Matura – Matematyka – Maj 2013 – Odpowiedzi

A

Musimy poprawnie rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną:
$$x+4\lt5 \quad\land\quad x+4\gt-5 \\
x\lt1 \quad\land\quad x\gt-9 \\
x\in(-9;1)$$

Prawidłowy jest więc zbiór przedstawiony w pierwszej odpowiedzi.

B

Musimy matematycznie zapisać relację między liczbami \(a\) i \(b\), a następnie wyznaczyć z danego równania wartość \(a\):
$$0,12a=0,15b \\
a=\frac{0,15}{0,12}b \\
a=\frac{5}{4}b \\
a=\frac{125}{100}b \\
a=1,25b$$

\(a\) jest więc równe \(125\%\) liczby \(b\).

B

Rozpatrzmy sobie oddzielnie poszczególne logarytmy, które wchodzą w skład różnicy z treści zadania:
a) \(log100\) - jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie w podstawie mamy liczbę \(10\). To oznacza, że tak naprawdę \(log100=\log_{10}100\). Musimy sobie teraz odpowiedzieć na pytanie: do której potęgi trzeba podnieść \(10\), aby otrzymać \(100\)? Oczywiście do drugiej, bo \(10^2=100\). W związku z tym \(log100=2\).

b) \(\log_{2}8\) - do której potęgi należy podnieść \(2\), aby otrzymać \(8\)? Oczywiście do potęgi trzeciej, bo \(2^3=8\). W związku z tym \(\log_{2}8=3\).

Rozwiązaniem naszego działania wygląda więc następująco:
$$log100-\log_{2}8=2-3=-1$$

C

Układ ten można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej jest chyba skorzystać z metody przeciwnych współczynników:
\begin{cases}
5x+3y=3 \quad\bigg/\cdot2 \\
8x-6y=48
\end{cases}\begin{cases}
10x+6y=6 \\
8x-6y=48
\end{cases}

Po dodaniu obu stron równania otrzymamy:
$$18x=54 \\
x=3$$

W zasadzie w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, to \(x=3\) występuje tylko w jednej odpowiedzi. Nie mniej wyznaczmy jeszcze wartość \(y\).

Wartość \(y\) policzymy z dowolnie wybranego równania, podstawiając tam wyliczone przed chwilą \(x=3\), np.:
$$5x+3y=3 \\
5\cdot3+3y=3 \\
15+3y=3 \\
3y=-12 \\
y=-4$$

D

Skoro wykres funkcji przechodzi przez punkt \(A=(0;1)\) to po podstawieniu \(x=0\) wartość tej funkcji musi być równa \(1\). Stąd też:
$$(m-2)\cdot0+m-3=1 \\
0+m-3=1 \\
m=4$$

D

Funkcja przyjmuje postać kanoniczną \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Skoro znamy wzór naszej funkcji i jest ona przedstawiona dokładnie w takiej postaci jakiej potrzebujemy, to bez problemu odczytamy z niej współrzędne wierzchołka paraboli: \(W=(2;4)\).

Uwaga: Niektórzy błędnie podają pierwszą współrzędną, twierdząc że jest to \(-2\), a nie \(2\). To najczęściej pojawiający się błąd w tym zadaniu. Bądź ostrożny, bo we wzorze przed wartością \(p\) jest już znak "minus".

C

Musimy sprawdzić które z wyrażeń przedstawionych w odpowiedziach \(ABCD\) da nam tą samą wartość co wyrażenie z treści zadania. Jeśli dość sprawnie posługujemy się wzorami skróconego mnożenia, to z pewnością zauważymy że \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\), więc od razu można byłoby zaznaczyć trzecią odpowiedź. Jeśli jednak nie dostrzegamy tej zależności lub jeśli nie pamiętamy o tych wzorach, to najprościej będzie wymnożyć poszczególne wyrażenia:

A. \((4x+3)(x+3)=4x^2+12x+3x+9=4x^2+15x+9\)
B. \((2x-3)(2x+3)=4x^2+6x-6x-9=4x^2-9\)
C. \((2x-3)(2x-3)=4x^2-6x-6x+9=4x^2-12x+9\)
D. \((x-3)(4x-3)=4x^2-3x-12x+9=4x^2-15x+9\)

Pasującą odpowiedzią jest więc tylko trzecia.

