nasza figura jest ośmiokątem foremnym), zatem:
$$\beta=\frac{360°}{8} \\
\beta=45°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Kąt \(\alpha\) stanowi połowę miary kąta \(\beta\), zatem:
$$\alpha=\frac{1}{2}\cdot45° \\
\alpha=22,5°$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że odcinek \(DG\) jest równoległy do ramienia \(BC\) (ponieważ boki kwadratu są względem siebie równoległe). Mówiąc bardzo obrazowo, mamy tutaj tak naprawdę standardową sytuację znaną z trójkątów podobnych, co dobrze będzie widać na poniższym rysunku:


Można więc wysnuć wniosek, że trójkąt \(ADG\) jest trójkątem podobnym do trójkąta równoramiennego \(ABC\), czyli tym samym trójkąt \(ADG\) jest także równoramienny.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skoro ustaliliśmy już, że trójkąty \(ADG\) oraz \(ABC\) są podobne, to znaczy, że będą miały one tą samą miarę kąta między ramionami. To prowadzi nas do wniosku, że kąt \(AGD\) ma \(45°\), zatem zdanie jest prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy, że kwadrat \(DEFG\) ma pole równe \(1\), czyli tym samym każdy bok tego kwadratu ma długość \(1\), ponieważ \(P=1^2=1\). Spójrzmy teraz na trójkąt \(GFC\). Jest to trójkąt prostokątny, a skoro jeden z jego kątów ma miarę \(45°\), to jest to tak naprawdę jeszcze trójkąt równoramienny (tzw. połówka kwadratu). To prowadzi nas do wniosku, że tym samym \(|FC|=1\). Dodatkowo zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(45°,45°,90°\) możemy stwierdzić, że \(|GC|=\sqrt{2}\).


Długości ramion \(AC\) oraz \(BC\) są sobie równe, stąd też zgodnie z rysunkiem możemy zapisać, że:
$$|AC|=|BC| \\
|AG|+\sqrt{2}=|BE|+1+1\\
|AG|-|BE|+\sqrt{2}=2 \\
|AG|-|BE|=2-\sqrt{2}$$

\(|TU|=\frac{\sqrt{15}}{4}\)

Krok 1. Obliczenie długości odcinków \(QR\) oraz \(SR\).
Wiemy, że promień okręgu ma długość \(r=1\). Odcinek \(PQ\) jest średnicą tego okręgu, czyli tym samym możemy zapisać, że:
$$|PQ|=2\cdot1 \\
|PQ|=2$$

W treści zadania mamy podaną informację, że zachodzi zależność opisana równaniem \(\frac{|PQ|}{|QR|}=\frac{2}{3}\). Skoro więc \(|PQ|=2\), to wniosek z tego płynie taki, iż \(|QR|=3\).

Możemy też już policzyć długość odcinka \(SR\), ponieważ:
$$|SR|=r+|QR| \\
|SR|=1+3 \\
|SR|=4$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(TR\).
Spójrzmy na trójkąt \(STR\). Jest to trójkąt prostokątny, ponieważ z własności stycznych do okręgu wynika, że styczna do okręgu tworzy z promieniem kąt prosty. Skoro tak, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$|ST|^2+|TR|^2=|SR|^2 \\
1^2+|TR|^2=4^2 \\
1+|TR|^2=16 \\
|TR|^2=15 \\
|TR|=\sqrt{15} \quad\lor\quad |TR|=-\sqrt{15}$$

Długość odcinka musi być oczywiście dodatnia, stąd też zostaje nam jedynie \(|TR|=\sqrt{15}\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(TU\).
Korzystając z twierdzenia Talesa, możemy zapisać, że:
$$\frac{|TU|}{|TR|}=\frac{|SQ|}{|SR|} \\
\frac{|TU|}{\sqrt{15}}=\frac{1}{4} \\
|TU|=\frac{\sqrt{15}}{4}$$

\(\frac{8}{5\pi}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu będzie połączenie punktu \(S\) z punktem \(C\), rysując w ten sposób promień okręgu, który jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta \(SBC\). Dodatkowo jeżeli bok kwadratu oznaczymy jako \(a\), to powstanie nam taka oto sytuacja:


Zwróćmy uwagę na trójkąt \(SAD\). Jest to trójkąt prostokątny, a skoro jeden z jego kątów ma miarę \(45°\), to będzie to w dodatku trójkąt równoramienny. To pozwala stwierdzić, że \(|SA|=a\), czyli tym samym \(|SB|=2a\).

Krok 2. Obliczenie długości promienia.
Spójrzmy na trójkąt \(SBC\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym dolna przyprostokątna ma długość \(2a\), a boczna przyprostokątna ma długość \(a\). Przeciwprostokątną jest odcinek \(SC\), czyli promień okręgu. Skoro tak, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$(2a)^2+a^2=r^2 \\
4a^2+a^2=r^2 \\
5a^2=r^2 \\
r=a\sqrt{5} \quad\lor\quad r=-a\sqrt{5}$$

Długość promienia musi być dodatnia, więc zostaje nam \(r=a\sqrt{5}\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni wycinka kołowego.
Znamy długość promienia, więc możemy obliczyć pole całego koła:
$$P=\pi r^2 \\
P=\pi\cdot(a\sqrt{5})^2 \\
P=\pi\cdot a^2\cdot5 \\
P=5\pi\cdot a^2$$

Skoro kąt środkowy ma miarę \(45°\), to wycinek koła stanowi \(\frac{45°}{360°}=\frac{1}{8}\) pola całego koła. Możemy więc zapisać, że:
$$P_{KSL}=\frac{1}{8}\cdot5\pi\cdot a^2 \\
P_{KSL}=\frac{5}{8}\pi\cdot a^2$$

