Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2016 – Odpowiedzi

A

Jeśli najmniejszą z tych liczb oznaczymy jako \(n\), to:
$$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=195 \\
5n+10=195 \\
5n=185 \\
n=37$$

B

Krok 1. Obliczenie wysokości obniżki.
$$220zł-176zł=44zł$$

Krok 2. Obliczenie o ile procent obniżono cenę butów.
Cenę obniżono o \(44zł\) z \(220zł\), czyli:
$$\frac{44}{220}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$

D

Aby móc rozwiązać to zadanie to musimy liczbę \(20\) rozbić na iloczyn \(4\cdot5\), a następnie wykonać poprawnie działania na potęgach. Całość krok po kroku będzie wyglądać następująco:
$$\require{cancel}\frac{4^5\cdot5^4}{20^4}=\frac{4^5\cdot5^4}{(4\cdot5)^4}=\frac{4^5\cdot\cancel{5^4}}{4^4\cdot\cancel{5^4}}=\frac{4^5}{4^4}= \\
=4^5:4^4=4^{5-4}=4^1=4$$

B

Zawarte w tym zadaniu logarytmy najprościej jest obliczyć zamieniając odpowiednio \(729\) oraz \(36\) na potęgi liczb naturalnych, które znalazły się w podstawie logarytmu:
$$729=3^6 \\
36=6^2$$

To oznacza, że całość logarytmu możemy rozwiązać w następujący sposób:
$$\frac{\log_{3}729}{\log_{6}36}=\frac{\log_{3}3^6}{\log_{6}6^2}=\frac{6}{2}=3$$

B

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na początku musimy rozwiązać tę nierówność tak jak każdą inną, a więc:
$$\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt0 \quad\bigg/-\sqrt{7} \\
\frac{x}{5}\gt-\sqrt{7} \quad\bigg/\cdot5 \\
x\gt-5\sqrt{7}$$

Krok 2. Zaokrąglenie wyniku i wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Na kalkulatorze możemy obliczyć, że \(-5\sqrt{7}\approx-13,23\). Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest większa od \(-13,23\). Taką liczbą jest oczywiście \(-13\), tak więc prawidłowa była druga odpowiedź.

A

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Wzór funkcji jest podany w postaci iloczynowej, tak więc miejsca zerowe wyznaczymy przyrównując wartość każdego z nawiasów do zera.
$$(x-1)(x-9)=0 \\
x-1=0 \quad\lor\quad x-9=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=9$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.
Aby móc określić w jakim przedziale ta funkcja jest rosnąca musimy poznać współrzędną iksową wierzchołka paraboli. I właśnie do uzyskania tej informacji przydadzą nam się miejsca zerowe, które obliczyliśmy w pierwszym kroku, bowiem wierzchołek paraboli będzie pomiędzy po środku między jednym i drugim miejscem zerowym. Zatem:
$$x_{W}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 3. Wyznaczenie przedziału dla którego funkcja \(f\) jest rosnąca:
Dla przejrzystości zadania zróbmy sobie jeszcze na rysunek szkicowy.



Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo przed wartościami \(x\) nie było minusów. Funkcja będzie więc rosnąć od wierzchołka (po to właśnie obliczaliśmy jego współrzędną \(x_{W}\)) aż do nieskończoności. Poszukiwanym przedziałem jest więc \(\langle5;+\infty)\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja \(g(x)\) przecina oś \(Oy\) w miejscu \(A=(0;2)\). Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika \(b\).



Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci \(g(x)=ax+b\). Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od współczynnika \(b\), który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) na wysokości dwóch jednostek, to \(b=2\).

W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź.

Krok 3. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik \(a\) musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: \(g(x)=2x+2\).

B

Iloraz \(q\) wyznaczymy sobie z następującego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Znamy czwarty wyraz ciągu, znamy też pierwszy, więc wystarczy podstawić te wszystkie dane do powyższego wzoru:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
-216=8\cdot q^3 \\
q^3=-27 \\
q=-3$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości cosinusa.
W zadaniu skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej" opisanej wzorem \(sin^2α+cos^2α=1\). Do tego wzoru podstawimy sobie wartość sinusa z treści zadania i w ten sposób wyznaczymy wartość cosinusa, zatem:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{16}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{9}{25} \\
cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje jedynie wartości dodatnie.