D

Krok 1. Określenie tego, kiedy dwie proste są względem siebie prostopadłe.
Aby dwie proste określone wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). To oznacza, że:
$$\frac{2}{m}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$

Krok 2. Rozwiązanie otrzymanego równania.
$$\frac{2}{m}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1 \\
-\frac{6}{2m}=-1 \\
-6=-2m \\
2m=6 \\
m=3$$

A

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja jest malejąca, a to oznacza, że \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji \(y=ax+b\) przecina się z osią \(Oy\). Przykładowo gdy \(b=-2\), to wykres przecina oś w miejscu \(A=(0,-2)\). Widzimy wyraźnie, że nasza funkcja przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\), a więc, a więc \(b\lt0\).

B

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
$$\frac{x}{2}\le\frac{2x}{3}+\frac{1}{4} \quad\bigg/\cdot12 \\
6x\le8x+3 \\
-2x\le3 \quad\bigg/:(-2) \\
x\ge-\frac{3}{2}$$

Pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu przez \(-2\).

Krok 2. Interpretacja wyniku.
Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która spełnia naszą nierówność. Taką liczbą jest \(-1\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

C

Wykres funkcji z drugiego rysunku jest przesunięty o dwie jednostki w prawo względem wykresu funkcji z rysunku pierwszego.
To oznacza, że prawidłowym wzorem wykresu drugiej funkcji będzie ten w którym wartość argumentu \(x\) jest pomniejszona o \(2\), czyli \(y=f(x-2)\).

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(q\).
Znamy wartość pierwszego i drugiego wyrazu, więc możemy wykorzystać tę informację do obliczenia wartości \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Wartość trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego obliczymy mnożąc wartość drugiego wyrazu przez obliczony przed chwilą iloraz \(q\):
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \\
a_{3}=18\cdot\frac{2}{3} \\
a_{3}=12$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(x\).
Skoro trzeci wyraz jest opisany wyrażeniem \(x+5\), a my wiemy, że jest on równy \(12\), to wystarczy utworzyć i rozwiązać proste równanie:
$$x+5=12 \\
x=7$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości \(r\).
Różnicę ciągu arytmetycznego \(r\) obliczymy odejmując od wartości czwartego wyrazu wartość wyrazu trzeciego:
$$r=a_{4}-a_{3} \\
r=14-10 \\
r=4$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj ze wzoru: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Mamy w nim zawartą wartość \(a_{1}\) i jest to nasza jedyna niewiadoma w tym wzorze. Znamy wartość trzeciego wyrazu (oraz czwartego), więc podstawiając do tego wzoru \(n=3\) (lub \(n=4\)) oraz obliczone przed chwilą \(r=4\) otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}+(3-1)r \\
10=a_{1}+2\cdot4 \\
10=a_{1}+8 \\
a_{1}=2$$

A

Skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej": \(sin^2α+cos^2α=1\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(cos^2α\).
Znamy wartości sinusa, więc z jedynki trygonometrycznej wyliczymy wartość \(cos^2α\):
$$cos^2α=1-sin^2α \\
cos^2α=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\
cos^2α=1-\left(\frac{3}{4}\right) \\
cos^2α=\frac{1}{4}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(cos^2α-2\).
$$cos^2α-2=\frac{1}{4}-2=\frac{1}{4}-\frac{8}{4}=-\frac{7}{4}$$

A

W tym zadaniu musimy zauważyć, że kąt wpisany \(DMB\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(DSB\). Gdybyśmy więc znali miarę kąta \(DSB\) to moglibyśmy stwierdzić, że kąt \(α\) jest od niego dwa razy mniejszy.

Kąt \(DSB\) jest kątem wierzchołkowym względem kąta \(ASC\) który ma \(50°\), a to oznacza, że \(|\sphericalangle DSB|=50°\). Po tym ustaleniu już wiemy, że kąt \(α\) będzie miał dwa razy miejszą miarę, czyli \(α=25°\).

C

Aby to równanie dało wynik równy \(0\), to wartość w którymś z nawiasów musi być równa \(0\). To oznacza, że każdy nawias musimy przyrównać do zera i sprawdzić tym samym dla jakich argumentów \(x\) równanie przyjmie wynik równy \(0\).
$$x+1=0 \quad\lor\quad x+2=0 \quad\lor\quad x^2+3=0 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-3$$

Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby wartość ujemną, to zostają nam tylko dwie możliwości. Liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunki równania są więc dwie liczby: \(x=-1\) oraz \(x=-2\).

