Matura – Matematyka – Maj 2019 – Odpowiedzi

A

Krok 1. Zamiana logarytmu na postać potęgi.
Musimy odpowiedzieć do jakiej potęgi trzeba podnieść \(\sqrt{2}\) aby otrzymać \(2\), czyli zamieniając postać logarytmu na postać potęgi musimy rozwiązać następujące równanie:
$$(\sqrt{2})^x=2$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz musimy doprowadzić do sytuacji w której po lewej i prawej stronie równania będziemy mieć te same podstawy potęg. Skoro \(2\) jest równe \((\sqrt{2})^2\) to mamy:
$$(\sqrt{2})^x=(\sqrt{2})^2$$

Podstawy potęg są jednakowe, możemy więc porównać do siebie wykładniki, zatem otrzymamy, że:
$$x=2$$

B

Krok 1. Rozpisanie podanego działania.
Nie sprowadzimy tych liczb do jednakowej podstawy potęgi, ale za to możemy sprowadzić te liczby do jednakowego wykładnika potęgi. Możemy to rozpisać w następujący sposób:
$$2^{14}\cdot5^{14}\cdot5=5\cdot10^{14}$$

Krok 2. Analiza otrzymanego wyniku.
Zapis \(5\cdot10^{14}\) to nic innego jak zapis w postaci notacji wykładniczej. Ta liczba będzie więc miała piątkę na początku oraz \(14\) zer. W związku z tym będzie miała ona dokładnie \(15\) cyfr.

B

Jeżeli prowizja wynosiła \(4\%\) i została obniżona o \(1\) punkt procentowy, to nowa prowizja wynosi teraz \(3\%\). W związku z tym nowa prowizja jest o \(\frac{1}{4}\) mniejsza od poprzedniej, czyli zmniejszyła się ona o \(25\%\).

D

Krok 1. Uproszczenie całego zapisu.
Aby dodawać do siebie ułamki zwykłe to musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Rozpiszmy więc najpierw to co jesteśmy w stanie obliczyć i uprośćmy tym samym całe działanie:
$$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1 \\
\frac{5}{20}+\frac{4}{20}+\frac{1}{a}=\frac{20}{20} \\
\frac{9}{20}+\frac{1}{a}=\frac{20}{20} \\
\frac{1}{a}=\frac{11}{20}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania wymiernego.
Powstało nam typowe równanie wymierne (czyli równanie z niewiadomą w mianowniku), więc możemy je rozwiązać np. wykonując mnożenie na krzyż. Otrzymamy wtedy:
$$1\cdot20=11a \\
11a=20 \\
a=\frac{20}{11}$$

B

Podstawiając parę liczb \(x=2\) oraz \(y=2\) do układu równań otrzymamy:
$$\begin{cases}
a\cdot2+2=4 \\
-2\cdot2+3\cdot2=2a
\end{cases}
\\
\begin{cases}
2a+2=4 \\
-4+6=2a
\end{cases}$$

Z pierwszego równania mamy że \(2a=2\), czyli że \(a=1\).
Z drugiego wychodzi nam identycznie, że \(2=2a\), czyli także \(a=1\).

To oznacza, że ta para liczb jest rozwiązaniem układu dla \(a=1\).

C

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego iż na matematyce nie mamy dzielenia przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od zera. To oznacza, że:
$$x-3\neq0 \\
x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mnożąc obydwie strony równania przez \(x-3\) otrzymamy:
$$(x-1)(x+2)=0$$

Otrzymaliśmy klasyczne równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. Aby rozwiązać to równanie musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x-1=0 \lor x+2=0 \\
x=1 \lor x=-2$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, żadne z nich nie wyklucza się z założeniami, zatem to równanie ma dwa różne rozwiązania: \(x=1\) oraz \(x=-2\).

C

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy sprawdzić kiedy wartość tej funkcji jest równa \(0\), czyli cały wzór musimy przyrównać do \(0\), otrzymując w ten sposób równanie:

$$3(x+1)-6\sqrt{3}=0 \\
3x+3-6\sqrt{3}=0 \quad\bigg/:3 \\
x+1-2\sqrt{3}=0 \\
x=2\sqrt{3}-1$$

C

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Najmniejszą wartością jest \(-4\) (wierzchołek paraboli), a największą wartością jest \(+\infty\). Zatem zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział: \(\langle-4,+\infty)\).

D

Z rysunku wynika, że we wskazanym przedziale największą wartość funkcja osiąga dla argumentu \(x=4\) i jest to wartość równa \(0\) (jest to punkt na osi iksów).

D

Osią symetrii będzie prosta, która będzie przechodzić przez wierzchołek paraboli (między ramionami paraboli) i będzie to prosta o równaniu \(x=2\).

A

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Szukamy sumy ośmiu początkowych wyrazów, zatem podstawimy \(n=8\) i do tego podstawimy to co znamy z treści zadania, czyli \(a_{1}=7\) oraz \(a_{8}=-49\). W związku z tym:
$$S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \\
S_{8}=\frac{7+(-49)}{2}\cdot8 \\
S_{8}=\frac{-42}{2}\cdot8 \\
S_{8}=-21\cdot8 \\
S_{8}=-168$$

A

Do zadania możemy podejść na wiele różnych sposobów (dojdziemy nawet do poprawnej odpowiedzi, kiedy założymy sobie że trzeci wyraz jest równy \(9\), a piąty jest równy \(1\), choć w rzeczywistości tak wcale być nie musi).