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα-cosα\).
Znając wartości sinusa i cosinusa pozostaje nam już tylko obliczenie końcowej wartości wyrażenia:
$$sinα-cosα=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$$

D

Skoro funkcja nie ma miejsc zerowych, to na pewno \(Δ\lt0\). Zanim skorzystamy z tej informacji to spróbujmy obliczyć tę deltę tak jak zazwyczaj robimy to przy równaniach i nierównościach kwadratowych:

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=3a\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a$$

Krok 2. Obliczenie wartości jakie przyjmuje parametr \(a\).
Skoro delta musi być mniejsza od zera, to obliczona przed chwilą wartość \(4-12a\) będzie mniejsza od zera. W ten oto sposób wyznaczymy przedział wartości parametru \(a\):
$$4-12a\lt0 \\
-12a\lt-4 \\
12a\gt4 \\
a\gt\frac{1}{3}$$

(Podczas rozwiązywania tej nierówności pamiętaj o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną!)

C

Podstawiając \(n=2\) do wzoru na sumę wyrazów obliczymy sumę dwóch pierwszych wyrazów, a podstawiając \(n=1\) otrzymamy tak naprawdę wartość pierwszego wyrazu. Różnica między tymi wynikami będzie więc odpowiadać wartości drugiego wyrazu tego ciągu. Zatem:
$$a_{2}=S_{2}-S_{1} \\
a_{2}=2\cdot2^2+2-(2\cdot1^2+1) \\
a_{2}=2\cdot4+2-(2\cdot1+1) \\
a_{2}=10-3 \\
a_{2}=7$$

D

Krok 1. Rozwiązanie układu równań.
\begin{cases}
2x-3y=5 \\
-4x+6y=-10 \quad\bigg/:(-2)
\end{cases}\begin{cases}
2x-3y=5 \\
2x-3y=5
\end{cases}

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W układzie równań uzyskaliśmy dwa identyczne równania. To oznacza, że te dwie proste pokrywają się ze sobą, a więc tworzą układ o nieskończonej liczbie rozwiązań.

B

$$\frac{|3-9|}{-3}=\frac{6}{-3}=-2$$

C

Dosyć istotną informację przydatną do rozwiązania tego zadania musimy odczytać bezpośrednio z czterech proponowanych odpowiedzi. Widzimy, że każda prosta jest opisana wzorem \(y=2x+b\) i to właśnie ten współczynnik \(b\) jest zmienny dla każdej z odpowiedzi. Naszym zadaniem jest więc obliczyć wartość tego współczynnika. Aby tego dokonać do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy sobie współrzędne \(x=m-1\) oraz \(y=2m+5\).
$$y=2x+b \\
2m+5=2(m-1)+b \\
2m+5=2m-2+b \\
b=7$$

C

Spróbujmy stworzyć rysunek poglądowy:


Kiedy naniesiemy sobie wszystkie dane z treści zadania na szkic rysunku to okaże się, że tak naprawdę musimy obliczyć długość podstawy trójkąta prostokątnego. To oznacza, że będziemy mogli skorzystać z funkcji trygonometrycznych albo też z własności trójkątów \(30°,60°,90°\). Zatem:
$$\frac{r}{6}=sin60° \\
\frac{r}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
r=3\sqrt{3}$$

D

W tym zadaniu tak naprawdę musimy tylko odczytać z tablic poszczególne wartości i wykonać poprawnie działania na pierwiastkach i potęgach:
$$(tg60°+tg45°)^2-sin60°= \\
=(\sqrt{3}+1)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\
=3+2\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\
=\frac{2\cdot(3+2\sqrt{3}+1)}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\
=\frac{8+4\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\
=\frac{8+3\sqrt{3}}{2}= \\
=4+\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

A

Jeżeli promień podstawy jest równy \(r\) to wysokość walca możemy opisać jako \(2r\). Objętość tego walca jest więc równa:
$$V=πr^2h \\
V=πr^2\cdot2r \\
V=2πr^3$$

D

W tym zadaniu wykorzystamy wzór, który możemy znaleźć w tablicach matematycznych, a mianowicie \(P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot sinγ\), gdzie \(|AC|\) oraz \(|BD|\) to przekątne równoległoboku, a \(γ\) to kąt między tymi przekątnymi.