D

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Z treści zadania możemy wyczytać, że punkty \(A\) i \(B\) są kolejnymi wierzchołkami rombu, czyli że tworzoną one odcinek, który jest jednocześnie bokiem naszej figury. Na początku więc obliczmy długość tego odcinka. Skorzystamy tutaj ze wzoru na długość odcinka, znając jego współrzędne:
$$a=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$$

\(x_{1}\) oraz \(y_{1}\) to współrzędne pierwszego punktu, a \(x_{2}\) oraz \(y_{2}\) to współrzędne drugiego punktu.

Podstawiając współrzędne \(A=(-1;2)\) i \(B=(5;-2)\) otrzymamy:
$$a=\sqrt{(5-(-1))^2+(-2-2)^2} \\
a=\sqrt{6^2+(-4)^2} \\
a=\sqrt{36+16} \\
a=\sqrt{52} \\
a=\sqrt{4\cdot13} \\
a=2\sqrt{13}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu rombu.
Znamy długość jednego z boków rombu, a wiemy że romb ma cztery boki równej długości. To znaczy, że:
$$Obw=4a \\
Obw=4\cdot2\sqrt{13} \\
Obw=8\sqrt{13}$$

C

Środek odcinka \(PQ\) o współrzędnych \(P=(x_{P};y_{P})\) oraz \(Q=(x_{Q};y_{Q})\) możemy opisać wzorem:
$$S=(\frac{x_{P}+x_{Q}}{2};\frac{y_{P}+y_{Q}}{2})$$

Skorzystamy z tej informacji i ze wzoru \(x_{S}=(\frac{x_{P}+x_{Q}}{2})\) wyznaczymy współrzędną \(x_{P}\), a ze wzoru \(y_{S}=(\frac{y_{P}+y_{Q}}{2})\) wyznaczymy współrzędną \(y_{P}\).

Krok 1. Obliczenie współrzędnej \(x\) punktu \(P\).
$$x_{S}=(\frac{x_{P}+x_{Q}}{2}) \\
-4=(\frac{x_{P}+17}{2}) \\
-8=x_{P}+17 \\
x_{P}=-25$$

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(y\) punktu \(P\).
$$y_{S}=(\frac{y_{P}+y_{Q}}{2}) \\
7=(\frac{y_{P}+12}{2}) \\
14=y_{P}+12 \\
y_{P}=2$$

W takim razie współrzędne poszukiwanego punktu to \(P=(-25;2)\).

A

Równanie okręgu w postaci kanonicznej przybiera postać \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są współrzędnymi środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień okręgu. Nas interesuje odczytanie z tych dwóch równań z treści zadania współrzędnych środków dwóch okręgów, co później pozwoli nam na wyznaczenie długości odcinka między tymi środkami.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środków okręgów.
Okrąg o równaniu \((x+1)^2+(y-2)^2=9\) ma zgodnie z tym co wyżej napisaliśmy współrzędne środka okręgu \(S_{1}=(-1;2)\).
Okrąg o równaniu \(x^2+y^2=10\) ma współrzędne środka okręgu \(S_{2}=(0;0)\).

Krok 2. Obliczenie odległości między środkami okręgów.
Znając współrzędne dwóch punktów możemy obliczyć długość odcinka między nimi, korzystając ze wzoru:
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(0-(-1))^2+(0-2)^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{1^2+(-2)^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{1+4} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{5}$$

B

Krok 1. Ustalenie liczby krawędzi i ścian bocznych graniastosłupa.
Jeśli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa, to:
Liczba krawędzi: \(3n\)
Liczba ścian bocznych: \(n\)

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie równania.
Korzystając z zależności wypisanych w pierwszym kroku. możemy zapisać treść zadania w formie prostego równania:
$$3n-n=10 \\
2n=10 \\
n=5$$

To oznacza, że w podstawie graniastosłupa mamy pięciokąt.

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Znamy miarę \(h=4\) oraz \(r=3\). Nam jest potrzebna znajomość długość tzw. "tworzącej stożka" czyli \(l\), bo to dzięki niej wyliczymy pole powierzchni bocznej bryły. Skorzystamy tutaj oczywiście z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie długości tworzącej \(l\).
$$r^2+h^2=l^2 \\
l^2=3^2+4^2 \\
l^2=9+16 \\
l^2=25 \\
l=5 \quad\lor\quad l=-5$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna.

