Matura poprawkowa - Matematyka - Sierpień 2022

Poniżej znajduje się arkusz maturalny z matematyki (matura poprawkowa podstawowa – sierpień 2022). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2022

Arkusz maturalny zawiera 28 zadań zamkniętych oraz 7 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 45 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.

Zadanie 1. (1pkt) Liczba $\dfrac{8^{-40}}{2^{10}}$ jest równa:

$4^{-4}$

$4^{-50}$

$2^{-47}$

$2^{-130}$

Zadanie 2. (1pkt) Liczba $log_{2}32-log_{2}8$ jest równa:

$2$

$14$

$16$

$24$

Zadanie 3. (1pkt) Liczba $(5-2\sqrt{3})^2$ jest równa:

$25+4\sqrt{3}$

$25-4\sqrt{3}$

$37+20\sqrt{3}$

$37-20\sqrt{3}$

Zadanie 4. (1pkt) Cenę $x$ (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o $30\%$, a następnie obniżono o $20\%$ w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa:

$0,36\cdot x$ złotych

$0,44\cdot x$ złotych

$0,50\cdot x$ złotych

$0,56\cdot x$ złotych

Zadanie 5. (1pkt) Jednym z rozwiązań równania $5(x+1)-x^2(x+1)=0$ jest liczba:

$1$

$(-1)$

$5$

$(-5)$

Zadanie 6. (1pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\dfrac{8x-3}{4}\gt6x$ jest przedział:

$\left(-\infty;-\frac{3}{4}\right)$

$\left(-\frac{3}{4};+\infty\right)$

$\left(-\infty;-\frac{3}{16}\right)$

$\left(-\frac{3}{16};+\infty\right)$

Zadanie 7. (1pkt) Suma wszystkich rozwiązań równania $(2x-1)(2x-2)(x+2)=0$ jest równa:

$\left(-\frac{7}{2}\right)$

$\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\frac{1}{2}$

$1$

Zadanie 8. (1pkt) Punkt $A=(1;2)$ należy do wykresu funkcji $f$, określonej wzorem $f(x)=(m^2-3)x^3-m^2+m+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy:

$m=-4$

$m=-2$

$m=0$

$m=4$

Zadanie 9. (1pkt) Funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x)=(2m-5)x+22$ jest rosnąca dla:

$m\gt\frac{2}{5}$

$m\gt2,5$

$m\gt0$

$m\gt2$

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=x^2+bx+c$ osiąga dla $x=2$ wartość najmniejszą równą $4$. Wtedy:

$b=-4, c=8$

$b=4, c=-8$

$b=-4, c=-8$

$b=4, c=8$

Zadanie 11. (1pkt) Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=-2(x-2)(x+1)$. Funkcja $f$ jest rosnąca w zbiorze:

$(-\infty; \frac{1}{2}\rangle$

$(-1;2)$

$(0;\frac{5}{2})$

$\langle\frac{5}{2};+\infty)$

Zadanie 12. (1pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej na zbiorze $\langle-2;5)$.
matura z matematyki

Funkcja $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x)=f(x-1)$. Wykres funkcji $g$ można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji $f$. Dziedziną funkcji $g$ jest zbiór:

$\langle0;2)$

$\langle-1;6)$

$\langle-3;4)$

$\langle1;3)$

Zadanie 13. (1pkt) Dane są ciągi $a_{n}=3n$ oraz $b_{n}=4n-2$, określone dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Liczba $10$:

jest wyrazem ciągu $(a_{n})$ i jest wyrazem ciągu $(b_{n})$

jest wyrazem ciągu $(a_{n})$ i nie jest wyrazem ciągu $(b_{n})$

nie jest wyrazem ciągu $(a_{n})$ i jest wyrazem ciągu $(b_{n})$

nie jest wyrazem ciągu $(a_{n})$ i nie jest wyrazem ciągu $(b_{n})$

Zadanie 14. (1pkt) Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu $(a_{n})$ są równe $2$. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:

$1$

$11$

$21$

$31$

Zadanie 15. (1pkt) W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem $1200$ guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