I tu ważna uwaga - niektórzy omyłkowo biorą do obliczeń podobny i znacznie popularniejszy wzór (także znajdujący się w tablicach): \(P=a\cdot b\cdot sinα\). Z tego wzoru skorzystać nie możemy, bo w tym wzorze kąt \(α\) to kąt między dwoma bokami równoległoboku, a my znamy kąt między przekątnymi! To główna pułapka w tym zadaniu. Oto wycinek z tablic matematycznych i zaznaczony wzór z którego musimy skorzystać:



Przechodząc do obliczeń otrzymamy:
$$P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot8\cdot sin30° \\
P=16\cdot\frac{1}{2} \\
P=8$$

C

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CDA\) (i tym samym \(EDA\)).
Kąt \(CDA\) jest kątem wpisanym, który jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(ASC\). Z własności kątów wpisanych i środkowych wiemy, że kąt wpisany będzie miał miarę dwa razy mniejszą od kąta środkowego, zatem:
$$|\sphericalangle CDA|=110°:2=55°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(DEA\).
Kąty \(BEC\) oraz \(DEA\) są kątami wierzchołkowymi. To oznacza, że mają równą miarę.
$$|\sphericalangle DEA|=|\sphericalangle BEC|=100°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(BAD\).
Kąt \(BAD\) wyliczymy z kątów w trójkącie \(DEA\). W kroku pierwszym i drugim wyliczyliśmy tak naprawdę miary dwóch z kątów tego trójkąta, a trzecim brakującym będzie właśnie poszukiwany przez nas kąt. Jego miara jest zatem równa:
$$|\sphericalangle BAD|=180°-|\sphericalangle CDA|-|\sphericalangle DEA| \\
|\sphericalangle BAD|=180°-55°-100° \\
|\sphericalangle BAD|=25°$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Jeśli dość dokładnie narysujemy ten szkic to tak naprawdę już z samego rysunku będziemy w stanie odczytać długość promienia, zwłaszcza że punkt styczności wypadnie w równym punkcie \(A=(6;0)\). Skąd wiemy, że akurat w tym punkcie wypadnie punkt styczności? Skoro promienie mają być sobie równe, to punkt styczności będzie tak naprawdę środkiem odcinka \(S_{1}S_{2}\) (możemy go wyznaczyć albo matematycznie, albo nawet linijką jeśli inaczej nie potrafimy).

To jest jednak taki alternatywny sposób (gdybyśmy nie umieli tego obliczyć nieco bardziej matematycznie). My natomiast spróbujmy policzyć to zadanie z wykorzystaniem wzoru na odległość między dwoma punktami.

Krok 2. Obliczenie odległości między \(S_{1}\) oraz \(S_{2}\).
Zgodnie ze wzorem na odległość między dwoma punktami mamy:
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(9-3)^2+(-4-4)^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{6^2+(-8)^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{36+64} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{100} \\
|S_{1}S_{2}|=10$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia.
Z rysunku bardzo wyraźnie wynika, że odległość między środkami \(S_{1}\) oraz \(S_{2}\) jest równa sumie długości promieni. W treści zadania mamy informację, że długości tych promieni są równe, więc oznaczając każdy z nich jako \(r\) otrzymamy:
$$r+r=10 \\
2r=10 \\
r=5$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Pierwszą rzeczą którą musimy zauważyć, to że trójkąc \(ABC\) jest równoramienny. Jego ramiona mają długość \(3\), a podstawa jest równa \(|CB|=2\sqrt{2}\). Skąd wiemy, że to jest dokładnie taka długość podstawy? Jest to po prostu przekątna kwadratu o boku \(2\).

Jeżeli z miejsca przecięcia się tych przekątnych (punkt \(P\)) poprowadzimy prostą do wierzchołka \(A\) to otrzymamy tak naprawdę dwusieczną kąta \(α\) (bo jest to wysokość trójkąta równoramiennego, a ta dzieli kąt na dwie równe części). Mamy więc już interesujący nas kąt \(\frac{α}{2}\).