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej stożka.
$$P_{b}=πrl=π\cdot3\cdot5=15π$$

B

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy dwukrotnie tradycyjną kostką do gry. Każdy rzut to jedna z sześciu możliwości otrzymania wyniku. Z racji tego, że rzuty są niezależne względem siebie, to liczbę wszystkich możliwych kombinacji zapiszemy jako \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Iloczyn wyrzuconych oczek równy \(5\) otrzymamy tylko w dwóch przypadkach: \((1;5)\) oraz \((5;1)\). Zatem mamy tylko dwa sprzyjające zdarzenia, czyli \(|A|=2\).

Krok 3. Ustalenie prawdopodobieństwa.
Ostatnim krokiem jest obliczenie prawdopodobieństwa, dzieląc liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$

B

Zadanie możemy rozwiązać na kilka sposobów (nawet usuwając niewymierność z mianownika, czyli mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{2}\)), ale najprościej jest rozwiązać je w następujący sposób:
$$\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{25\cdot2}-\sqrt{9\cdot2}}{\sqrt{2}}= \\
=\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$$

D

Nasz ciąg składa się z sześciu liczb (czyli mamy parzystą liczbę wyrazów), stąd też mediana będzie średnią arytmetyczną trzeciej i czwartej liczby. To pozwala nam utworzyć równanie:
$$\frac{3+x}{2}=4 \\
3+x=8 \\
x=5$$

B

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego możemy obliczyć za pomocą wzoru: \(V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h\). Znamy objętość, mamy też podaną wysokość bryły, więc z tego wzoru możemy wyznaczyć długość podstawy.
$$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h \\
28\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 7 \\
4\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
16\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \\
a^2=16 \\
a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość podstawy nie może być ujemna.

\(x=2\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-2\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-2\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3+2x^2-8x-16=0 \\
x^2(x+2)-8(x+2)=0 \\
(x^2-8)(x+2)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Aby wartość obliczona w pierwszym kroku była równa zero, to wartość w jednym z nawiasów musi być równa zero. Czyli:
$$x^2-8=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x=\sqrt{8} \quad\lor\quad x=-\sqrt{8} \quad\lor\quad x=-2$$

Możemy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka i zapisać, że rozwiązaniem równania są liczby:
$$x=2\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-2\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sin^2α-3cos^2α=0\)

W zadaniu wykorzystamy tzw. "jedynkę trygonometryczną", czyli \(sin^2α+cos^2α=1\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin^2α\) oraz \(cos^2α\).
$$sin^2α=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\
sin^2α=\frac{3}{4} \\
\text{oraz} \\
cos^2α=1-sin^2 \\
cos^2α=1-\frac{3}{4} \\
cos^2α=\frac{1}{4}$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sin^2α-3cos^2α\).
$$sin^2α-3cos^2α=\frac{3}{4}-3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązujesz zadanie metodą graficzną (rysując trójkąt prostokątny) i źle zaznaczysz kąt \(α\) lub źle zapiszesz stosunek długości boków w danej funkcji trygonometrycznej.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość \(cos^2α=\frac{1}{4}\) lub \(cosα=\frac{1}{2}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono przekształcając wskazaną tożsamość.

Krok 1. Przekształcenie tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).
W zadaniu skorzystamy z tożsamości podanej w treści zadania. Spróbujemy ją przekształcić w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wartość \(xy+yz+zx\). Zatem:
$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz \\
(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2xy+2xz+2yz \\
xy+xz+yz=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego równania.
Z treści zadania wiemy, że \(x+y+z=0\), stąd też wartość \((x+y+z)^2\) otrzymana w liczniku jest równa \(0\). Zostaje nam więc tak naprawdę:
$$xy+xz+yz=\frac{-x^2-y^2-z^2}{2}$$

Jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną. Skoro więc przed \(x^2\), \(y^2\) oraz \(z^2\) stoją znaki minusa, to na pewno w liczniku mamy wartość niedodatnią, a to z kolei jest dowodem na to, że \(xy+yz+zx\le0\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie przekształcisz podane równanie, korzystając z tożsamości podanej w treści zadania (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy przekształcisz równanie w taki sposób, że otrzymasz równanie z dwiema niewiadomymi.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

a) Największa wartość funkcji to \(y_{max}=7\).
b) \(x\in(-3;5)\)

Krok 1. Odczytanie największej wartości funkcji \(f\).
Najwyżej położonym punktem na wykresie jest ten o współrzędnych \((6;7)\) w związku z tym największą wartością funkcji jest \(7\).