$800$

$900$

$1000$

$1500$

Zadanie 16. (1pkt) Przyprostokątna $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ ma długość $6$, a przeciwprostokątna $AB$ ma długość $3\sqrt{5}$. Wtedy tangens kąta ostrego $CAB$ tego trójkąta jest równy:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\frac{1}{2}$

$2$

Zadanie 17. (1pkt) Nie istnieje kąt ostry $\alpha$ taki, że:

$sin\alpha=\frac{1}{3}$ i $cos\alpha=\frac{2}{3}$

$sin\alpha=\frac{5}{13}$ i $cos\alpha=\frac{12}{13}$

$sin\alpha=\frac{3}{5}$ i $cos\alpha=\frac{4}{5}$

$sin\alpha=\frac{9}{15}$ i $cos\alpha=\frac{12}{15}$

Zadanie 18. (1pkt) Wierzchołki $A, B, C$ czworokąta $ABSC$ leżą na okręgu o środku $S$. Kąt $ABS$ ma miarę $40°$ (zobacz rysunek), a przekątna $BC$ jest dwusieczną tego kąta.
matura z matematyki

Miara kąta $ASC$ jest równa:

$30°$

$40°$

$50°$

$60°$

Zadanie 19. (1pkt) Punkty $A$ oraz $B$ leżą na okręgu o środku $S$. Kąt środkowy $ASB$ ma miarę $100°$. Prosta $l$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ i tworzy z cięciwą $AB$ okręgu kąt o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Wtedy:

$\alpha=40°$

$\alpha=45°$

$\alpha=50°$

$\alpha=60°$

Zadanie 20. (1pkt) Pole prostokąta jest równe $16$, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym $\alpha$, takim, że $sin\alpha=0,2$. Długość przekątnej tego prostokąta jest równa:

$4\sqrt{5}$

$4\sqrt{10}$

$80$

$160$

Zadanie 21. (1pkt) Proste o równaniach $y=\frac{2}{3}x-3$ oraz $y=(2m-1)x+1$ są prostopadłe, gdy:

$m=-\frac{5}{4}$

$m=-\frac{1}{4}$

$m=\frac{5}{6}$

$m=\frac{5}{4}$

Zadanie 22. (1pkt) Punkty $A=(1;-3)$ oraz $C=(-2;4)$ są końcami przekątnej $AC$ rombu $ABCD$. Środek przekątnej $BD$ tego rombu ma współrzędne:

$\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$

$\left(\frac{1}{2}; -\frac{3}{2}\right)$

$(-1;2)$

$(-1;1)$

Zadanie 23. (1pkt) Punkty $A=(-6;5), B=(5;7), C=(10;-3)$ są wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Długość przekątnej $BD$ tego równoległoboku jest równa:

$3\sqrt{5}$

$4\sqrt{5}$

$6\sqrt{5}$

$8\sqrt{5}$

Zadanie 24. (1pkt) Obrazem prostej o równaniu $y=2x+5$ w symetrii osiowej względem osi $Ox$ jest prosta o równaniu:

$y=2x-5$

$y=-2x-5$

$y=-2x+5$

$y=2x+5$

Zadanie 25. (1pkt) W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy $7:3$. Podstawą tego graniastosłupa jest:

trójkąt

pięciokąt

siedmiokąt

ośmiokąt

Zadanie 26. (1pkt) Średnia arytmetyczna zestawu liczb $a,b,c,d$ jest równa $20$. Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb $a-10, b+30, c, d$ jest równa:

$10$

$20$

$25$

$30$

Zadanie 27. (1pkt) Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od $300$ o wszystkich cyfrach parzystych jest:

$6\cdot10\cdot10$

$3\cdot10\cdot10$

$6\cdot5\cdot5$

$3\cdot5\cdot5$

Zadanie 28. (1pkt) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez $3$. Wtedy:

$p=\frac{1}{18}$

$p=\frac{1}{6}$

$p=\frac{1}{3}$

$p=\frac{2}{3}$

Zadanie 29. (2pkt) Rozwiąż nierówność $3x^2-8x\ge3$
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Rozwiązywanie należy zacząć od przekształcenia nierówności, tak aby po prawej stronie otrzymać zero. Odejmując obustronnie $3$, otrzymamy:
$$3x^2-8x\ge3 \\
3x^2-8x-3\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych, korzystając z tradycyjnej delty.
Współczynniki: $a=3,\;b=-8,\;c=-3$
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot3\cdot(-3)=64-(-36)=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-10}{2\cdot3}=\frac{8-10}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+10}{2\cdot3}=\frac{8+10}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik $a$ jest dodatni. Zaznaczając na osi obliczone miejsca zerowe, otrzymamy taką oto sytuację:
matura z matematyki

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero. Patrzymy się zatem co znajduje się nad osią lub na osi i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie $x\in(-\infty; -\frac{1}{3}\rangle\cup \langle3;+\infty)$.

Zadanie 30. (2pkt) Trójwyrazowy ciąg $(x,y-4,y)$ jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $6$. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz dwa równania z niewiadomymi $x$ oraz $y$ np. $(y-4)-x=y-(y-4)$ oraz $x+(y-4)+y=6$.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Skoro drugi wyraz ciągu jest równy $y-4$, a trzeci jest równy $y$, to różnica tego ciągu jest równa $4$. Możemy do tego dojść też w bardziej matematyczny sposób:
$$r=a_{3}-a_{2} \\
r=y-(y-4) \\
r=y-y+4 \\
r=4$$

Krok 2. Zapisanie wartości pierwszego wyrazu.
Pierwszy wyraz ciągu jest zapisany jako niewiadoma $x$. Spróbujmy teraz zapisać ten wyraz przy użyciu niewiadomej $y$, tak aby potem móc ułożyć równanie z jedną niewiadomą. Skoro różnica ciągu to $r=4$ oraz $a_{2}=y-4$, to:
$$a_{1}=a_{2}-r \\
a_{1}=y-4-4 \\
a_{1}=y-8$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości wszystkich wyrazów ciągu.
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa $6$, zatem:
$$(y-8)+(y-4)+y=6 \\
3y-12=6 \\
3y=18 \\
y=6$$

Obliczona wartość to trzeci wyraz naszego ciągu, czyli $a_{3}=6$. To oznacza, że:
$$a_{2}=y-4=6-4=2 \\
a_{1}=y-8=6-8=-2$$

To oznacza, że wyrazami tego ciągu są kolejno $-2$, $2$ oraz $6$.

Zadanie 31. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ różnej od $0$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ różnej od $0$ spełniona jest nierówność $2a^2-4ab+5b^2\gt0$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu $2(a-b)^2+3b^2\gt0$ lub $a^2+(a-2b)^2+b^2\gt0$ i nie uzasadnisz, dlaczego ta nierówność jest poprawna.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyjaśnienie:

Aby móc wykonać to zadanie, musimy w pewien sprytny sposób przekształcić podaną nierówność, tak aby móc później zwinąć całość lub część zapisu przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Przykładowo, moglibyśmy rozbić $2a^2$ na $a^2+a^2$ oraz $5b^2$ na $4b^2+b^2$, co sprawi, iż otrzymamy następującą sytuację:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0 \\
a^2+a^2-4ab+4b^2+b^2\gt0 \\
a^2-4ab+4b^2+a^2+b^2\gt0 \\
(a-2b)^2+a^2+b^2\gt0$$

Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny (czyli dodatni lub równy zero). Wartość $(a-2b)^2$ jest więc na pewno nieujemna. Zostaje nam jeszcze $a^2$, który jest na pewno dodatni (bo $a$ jest różne od zera) i $b^2$, który jest także dodatni (bo $b$ jest także różne od zera). To oznacza, że lewa strona jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.

Ewentualnie moglibyśmy dokonać jeszcze takiego rozbicia:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0 \\
2(a^2-2ab+b^2)+3b^2\gt0 \\
2(a-b)^2+3b^2\gt0$$

I tu uzasadnienie jest bardzo podobne - wartość $2(a-b)^2$ jest na pewno nieujemna, a $3b^2$ jest na pewno dodatnie, więc lewa strona nierówności jest większa od zera.