Krok 2. Obliczenie sinusa kąta \(\frac{α}{2}\).
Obliczenia dokonujemy już tylko na trójkącie \(PCA\). Potrzebujemy wyznaczyć sinusa kąta \(CAP\), który ma miarę \(\frac{α}{2}\). Znamy potrzebną nam długosć \(|CA|=3\), potrzebujemy jeszcze poznać długość odcinka \(|CP|\). Jest to połowa przekątnej kwadratu, tak więc:
$$|CP|=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Możemy już teraz obliczyć pożądaną wartość sinusa:
$$sin\frac{α}{2}=\frac{|CP|}{|CA|} \\
sin\frac{α}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

C

Jeżeli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów w figurze znajdującej się w podstawie ostrosłupa, to bryła ta będzie mieć \(2n\) krawędzi i \(n+1\) wierzchołków. To pozwoli nam utworzyć proste równanie:
$$2n-(n+1)=11 \\
2n-n-1=11 \\
n=12$$

A

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest stworzenie poprawnego równania. Bardzo wiele osób tutaj popełnia spory błąd, dlatego omówmy to sobie dość dokładnie. Skoro wartość drugiej średniej będzie większa o \(2\), to aby postawić znak równości między tymi średnimi to musimy dodać dwójkę do pierwszej z nich. Przykładowo gdyby chcieć to pokazać na liczbach, to jeżeli \(\overline{x_{1}}=10\) oraz \(\overline{x_{2}}=12\), to prawidłowe będzie równanie \(\overline{x_{1}}+2=\overline{x_{2}}\).

Mając na uwadze powyższą sugestię możemy to zapisać w taki sposób:
$$\overline{x_{1}}+2=\overline{x_{2}} \\
\frac{4+7+8+x}{4}+2=\frac{4+7+8+x+2}{5} \\
\frac{19+x}{4}+2=\frac{21+x}{5} \quad\bigg/\cdot20 \\
5\cdot(19+x)+40=4\cdot(21+x) \\
95+5x+40=84+4x \\
x=84-95-40 \\
x=-51$$

D

I sposób - z wykorzystaniem ciągów arytmetycznych.
To chyba najbardziej profesjonalny sposób. Liczby podzielne przez \(3\) tworzą ciąg arytmetyczny, którego \(r=3\), \(a_{1}=12\) (bo \(12\) jest pierwszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(3\)) oraz \(a_{n}=99\). Musimy teraz obliczyć ile wyrazów ma ten ciąg, tak więc skorzystamy z następującego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
99=12+(n-1)\cdot3 \\
87=3n-3 \\
90=3n \\
n=30$$

II sposób - z wykorzystaniem mnożenia i dzielenia.
Tak naprawdę każdą liczbę podzielną przez \(3\) możemy zapisać jako iloczyny kolejnych liczb naturalnych:
$$3=3\cdot1 \\
6=3\cdot2 \\
... \\
96=3\cdot32 \\
99=3\cdot33$$

Liczb podzielnych mniejszych od \(100\) jest więc \(33\). Musimy od tego odjąć jeszcze trzy sztuki, które dają wyniki jednocyfrowe (\(3,6,9\)) i w ten sposób obliczyliśmy, że liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(3\) jest \(33-3=30\).

B

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z dwóch wyników - orzeł \((O)\) lub reszka \((R)\). Podobnie jest w drugim rzucie. W trzecim rzucie (tym razem kostką) możemy otrzymać jeden z sześciu wyników (\(1,2,3,4,5,6\)). To oznacza, że wszystkich kombinacji mamy:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot6=24$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Jest tylko jedna możliwość otrzymania zdarzenia, które zostało opisane w treści zadania i tym zdarzeniem będzie \(OO6\). Zatem \(|A|=1\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{1}{24}$$

\(x\in(-\infty;-4\rangle\cup\langle2;+\infty)\)