Krok 4. Obliczenie stosunku pól powierzchni.
Na koniec musimy jeszcze obliczyć stosunek powierzchni pola kwadratu (tutaj \(P=a^2\)), względem pola wycinka \(KSL\) (tutaj \(P=\frac{5}{8}\pi\cdot a^2\)). Bardzo łatwo tutaj o pomyłkę, dlatego rozpiszmy to bardzo dokładnie:
$$\frac{a^2}{\frac{5}{8}\pi\cdot a^2}=a^2:\frac{5}{8}\pi\cdot a^2=a^2\cdot\frac{8}{5\pi\cdot a^2}=\frac{8}{5\pi}$$

\(P_{CDFG}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\)

Krok 1. Obliczenie długości podstawy \(AB\) oraz przekątnej \(BD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Jest to trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z treści zadania wynika, że \(|AD|=6\). Znamy więc długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta, więc zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) możemy zapisać, że \(|BD|=6\sqrt{3}\) oraz \(|AB|=12\).

Krok 2. Obliczenie długości \(AE\) oraz \(DE\).
Jeżeli z wierzchołka \(D\) poprowadzimy wysokość trapezu, to otrzymamy taką oto sytuację:


Ponownie powstał nam trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\). Skoro więc \(|AD|=6\), to krótsza przyprostokątna \(|AE|=3\), a dłuższa przyprostokątna \(|DE|=3\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości górnej podstawy \(CD\).
Skoro jest to trapez równoramienny, to obliczając długość odcinka \(AE\) otrzymaliśmy tak naprawdę taką oto sytuację:


Wiedząc, że \(|AB|=12\), możemy teraz zapisać, że:
$$3+x+3=12 \\
6+x=12 \\
x=6$$

To oznacza, że górna podstawa \(|CD|=6\).

Krok 4. Obliczenie skali podobieństwa trapezów.
Trapez \(CDFG\) jest trapezem podobnym do \(ABCD\). Znamy długości dolnych podstaw tych trapezów - w tym dużym \(|AB|=12\), a w tym mniejszym \(|CD|=6\). To oznacza, że skala podobieństwa tych figur jest równa:
$$k=\frac{|DC|}{|AB|} \\
k=\frac{6}{12} \\
k=\frac{1}{2}$$

Mówiąc bardzo obrazowo - wyszło nam, że trapez \(CDFG\) ma wszystkie wymiary \(2\) razy mniejsze od trapezu \(ABCD\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu \(ABCD\).
Znamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola trapezu \(ABCD\), zatem:
$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(12+6)\cdot3\sqrt{3} \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot18\cdot3\sqrt{3} \\
P_{ABCD}=9\cdot3\sqrt{3} \\
P_{ABCD}=27\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni trapezu \(CDFG\).
Z własności figur podobnych wiemy, że jeżeli dana figura jest podobna do innej w skali podobieństwa \(k\), to pole powierzchni tej figury będzie \(k^2\) razy większe. Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$P_{CDFG}=k^2\cdot P_{ABCD} \\
P_{CDFG}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot 27\sqrt{3} \\
P_{CDFG}=\frac{1}{4}\cdot 27\sqrt{3} \\
P_{CDFG}=\frac{27\sqrt{3}}{4}$$

Udowodniono, rozpisując pola podanych trapezów.

Krok 1. Zapisanie pól powierzchni trapezów.
Wprowadźmy oznaczenia pól powierzchni dwóch trapezów jako \(P_{1}\) oraz \(P_{2}\), tak jak na rysunku:


Pole \(P_{1}\) będzie różnicą między polem trójkąta równobocznego o boku \(a\) i pola trójkąta równobocznego o boku \(b\). Korzystając zatem ze wzoru na pole trójkąta równobocznego moglibyśmy zapisać, że:
$$P_{1}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}-\frac{b^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{1}=\frac{a^2\sqrt{3}-b^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{1}=\frac{(a^2-b^2)\sqrt{3}}{4}$$

I analogicznie, pole trapezu \(P_{2}\) to różnica między polem trójkąta równobocznego o boku \(b\) i trójkąta równobocznego o boku \(c\), zatem:
$$P_{2}=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}-\frac{c^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{2}=\frac{b^2\sqrt{3}-c^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{2}=\frac{(b^2-c^2)\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie stosunku pól powierzchni.
Celem zadania jest wyznaczenie stosunku pola powierzchni \(P_{2}\) względem \(P_{1}\), zatem:
$$\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{\frac{(b^2-c^2)\sqrt{3}}{4}}{\frac{(a^2-b^2)\sqrt{3}}{4}}=\frac{(b^2-c^2)\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{4}{(a^2-b^2)\sqrt{3}}=\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}$$

Otrzymaliśmy dokładnie taką samą postać jak w treści zadania, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

B. równoległe 3

Sporą pułapką w tym zadaniu są dość niestandardowe oznaczenia w równaniu prostej (zazwyczaj prostą zapisujemy równaniem w postaci \(y=ax+b\), a tutaj mamy model typu \(y=a+bx\)). Musimy być więc bardzo ostrożni.

Na początek podstawmy do naszych równań dane z treści zadania, czyli \(a=2\) i \(b=-\frac{3}{2}\).
I prosta:
$$y=2+\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot x \\
y=2-\frac{3}{2}x \\
y=-\frac{3}{2}x+2$$

II prosta:
$$y=-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)^2\cdot x \\
y=-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}\cdot x \\
y=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}x \\
y=-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$$

Otrzymaliśmy dwie proste, które mają jednakową liczbę przed \(x\) (czyli mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\) - nie mylić tego z liczbami \(a\) i \(b\), które pojawiły się w tym zadaniu). To oznacza, że te dwie proste są względem siebie równoległe.