Krok 2. Odczytanie zbioru rozwiązań nierówności \(f(x)\lt0\).
Interesuje nas teraz informacja dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli tak naprawdę kiedy funkcja znalazła się pod osią \(Ox\). Szukanym zbiorem rozwiązań jest więc \(x\in(-3;5)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie podasz największą wartość funkcji (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy podasz zbiór rozwiązań tej nierówności (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle2\frac{1}{2};+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-7,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot2\cdot5=49-40=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-3}{2\cdot2}=\frac{7-3}{4}=\frac{4}{4}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+3}{2\cdot2}=\frac{7+3}{4}=\frac{10}{4}=2\frac{1}{2}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a=2\), czyli jest dodatni. To oznacza, że parabola musi mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=1\) oraz \(x=2\frac{1}{2}\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesującym nas przedziałem jest ten, dla którego zbiór argumentów przyjmuje wartość większą lub równą zero. Czyli patrzymy w których miejscach wykres funkcji znalazł się nas osią \(Ox\) lub na niej.
Tym zbiorem jest: \(x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle2\frac{1}{2};+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono wyłączając odpowiednie czynniki przed nawias.

Aby móc udowodnić, że wskazana liczba jest podzielna przez \(17\) najlepiej byłoby z całego zapisu wyłączyć liczbę \(17\) (lub jej wielokrotność) i właśnie w ten sposób udowodnimy wskazaną tezę.

Krok 1. Wyłączenie przed nawias wartości \(6^{98}\).
$$6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}= \\
=6^{98}\cdot(6^2-2\cdot6+10)= \\
=6^{98}\cdot(36-12+10)= \\
=6^{98}\cdot34=6^{98}\cdot2\cdot17$$

Krok 2. Interpretacja obliczeń i zakończenie dowodzenia.
Liczbę \(6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\) przedstawiliśmy w formie mnożenia \(6^{98}\cdot2\cdot17\), którego jeden z czynników jest równy \(17\). To znaczy, że cała liczba jest podzielna przez \(17\), a wynikiem tego dzielenia byłoby \(6^{98}\cdot2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiedni czynnik przed nawias np. otrzymując postać \(6^{98}\cdot(6^2-2\cdot6+10)\) lub \(6^{98}\cdot34\) (patrz: Krok 1.) i nie udowodnisz dlaczego ta liczba jest podzielna przez \(17\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(|\sphericalangle ABC|=45°, |\sphericalangle BCA|=75°, |\sphericalangle CAB|=60°\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Musimy dostrzec, że trójkąty \(ABS\), \(BSC\) i \(ASC\) są równoramienne, bo każdy z nich ma dwa ramiona o długości promienia okręgu. Trójkąty równoramienne mają tę cechę, że przy podstawie posiadają dwa kąty identycznej miary. W związku z tym, jeśli oznaczymy sobie jako \(α\) kąt \(BAS\), to także kąt \(ABS\) jest równy \(α\).

Z treści zadania wiemy też, że kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\), czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami miara kąta \(CBS\) jest równa \(2α\). To oznacza, że i kąt \(BCS\) ma miarę \(2α\). I analogicznie skoro kąt \(ACS\) jest równy \(3α\), to i kąt \(CAS\) ma miarę \(3a\). Oznaczmy sobie wszystkie te dane na rysunku pomocniczym.



Krok 2. Obliczenie miar kątów trójkąta \(ABC\).
Suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\). Na rysunku widzimy, że:
$$|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCA|+|\sphericalangle CAB|=3α+5α+4α=12α$$

To oznacza, że bardzo łatwo możemy wyznaczyć wartość \(α\) i tym samym obliczyć miarę każdego z kątów.
$$12α=180° \\
α=15°$$

Zatem:
$$|\sphericalangle ABC|=3α=3\cdot15°=45° \\
|\sphericalangle BCA|=5α=5\cdot15°=75° \\
|\sphericalangle CAB|=4α=4\cdot15°=60°$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz miary kątów \(BAS\), \(ACS\) i \(CBS\) używając jednej zmiennej, np. \(|\sphericalangle BAS|=α\), \(|\sphericalangle ACS|=3α\) i \(|\sphericalangle CBS|=2α\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy oprócz zapisania miar kątów \(BAS\), \(ACS\) i \(CBS\) dostrzeżesz, że poszczególne trójkąty są równoramienne i tym samym będą miały one jednakowe miary przy swoich podstawach (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy oprócz zapisania miar kątów \(BAS\), \(ACS\) i \(CBS\) wykorzystasz własności kątów środkowych i wpisanych i tym samym zapiszesz odpowiedni układ równań (może to być układ trzech równań), który pozwoli obliczyć miary tych kątów.
3 pkt
• Gdy otrzymasz równanie \(3α+5α+4α=180°\) i/lub obliczysz, że \(α=15°\).
ALBO
• Gdy obliczysz miarę jednego kąta trójkąta np. \(|\sphericalangle CAB|=60°\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=400cm^3\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Do obliczenia objętości potrzebujemy miarę wysokości ostrosłupa, czyli odcinka \(SO\). Obliczmy ją z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to musimy poznać miary odcinków \(OE\) oraz \(SE\).