Krok 1. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę.
To bardzo ważny krok o którym często się zapomina. Aby móc rozwiązać taką nierówność kwadratową np. za pomocą metody delty musimy mieć wszystkie wyrazy po lewej stronie, zostawiając po prawej tylko zero. Zatem:
$$3x^2-6x\ge(x-2)(x-8) \\
3x^2-6x-(x-2)(x-8)\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych powstałej nierówności.
Aby obliczyć miejsca zerowe musimy albo przedstawić tę nierówność w postaci iloczynowej (wtedy przyrównamy każdy z nawiasów do zera i tak wyznaczymy miejsca zerowe) albo przedstawić tę nierówność w postaci ogólnej typu \(ax^2+bx+c\) i wtedy skorzystamy z metody delty. Z racji tego iż zamiana na postać iloczynową nie jest tak oczywista i łatwa (po różnych przekształceniach dałoby się to zapisać jako \((x-2)(2x+8)\ge0\)), to my skorzystamy z metody delty, zatem:
$$3x^2-6x-(x-2)(x-8)\ge0 \\
3x^2-6x-(x^2-8x-2x+16)\ge0 \\
3x^2-6x-x^2+8x+2x-16\ge0 \\
2x^2+4x-16\ge0$$

Współczynniki: \(a=2,\;b=4,\;c=-16\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot2\cdot(-16)=16-(-128)=16+128=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-12}{2\cdot2}=\frac{-16}{4}=-4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+12}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) był dodatni. Zaznaczamy miejsca zerowe obliczone przed chwilą (kropki zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\ge\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Teraz odczytujemy z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero. Wyraźnie widzimy, że jest to zbiór \(x\in(-\infty;-4\rangle\cup\langle2;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Poszukiwany ułamek to \(\frac{14}{23}\).

Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Jeżeli szukany ułamek zapiszemy jako \(\frac{x}{y}\) to na podstawie danych z treści zadania stworzymy następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{x+32}{y}=2 \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej jest ten układ równań rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu musimy z pierwszego równania wyznaczyć np. iksa:
\begin{cases}
\frac{x+32}{y}=2 \quad\bigg/\cdot y \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

\begin{cases}
x+32=2y \quad\bigg/-32 \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

\begin{cases}
x=2y-32 \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

Teraz wyznaczoną z pierwszego równania wartość \(x=2y-32\) podstawiamy do drugiego równania, otrzymując:
$$\frac{2y-32-6}{y-6}=\frac{8}{17} \\
\frac{2y-38}{y-6}=\frac{8}{17}$$

Mnożymy obie strony na krzyż:
$$17\cdot(2y-38)=8\cdot(y-6) \\
34y-646=8y-48 \\
26y=598 \\
y=23$$

Podstawiając \(y=23\) do jednego z dwóch równań zapisanych w pierwszym kroku obliczymy wartość \(x\):
$$\frac{x+32}{y}=2 \\
\frac{x+32}{23}=2 \\
x+32=46 \\
x=14$$

Poszukiwanym ułamkiem jest więc \(\frac{14}{23}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie lub układ równań (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika.

Krok 1. Obliczenie wartości potęgowanych wyrazów.
Podniesienie liczby do potęgi \(-1\) daje wynik, który jest odwrotnością potęgowanej liczby. To oznacza, że:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Aby móc dodać do siebie te wszystkie ułamki musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(abc\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{1\cdot \cancel{a}bc}{\cancel{a}\cdot abc}+\frac{1\cdot a\cancel{b}c}{\cancel{b}\cdot abc}+\frac{1\cdot ab\cancel{c}}{\cancel{c}\cdot abc}= \\
=\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wynika, że \(abc=1\), zatem:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}= \\
=bc+ac+ab=ab+ac+bc$$

W ten oto sposób dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy pod wartości \(a, b, c\) podstawisz konkretne liczby.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(\frac{bc+ac+ab}{abc}\) ale nie wyciągniesz z tego żadnych wniosków i nie zakończysz dowodzenia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Analizowana funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w miejscu który jest jej wierzchołkiem i jest ona równa \(-30\frac{1}{4}\).

Funkcja kwadratowa będzie mieć najmniejszą (oraz największą) wartość albo w jednym z punktów krańcowych przedziału albo w swoim wierzchołku. Musimy więc obliczyć współrzędne wierzchołka (a w zasadzie współrzędną \(x_{W}\), bo tylko ona jest nam potrzebna).

