Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2012 – Odpowiedzi

C

Krok 1. Przyjęcie poprawnych oznaczeń.
Aby dobrze rozwiązać to zadanie musimy dobrze opisać sobie poszczególne dane z treści zadania:
\(a\) - długość boku pierwszego kwadratu
\(1,1a\) - długość boku drugiego kwadratu, bo ma to być długość o \(10\%\) większa od boku \(a\).
\(P_{1}\) - pole powierzchni pierwszego kwadratu
\(P_{2}\) - pole powierzchni drugiego kwadratu

Naszym zadaniem jest policzenie stosunku pól powierzchni (wyrażając wynik w procentach):
$$\frac{P_{2}}{P_{1}}\cdot100\%$$

Krok 2. Obliczenie pól powierzchni i różnicy między nimi.
Obliczamy pola powierzchni obydwu kwadratów:
$$P_{1}=a\cdot a=a^2 \\
P_{2}=1,1a\cdot1,1a=1,21a^2$$

Znając pola powierzchni możemy obliczyć o ile większe jest pole drugiego kwadratu:
$$\frac{P_{2}-P_{1}}{P_{1}}\cdot100\%=\frac{1,21a^2-a^2}{a^2}\cdot100\%=\frac{0,21a^2}{a^2}\cdot100\%=21\%$$

C

Naszym zadaniem jest poprawne wykonanie działań na potęgach, pamiętając o tym że \(3^2=9\). Całość krok po kroku możemy rozpisać w następujący sposób:
$$9^{-5}\cdot3^{8}=9^{-5}\cdot3^{2\cdot4}=9^{-5}\cdot(3^2)^4= \\
=9^{-5}\cdot9^{4}=9^{-5+4}=9^{-1}$$

D

W tym zadaniu możemy obliczyć każdy z logarytmów oddzielnie, albo możemy też skorzystać ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$

Licząc z powyższego wzoru otrzymamy:
$$\log_{3}27-\log_{3}1=\log_{3}\frac{27}{1}=\log_{3}27=3$$

Licząc każdy logarytm oddzielnie otrzymamy:
$$\log_{3}27=3\text{, bo }3^3=27 \\
\log_{3}1=0\text{, bo }3^0=1 \\
\log_{3}27-\log_{3}1=3-0=3$$

D

Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) otrzymamy:
$$(2-3\sqrt{2})^2=2^2-2\cdot2\cdot3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2= \\
=4-12\sqrt{2}+9\cdot2=4-12\sqrt{2}+18=22-12\sqrt{2}$$

B

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z treści zadania wiemy, że miejscem zerowym jest \(x=-2\), zatem prawdziwa będzie równość:
$$0=m\cdot(-2)+2 \\
0=-2m+2 \\
2m=2 \\
m=1$$

A

Aby wskazać poprawny rysunek musimy najpierw rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną.
$$|x+4|\le7 \\
x+4\le7 \quad\land\quad x+4\ge-7 \\
x\le3 \quad\land\quad x\ge-11$$

Zatem poszukiwanym przez nas przedziałem jest \(x\in\langle-11;3\rangle\), co oznacza że prawidłowy jest pierwszy rysunek.

B

Wzór paraboli jest podany w postaci ogólnej \(y=ax^2+bx+c\), co pozwala nam wypisać wartości poszczególnych współczynników:
$$a=1,\;b=8,\;c=-14$$

Wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) posłużą nam do wyliczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka \(W=(x_{W};y_{W})\), bowiem zgodnie ze wzorem z tablic:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-8}{2\cdot1} \\
x_{W}=\frac{-8}{2} \\
x_{W}=-4$$

B

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(y\). Sprawdźmy więc po kolei jaki zbiór wartości ma każda z narysowanych funkcji:
Funkcja A. \(\langle2;+\infty)\)
Funkcja B. \(\langle-2;+\infty)\)
Funkcja C. \(\langle-2;-\infty)\)
Funkcja D. \(\langle2;-\infty)\)

Poszukiwany przez nas zbiór wartości \(\langle-2;+\infty)\) znalazł się na drugim rysunku.

A

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu.
Aby obliczyć miejsca zerowe musimy przyrównać \(x(x+6)\) do zera. Wielomian mamy podany w postaci iloczynowej, więc aby był on równy zero to któryś z czynników musi powodować jego "zerowanie", zatem:
$$x(x+6)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x+6=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-6$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą na pewno skierowane do góry, bo po wymnożeniu czynników otrzymalibyśmy dodatnią wartość współczynnika \(a\). Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe i odczytujemy rozwiązanie naszej nierówności. Kropki przy miejscach zerowych będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\).