Musimy jeszcze ustalić powód - stało się tak, ponieważ liczby stojące przed \(x\) okazały się takie same, czyli \(b\) z pierwszej prostej było równe tyle samo co \(-\frac{2}{3}b^2\) z drugiej prostej. Stąd też prawidłową odpowiedzią będzie, że te dwie proste są względem siebie równoległe, ponieważ \(b=-\frac{2}{3}b^2\).

\(m\in(-\sqrt{2},\sqrt{2})\)

Krok 1. Odczytanie współrzędnych środka okręgu oraz długości promienia okręgu.
Równanie okręgu zapisujemy jako \((x−a)^2+(y−b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\). Z podanego w treści zadania równania \(x^2+y^2=2\) wynika więc, że \(S=(0,0)\) oraz \(r=\sqrt{2}\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to możemy to sobie rozpisać w ten oto sposób:
$$(x-0)^2+(y-0)^2=(\sqrt{2})^2$$

I teraz bardzo wyraźnie widać, że \(a=0\), \(b=0\) oraz \(r=\sqrt{2}\), czyli \(S=(0,0)\) oraz \(r=\sqrt{2}\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i odczytanie punktów wspólnych.
Prosta \(y=m\) to prosta, która będzie równoległa do osi \(Ox\). Przykładowo gdy \(m=1\) to mamy prostą \(y=1\), a gdy \(m=7\), to mamy prostą \(y=7\). Musimy teraz ustalić, dla jakiego \(m\) ta prosta będzie mieć dwa punkty wspólne z okręgiem, czyli kiedy tak naprawdę ta prosta będzie przecinać nasz okrąg.


Na powyższym rysunku widać kilka przykładowych zielonych linii, które przecinają okręg w dwóch miejscach. Widzimy więc wyraźnie, że taka linia musi znajdować się między tymi naszymi przerywanymi liniami. To prowadzi nas do wniosku, że prosta przetnie okrąg w dwóch miejscach tylko wtedy, gdy \(m\) jest większe od \(-\sqrt{2}\) i mniejsze od \(\sqrt{2}\). Z tego też względu okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne tylko wtedy, gdy \(m\in(-\sqrt{2},\sqrt{2})\)

\(P=10\)

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Z treści zadania wynika, że wierzchołek \(A\) leży na osi \(Oy\), co prowadzi nas do wniosku, że współrzędna \(x\) tego punktu jest równa \(0\). Musimy jeszcze wyznaczyć brakującą współrzędną \(y\). Wiemy, że punkt \(A\) znajduje się na prostej o równaniu \(y=-3x+6\), zatem podstawiając znaną współrzędną \(x=0\), wyjdzie nam, że:
$$y=-3\cdot0+6 \\
y=0+6 \\
y=6$$

Tym samym \(A=(0,6)\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt \(B\) leży na osi \(Ox\), czyli jego współrzędna \(y\) jest równa \(0\). Musimy więc wyznaczyć jeszcze współrzędną \(x\) i zrobimy to dość podobnie jak w poprzednim zadaniu - punkt \(B\) także leży na prostej o równaniu \(y=-3x+6\), zatem podstawiając znane \(y=0\), otrzymamy:
$$0=-3x+6 \\
-6=-3x \\
x=2$$

To oznacza, że \(B=(2,0)\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
W tym zadaniu możemy skorzystać z nietypowego wzoru na pole trójkąta, który znajduje się w tablicach maturalnych:
$$P=\frac{1}{2}\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})\right|$$

Znamy współrzędne wszystkich wierzchołków trójkąta, czyli \(A=(0,6)\), \(B=(2,0)\) oraz \(C=(3,7)\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|(2-0)(7-6)-(0-6)(3-0)| \\
P=\frac{1}{2}\cdot|2\cdot1-(-6)\cdot3| \\
P=\frac{1}{2}\cdot|2-(-18)| \\
P=\frac{1}{2}\cdot20 \\
P=10$$

\(S=(3,14)\) oraz \(r=5\sqrt{5}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Powinniśmy dostrzec, że punkty \(A\), \(B\) oraz \(S\) tworzą trójkąt równoramienny, w którym ramiona mają długość promienia okręgu i właśnie to będzie kluczem do rozwiązania tego zadania.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu.
Odcinek \(AS\) ma taką samą długość jak odcinek \(BS\). Korzystając z tej informacji oraz ze wzoru na długość odcinka, moglibyśmy zapisać, że:
$$|AS|=|BS| \\
\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2}$$

Punkt \(S\) leży na prostej o równaniu \(y=4x+2\), więc moglibyśmy zapisać, że \(x_{S}=x\) oraz \(y_{S}=4x+2\). Podstawiając teraz te dane oraz współrzędne \(A=(-8,12)\) i \(B=(−2,4)\), otrzymamy:
$$\sqrt{(x-(-8))^2+(4x+2-12)^2}=\sqrt{(x-(-2))^2+(4x+2-4)^2} \\
\sqrt{(x+8)^2+(4x-10)^2}=\sqrt{(x+2)^2+(4x-2)^2} \quad\bigg/^2 \\
(x+8)^2+(4x-10)^2=(x+2)^2+(4x-2)^2 \\
x^2+16x+64+16x^2-80x+100=x^2+4x+4+16x^2-16x+4 \\
17x^2-64x+164=17x^2-12x+8 \\
-64x+164=-12x+8 \\
-52x=-156 \\
x=3$$

To oznacza, że współrzędna \(x\) punktu \(S\) jest równa \(3\). Podstawiając teraz wyznaczone \(x=3\) do równania \(y=4x+2\), wyznaczymy brakującą współrzędną \(y\), zatem:
$$y=4\cdot3+2 \\
y=12+2 \\
y=14$$

To oznacza, że \(S=(3,14)\).