Zadanie 32. (2pkt) Rozwiąż równanie $\dfrac{4}{x+2}=x-1$
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do postaci równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Zapisanie założeń.
Równanie ma w mianowniku niewiadomą $x$, więc musimy zapisać odpowiednie założenia. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, więc wartość mianownika musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+2\neq0 \\
x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania równania, a zaczniemy od wymnożenia obydwu stron przez $x+2$, otrzymując:
$$\frac{4}{x+2}=x-1 \quad\bigg/\cdot(x+2) \\
4=(x-1)\cdot(x+2) \\
4=x^2+2x-x-2 \\
4=x^2+x-2 \\
x^2+x-6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:

Współczynniki: $a=1,\;b=1,\;c=-6$
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-5}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+5}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 4. Weryfikacja wyniku.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania: $x=-3$ oraz $x=2$, ale musimy jeszcze sprawdzić, czy te rozwiązania nie wykluczają się z założeniami. W tym przypadku wszystko jest w porządku, żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, więc możemy stwierdzić, że podane równanie ma dwa rozwiązania: $x=-3$ oraz $x=2$.

Zadanie 33. (2pkt) Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości $24$. Punkt $E$ leży na boku $AB$, a punkt $F$ - na boku $BC$ tego trójkąta. Odcinek $EF$ jest równoległy do boku $AC$ i przechodzi przez środek $S$ wysokości $CD$ trójkąta $ABC$ (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka $EF$.
matura z matematyki

Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość przynajmniej jednego z kluczowych odcinków (patrz: Krok 1., 2. oraz 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta $ABC$.
Trójkąt $ABC$ jest równoboczny o boku długości $a=24$. Korzystając ze wzoru na wysokość takiego trójkąta, wyjdzie nam, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{24\sqrt{3}}{2} \\
h=12\sqrt{3}$$

Tym samym możemy zapisać, że $|CD|=12\sqrt{3}$.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka $DS$ oraz $AD$.
Środek wysokości $S$ dzieli wysokość $CD$ na dwie równe części, zatem długość odcinka $DS$ będzie równa:
$$|DS|=12\sqrt{3}:2 \\
|DS|=6\sqrt{3}$$

Dodatkowo możemy od razu policzyć długość odcinka $AD$. W trójkątach równobocznych wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem:
$$|AD|=24:2 \\
|AD|=12$$

matura z matematyki

Krok 3. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i ułożenie odpowiedniego równania.
Skoro odcinek $EF$ jest równoległy do boku $AC$, to trójkąty $ADC$ oraz $EDS$ są trójkątami podobnymi. Możemy więc zapisać, że:
$$\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|DS|}{|ED|} \\
\frac{12\sqrt{3}}{12}=\frac{6\sqrt{3}}{|ED|}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$12\sqrt{3}\cdot|ED|=12\cdot6\sqrt{3} \\
|ED|=6$$

Ewentualnie można do tematu podejść jeszcze inaczej, korzystając ze skali podobieństwa. Spójrzmy na trójkąty prostokątne $ADC$ oraz $EDS$. Są to trójkąty podobne w skali podobieństwa $k=\frac{1}{2}$ (bo wysokość $SD$ jest dwa razy mniejsza od wysokości $CD$). Skoro tak, to dolna przyprostokątna $ED$ jest dwa razy krótsza od przyprostokątnej $AD$, więc:
$$|ED|=k\cdot|AD| \\
|ED|=\frac{1}{2}\cdot12=6$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka $EF$.
Spójrzmy na trójkąt $EBF$. Jest on trójkątem podobnym do trójkąta $ABC$, a więc też jest on równoboczny. Z dotychczasowych obliczeń wynika, że $|ED|=6$ oraz $|DB|=12$, a więc $|EB|=6+12=18$. To oznacza, że długość wszystkich boków tego trójkąta ma długość $18$, czyli tym samym $|EF|=18$.