Interesują nas wartości mniejsze od zera, tak więc zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział \(x\in(-6,0)\).

B

Możemy wymnożyć poszczególne nawiasy w każdej z odpowiedzi i sprawdzić, która odpowiedź da nam wartość równą wielomianowi \(W(x)\). Można jednak do zadania podejść nieco sprytniej.

Na samym wstępie powinniśmy odrzucić odpowiedzi \(A\) i \(D\). Dlaczego? W wyniku mnożenia wyrazów o najwyższej potędze otrzymamy w obydwu tych odpowiedziach \(x^5\), a my potrzebujemy mieć \(x^6\). Zostają nam więc tylko odpowiedzi \(B\) i \(C\), bo tu faktycznie wystąpi \(x^6\).
Odpowiedź \(C\) możemy odrzucić z tego względu, że jakichkolwiek wyrazów nie wymnożymy, to nie otrzymamy \(x^3\). Otrzymamy za to np. \(2x^4\), której nie ma w naszym wielomianie. Z tego też wynika, że poszukiwaną odpowiedzią jest \(B\), a oto dowód:

Odp. A. \((x^3+1)(x^2-2)=x^5-2x^3+x^2-2\)
Odp. B. \((x^3-1)(x^3+2)=x^6+x^3-2\)
Odp. C. \((x^2+2)(x^4-1)=x^6-x^2+2x^4-2\)
Odp. D. \((x^4-2)(x+1)=x^5+x^4-2x-2\)

B

Tego typu równanie wymierne może być równe \(0\) tylko i wyłącznie wtedy, kiedy licznik jest równy \(0\). Jednak równie ważną informacją jest to, że sam mianownik nie może być równy zero, bo w matematyce dzielenie przez \(0\) nie istnieje.

Krok 1. Wypisanie założeń.
W związku z tym, że mianownik musi być równy od zera, to:
$$x-3\neq0 \quad\land\quad x+2\neq0 \\
x\neq3 \quad\land\quad x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku, licznik musi być różny od zera, czyli:
$$(x+3)(x-2)=0 \\
x+3=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=2$$

Otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami zapisanymi w pierwszym kroku, tak więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

D

Chcąc obliczyć wartość trzeciego wyrazu tego ciągu wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\):
$$a_{n}=\frac{n}{(-2)^n} \\
a_{3}=\frac{3}{(-2)^3} \\
a_{3}=\frac{3}{-8} \\
a_{3}=-\frac{3}{8}$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu ciągu (\(q\)).
Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu możemy obliczyć jego iloraz:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{18}{36} \\
q=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości czwartego wyrazu ciągu.
Wartość czwartego wyrazu ciągu obliczymy za pomocą następującego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
a_{4}=36\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \\
a_{4}=36\cdot\frac{1}{8} \\
a_{4}=\frac{9}{2}=4,5$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości cosα.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$cos^2α=1-sin^2α \\
cos^2α=1-\left(\frac{7}{13}\right)^2 \\
cos^2α=1-\frac{49}{169} \\
cos^2α=\frac{120}{169} \\
cosα=\sqrt{\frac{120}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{120}{169}} \\
cosα=\frac{\sqrt{120}}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{120}}{13}$$

Kąt \(α\) jest ostry, więc ujemną wartość cosinusa odrzucamy.

Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Znając wartość sinusa i cosinusa bez problemu wyliczymy wartość tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \\
tgα=\frac{\frac{7}{13}}{\frac{\sqrt{120}}{13}} \\
tgα=\frac{7}{13}:\frac{\sqrt{120}}{13} \\
tgα=\frac{7}{13}\cdot\frac{13}{\sqrt{120}} \\
tgα=\frac{7}{\sqrt{120}}$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Sinus kąta \(α\) to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
$$sinα=\frac{2\sqrt{10}}{11}$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Cosinus kąta \(α\) to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.
$$cosα=\frac{9}{11}$$

Z tego wynika, że poprawne obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej nastąpiło w odpowiedzi pierwszej.