Krok 3. Obliczenie długości promienia.
Na koniec został nam jeszcze do policzenia promień tego okręgu. Jego długość będzie równa długości odcinka \(AS\), zatem podstawiając dane do wzoru na długość odcinka, otrzymamy:
$$r=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \\
r=\sqrt{(3-(-8))^2+(14-12)^2} \\
r=\sqrt{11^2+2^2} \\
r=\sqrt{121+4} \\
r=\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot5}=5\sqrt{5}$$

\((2;3)\) oraz \((1;4)\)

Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać współrzędne punktów przecięcia się wykresów, wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=-x^2+2x+3 \\
y=-x+5
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$-x^2+2x+3=-x+5 \\
-x^2+3x-2=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-1}{2\cdot(-1)}=\frac{-4}{-2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+1}{2\cdot(-1)}=\frac{-2}{-2}=1$$

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktów przecięcia się wykresów funkcji.
Otrzymaliśmy dwie różne współrzędne \(x\) i jest to sytuacja jak najbardziej poprawna, ponieważ te dwa wykresy przetną się w dwóch miejscach. Obliczmy teraz współrzędne \(y\) dla każdego z punktów. W tym celu podstawmy np. do równania \(y=-x+5\) wyliczone współrzędne \(x\).

Gdy \(x=2\), to:
\(y=-2+5 \\
y=3\)

Gdy \(x=1\), to:
\(y=-1+5 \\
y=4\)

To oznacza, że te wykresy przecinają się w punktach \((2;3)\) oraz \((1;4)\).

\(P=\frac{a^2\sqrt{11}}{16}\)

Krok 1. Wyznaczenie długości boków trójkąta \(DES\).
Spójrzmy na trójkąt \(ECD\). Z treści zadania wynika, że będzie miał on ramiona \(EC\) oraz \(DC\) jednakowej długości, równej \(\frac{1}{2}a\). Dodatkowo wiemy, że kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(60°\). To prowadzi nas do wniosku, że jest to tak naprawdę trójkąt równoboczny, czyli tym samym \(|DE|=\frac{1}{2}a=\frac{a}{2}\).

Boki \(DS\) oraz \(ES\) są wysokościami trójkątów równobocznych, które znalazły się w ścianach bocznych. Wysokość takich trójkątów opisujemy wzorem \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), stąd też możemy zapisać, że \(|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) oraz \(|ES|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(DES\).
W tym zadaniu skorzystamy z dość niecodziennego wzoru na pole trójkąta, który znajduje się w tablicach:
$$P=\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}$$

Do tego wzoru musimy podstawić długości boków \(a\), \(b\) oraz \(c\), a także wartość \(p\), czyli połowę długości obwodu trójkąta. Obliczmy ją zatem oddzielnie:
$$p=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{a}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \\
p=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{a+a\sqrt{3}+a\sqrt{3}}{2}\right) \\
p=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{a+2a\sqrt{3}}{2}\right) \\
p=\frac{a+2a\sqrt{3}}{4}$$

Teraz moglibyśmy od razu podstawić wszystkie znane dane do treści zadania, ale liczby są tutaj dość mocno rozbudowane, więc dość dobrym pomysłem byłoby obliczenie sobie osobno \(p-a\), \(p-b\) oraz \(p-c\), tak aby potem łatwiej było wykonywać obliczenia, zwłaszcza że trzeba tutaj sprowadzać liczby do wspólnego mianownika. W związku z tym:
\(p-a=\frac{a+2a\sqrt{3}}{4}-\frac{a}{2}=\frac{a+2a\sqrt{3}}{4}-\frac{2a}{4}=\frac{2a\sqrt{3}-a}{4}\)

\(p-b=\frac{a+2a\sqrt{3}}{4}-\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a+2a\sqrt{3}}{4}-\frac{2a\sqrt{3}}{4}=\frac{a}{4}\)

\(p-c=\frac{a+2a\sqrt{3}}{4}-\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a+2a\sqrt{3}}{4}-\frac{2a\sqrt{3}}{4}=\frac{a}{4}\)

Teraz podstawiając te różnice do wzoru na pole trójkąta, otrzymamy:
$$P=\sqrt{\frac{a+2a\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{2a\sqrt{3}-a}{4}\cdot\frac{a}{4}\cdot\frac{a}{4}}$$

Teraz dobrze byłoby zauważyć, ze przy mnożeniu dwóch pierwszych wyrażeń będziemy mogli zastosować wzór skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość moglibyśmy kontynuować w następujący sposób:
$$P=\sqrt{\frac{2a\sqrt{3}+a}{4}\cdot\frac{2a\sqrt{3}-a}{4}\cdot\frac{a^2}{16}} \\
P=\sqrt{\frac{4a^2\cdot3-a^2}{16}\cdot\frac{a^2}{16}} \\
P=\sqrt{\frac{12a^2-a^2}{16}\cdot\frac{a^2}{16}} \\
P=\sqrt{\frac{11a^2}{16}\cdot\frac{a^2}{16}} \\
P=\frac{a\sqrt{11}}{4}\cdot\frac{a}{4} \\
P=\frac{a^2\sqrt{11}}{16}$$

\(P_{c}=\frac{a^2\cdot(3+\sqrt{3})}{2}\)

Krok 1. Obliczenie pól powierzchni poszczególnych ścian ostrosłupa.
Na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(ABDE\) składają się trzy trójkąty prostokątne \(ABD\), \(ABE\) oraz \(ADE\), a także trójkąt równoboczny \(BDE\). Obliczmy najpierw pole każdego z trójkątów prostokątnych.

