Matura – Matematyka – Maj 2015 – Odpowiedzi

C

Aby rozwiązać ten przykład wystarczy dodać \(1\) do każdej ze stron:
$$-4\le x-1\le4 \\
-4+1\le x-1+1\le4+1 \\
-3\le x\le5$$

Prawidłowym graficznym przedstawieniem tej nierówności jest więc trzeci rysunek.

B

Krok 1. Obliczenie wartości liczb \(b\) oraz \(c\):
$$b=\log_{\frac{1}{4}}64=-3 \\
c=\log_{\frac{1}{3}}27=-3$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(abc\).
$$abc=-\frac{1}{27}\cdot(-3)\cdot(-3)=-\frac{1}{3}$$

C

Istota lokaty polega na tym, że wpłacamy na jakiś czas kwotę np. \(1000zł\), a po upływie określonego terminu bank wypłaci nam \(1000zł\) plus odsetki, które będą pomniejszone o podatek. Odsetki w naszym przypadku będą równe \(\frac{4}{100}\cdot1000\). Musimy je jeszcze pomniejszyć o podatek \(19\%\), czyli pomnożyć je przez \(\frac{81}{100}\) (mnożymy przez \(\frac{81}{100}\), bo po odliczeniu podatku otrzymana kwota będzie stanowiła \(81\%\) kwoty wyjściowej).

Po roku możemy więc wypłacić \(1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000\). Takiego zapisu nie mamy w sugerowanych odpowiedziach \(ABCD\), ale wystarczy wyłączyć wartość \(1000\) przed nawias i okaże się, że prawidłowa będzie odpowiedź trzecia, bowiem:
$$1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000=1000\cdot(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100})$$

B

Najprościej jest rozwiązać to zadanie wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zwłaszcza że będziemy mogli zastosować tutaj wzory skróconego mnożenia.
$$5\cdot m=(5-\sqrt{5})\cdot(5+\sqrt{5}) \\
5m=5^2-(\sqrt{5})^2 \\
5m=25-5 \\
5m=20 \\
m=4$$

B

Krok 1. Doprowadzenie równań do postaci \(y=ax+b\).
Zadanie brzmi dość skomplikowanie, ale tak naprawdę polega na tym by określić ile punktów wspólnych będą mieć te dwie proste. Aby to określić, potrzebujemy je zapisać w postaci \(y=ax+b\).
\begin{cases}
x-y=3 \quad\bigg/-x \\
2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}\begin{cases}
-y=3-x \quad\bigg/\cdot(-1) \\
2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}\begin{cases}
y=-3+x \\
4x+y=8 \quad\bigg/-4x
\end{cases}\begin{cases}
y=x-3 \\
y=-4x+8
\end{cases}

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Obydwie proste mają różne współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza ma \(a=1\), druga \(a=-4\). To oznacza, że te dwie proste mają tylko jeden wspólny punkt przecięcia.

C

Krok 1. Obliczenie wartości wszystkich pierwiastków równania.
Nasze równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej. Aby wartość takiego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam "wyzerować" to równanie, a więc któryś z nawiasów musi być równy zero. To oznacza, że rozwiązaniami równania (a więc potocznie rzecz ujmując jego pierwiastkami) będą:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x+7=0 \quad\lor\quad x-11=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=-7 \quad\lor\quad x=11$$

Krok 2. Obliczenie sumy pierwiastków.
$$S=-3+(-7)+11=1$$

D

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Musimy zapisać założenia wynikające z tego, że mianownik nie może być równy \(0\) (bo nie można dzielić przez \(0\)). Zatem \(x\neq-1\). To wbrew pozorom ważny krok, bo choć akurat w przypadku tego zadania nie wpłynie on na wynik, to czasem może on wpłynąć na ostateczny wynik.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
$$\frac{x-1}{x+1}=x-1 \quad\bigg/\cdot(x+1) \\
x-1=(x-1)\cdot(x+1) \\
x-1=x^2-1^2 \\
x-1=x^2-1 \\
x^2-x=0 \\
x(x-1)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=1$$

To oznacza, że równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).