Krok 1. Obliczenie współrzędnej \(x_{W}\) wierzchołka paraboli.
Skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(x\) wierzchołka paraboli, czyli \(x_{W}=\frac{-b}{2a}\). Ze wzoru funkcji odczytujemy współczynniki \(a=1\) oraz \(b=-11\) i podstawiamy je do wzoru otrzymując:
$$x_{W}=\frac{-(-11)}{2\cdot1} \\
x_{W}=\frac{11}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=-6\), \(x=6\) oraz \(x=\frac{11}{2}\).
Zgodnie z tym co napisaliśmy sobie na początku musimy podstawić teraz te trzy punkty do wzoru naszej funkcji i sprawdzić który z nich da nam najmniejszy wynik.
$$f(-6)=(-6)^2-11\cdot(-6)=36-(-66)=36+66=102 \\
\\
f(6)=6^2-11\cdot6=36-66=-30 \\
\\
f\left(\frac{11}{2}\right)=\left(\frac{11}{2}\right)^2-11\cdot\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{121}{4}-\frac{121}{2}= \\
=\frac{121}{4}-\frac{242}{4}=-\frac{121}{4}=-30\frac{1}{4}$$

Najmniejszą wartość funkcji otrzymaliśmy więc w wierzchołku funkcji i jest ona równa \(-30\frac{1}{4}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pierwszą współrzędną wierzchołka \(x_{W}=\frac{11}{2}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość \(f(-6)\) oraz \(f(6)\) (zapominając o \(f\left(\frac{11}{2}\right)\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono na podstawie podobieństw trójkątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Pierwszą rzeczą, którą musimy zauważyć to fakt iż trójkąty \(ABS\) oraz \(DCS\) są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt. Wynika to z zależności między kątami wierzchołkowymi i naprzemianległymi. Jeśli \(|\sphericalangle SAB|=α\) to kąt naprzemianległy \(|\sphericalangle SCD|=α\). Analogicznie \(|\sphericalangle ABS|=|\sphericalangle SDC|=β\). Natomiast \(|\sphericalangle ASB|=|\sphericalangle DSC|=γ\) bo są to kąty wierzchołkowe.

Krok 2. Obliczenie skali podobieństw trójkątów \(ABC\) oraz \(DCS\).
Jeżeli długość przekątnej \(AC\) oznaczymy sobie jako \(x\), to odcinek \(|AS|=\frac{5}{6}x\) oraz \(|SC|=\frac{1}{6}x\) (wynika to wprost z treści zadania). Zatem skala podobieństw tych trójkątów jest równa:
$$k=\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}=5$$

Krok 3. Obliczenie stosunku pól powierzchni obydwu trójkątów.
Jeżeli skala podobieństwa dwóch figur jest równa \(k\), to stosunek pól powierzchni tych dwóch figur jest równy \(k^2\). Skoro w naszym przypadku \(k=5\), to \(k^2=25\). Pole trójkąta \(ABS\) jest więc \(25\) razy większe od pola trójkąta \(DCS\) i właśnie w ten sposób możemy zakończyć nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz skalę podobieństwa trójkątów \(ABC\) oraz \(DCS\), czyli \(k=5\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(S_{671}=676368\)

Krok 1. Wyznaczenie liczby dodatnich wyrazów ciągu \((a_{n})\).
Aby dodać do siebie wartości wszystkich wyrazów dodatnich musimy najpierw ustalić ile ich tak właściwie jest w tym ciągu. Przykładowo gdy \(n=1\), to wyraz jest dodatni i jest równy \(a_{1}=2016-3=2013\). Jednak gdy \(n=1000\) to wyraz jest już ujemny i wynosi \(a_{1000}2016-3000=-984\). Aby obliczyć ile jest wyrazów dodatnich wystarczy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\gt0 \\
2016-3n\gt0 \\
-3n\gt-2016 \\
-n\gt-672 \\
n\lt672$$

Wiemy, że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, czyli skoro \(n\lt672\) to będziemy mieli \(671\) wyrazów dodatnich.