Trójkąty prostokątne mają przyprostokątne o długości \(a\), czyli ich pole powierzchni będzie równe:
$$P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a \\
P_{ABD}=\frac{1}{2}a^2$$

Trójkąt równoboczny ma bok o długości przekątnej podstawy. W podstawie sześcianu mamy oczywiście kwadrat, a z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). To oznacza, że nasz trójkąt równoboczny ma bok o długości \(a\sqrt{2}\). Korzystając zatem ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P_{BDE}=\frac{(a\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{BDE}=\frac{a^2\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{BDE}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni ostrosłupa.
$$P_{c}=3\cdot\frac{1}{2}a^2+\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \\
P_{c}=\frac{3a^2}{2}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \\
P_{c}=\frac{3a^2+a^2\sqrt{3}}{2} \\
P_{c}=\frac{a^2\cdot(3+\sqrt{3})}{2}$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

3) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zadanie jest bardzo trudne i trzeba tutaj wykonać dość skomplikowany rysunek pomocniczy. Całość zadania opierać się będzie na przekątnej podstawy. Ostrosłup ma krawędź podstawy o długości \(2\), więc zgodnie z własnościami kwadratów, przekątna podstawy będzie miała długość \(2\sqrt{2}\). Jeżeli więc krawędź sześcianu oznaczymy jako \(x\), to powstanie nam taka oto sytuacja:


Odcinek \(FG\) to przekątna podstawy sześcianu o krawędzi \(x\), stąd też ma ona długość \(x\sqrt{2}\). Od razu możemy też zwrócić uwagę, że w takiej sytuacji \(|AE|=\sqrt{2}\) (bo jest to połowa długości przekątnej), natomiast \(|AD|=\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2}\) (bo jest to odcinek \(AE\) pomniejszony o połowę długości przekątnej sześcianu).

Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Powinniśmy zauważyć, że na rysunku powstały nam dwa trójkąty podobne, czyli \(ADF\) oraz \(AEC\). Skoro tak, to moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{|AD|}{|DF|}=\frac{|AE|}{|CE|}$$

Podstawiając do tego równania dane z rysunku, otrzymamy:
$$\frac{\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{x}{8}$$

Teraz najprościej będzie pomnożyć wszystko na krzyż, zatem:
$$(\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2})\cdot8=\sqrt{2}\cdot x \\
8\sqrt{2}-4x\sqrt{2}=x\sqrt{2} \quad\bigg/:\sqrt{2} \\
8-4x=x \\
8=5x \\
x=1,6$$

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zgodnie z obliczeniami wyszło nam, że długość krawędzi sześcianu jest równa \(1,6\), zatem zdanie jest prawdą.

Krok 4. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Ostrosłup ma wysokość równą \(8\), a sześcian wysokość równą \(1,6\). Ostrosłup jest więc \(\frac{8}{1,6}=5\) razy wyższy od sześcianu, zatem zdanie jest fałszem.

Krok 5. Ocena prawdziwości trzeciego zdania.
Objętość sześcianu o boku \(a=1,6\) wynosi:
$$V=a^3 \\
V=(1,6)^3 \\
V=4,096$$

Objętość jest więc faktycznie większa od \(4\), zatem zdanie jest prawdą.

A

Krok 1. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Nasz graniastosłup jest prawidłowy, czyli w swojej podstawie będzie miał on kwadrat. Skoro tak, to zgodnie z oznaczeniami z treści zadania, możemy zapisać, że jego objętość będzie równa:
$$V_{g}=a\cdot a\cdot h \\
V_{g}=a^2 h$$

Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Teraz obliczmy objętość ostrosłupa. Tutaj sytuacja będzie bardzo podobna, wystarczy tak naprawdę tylko skorzystać ze wzoru na objętość ostrosłupów, zatem:
$$V_{o}=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a\cdot h \\
V_{o}=\frac{1}{3}a^2 h$$

Krok 3. Obliczenie objętości bryły \(F\).
Trzeba uważnie wczytać się w treść zadania, bo łatwo tutaj o pomyłkę. Bryła \(F\) to ta część graniastosłupa z której wyjmiemy nasz ostrosłup. Jej objętość będzie zatem równa:
$$V_{F}=a^2 h-\frac{1}{3}a^2 h \\
V_{F}=\frac{2}{3}a^2 h$$

Krok 4. Obliczenie różnicy objętości bryły \(F\) i objętości ostrosłupa.
Celem zadania jest odpowiedź o ile bryła \(F\) ma większą objętość od ostrosłupa. W związku z tym:
$$V=\frac{2}{3}a^2 h-\frac{1}{3}a^2 h \\
V=\frac{1}{3}a^2 h$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Dostrzeżenie brył podobnych i obliczenie skali podobieństwa.
Ostrosłup \(ABCS\) jest prawidłowy, czyli w swojej podstawie ma on trójkąt równoboczny. Przyjmijmy, że krawędź podstawy będzie tutaj równa \(a\), natomiast wysokość jest równa \(h\). Teraz spójrzmy na mniejszy ostrosłup \(ADEF\). Z treści zadania wynika, że wszystkie jego wymiary będą dwukrotnie mniejsze od dużego ostrosłupa, czyli że tutaj krawędź podstawy jest równa \(\frac{1}{2}a\), a wysokość \(\frac{1}{2}h\). To prowadzi nas do wniosku, że te bryły są podobne. Jeżeli więc przyjmiemy, że duży ostrosłup jest bryłą podstawową, a mały ostrosłup bryłą podobną, to skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skala podobieństwa \(k=\frac{1}{2}\) oznacza, że tak naprawdę każda krawędź małego ostrosłupa jest dwa razy mniejsza od krawędzi dużego ostrosłupa. Z własności figur podobnych wiemy, że w takim przypadku pole powierzchni figury podobnej będzie stanowić \(k^2\) figury podstawowej. Możemy więc zapisać, że:
$$k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\
k^2=\frac{1}{4}$$

To oznacza, że pole powierzchni ostrosłupa \(ADEF\) będzie czterokrotnie mniejsze od pola powierzchni dużego ostrosłupa, więc zdanie jest fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Jeżeli dwie figury są względem siebie podobne w skali \(k\) to objętość bryły podobnej stanowi \(k^3\) objętości bryły podstawowej. W związku z tym:
$$k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3 \\
k^3=\frac{1}{8}$$

To oznacza, że objętość ostrosłupa \(ADEF\) jest ośmiokrotnie mniejsza od objętości dużego ostrosłupa, więc zdanie jest prawdą.