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy oraz odcinka \(OE\).
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w swojej podstawie kwadrat. Skoro pole powierzchni jest równe \(100cm^2\), to długość krawędzi podstawy jest równa \(10cm\).

Odcinek \(OE\) jest równy połowie długości podstawy, czyli \(|OE|=5cm\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Pole powierzchni bocznej jest równe \(260cm^2\). Skoro mamy cztery identyczne trójkątne ściany, a każda z nich ma w podstawie trójkąt, to z tego pola powierzchni będziemy w stanie wyznaczyć wysokość każdego takiego trójkąta, czyli nasz odcinek \(SE\).

$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \\
260cm^2=4\cdot\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot h \\
260cm^2=20cm\cdot h \\
h=13cm$$

Mamy już więc kolejną długość \(|SE|=13cm\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa na trójkącie \(SOE\).
$$a^2+b^2=c^2 \\
|OE|^2+|SO|^2=|SE|^2 \\
(5cm)^2+|SO|^2=(13cm)^2 \\
25cm^2+|SO|^2=169cm^2 \\
|SO|^2=144cm^2 \\
|SO|=12cm \quad\lor\quad |SO|=-12cm$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość ostrosłupa nie może być ujemna.

Krok 4. Obliczenie objętości bryły.
Znamy pole podstawy, mamy obliczoną wysokość ostrosłupa, więc wystarczy już tylko podstawić dane do wzoru:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot100cm^2\cdot12cm \\
V=400cm^3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz zadanie błędnie tylko dlatego, że przymiesz iż pole powierzchni bocznej to pole powierzchni tylko jednej ściany bocznej, a nie suma powierzchni wszystkich ścian bocznych.
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Prędkość pierwszego pociągu to \(72\frac{km}{h}\), a drugiego to \(63\frac{km}{h}\).

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
\(t\) - czas jazdy pierwszego pociągu
\(v\) - prędkość jazdy pierwszego pociągu
\(t+\frac{2}{3}h\) - czas jazdy drugiego pociągu (dodajemy \(\frac{2}{3}\), bo \(40\) minut to \(\frac{2}{3}\) godziny. Gdybyśmy zapisali to jako \(t+40min\) to potem nie moglibyśmy się posługiwać jednostkami \(\frac{km}{h}\))
\(v-9\frac{km}{h}\) - prędkość jazdy drugiego pociągu
\(s=336km\) - długość całej trasy

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na drogę \(s=v\cdot t\). Podstawiając do niego nasze dane wypisane w pierwszym otrzymamy następujący układ równań:
\begin{cases}
vt=336 \\
(v-9)(t+\frac{2}{3})=336
\end{cases}\begin{cases}
t=\frac{336}{v} \\
vt+\frac{2}{3}v-9t-6=336
\end{cases}

Po podstawieniu wartości \(t\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
v\cdot\frac{336}{v}+\frac{2}{3}v-9\cdot\frac{336}{v}-6=336 \\
\cancel{336}+\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=\cancel{336} \\
\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\
v-\frac{4536}{v}-9=0 \quad\bigg/\cdot v \\
v^2-9v-4536=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-9,\;c=-4536\)
$$Δ=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot1\cdot(-4536)=81+18144=18225 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{18225}=135$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)-135}{2\cdot1}=\frac{9-135}{2}=\frac{-126}{2}=-63 \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)+135}{2\cdot1}=\frac{9+135}{2}=\frac{144}{2}=72$$

Rozwiązanie ujemne wykluczamy, bo prędkość musi być dodatnia. To oznacza, że ostatecznym rozwiązaniem jest \(v=72\frac{km}{h}\).

Krok 4. Obliczenie prędkości drugiego pociągu.
Prędkość jazdy drugiego pociągu to:
$$v-9\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}-9\frac{km}{h}=63\frac{km}{h}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.