B

Z rysunku bardzo jasno wynika, że przy wyliczeniu długości boku \(BC\) musimy posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa.
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
6^2+|BC|^2=14^2 \\
36+|BC|^2=196 \\
|BC|^2=160 \\
|BC|=\sqrt{160} \\
|BC|=\sqrt{16\cdot10}=4\sqrt{10}$$

C

Kąt wpisany \(ACB\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(ASB\). Z własności kątów środkowych wiemy, że kąt \(ASB\) ma w takim razie dwa razy większą miarę od kąta \(ACB\), czyli:
$$|\sphericalangle ACB|=230°:2=115°$$

C

Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego.
Ustalmy sobie może najpierw po co nam jest potrzebna wysokość. Przyda nam się ona w drugim kroku, gdzie skorzystamy ze wzoru na promień okręg wpisanego w trójkąt.
Znając długość boku trójkąta równobocznego jego wysokość obliczymy ze wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{24\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{24\cdot3}{2} \\
h=36$$

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny ma promień równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości tego trójkąta. Zatem:
$$r=\frac{1}{3}h \\
r=\frac{1}{3}\cdot36 \\
r=12$$

A

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Aby dwie proste w postaci \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\), zatem współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest równy:
$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\
a=3$$

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu wykres prostej przetnie się z osią \(Oy\). Skoro prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, czyli punkt o współrzędnych \((0;0)\), to oznacza, że \(b=0\).

Równanie poszukiwanej prostej prostopadłej to w takim razie: \(y=3x\).

B

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(BC\).
Skoro punkty \(B\) i \(C\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to znaczy że odcinek \(BC\) jest bokiem kwadratu (a nie np. przekątną). Obliczając więc długość tego boku wiemy, że otrzymana wartość będzie długością boku kwadratu. Zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka:
$$|BC|=\sqrt{(x_{c}-x_{b})^2+(y_{c}-y_{b})^2} \\
|BC|=\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2} \\
|BC|=\sqrt{7^2+(-3)^2} \\
|BC|=\sqrt{49+9} \\
|BC|=\sqrt{58}$$

Krok 2. Obliczenie pola kwadratu.
Znając długość boku kwadratu bez problemu obliczymy jego pole powierzchni:
$$P=a^2 \\
P=(\sqrt{58})^2 \\
P=58$$

D

Skorzystamy tutaj z równania okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to długość jego promienia. Znając ten wzór i uważając na znaki możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne środka okręgu:
$$(x+4)^2+(y-6)^2=100 \\
(x-(-4))^2+(y-6)^2=100$$

Odczytując z tego wzoru odpowiednie współrzędne możemy powiedzieć, że \(S=(-4;6)\).

C

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej musimy znać długość krawędzi tego sześcianu. Wyznaczymy ją ze wzoru na objętość, bowiem to właśnie objętość jest podana w treści zadania:
$$V=a^3 \\
64=a^3 \\
a=\sqrt[3]{64} \\
a=4$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
Znając długość krawędzi sześcianu możemy przystąpić do obliczenia jego pola powierzchni całkowitej:
$$P_{c}=6\cdot a^2 \\
P_{c}=6\cdot4^2 \\
P_{c}=6\cdot16 \\
P_{c}=96$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro w przekroju jest trójkąt równoboczny, to możemy wprowadzić następujące oznaczenia:



Z rysunku wynika, że promień podstawy jest równy \(r=\frac{1}{2}a\).

Krok 2. Wyznaczenie pola podstawy i wysokości stożka.
Znając długość promienia możemy obliczyć pole podstawy stożka:
$$P_{p}=πr^2 \\
P_{p}=π\cdot\left(\frac{1}{2}a\right)^2 \\
P_{p}=\frac{1}{4}πa^2$$

Wysokość stożka jest wysokością naszego trójkąta równobocznego, zatem zgodnie ze standardowym wzorem na wysokość trójkąta równobocznego:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie objętości stożka.
Do wzoru na objętość stożka musimy podstawić dane wyznaczone w drugim kroku:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}πa^2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
V=\frac{\sqrt{3}}{24}πa^3$$

B

Krok 1. Uporządkowanie w kolejności niemalejącej zarobków pracowników.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany zawsze musimy najpierw uporządkować liczby w porządku niemalejącym, zatem:
$$2000, 2800, 3400, 3600, 4200, 8000$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Nasz ciąg liczb składa się z sześciu wyrazów (czyli jest to parzysta ilość), zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów:
$$m=\frac{3400+3600}{2} \\
m=\frac{7000}{2} \\
m=3500$$