B

Krok 1. Obliczenie liczby możliwych kombinacji w każdym z wariantów.
Chcemy, by w zapisie naszej liczby pojawiła się tylko raz cyfra \(5\). Może ona się pojawić na miejscu setek, dziesiątek lub jedności, dlatego każdy z takich wariantów musimy rozpatrzeć osobno:

I możliwość to \(5■■\), czyli \(5\) jako cyfra setek.
W takiej sytuacji:
· Cyfra dziesiątek - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości
· Cyfra jedności - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości

Zgodnie z regułą mnożenia takich liczb będziemy mieć \(9\cdot9=81\)

II możliwość to \(■5■\), czyli \(5\) jako cyfra dziesiątek.
W takiej sytuacji:
· Cyfra setek - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(1\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości
· Cyfra jedności - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości

Zgodnie z regułą mnożenia takich liczb będziemy mieć \(8\cdot9=72\)

III możliwość to \(■■5\), czyli \(5\) jako cyfra jedności.
W takiej sytuacji:
· Cyfra setek - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(1\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości
· Cyfra dziesiątek - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości

Zgodnie z regułą mnożenia takich liczb będziemy mieć \(8\cdot9=72\)

Krok 2. Obliczenie liczby wszystkich możliwych kombinacji.
Teraz musimy skorzystać z reguły dodawania, czyli dodać wszystkie pasujące kombinacje, zatem:
$$81+72+72=225$$

C

Spróbujmy wpisać wszystkie interesujące nas liczby, bo wbrew pozorom nie będzie ich aż tak dużo. Zwróć uwagę, że w grę wchodzą jedynie liczby składające się z cyfr \(0, 1, 2\) oraz \(3\).
$$102, 111, 120 \\
201, 210 \\
300$$

To oznacza, że jest tylko \(6\) takich liczb.

A

Książki biograficzne możemy ustawić na \(4\cdot3\cdot2\cdot1\) sposobów, czyli na \(4!\) sposobów.
Książki fantasy możemy ustawić na \(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\) sposobów, czyli na \(5!\) sposobów.

Dodatkowo możemy ustawić na pierwszej półce książki biograficzne, a na drugiej fantasy i na odwrót, czyli tutaj mamy \(2\) możliwości ustawienia gatunków książek.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich możliwych ustawień będziemy mieć:
$$4!\cdot5!\cdot2$$

A

Przeanalizujmy, ile różnych kolorów może się pojawić na każdej z części obrusa:
· Zewnętrzny pas możemy uszyć na \(5\) różnych kolorów, stąd też mamy tutaj \(5\) możliwości.
· Wewnętrzny pas możemy uszyć na \(4\) różne kolory (bez tego, który jest użyty na zewnątrz), więc mamy tutaj \(4\) możliwości.
· Lamówki możemy uszyć na \(3\) różne kolory, stąd też mamy tutaj \(3\) możliwości.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich pasujących kombinacji obrusów będziemy mieć:
$$5\cdot4\cdot3$$

1. E
2. C
3. A
4. D

I przypadek: Kule rozróżnialne, pojemniki rozróżnialne
Jeżeli kule są rozróżnialne (czyli np. każda ma inny kolor) i pojemniki są także rozróżnialne (np. mniejszy i większy), to będziemy mieć taką sytuację:
· Pierwsza kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości
· Druga kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości
· Trzecia kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości
· Czwarta kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości
· Piąta kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia wszystkich przypadków będziemy mieć:
$$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5$$

II przypadek: Kule rozróżnialne, pojemniki nierozróżnialne
Jeżeli kule są rozróżnialne (czyli np. każda ma inny kolor), a pojemniki są nierozróżnialne (czyli są identycznie i nie ma znaczenia czy kula trafia do pierwszego czy drugiego pojemnika), to liczba możliwych kombinacji będzie dwa razy mniejsza niż w I przypadku. Dlaczego? Mówiąc bardzo obrazowo - w pierwszym przypadku np. żółta i czerwona kula w pierwszym pojemniku oraz żółta i czerwona kula w drugim pojemniku, to były dwa zupełnie różne zdarzenia. Tutaj będą to zdarzenia jednakowe, bo pojemniki są nierozróżnialne. Stąd też wszystkich przypadków będziemy mieć tutaj \(2^5:2=2^4\).

III przypadek: Kule nierozróżnialne, pojemniki rozróżnialne
Jeżeli kule są nierozróżnialne (czyli są identyczne i nie ma znaczenia która to konkretnie kula), a pojemniki są rozróżnialne, to całość zadania sprowadza się tak naprawdę do tego, ile kul znajdzie się w jednym pojemniku, a ile w drugim. Jeśli przykładowo w pierwszym pojemniku będą \(2\) kule, a w drugim \(3\), to zapisalibyśmy to zdarzenie jako \((2;3)\). Mamy więc następujące możliwości:
$$(0;5), (1;4), (2;3), (3;2), (4;1), (5;0)$$

To oznacza, że wszystkich różnych rozmieszczeń mamy dokładnie \(6\).