D

To zadanie jest wbrew pozorom bardzo podchwytliwe. Patrząc na wykres odruchowo chcielibyśmy zaznaczyć przedział \((-2;2)\), bo mamy niezamalowane kropki, które sugerowałyby nawiasy otwarte. Niestety jest to błędna odpowiedź, a prawidłowym przedziałem jest \((-2;2\rangle\). Dlaczego, skoro kropka przy wartości \(y=2\) jest niezamalowana? A to dlatego, że funkcja owszem nie przyjmuje wartości \(y=2\) dla \(x=0\), ale przyjmuje wartość \(y=2\) dla np. \(x=1\) lub \(x=\frac{1}{2}\).

B

Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\).
$$-2=(m-1)\cdot5+3 \\
-2=5m-5+3 \\
-2=5m-2 \\
5m=0 \\
m=0$$

C

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g(x)\).
Aby wyznaczyć miejsce zerowe musimy sprawdzić dla jakiego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli:
$$-3x+4=0 \\
-3x=-4 \\
x=\frac{4}{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Skoro obydwie funkcje mają takie samo miejsce zerowe, to znaczy że po podstawieniu do funkcji \(f(x)\) argumentu \(x=\frac{4}{3}\) powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\), zatem:
$$2x+b=0 \\
2\cdot\frac{4}{3}+b=0 \\
\frac{8}{3}+b=0 \\
b=-\frac{8}{3}$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Skoro \(f(3)=4\), to znaczy że po podstawieniu \(x=3\) funkcja musi przyjąć wartość równą \(4\). To z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość współczynnika \(c\).
$$3^2+3+c=4 \\
9+3+c=4 \\
12+c=4 \\
c=-8$$

To oznacza, że nasza funkcja przybiera postać \(f(x)=x^2+x-8\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(f(1)\).
Znamy już pełny wzór funkcji, więc sprawdźmy która z odpowiedzi będzie prawidłowa, podstawiając \(x=1\).
$$1^2+1-8=1+1-8=-6$$

Czyli \(f(1)=-6\).

A

Najprościej jest wymnożyć wszystkie liczby przez \(14\), otrzymując w ten sposób wartość \(x\) wewnątrz zapisu. To pozwoli szybko sprawdzić ile liczb całkowitych spełni wskazaną nierówność:
$$\frac{2}{7}\lt\frac{x}{14}\lt\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot14 \\
4\lt x\lt18\frac{2}{3}$$

Liczb całkowitych, które spełnią tą nierówność (czyli \(5, 6, 7...16, 17, 18\)) jest więc \(14\).

C

Wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego możemy zapisać jako \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Czwarty wyraz ciągu jest więc równy \(a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}\). Ta informacja w połączeniu z zależnością \(a_{4}=3a_{1}\) z treści zadania pozwoli nam ułożyć proste równanie:
$$a_{1}\cdot q^{3}=3a_{1} \quad |:a_{1} \\
q^3=3 \\
q=\sqrt[3]{3}$$

D

Tangens kąta o wierzchołku w punkcie \((0,0)\), którego ramię pokrywa się z osią \(Ox\) można opisać wzorem \(tgα=\frac{y}{x}\), gdzie \(x\) oraz \(y\) to współrzędne dowolnego punktu leżącego na lewym ramieniu kąta. Najprościej będzie nam odczytać współrzędne punktu \(P=(-4;5)\), zatem \(tgα=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\).

A

Najprościej jest rozwiązać to zadanie podstawiając pod tangesa \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), zatem:
$$tgα=2sinα \\
\frac{sinα}{cosα}=2sinα \quad\bigg/\cdot cosα \\
sinα=2sinαcosα \quad\bigg/:sinα \\
1=2cosα \quad\bigg/:2 \\
cosα=\frac{1}{2}$$

C

Jeśli za miarę kąta wpisanego przyjmiemy \(α\), to miarą kąta środkowego będzie \(2α\). Skoro kąt wpisany jest o \(20°\) mniejszy od kąta środkowego, to:
$$α=2α-20° \\
-α=-20° \\
α=20°$$