Zadanie 34. (2pkt) Ze zbioru pięciu liczb ${-5,-4,1,2,3}$ losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie $A$ polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy ze zbioru pięciu liczb, a losowanie jest ze zwracaniem (czyli można wylosować dwa razy tą samą liczbę). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć $|Ω|=5\cdot5=25$.

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym będzie wylosowanie pary, której iloczyn da wynik ujemny. Ujemny wynik otrzymamy tylko wtedy, gdy jedna liczba jest ujemna, a druga dodatnia (lub na odwrót). Wypiszmy zatem interesujące nas zdarzenia:
$$(-5;1), (-5;2), (-5;3), \\
(-4;1), (-4;2), (-4;3), \\
(1;-5), (2;-5), (3;-5), \\
(1;-4), (2;-4), (3;-4).$$

To oznacza, że $12$ par spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że $|A|=12$.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}$$

Zadanie 35. (5pkt) Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$, którego podstawą jest prostokąt $ABCD$. W tym graniastosłupie $|BD|=15$, a ponadto $|CD|=3+|BC|$ oraz $|\sphericalangle CDG|=60°$ (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

5pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą w oparciu o twierdzenie Pitagorasa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość jednej z krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni bocznej (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie objętość graniastosłupa (patrz: Krok 6.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości boków podstawy.
Spójrzmy na trójkąt $BCD$, w którym znamy długość przeciwprostokątnej. Jeśli długość boku $BC$ oznaczymy jako $x$, to zgodnie z treścią zadania bok $CD$ będzie mieć długość $x+3$.
matura z matematyki

Korzystając zatem z Twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$x^2+(x+3)^2=15^2 \\
x^2+x^2+6x+9=225 \\
2x^2+6x=216 \\
2x^2+6x-216=0 \\
x^2+3x-108=0$$

Tak na marginesie, nie ma konieczności dzielenia całego równania przez $2$ (tak jak ja to zrobiłem na samym końcu), ale dzięki temu później będziemy mieć mniejsze liczby.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc rozwiążemy je przy pomocy delty:

Współczynniki: $a=1,\;b=3,\;c=-108$
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot(-108)=9-(-432)=441 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{441}=21$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-21}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+21}{2\cdot1}=\frac{18}{2}=9$$

Krok 3. Obliczenie długości $BC$ oraz $CD$.
Wyszło nam, że rozwiązaniem równania jest $x=-12$ oraz $x=9$, ale oczywiście ujemny wynik musimy odrzucić, ponieważ długość boku musi być dodatnia. Stąd też zostaje nam $x=9$, czyli tym samym (zgodnie z oznaczeniami) $|BC|=9$ oraz $|CD|=9+3=12$.

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt $DCG$. Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długość dolnej przyprostokątnej $|CD|=9+3=12$ i znamy miarę kąta ostrego $|\sphericalangle CDG|=60°$. Chcąc obliczyć wysokość graniastosłupa (czyli bok $CG$) możemy więc wykorzystać funkcje trygonometryczne, a konkretnie tangensa:
$$tg60°=\frac{H}{12} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{12} \\
H=12\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mamy już wszystkie miary krawędzi graniastosłupa. Pole powierzchni bocznej stanowią dwa prostokąty o wymiarach $9\times12\sqrt{3}$ i dwa prostokąty o wymiarach $12\times12\sqrt{3}$, zatem:
$$P_{b}=2\cdot9\cdot12\sqrt{3}+2\cdot12\cdot12\sqrt{3} \\
P_{b}=216\sqrt{3}+288\sqrt{3} \\
P_{b}=504\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Celem zadania jest także obliczenie objętości, zatem:
$$V=9\cdot12\cdot12\sqrt{3} \\
V=1296\sqrt{3}$$

Zdobyłeś/aś: 0/45pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Matura podstawowa z matematyki – Sierpień 2022 – Odpowiedzi

Matura podstawowa z matematyki – Sierpień 2022 – PDF