IV przypadek: Kule nierozróżnialne, pojemniki nierozróżnialne
I tu podobnie jak w drugim przypadku, skoro pojemniki są nierozróżnialne, to liczba kombinacji będzie \(2\) razy mniejsza niż przy pojemnikach rozróżnialnych (które rozpisaliśmy w III przypadku). Mówiąc bardzo obrazowo, w tej sytuacji zdarzenie np. \((1;4)\) oznacza dokładnie to samo co \((4;1)\) (bo właśnie pierwszy i drugi pojemnik jest nierozróżnialny). W takim razie wszystkich różnych rozmieszczeń będziemy mieć tutaj \(6:2=3\).

B

Skoro średnia wieku czterech kobiet wynosi \(24\), to łącznie te kobiety mają \(4\cdot24=96\) lat. Analogicznie, skoro średnia wieku sześciu mężczyzn jest równa \(26\), to panowie mają łącznie \(6\cdot26=156\) lat. Łączny wiek wszystkich osób jest zatem równy:
$$96+156=252$$

Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób będzie zatem równa:
$$śr=\frac{252}{10} \\
śr=25,2$$

B

Mamy parzystą liczbę wyrazów, zatem jeśli uporządkujemy liczby w ciągu niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej), to mediana będzie średnią dwóch środkowych wyrazów. Oczywiście uporządkowanie liczb utrudnia nieznajomość wartości \(2x\), ale spróbujmy przeanalizować tę sytuację.

Średnią arytmetyczną będziemy wyliczać z wartości trzeciej i czwartej liczby uporządkowanego zestawu. Jak się dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że mediana równa \(3\) jest możliwa tylko wtedy, gdy trzecim i czwartym wyrazem będzie liczba \(3\) oraz \(2x\). To prowadzi nas do wniosku, że \(2x\) musi być równe \(3\), czyli:
$$2x=3 \\
x=1,5$$

A

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro Marek ma \(3\) koszulki, a Darek \(5\) koszulek, to zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=3\cdot5=15\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której będziemy mieć dwie koszulki tego samego koloru. Widzimy, że powtórzyć może się tutaj jedynie kolor czerwony oraz biały, czyli mamy tak naprawdę dwa zdarzenia sprzyjające, które moglibyśmy zapisać jako:
$$(c,c); (b,b)$$

To oznacza, że \(|A|=2\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{2}{15}$$

D

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Najpierw losujemy jeden z pięciu wierzchołków, a potem losujemy kolejny, z czterech dostępnych. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich możliwych kombinacji będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot4=20\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Z każdego wierzchołka możemy poprowadzić dwie przekątne:


Skoro mamy pięć wierzchołków, a z każdego możemy poprowadzić dwie przekątne, to zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=2+2+2+2+2=10$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$$

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Losowanie odbywa spośród pięciu liczb i jest to losowanie ze zwracaniem (czyli wylosowana liczba może się powtórzyć). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot5=25\).

Chcemy, by suma wylosowanych liczb była parzysta. Musimy się więc zastanowić, jakie to liczby trzeba do siebie dodać, by taką parzystą sumę otrzymać. Możemy oczywiście próbować wypisać te wszystkie warianty, albo zauważyć, że parzystą sumę otrzymamy dodając do siebie dwie liczby nieparzyste lub dwie parzyste. Sprawdźmy zatem, ile kombinacji nam pasuje.
· Liczbami nieparzystymi są \(1\), \(3\) oraz \(5\). Losujemy dwie liczby, czyli zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas kombinacji z liczbami nieparzystymi będziemy mieć \(3\cdot3=9\).
· Liczbami parzystymi są \(2\) oraz \(4\). Losujemy dwie liczby, czyli zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas kombinacji z liczbami parzystymi będziemy mieć \(2\cdot2=4\).

To oznacza, że zgodnie z regułą dodawania wszystkich zdarzeń sprzyjających będziemy mieć \(|A|=9+4=13\).

W takim razie prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest parzysta, wynosi:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{13}{25}$$

Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Podczas omawiania pierwszego zdania ustaliliśmy już, że wszystkich zdarzeń elementarnych mamy \(|Ω|=25\), a możliwości wylosowania liczb parzystych mamy \(|A|=4\). To oznacza, że prawdopodobieństwo tego zdarzenia będzie równe
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{25}$$

Zdanie jest więc fałszem.

Cena równa \(80\) oraz przychód równy \(96000\).

Krok 1. Zapisanie równań.
Aby zrozumieć istotę zadania, spróbujmy całość opisać w taki sposób, jak rozwiązujemy inne tego typu zadania. Z treści zadania wynika, że liczbę sprzedanych egzemplarzy opisuje funkcja \(f(x)=2400-15x\). Jeżeli więc liczbę sprzedanych egzemplarzy oznaczymy jako \(y\), to zapisalibyśmy, że:
$$y=2400-15x$$

Z treści zadania wynika też, że tygodniowy przychód oznaczamy symbolem \(P\), no a ten przychód to będzie liczba sprzedanych sztuk gry pomnożona przez ich cenę, czyli:
$$P=x\cdot y$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie przychodu w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=2400-15x\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot(2400-15x) \\
P=2400x-15x^2 \\
P=-15x^2+2400x$$

Otrzymaliśmy informację, że przychód można opisać wzorem \(-15x^2+2400x\), czyli udało nam się zapisać wzór na przychód z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretny przychód \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-15x^2+2400x\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-15\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko przychód \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) osiągniemy jak najwyższy przychód \(P\). Z własności parabol wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej sprzedaży \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-2400}{2\cdot(-15)} \\
x_{W}=\frac{-2400}{-30} \\
x_{W}=80$$

Krok 4. Obliczenie przychodu.
Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=80\), czyli największy przychód osiągniemy wtedy, gdy cena gry jest równa \(80\). Jedną z rzeczy wymaganych w zadaniu mamy więc już policzoną. Musimy jeszcze wyliczyć ten przychód, a zrobimy to korzystając z zapisanego wcześniej wzoru \(P=-15x^2+2400x\), zatem:
$$P=-15\cdot80^2+2400\cdot80 \\
P=-15\cdot6400+2400\cdot80 \\
P=-96000+192000 \\
P=96000$$

Największy tygodniowy przychód wyniesie więc \(96000\).