A

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(sinα\).
Romb o obwodzie równym \(8\) ma boki długości \(a=2\). W tym zadaniu wykorzystamy wzór na pole rombu z użyciem sinusa: \(P=a^2sinα\). Znamy pole, znamy długość boku \(a\), więc bez problemu wyznaczymy wartość sinusa.
$$P=a^2sinα \\
1=2^2sinα \\
1=4sinα \\
sinα=\frac{1}{4}$$

Krok 2. Odczytanie z tablic odpowiedniej miary kąta.
Na koniec musimy odczytać z tablic dla jakiego kąta sinus przybiera wartość równą \(0,25\). Będzie to kąt większy niż \(14°\) i mniejszy niż \(15°\), dlatego prawidłowa jest odpowiedź pierwsza.

A

Krok 1. Utworzenie równania z parametrem \(m\).
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). To oznacza, że musi między nimi zajść równanie:
$$m^2=4m-4$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem:
$$m^2=4m-4 \\
m^2-4m+4=0 \\
(m-2)^2=0 \\
m-2=0 \\
m=2$$

A

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem:
$$2m\cdot4m^2=-1 \\
8m^3=-1 \\
m^3=-\frac{1}{8} \\
m=-\frac{1}{2}$$

D

Krok 1. Obliczenie współrzędnych punktu \(K\).
Skorzystamy tutaj z następującego wzoru, do którego musimy podstawić współrzędne punktów \(M\) oraz \(N\):
$$K=\left(\frac{x_{m}+x_{n}}{2};\frac{y_{m}+y_{n}}{2}\right) \\
K=\left(\frac{-2+(-1)}{2};\frac{1+3}{2}\right) \\
K=\left(\frac{-3}{2};\frac{4}{2}\right) \\
K=\left(-\frac{3}{2};2\right)$$

Krok 2. Wskazanie współrzędnych punktu \(K'\).
Aby wyznaczyć współrzędne punktu symetrycznego względem początku układu współrzędnych musimy zmienić znaki zarówno współrzędnej \(x\) jak i \(y\). Skoro \(K=\left(-\frac{3}{2};2\right)\), to \(K'=\left(\frac{3}{2};-2\right)\)

A

Aby nie popełnić błędu warto jest sobie po prostu dorysować odpowiednie długości i zaznaczyć poszukiwany kąt.



Z racji tego iż w poprawnym nazewnictwie wierzchołek kąta powinien być środkową literą zapisu, to poszukiwanym kątem jest \(\sphericalangle HOL\).

B

Krok 1. Obliczenie długości \(r\) oraz \(h\).



Spójrzmy na rysunek szkicowy. Do obliczenia objętości będziemy potrzebować długości promienia oraz wysokości bryły. Skoro przekrój jest trójkątem równobocznym, to na pewno wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, a to z kolei oznacza że \(r=6:2=3\).

Wysokość \(h\) także nie stanowi problemu, bo mamy w tablicach wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$

Gdybyśmy nie pamiętali o tym wzorze, to wysokość można byłoby obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie objętości bryły.
Znamy długość promienia, znamy wysokość, więc podstawiając dane do wzoru obliczymy objętość stożka:
$$V=\frac{1}{3}πr^2h \\
V=\frac{1}{3}π\cdot3^2\cdot3\sqrt{3} \\
V=\frac{1}{3}π\cdot9\cdot3\sqrt{3} \\
V=3\cdot3\sqrt{3}π \\
V=9\sqrt{3}π$$

D

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
W podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Skorzystamy więc ze wzoru na jego pole, podstawiając \(a=8\). Zatem:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$

W takiej postaci to zostawimy, bo widzimy że w odpowiedziach pojawia się \(8^2\).

