Matura – Matematyka – Maj 2015 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury na poziomie podstawowym – maj 2015. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2015

Zadanie 1. (1pkt) Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-4\le x-1\le4\).

Zadanie 2. (1pkt) Dane są liczby \(a=-\frac{1}{27}\), \(b=\log_{\frac{1}{4}}64\), \(c=\log_{\frac{1}{3}}27\). Iloczyn \(abc\) jest równy:

Zadanie 3. (1pkt) Kwotę \(1000zł\) ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa:

Zadanie 4. (1pkt) Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla:

Zadanie 5. (1pkt) Układ równań \(\begin{cases}
x-y=3 \\
2x+0,5y=4
\end{cases}\) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie:

Zadanie 6. (1pkt) Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:

Zadanie 7. (1pkt) Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\):

Zadanie 8. (1pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
matura z matematyki

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:

Zadanie 9. (1pkt) Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) leży punkt \(S=(5,-2)\). Zatem:

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że:

Zadanie 11. (1pkt) Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeżeli \(f(3)=4\), to:

Zadanie 12. (1pkt) Ile liczb całkowitych \(x\) spełnia nierówność \(\frac{2}{7}\lt\frac{x}{14}\lt\frac{4}{3}\)?

Zadanie 13. (1pkt) W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), spełniony jest warunek \(a_{4}=3a_{1}\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:

Zadanie 14. (1pkt) Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy:

matura z matematyki

Zadanie 15. (1pkt) Jeżeli \(0°\ltα\lt90°\) oraz \(tgα=2sinα\), to:

Zadanie 16. (1pkt) Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20°\) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa:

Zadanie 17. (1pkt) Pole rombu o obwodzie \(8\) jest równe \(1\). Kąt ostry tego rombu ma miarę \(α\). Wtedy:

Zadanie 18. (1pkt) Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:

Zadanie 19. (1pkt) Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:

Zadanie 20. (1pkt) Dane są punkty \(M=(-2,1)\) i \(N=(-1,3)\). Punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(MN\). Obrazem punktu \(K\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt:

Zadanie 21. (1pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E,G,L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

matura z matematyki

Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Zadanie 22. (1pkt) Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości \(6\). Objętość tego stożka jest równa:

Zadanie 23. (1pkt) Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:

Zadanie 24. (1pkt) Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2, 4, 7, 8, 9\) jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2, 4, 7, 8, 9, x\). Wynika stąd, że:

Zadanie 25. (1pkt) W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga - niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy:

Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt(x+3)(x-2)\).

Zadanie 27. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\ge0\).

Zadanie 28. (2pkt) Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków - odpowiednio - \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).

matura z matematyki

Zadanie 29. (2pkt) Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle0;4\rangle\).

Zadanie 30. (2pkt) W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Zadanie 31. (2pkt) Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Zadanie 32. (4pkt) Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zadanie 33. (4pkt) Wśród \(115\) osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Rodzaj kupionych biletów} & \text{Liczba osób} \\
\hline
\text{ulgowe} & 76 \\
\text{normalne} & 41
\end{array}
$$

Uwaga! \(27\) osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Zadanie 34. (5pkt) W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) ciągu \((a_{n})\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_{n})\). Oblicz \(k\).

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

2
Dodaj komentarz

Atka

W zadanku 31 w pierwszym równaniu wkradł się błąd – myślę, że przez nieuwagę bo dalej jest już wszystko ok. W mianowniku powinno być y+1/2 x. Ale stronka jest rewelacyjna!!! Pozdrawiam!