\(x=4\) oraz \(P=28\)

Krok 1. Zapisanie pól powierzchni figur.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, zwróćmy uwagę, że \(|PA|=|CR|=10-x\) oraz że \(|DS|=|BQ|=6-x\).

Pole naszego czworokąta \(ABCD\) będzie równe polu dużego prostokąta \(PQRS\), który jest pomniejszony o pola czterech trójkątów prostokątnych. Obliczmy zatem pola tych małych trójkątów, korzystając ze wzoru \(P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h\).
\(P_{PAD}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(10-x)=5x-\frac{1}{2}x^2\)
\(P_{AQB}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(6-x)=3x-\frac{1}{2}x^2\)
\(P_{BRC}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(10-x)=5x-\frac{1}{2}x^2\)
\(P_{CSD}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(6-x)=3x-\frac{1}{2}x^2\)

Obliczmy jeszcze od razu pole prostokąta \(PQRS\), które jest równe:
\(P_{CSD}=6\cdot10=60\)

Teraz zgodnie z planem, od jeśli od pola prostokąta odejmiemy pola małych trójkątów, to otrzymamy pole czworokąta \(ABCD\), zatem:
$$P=60-\left((3x-\frac{1}{2}x^2)+(5x-\frac{1}{2}x^2)+(3x-\frac{1}{2}x^2)+(5x-\frac{1}{2}x^2)\right) \\
P=60-\left(16x-2x^2\right) \\
P=60-16x+2x^2 \\
P=2x^2-16x+60$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni można opisać wzorem \(2x^2-16x+60\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=2x^2-16x+60\).

Dodatkowo w treści zadania pojawił nam się warunek, że \(x\ge3\), który powinniśmy uwzględnić w dziedzinie tej funkcji. Dodatkowo wiemy, że skoro krótszy bok prostokąta ma długość \(6\), to tym samym \(x\lt6\). To prowadzi nas do wniosku, że dziedziną tej funkcji będzie przedział \(D=\langle3,6)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a=2\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) osiągniemy jak najmniejsze pole \(P\). Z własności parabol wiemy, że parabola skierowana ramionami do góry osiągnie swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) to najmniejsze pole jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-(-16)}{2\cdot2} \\
x_{W}=\frac{16}{4} \\
x_{W}=4$$

Otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie, więc wszystko jest w porządku.

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie najmniejsze gdy \(x=4\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć to pole, zatem korzystając z wcześniej zapisanego wzoru, otrzymamy:
$$P=2x^2-16x+60 \\
P=2\cdot4^2-16\cdot4+60 \\
P=2\cdot16-64+60 \\
P=32-64+60 \\
P=28$$

Wymiary \(\frac{3}{2}\times2\) natomiast \(P=3\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia do naszego rysunku, które umożliwią nam dalsze rozwiązywanie:


Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i zapisanie równań.
Powinniśmy zauważyć, że prostokąt wydzielił nam na rysunku także dwa mniejsze trójkąty prostokątne, czyli \(DBE\) oraz \(FEC\). Wszystkie te trójkąty (łącznie z głównym \(ABC\)) mają jednakowe kąty, więc możemy uznać je za podobne (na podstawie cechy kąt-kąt-kąt). To pozwoli nam ułożyć proporcję dotyczącą długości boków w tych trójkątach. Przykładowo, stosunek długości przyprostokątnych górnego trójkąta prostokątnego \(FEC\) o długościach \(3-x\) oraz \(y\) musi być taki sam, jak stosunek długości przyprostokątnych głównego trójkąta prostokątnego \(ABC\) o bokach \(3\) i \(4\). Możemy więc zapisać, że:
$$\frac{3-x}{y}=\frac{3}{4}$$

Mnożąc teraz na krzyż, otrzymamy:
$$(3-x)\cdot4=y\cdot3 \\
12-4x=3y \\
y=4-\frac{4}{3}x$$

Dodatkowo możemy od razu zapisać, że pole prostokąta wyznaczymy ze wzoru:
$$P=x\cdot y$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=4-\frac{4}{3}x\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot(4-\frac{4}{3}x) \\
P=4x-\frac{4}{3}x^2 \\
P=-\frac{4}{3}x^2+4x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(-\frac{4}{3}x^2+4x\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-\frac{4}{3}x^2+4x\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-\frac{4}{3}\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) osiągniemy jak największe pole \(P\). Z własności parabol wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) to największe pole jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-4}{2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)} \\
x_{W}=\frac{-4}{-\frac{8}{3}} \\
x_{W}=(-4):\left(-\frac{8}{3}\right) \\
x_{W}=(-4)\cdot\left(-\frac{3}{8}\right) \\
x_{W}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$$

Krok 5. Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta i obliczenie pola powierzchni.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie największe gdy jeden z boków prostokąta będzie miał długość \(x=\frac{3}{2}\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość drugiego boku, zatem korzystając z wcześniej zapisanego równania \(y=4-\frac{4}{3}x\), otrzymamy:
$$y=4-\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2} \\
y=4-\frac{12}{6} \\
y=2$$

To oznacza, że pole naszego prostokąta będzie równe:
$$P=\frac{3}{2}\cdot2 \\
P=3$$