Krok 2. Obliczenie pola ściany bocznej.
Skoro każda krawędź ma długość \(8\), to w ścianie bocznej musimy mieć kwadrat o boku \(8\). Jego pole jest wiec równe:
$$P_{b}=a^2 \\
P_{b}=8^2$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Mamy dwie podstawy oraz trzy ściany boczne, więc możemy obliczyć pole całkowite. Na sam koniec obliczeń musimy się jeszcze dopasować do naszych odpowiedzi, czyli wyłączyć \(8^2\) przed nawias:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \\
P_{c}=2\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot8^2 \\
P_{c}=\frac{8^2\sqrt{3}}{2}+3\cdot8^2 \\
P_{c}=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)$$

D

Skoro średnie arytmetyczne są sobie równe, to możemy ułożyć proste równanie:
$$\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{2+4+7+8+9+x}{6} \\
\frac{30}{5}=\frac{30+x}{6} \\
6=\frac{30+x}{6} \\
36=30+x \\
x=6$$

B

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro z pierwszego pojemnika losujemy jedną z dwóch kul, potem z drugiego także jedną z dwóch i z trzeciego ponownie jedną z dwóch, to wszystkich możliwych kombinacji będziemy mieć:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Wypiszmy sobie teraz wszystkie zdarzenia sprzyjające, czyli takie które spełniają warunki zadania. Dwie z trzech wylosowanych kul muszą być czerwone, więc w grę wchodzą jedynie zdarzenia:
$$(c,c,n), (c,n,c), (n,c,c)$$

Mamy trzy takie zdarzenia, więc \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}$$

\(x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)\)

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
To bardzo ważny krok. Jeśli chcemy rozwiązać to zadanie np. metodą delty, to musimy doprowadzić nierówność do postaci typu \(ax^2+bx+c\), tak aby po prawej stronie znalazło się zero. Stąd też pierwszą czynnością jaką musimy zrobić to wymnożyć przez siebie odpowiednie nawiasy i uporządkować zapis:
$$2x^2-4x\gt(x+3)(x-2) \\
2x^2-4x\gt x^2-2x+3x-6 \\
x^2-5x+6\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a więc interesującym nas przedziałem będzie:
$$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono rozwiązując nierówność kwadratową i interpretując otrzymaną deltę.

Do zadania można podejść na kilka sposobów, więc rozważmy sobie dwa najprostsze rozwiązania.

I sposób:
W tej metodzie potraktujemy tę nierówność tak jak każdą inną. To, że znajdują się w niej wartości \(y\) na razie nam nie przeszkadza (potraktujemy je jak zwykłe liczby).

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-8y,\;c=5y^2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8y)^2-4\cdot4\cdot5y^2=64y^2-80y^2=-16y^2$$

Zastanówmy się teraz jaka jest ta delta. Jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod \(y\) to wartość \(y^2\) będzie dodatnia lub równa zero (gdy \(y=0\)). Pomnożenie tej liczby jeszcze przez \(-16\) sprawi, że wynik zawsze będzie niedodatni (ujemny gdy \(y\neq0\) lub równy zero gdy \(y=0\)). Wniosek z tego taki, że \(Δ\le0\).

Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Skoro \(Δ\le0\), to znaczy że ta funkcja ma maksymalnie jedno miejsce zerowe (gdy \(Δ=0\)), a cała reszta wykresu zawsze będzie przebiegać nad osią \(Ox\). To oznacza, że ta funkcja nigdy nie przyjmie wartości ujemnych, co kończy nasz dowód.



II sposób:
Możemy też spróbować przedstawić tę nierówność przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Gdyby udało nam się powiązać niektóre wyrazy w taki sposób, że dałoby się je pokazać w formie pewnej potęgi, to udowodnilibyśmy, że "coś" podniesione do potęgi jest zawsze większe od zera.
Krok 1. Zapisanie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Aby móc tego dokonać musimy rozbić \(5y^2\) na sumę \(4y^2+y^2\), zatem:
$$4x^2-8xy+5y^2\ge0 \\
4x^2-8xy+4y^2+y^2\ge0 \\
(2x-2y)^2+y^2\ge0$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Kwadrat liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Niezależnie więc co podstawimy pod \(x\) i \(y\) to \((2x-2y)^2\ge0\) oraz \(y^2\ge0\). Suma dwóch liczb nieujemnych także daje liczbę nieujemną, więc dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz pod \(x\) i \(y\) konkretne wartości liczbowe.
1 pkt
• Gdy obliczysz deltę (patrz: I sposób Krok 1.) i nie wyciągniesz z niej żadnych wniosków.
ALBO
• Gdy skorzystasz ze wzorów skróconego mnożenia i otrzymasz zapis typu \((2x-2y)^2+y^2\ge0\) (patrz: II sposób Krok 1.) i nie wyciągniesz z niego żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono wyznaczając pole rombu i kwadratu.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Generalnie naszym zadaniem jest porównanie pola powstałego rombu do pola dużego kwadratu. Do wyznaczenia pola rombu przydadzą nam się długości jego przekątnych. Jeżeli przyjęlibyśmy, że \(|AC|\) (czyli przekątna kwadratu) ma długość \(d\), to zgodnie z treścią zadania:
$$|KM|=\frac{1}{2}d \\
|LN|=\frac{2}{3}d$$