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów dodatnich.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy w następujący sposób:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{(2016-3\cdot1)+(2016-3\cdot671)}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{2013+3}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{2016}{2}\cdot671 \\
S_{671}=1008\cdot671 \\
S_{671}=676368$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(2016-3n\gt0\) (patrz: Krok 1.)
2 pkt
• Gdy obliczysz że jest \(671\) dodatnich wyrazów (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(B=(7;4\frac{1}{2})\) oraz \(|AB|=12\frac{1}{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Do zadania możemy podejść tak naprawdę na dwa sposoby. Pierwszy sposób polegałby na tym, że wyznaczylibyśmy sobie równanie prostej przechodzącej przez punkty \(AC\), a następnie wyznaczylibyśmy równanie prostej prostopadłej (czyli poznalibyśmy wzór prostej \(BC\)). Znając wzór prostej \(BC\) łatwo wyznaczylibyśmy współrzędne punktu \(B\), bo to będzie punkt przecięcia się prostej \(BC\) oraz prostej której wzór jest podany w treści zadania. To jest taki standardowy sposób rozwiązywania tego typu zadań.

My jednak policzymy sobie to nieco sprytniej i zastosujemy tutaj drugi sposób, który wykorzystuje Twierdzenie Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(B\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
Do wyznaczenia współrzędnych punktu \(B\) wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Analogicznie możemy wyznaczyć w ten sposób długości odcinków \(AC\) czy też \(BC\).

Współrzędne punktów \(A\) i \(C\) są nam znane, więc możemy w prosty sposób wyznaczyć długość odcinka \(AC\). Bez znajomości współrzędnych punktu \(B\) nie będziemy w stanie obliczyć natomiast długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\), ale przy wykorzystaniu Twierdzenia Pitagorasa będziemy w stanie utworzyć równanie, które pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu \(B\). Dla przejrzystości obliczeń przyjmijmy, że współrzędne punktu \(B\) to \(x\) oraz \(y\):
$$\require{cancel}
|BC|^2+|AC|^2=|AB|^2 \\
(x-2)^2+(y-7)^2+(2-(-3))^2+(7-(-3))^2=(x-(-3))^2+(y-(-3))^2 \\
(x-2)^2+(y-7)^2+5^2+10^2=(x+3)^2+(y+3)^2 \\
\cancel{x^2}-4x+4+\cancel{y^2}-14y+49+25+100=\cancel{x^2}+6x+9+\cancel{y^2}+6y+9 \\
-4x-14y+178=6x+6y+18 \\
10x+20y=160 \quad\bigg/:10 \\
x+2y=16$$

Tak na marginesie to otrzymaliśmy w ten sposób równanie prostej \(BC\). Gdybyśmy chcieli, to moglibyśmy je jeszcze przekształcić i zapisać w postaci kierunkowej, czyli \(y=-\frac{1}{2}x+8\).

Wracając do otrzymanego równania \(x+2y=16\), to teraz pod wartość \(y\) możemy podstawić równanie prostej na której leży nasz punkt \(B\), czyli \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\) i otrzymamy:
$$x+2\cdot\left(\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\right)=16 \\
x+\frac{6}{4}x-\frac{6}{4}=16 \quad\bigg/\cdot4 \\
4x+6x-6=64 \\
10x=70 \\
x=7$$

Podstawiając teraz wartość tej współrzędnej do równania prostej z treści zadania wyznaczymy także wartość współrzędnej \(y\):
$$y=\frac{3}{4}\cdot7-\frac{3}{4} \\
y=\frac{21}{4}-\frac{3}{4} \\
y=\frac{18}{4}=4\frac{1}{2}$$

Otrzymaliśmy w ten sposób współrzędne \(B=(7;4\frac{1}{2})\).

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) i \(B\) obliczymy długość odcinka \(AB\) z wykorzystaniem wzoru o którym mówiliśmy sobie w drugim kroku:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{\left(7-(-3)\right)^2+\left(4\frac{1}{2}-(-3)\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{10^2+7\frac{1}{2}^2} \\
|AB|=\sqrt{100+\left(\frac{15}{2}\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{\frac{400}{4}+\frac{225}{4}} \\
|AB|=\sqrt{\frac{625}{4}} \\
|AB|=\frac{25}{2}=12\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa oraz długości odcinków w układzie współrzędnych zapiszesz równanie \((x-2)^2+(y-7)^2+5^2+10^2=(x+3)^2+(y+3)^2\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=2\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w postaci \(x+2\cdot\left(\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\right)=16\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(BC\): \(y=-\frac{1}{2}x+8\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(B=(7;4\frac{1}{2})\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=21\sqrt{7}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Dodatkowo możemy opisać sobie długość boku podstawy jako \(a\), pamiętając w podstawie jest trójkąt równoboczny.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(|DC|\) oraz \(|DO|\).
Odcinek \(|DC|\) jest wysokością trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie. Jeżeli założyliśmy sobie, że krawędź podstawy ma długość \(a\), to zgodnie ze wzorami wysokość jest takiego trójkąta jest równa \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Odcinek \(|DO|\) będzie mieć zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego długość równą \(\frac{1}{3}\) długości wysokości:
$$|DO|=\frac{1}{3}\cdot|DC|=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(DS\).
Spójrzmy na trójkąt \(DOS\).