B

Krok 1. Określenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną z piętnasty liczb, stąd też \(|Ω|=15\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
W tym przypadku zdarzeniem sprzyjającym są liczby podzielne przez \(4\). W naszym zbiorze znalazły się tylko trzy takie liczby:
$$4,8,12$$

W związku z tym \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$$

\(x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle7;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Do obliczenia tej nierówności skorzystamy z metody delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=7\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot7=64-28=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-6}{2\cdot1}=\frac{8-6}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+6}{2\cdot1}=\frac{8+6}{2}=\frac{14}{2}=7$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy parabolę. Kropki przy miejscach zerowych będą zamalowane bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe lub równe zero. W związku z tym rozwiązaniem będzie następujący przedział: \(x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle7;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=6 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-6x^2-9x+54=0 \\
x^2(x-6)-9(x-6)=0 \\
(x-6)(x^2-9)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Przyrównujemy wartości z obydwu nawiasów do zera i w ten sposób wyznaczamy rozwiązania naszego równania:
$$x-6=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \\
x=6 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(S_{6}=78\)

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=3\) oraz \(a_{4}=15\). Podstawiając te informacje do wzoru na czwarty wyraz ciągu arytmetycznego możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \\
15=3+3r \\
3r=12 \\
r=4$$

Krok 2. Obliczenie sumy sześciu początkowych wyrazów ciągu.
Znając wartość różnicy ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu możemy obliczyć sumę dowolnej liczby wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{6}=\frac{2\cdot3+(6-1)\cdot4}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{6+20}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{26}{2}\cdot6 \\
S_{6}=13\cdot6 \\
S_{6}=78$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu arytmetycznego, czyli \(r=4\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|AD|=3\)

Musimy zauważyć, że trójkąt \(ADC\) jest trójkątem prostokątnym (bo wysokość zawsze jest opuszczana pod kątem prostym). To dość ważna informacja, bo dzięki niej wiemy, że możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych. Skoro znamy miarę kąta jednego z kątów ostrych i znamy długość przeciwprostokątnej \(AC\), to możemy skorzystać z funkcji sinusa:
$$sin30°=\frac{|AD|}{|AC|} \\
\frac{1}{2}=\frac{|AD|}{6} \\
|AD|=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jakąkolwiek zależność z której można obliczyć długość odcinka \(AD\) np. \(sin30°=\frac{|AD|}{6}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono obliczając pola poszczególnych trójkątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Tak naprawdę kluczem do sukcesu jest dorysowanie wspólnej wysokości trójkąta \(ACD\) oraz rozwartokątnego trójkąta \(DCE\) z wierzchołka \(D\). Warto też zauważyć, że pole trójkąta \(ACD\) jest dwa razy mniejsze od pola naszego równoległoboku.

Krok 2. Zapisanie wzoru na pole trójkąta \(DCE\) oraz \(ACD\).
Trójkąt \(DCE\) jest rozwartokątny, jego podstawą niech będzie \(|CE|\), a wysokością dorysowany odcinek \(h\). Otrzymamy więc:
$$P_{DCE}=\frac{1}{2}\cdot|CE|\cdot h$$

W treści zadania mamy podaną informację, że \(|CE|=\frac{1}{2}|AC|\) tak więc po podstawieniu tej informacji do powyższego wzoru otrzymamy:
$$P_{DCE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|AC|\cdot h \\
P_{DCE}=\frac{1}{4}\cdot|AC|\cdot h$$

Możemy jeszcze zapisać sobie wzór na pole trójkąta \(ACD\), bo przyda nam się on w kolejnym kroku:
$$P_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h$$

Krok 3. Zapisanie wzoru na pole równoległoboku \(ABCD\).
Nasz równoległobok ma dwa razy większą powierzchnię od trójkąta \(ACD\), zatem:
$$P_{ABCD}=2\cdot P_{ACD} \\
P_{ABCD}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h \\
P_{ABCD}=|AC|\cdot h$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
$$\frac{P_{ABCD}}{P_{DCE}}=\frac{|AC|\cdot h}{\frac{1}{4}|AC|\cdot h}=4$$

Udało nam się w ten sposób udowodnić, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest czterokrotnie większe od pola trójkąta \(DCE\), co kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy w trakcie obliczeń otrzymasz jakąś kluczową zależność np. że \(P_{DCE}=\frac{1}{4}|AC|\cdot h\) (patrz: Krok 2.), albo zapiszesz, że pole trójkąta \(ABC\) lub \(ACD\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(DCE\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono obliczając deltę.