Krok 2. Obliczenie pola rombu i kwadratu.
Zarówno pole rombu jak i kwadratu możemy wyliczyć mnożąc przez siebie długości przekątnych i dzieląc wynik na \(2\).
Pole rombu:
$$P_{r}=\frac{1}{2}ef \\
P_{r}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}d\cdot\frac{2}{3}d \\
P_{r}=\frac{1}{6}d^2$$

Pole kwadratu:
$$P_{k}=\frac{1}{2}ef \\
P_{k}=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d \\
P_{k}=\frac{1}{2}d^2$$

Krok 3. Porównanie pola rombu i kwadratu.
Musimy sprawdzić jaki jest stosunek między tymi polami, tak więc:
$$\frac{P_{r}}{P_{k}}=\frac{\frac{1}{6}d^2}{\frac{1}{2}d^2}=\frac{1}{3}$$

W ten sposób zadanie zostało udowodnione.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wzór na pole rombu i/lub kwadratu w zależności od długości przekątnej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wzór na pole któregoś z "małych trójkątów" np.:
Pole trójkąta: \(KLE\), \(LME\), \(MNE\) oraz \(NKE\) jest równe \(P=\frac{1}{12}a^2\).
Pole trójkąta: \(NLM\), \(LNK\), \(KMN\), \(KLM\), jest równe \(P=\frac{1}{6}a^2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Najmniejszą wartością jest \(-6\). Największą wartością jest \(3\).

Funkcja będzie przyjmować największą i najmniejszą wartość w danym przedziale albo na krańcach tego przedziału albo w punkcie, który jest wierzchołkiem funkcji. Wartości krańcowe przedziałów są nam znane, więc potrzebujemy jeszcze wyznaczyć położenie wierzchołka (wystarczy nam jego współrzędna \(x\)).

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.
Współrzędną wierzchołka paraboli \(x_{W}\) dla funkcji określonej wzorem w postaci \(ax^2+bx+c\) obliczymy w następujący sposób:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Sprawdzamy teraz, czy wierzchołek w ogóle znajduje się w naszym przedziale, który mamy przeanalizować. Tak się składa, że \(x=3\) mieści się w przedziale \(\langle0;4\rangle\), więc jak najbardziej uwzględnimy go w naszych obliczeniach.

Krok 2. Obliczenie wartości \(f(0)\), \(f(4)\) oraz \(f(3)\).
Zgodnie z tym co napisaliśmy sobie na początku, największych i najmniejszych wartości zawsze spodziewamy się na krańcach przedziału albo w punkcie który jest wierzchołkiem. Sprawdźmy więc jakie wartości przyjmuje ta funkcja dla tych trzech argumentów, a następnie wybierzemy z nich najmniejszą i największą wartość.
$$f(0)=0^2-6\cdot0+3=0-0+3=3 \\
f(4)=4^2-6\cdot4+3=16-24+3=-5 \\
f(3)=3^2-6\cdot3+3=9-18+3=-6$$

Najmniejszą wartością tej funkcji w przedziale \(\langle0;4\rangle\) jest więc \(-6\) (dla \(x=3\)), a największą jest \(3\) (dla \(x=0\)).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pierwszą współrzędną wierzchołka \(x_{W}=3\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość \(f(0)\) oraz \(f(4)\), ale nie obliczysz wartości \(f(3)\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=(-7;0)\), więc pierwszą współrzędną jest \(x=-7\).