W tym kroku wyznaczymy długość odcinka \(DS\), który jest jednocześnie wysokością ściany bocznej naszej bryły. Do jego wyznaczenia wykorzystamy funkcję cosinusa:
$$\frac{|DO|}{|DS|}=cos60° \\
\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{|DS|}=\frac{1}{2} \\
\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}\cdot|DS| \\
|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(OS\), czyli wysokości ostrosłupa.
Nadal korzystamy z trójkąta \(DOS\) i tym razem wykorzystamy funkcję sinusa:
$$\frac{|OS|}{|DS|}=sin60° \\
\frac{|OS|}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
|OS|=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3} \\
|OS|=\frac{3a}{6}=\frac{1}{2}a$$

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Tym razem interesuje nas trójkąt \(BDS\), bo to z niego uda nam się wyznaczyć wartość niewiadomej \(a\), którą oznaczyliśmy długość krawędzi podstawy i która pojawiła nam się już w dotychczasowych obliczeniach.

Długość odcinka \(DS\) obliczyliśmy przed chwilą w trzecim kroku i jest ona równa \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Długość odcinka \(BS\) jest podana w treści zadania i wynosi \(7\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(DB\), ale wiedząc, że wysokość trójkąta równoramiennego (a taki mamy w ścianach bocznych) przecina podstawę w połowie jej długości to możemy zapisać, że \(|DB|=\frac{1}{2}a\). Znamy długości wszystkich boków, więc podstawmy te dane do Twierdzenia Pitagorasa.
$$|DB|^2+|DS|^2=|BS|^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=7^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=49 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{3}a^2=49 \quad\bigg/\cdot12 \\
3a^2+4a^2=588 \\
7a^2=588 \\
a^2=84 \\
a=\sqrt{4\cdot21} \\
a=2\sqrt{21}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Do obliczenia objętości potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły.

Pole podstawy wyznaczymy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), gdzie \(a=2\sqrt{21}\), zatem:
$$P_{p}=\frac{(2\sqrt{21})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\cdot21\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=21\sqrt{3}$$

Wysokością jest nasz odcinek \(|OS|=\frac{1}{2}a\). Wystarczy więc podstawić \(a=2\sqrt{21}\) i otrzymamy wysokość ostrosłupa.
$$H=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{21}=\sqrt{21}$$

Znając pole podstawy i wysokość obliczymy teraz objętość bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot21\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3\cdot7} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{7} \\
V=7\cdot3\cdot\sqrt{7} \\
V=21\sqrt{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz długości odcinków \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) oraz \(|DO|=\frac{a\sqrt{3}}{6}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) (patrz: Krok 3.)
3 pkt
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(|OS|=\frac{1}{2}a\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy \(a=2\sqrt{21}\) (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{4}{21}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy dwa razy. Za pierwszym razem mamy do wyboru jedną z siedmiu liczb. W drugim losowaniu wybrać już możemy tylko jedną z sześciu opcji (bo wykluczamy liczbę, która wypadła w pierwszym losowaniu, gdyż losowane liczby muszą być różne). Z reguły mnożenia wynika, że wszystkich zdarzeń elementarnych mamy:
$$|Ω|=7\cdot6=42$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Aby zdarzenie było sprzyjające to większa z tych dwóch liczb musi być równa \(5\), czyli zdarzeniami spełniającymi warunki zadania będą:
$$(1;5), (2;5), (3;5), (4;5), \\
(5;1), (5;2), (5;3), (5;4)$$

Łącznie jest to \(8\) zdarzeń, więc \(|A|=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=42\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz jedynie zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.