Krok 1. Obliczenie delty.
Najprościej to zadanie udowodnimy pomocą delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=b,\;c=c\)
$$Δ=b^2-4ac=b^2-4c$$

Krok 2. Analiza otrzymanej delty.
Wartość \(b^2\) jest zawsze dodatnia (lub równa zero), bo każda liczba podniesiona do kwadratu jest dodatnia (lub równa zero).
Wartość \(4c\) będzie zawsze ujemna, bo zakładamy \(c\lt0\).
W związku z tym mamy:
$$Δ=\text{(l. dodatnia)-(l. ujemna)=l. dodatnia}$$

Udało nam się w ten sposób udowodnić, że delta wyjdzie zawsze dodatnia, a to oznacza, że rzeczywiście ten trójmian będzie miał dwa różne miejsca zerowe.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiążesz to zadanie podstawiając do wzoru konkretną liczbę \(c\).
1 pkt
• Gdy obliczysz deltę (patrz: Krok 1.), ale nie udowodnisz dlaczego jest ona zawsze dodatnia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(B=\left(6\frac{4}{5};3\frac{2}{5}\right)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Nasz rysunek możemy wykonać dość dokładnie, dzięki czemu będziemy w stanie zweryfikować później poprawność naszych obliczeń.

Krok 2. Określenie współrzędnych punktu \(B\).
Współrzędne każdego punktu możemy określić jako \((x;y)\). Z treści zadania wiemy, że przez punkt \(B\) przechodzi prosta o równaniu \(y=\frac{1}{2}x\). Możemy więc podstawić wartość tego "igreka" za współrzędną \(y\) i zapisać współrzędne tego punktu jako: \(B=(x;\frac{1}{2}x)\).

Dzięki temu pozbyliśmy się niewiadomej \(y\), a to nam znacznie ułatwi dotarcie do końcowego rozwiązania.

Krok 3. Zapisanie równania wynikającego z trójkąta równoramiennego.
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Wiemy, że boki \(AC\) oraz \(BC\) mają tą samą długość, dlatego między miarami tych odcinków możemy postawić znak równości. Znamy współrzędne \(A\) i \(C\), zapisaliśmy też sobie współrzędne punktu \(B\) z wykorzystaniem jednej niewiadomej, zatem:
$$|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(1-2)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+\left(9-\frac{x}{2}\right)^2 \\
1+64=1-2x+x^2+81-9x+\frac{x^2}{4} \\
65=x^2+\frac{1}{4}x^2-11x+82 \\
\frac{5}{4}x^2-11x+17=0 \quad\bigg/\cdot4 \\
5x^2-44x+68=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=5,\;b=-44,\;c=68\)
$$Δ=b^2-4ac=(-44)^2-4\cdot5\cdot68=1936-1360=576 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)-24}{2\cdot5}=\frac{44-24}{10}=\frac{20}{10}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)+24}{2\cdot5}=\frac{44+24}{10}=\frac{68}{10}$$

Krok 5. Analiza otrzymanych rozwiązań i określenie końcowych współrzędnych punktu \(B\).
Dla \(x=2\) otrzymaliśmy współrzędną punktu \(A\). To nie jest więc to rozwiązanie, które nas interesuje, choć też jest dla nas ważne, bo przy okazji potwierdza poprawność naszych obliczeń (wszak punkt \(A\) także leży na prostej \(y=\frac{1}{2}x\)).

Współrzędne punktu \(B\) otrzymaliśmy z drugiego rozwiązania, czyli \(x=\frac{68}{10}\). Brakuje nam jeszcze współrzędnej \(y\), ale zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie w drugim kroku i zgodnie z równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt:
$$y=\frac{1}{2}x \\
y=\frac{1}{2}\cdot\frac{68}{10} \\
y=\frac{68}{20}$$

Otrzymane wyniki możemy jeszcze skrócić i wyłączyć z nich całość, tak więc:
$$x=\frac{68}{10}=6\frac{4}{5} \\
y=\frac{68}{20}=3\frac{2}{5}$$