Krok 1. Ustalenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Aby poznać wzór tej prostej musimy stworzyć prosty układ równań. Do wzoru ogólnego w postaci \(y=ax+b\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases}
-12=-43a+b \\
19=50a+b
\end{cases}

Możemy ten układ rozwiązać w dowolny sposób, ale najprościej jest odjąć go od siebie stronami, dzięki czemu pozbędziemy się \(b\), zatem:
$$-31=-93a \\
a=\frac{1}{3}$$

Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić go do któregoś z równań i wyznaczyć w ten sposób współczynnik \(b\).
$$19=50\cdot\frac{1}{3}+b \\
\frac{57}{3}=\frac{50}{3}+b \\
b=\frac{7}{3}$$

Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) to: \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).

Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu \(P\).
Skoro nasza prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\), to znaczy że \(P=(x;0)\). Musimy wyznaczyć współrzędną \(x\) punktu \(P\), więc wystarczy przyrównać wzór naszej prostej do zera:
$$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=0 \quad\bigg/\cdot3 \\
x+7=0 \\
x=-7$$

To oznacza, że pierwszą współrzędną jest \(x=-7\), a pełne współrzędne tego punktu to \(P=(-7;0)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wzór prostej \(AB\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie w którym niewiadoma jest pierwsza współrzędna punktu \(P\), np.: \(\frac{50-p}{19}=\frac{p-(43)}{12}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(\frac{8}{17}\)

Krok 1. Stworzenie układu równań.
Oznaczmy sobie nasz poszukiwany ułamek jako \(\frac{x}{y}\). Na podstawie treści zadania możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{x+\frac{1}{2}x}{y+\frac{1}{2}x}=\frac{4}{7} \\
\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2}
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Układ możemy próbować rozwiązać na wiele sposobów, ale chyba najprościej będzie zacząć od mnożenia na krzyż w pierwszym i drugim równaniu.
\begin{cases}
7\cdot(x+\frac{1}{2}x)=4\cdot(y+\frac{1}{2}x) \\
2\cdot(x+1)=1\cdot(y+1)
\end{cases}\begin{cases}
7x+\frac{7}{2}x=4y+2x \quad\bigg/\cdot2 \\
2x+2=y+1
\end{cases}\begin{cases}
14x+7x=8y+4x \\
2x+1=y \quad\bigg/\cdot(-8)
\end{cases}\begin{cases}
17x=8y \\
-16x-8=-8y
\end{cases}

Dzięki sprytnemu pomnożeniu obu stron przez \(-8\) możemy teraz dodać do siebie obie strony równania i pozbyć się w ten sposób niewiadomej \(y\). Oczywiście można też byłoby zastosować tutaj metodę podstawiania i podstawić \(y=2x+1\) z drugiego równania do równania pierwszego. Finalnie uzyskamy ten sam efekt:
$$x-8=0 \\
x=8$$

Krok 3. Obliczenie wartości mianownika poszukiwanego ułamka.
Znamy już wartość licznika (\(x=8\)), więc podstawmy go pod dowolnie wybrane równanie z układu równań i obliczmy w ten sposób niewiadomą \(y\):
$$17x=8y \\
17\cdot8=8y \\
y=17$$

To oznacza, że poszukiwanym ułamkiem jest \(\frac{8}{17}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz układ równań z dwoma niewiadomymi (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą np. \(\frac{17}{2}=4(2x+1)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{c}=144+384\sqrt{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).

Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).
$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|} \\
\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|\\
\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3} \\
|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2 \\
(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2 \\
2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9 \\
18a^2+2304=50a^2 \\
-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32) \\
a^2-72=0$$

Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
$$a^2-72=0 \\
a^2=72 \\
a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H \\
P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16 \\
P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2} \\
P_{c}=144+384\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy powiążesz ze sobą długości przekątnej podstawy, przekątnej graniastosłupa i wysokości graniastosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz że \(tgα=\frac{4}{3}\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej graniastosłupa: \(|EC|=20\)
ALBO
• Gdy zaznaczysz na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
ALBO
• Gdy obliczysz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny bo pomylisz sinusa z cosinusem.
2 pkt
• Gdy zgodnie z przyjętym przez siebie sposobem rozwiązywaniem zadania otrzymasz równanie lub układ równań w którym jedyną niewiadomą jest długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.). Dopuszczalna jest dowolna forma zapisu np. \(a^2-72=0\) albo \(\frac{16}{a\sqrt{2}}=\frac{4}{3}\) albo \(16^2+(a\sqrt{2})^2=20^2\) itd.
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy graniastosłupa: \(|AC|=12\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{5}{23}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Będziemy wybierać jedną ze \(115\) osób, stąd też \(|Ω|=115\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Naszym zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie osoby, która nie kupiła biletu. W związku z tym musimy teraz określić ile osób nie kupiło biletu. Można to zrobić na kilka sposobów (mniej lub bardziej matematycznych). Przykładowo:

I sposób: Skoro sprzedano \(76+41=117\) biletów, a \(27\) osób ma jeden i drugi bilet, to znaczy że osób które kupiły ten bilet jest \(117-27=90\). W związku z tym biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

II sposób: Możemy też wykonać prosty rysunek w którym zobrazujemy sobie całą sytuację:



Najpierw wpisujemy liczbę \(27\), bo tyle osób ma dwa bilety, a następnie obliczamy ile osób ma tylko bilet ulgowy lub tylko bilet normalny. Po zsumowaniu wartości wychodzi nam, że bilet kupiło: \(49+27+14=90\) osób, czyli biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{115}=\frac{5}{23}$$

Pamiętaj o tym, by przedstawić to rozwiązanie właśnie w formie nieskracalnego ułamka (jest to wyszczególnione w treści zadania).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz że bilet ulgowy kupiło \(49\) osób (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz że bilet normalny kupiło \(14\) osób (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz że co najmniej jeden bilet kupiło \(90\) osób (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) i zapiszesz poprawnie liczbę osób które kupiły jeden z biletów (patrz: Krok 1. oraz 2.)
ALBO
• Gdy zapiszesz, że biletu nie kupiło \(25\) osób.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) oraz obliczysz, że \(25\) osób nie kupiło biletu.
ALBO
• Gdy popełnisz błąd rachunkowy i konsekwentnie do niego podasz błędny wynik.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(k=11\)

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases}
S_{11}=187 \\
\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12
\end{cases}

Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{11}=a_{1}+10r$$

Ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\) wynika, że:
$$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{11}}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{a_{1}+a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{2a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=(a_{1}+5r)\cdot11 \\
S_{11}=11a_{1}+55r$$

Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \\
\frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12
\end{cases}\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\
\frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3
\end{cases}\begin{cases}
a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}\begin{cases}
-3a_{1}-15r=-51 \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}

Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15 \\
r=3$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.
Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36 \\
3a_{1}+10\cdot3=36 \\
3a_{1}=6 \\
a_{1}=2$$

Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=2+2\cdot3 \\
a_{3}=8$$

Krok 4. Zapisanie wzoru na \(a_{k}\) wyraz ciągu.
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\
a_{k}=2+(k-1)\cdot3 \\
a_{k}=2+3k-3 \\
a_{k}=3k-1$$

Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).
Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k} \\
8^2=2\cdot(3k-1) \\
64=6k-2 \\
66=6k \\
k=11$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na sumę \(n\)-początkowych wyrazów i utworzysz za jego pomocą równanie z dwiema niewiadomymi np. \(11a_{1}+55r=187\) (patrz: Krok 2.) albo \(\frac{2a_{1}+10r}{2}\).
ALBO
• Gdy do ułożenia równania wykorzystasz wzór na średnią arytmetyczną i utworzysz w ten sposób równanie z dwiema niewiadomymi np. \(a_{1}+\frac{10}{3}r=12\).
ALBO
• Gdy zapiszesz zależność \({a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}\).
2 pkt
• Gdy zgodnie do wybranego sposobu obliczeń utworzysz układ równań (patrz: Krok 2.)
3 pkt
• Gdy obliczysz \(a_{1}=2\) i \(r=3\) oraz gdy zapiszesz zależność \({a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}\).
4 pkt
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale popełnisz błąd rachunkowy i konsekwentnie do niego podasz błędny wynik.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.