Poszukiwane współrzędne to \(B=\left(6\frac{4}{5};3\frac{2}{5}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu \(B\) z jedną niewiadomą \(x\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(CD\) w postaci \(y=-2x+11\) (gdzie punkt \(D\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu \(C\)).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(|AC|=\sqrt{65}\).
2 pkt
• Gdy w zależności od sposobu rozwiązywania ułożysz odpowiednie równanie bądź stworzysz układ równań, z którego da się obliczyć współrzędne punktu \(B\) - jest tu bardzo wiele różnych możliwości (np. mogą to być równania związane z długościami odcinków, z odległością punktu od prostej itd.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zapisane równanie lub układ równań do postaci ogólnej równania kwadratowego np. \(5x^2-44x+68=0\) (patrz: Krok 3.) lub \(\frac{5}{4}x^2-11x+17=0\) lub \(5y^2-22y+17=0\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu D=(\frac{22}{5};\frac{11}{5})\) (gdzie punkt \(D\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu \(C\)).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sinα=\frac{\sqrt{42}}{7}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną \(AC\), bo z treści zadania wynika, że będziemy pracować na trójkącie \(ACS\).



Warto zauważyć, że skoro \(ACS\) jest trójkątem równobocznym, to \(|AC|=|AS|=|SD|=8\).

Potrzebujemy obliczyć sinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy, czyli zgodnie z naszym rysunkiem:
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie ma on na pewno kwadrat. My znamy długość przekątnej tego kwadratu, bo \(|AC|=8\). Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8 \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym, wiedząc że bok naszego trójkąta \(ACS\) ma długość \(a=8\).
$$|SE|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|SE|=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
|SE|=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SF\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(FDS\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny, bo wysokość ściany bocznej jest opuszczona pod kątem prostym. Punkt \(F\) znajduje się w połowie długości odcinka \(AD\), bo \(ADS\) jest trójkątem równoramiennym, a wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części. Długość odcinka \(AD\) wyliczyliśmy w drugim kroku, a to oznacza, że:
$$|FD|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2} \\
|FD|=2\sqrt{2}$$

Skoro znamy długość \(|FD|=2\sqrt{2}\), wiemy też, że \(|SD|=8\), to z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy potrzebną nam długość \(|SF|\):
$$|FD|^2+|SF|^2=|SD|^2 \\
(2\sqrt{2})^2+|SF|^2=8^2 \\
4\cdot2+|SF|^2=64 \\
8+|SF|^2=64 \\
|SF|^2=56 \\
|SF|=\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot14}=2\sqrt{14}$$

Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Wszystkie potrzebne długości już wyznaczyliśmy, zatem wystarczy je tylko podstawić do wzoru który zapisaliśmy sobie w pierwszym kroku.
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{42}}{2\cdot14} \\
sinα=\frac{4\sqrt{42}}{28} \\
sinα=\frac{\sqrt{42}}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy, czyli \(a=4\sqrt{2}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SE|=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa, czyli \(|SF|=2\sqrt{14}\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz zarówno długość krawędzi podstawy jak i wysokości ostrosłupa oraz ściany bocznej (patrz: Krok 2. oraz 3. oraz 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(tgα=\sqrt{6}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(v=28,5\frac{km}{h}\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie układu równań.
W całym zadaniu przyda nam się znajomość wzoru \(v=\frac{s}{t}\) i umiejętność jego zamiany na pożądaną formę.
\(v\) - średnia prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas jazdy kolarza (w godzinach)
\(s=114\) - pokonana trasa (w kilometrach)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać dwa równania, które stworzą układ równań:
\begin{cases}
114=vt \\
(v-9,5)(t+2)=114
\end{cases}

Najprościej będzie podstawić wartość \(t=\frac{114}{v}\) z pierwszego równania do drugiego, dzięki czemu otrzymamy:
$$\require{cancel}
(v-9,5)\left(\frac{114}{v}+2\right)=114 \quad\bigg/\cdot v \\
(v-9,5)(114+2v)=114v \\
\cancel{114v}+2v^2-1083-19v=\cancel{114v} \\
2v^2-19v-1083=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-19,\;c=-1083\)
$$Δ=b^2-4ac=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-1083)=361-(-8664)=361+8664=9025 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9025}=95$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)-95}{2\cdot2}=\frac{19-95}{4}=\frac{-76}{4}=-19 \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)+95}{2\cdot2}=\frac{19+95}{4}=\frac{114}{4}=28,5$$

Ujemną prędkość oczywiście odrzucamy, więc jedyną prawidłową odpowiedzią jest \(v=28,5\frac{km}{h}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.