Najlepszym sposobem będzie rozpisanie sobie lewej strony równania w ten sposób:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{3}\cdot q^2}{a_{3}}=q^2$$

Z treści zadania wynika, że to co nam wyszło musi być równe \(\frac{1}{9}\), zatem:
$$q^2=\frac{1}{9} \\
q=\frac{1}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{3}$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo gdyby \(q\) było ujemne to nasz ciąg nie miałby wszystkich wyrazów dodatnich. W związku z tym \(q=\frac{1}{3}\).

D

Korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
(\frac{4}{5})^2+cos^2α=1 \\
\frac{16}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{9}{25} \\
cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$

W treści zadania mamy informację, że \(α\) jest kątem ostrym, zatem ujemny wynik odrzucamy i zostaje nam \(cosα=\frac{3}{5}\)

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(DCB\).
Odcinek \(CD\) jest średnicą okręgu, a przy okazji będzie też pokrywał się z wysokością trójkąta \(ABC\). W trójkącie równobocznym wysokość trójkąta jest jednocześnie dwusieczną kąta, a to oznacza, że kąt \(DCB\) ma miarę:
$$|\sphericalangle DCB|=60°:2 \\
|\sphericalangle DCB|=30°$$



Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Kąt \(DCB\) (którego miarę policzyliśmy przed chwilą) oraz \(DEB\) (czyli nasz kąt \(α\)) to kąty oparte na tym samym łuku. Skoro tak, to zgodnie z własnościami kątów wpisanych będą one miały jednakowe miary. To oznacza, że:
$$α=30°$$

C

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(OAK\) oraz \(BPK\). Są to trójkąty podobne i jesteśmy w stanie stwierdzić to na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. W jaki sposób?
Styczna tworzy z promieniem kąt prosty, zatem jeden i drugi trójkąt są prostokątne. Dodatkowo kąty \(AKO\) oraz \(BKP\) są kątami wierzchołkowymi, a zgodnie z własnościami takich kątów będą one miały jednakową miarę. Skoro więc dwa kąty w tych trójkątach mają jednakowe miary, to i trzeci kąt ma tą samą miarę. To oznacza, że na pewno będą to trójkąty podobne.



Krok 2. Zapisanie równania.
Skoro są to trójkąty podobne, to muszą mieć one jednakowe stosunki długości boków. Skoro interesuje nas poznanie odcinka \(OK\) (czyli tak naprawdę przeciwprostokątnej trójkąta \(OAK\)) i znamy długości boków \(OA\) oraz \(BP\), to możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|OA|}{|OK|}=\frac{|BP|}{|KP|} \\
\frac{5}{|OK|}=\frac{3}{|KP|}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(OK\).
Mnożąc na krzyż równanie otrzymane w drugim kroku otrzymamy informację, że:
$$5\cdot|KP|=3\cdot|OK| \\
|KP|=\frac{3}{5}\cdot|OK|$$

Z rysunku oraz z treści zadania wynika, że:
$$|OK|+|KP|=16$$

Podstawiając informację o tym, że \(|KP|=\frac{3}{5}\cdot|OK|\) otrzymamy:
$$|OK|+\frac{3}{5}\cdot|OK|=16 \\
1,6\cdot|OK|=16 \\
|OK|=10$$

A

To zadanie jest bardzo proste do policzenia, o ile pamiętamy że w tablicach matematycznych znajduje się następujący wzór:
$$P=a^2\cdot sinα$$

Zanim jednak skorzystamy z tego wzoru to musimy jeszcze wyznaczyć wartość sinusa \(150°\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin150°\).
W tablicach trygonometrycznych nie znajdziemy wartości sinusa dla kątów rozwartych. Musimy więc skorzystać z tzw. wzorów redukcyjnych:
$$sin(180-α)=sinα \\
sin(180°-30°)=sin30° \\
sin150°=sin30°$$

To oznacza, że \(sin150°\) będzie równy \(sin30°\), czyli \(\frac{1}{2}\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni rombu.
$$P=a^2\cdot sinα \\
P=4^2\cdot sin150° \\
P=16\cdot\frac{1}{2} \\
P=8$$

D

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik \(a\) równy \(2m+2\), natomiast druga prosta ma ten współczynnik równy \(3m-3\). W związku z tym musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2m+2=3m-3 \\
m=5$$

B

Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\).
Iloczyn współczynników kierunkowych \(a\) dwóch prostych prostopadłych musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-4\), to druga prosta musi mieć ten współczynnik równy \(a=\frac{1}{4}\). Możemy to nawet rozpisać matematycznie:
$$-4\cdot a=-1 \\
a=\frac{1}{4}$$

W ten oto sposób możemy już ograniczyć się do dwóch odpowiedzi, czyli \(B\) oraz \(D\).

Krok 2. Ustalenie współczynnika \(b\).
Skoro nasza prosta prostopadła ma współczynnik \(a=\frac{1}{4}\), to znaczy że musi wyrażać się wzorem:
$$y=\frac{1}{4}x+b$$

Podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(P\) (przez który ta prosta przechodzi) obliczymy współczynnik \(b\):
$$0=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}+b \\
0=\frac{1}{8}+b \\
b=-\frac{1}{8}$$

To oznacza, że prawidłowa będzie druga odpowiedź.

C

Możemy oczywiście wyznaczyć sobie wzór funkcji przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\), a następnie możemy przekształcić wzór tej funkcji, ale przekształcenia wzorów funkcji względem początku układu współrzędnych mogą być problematyczne, dlatego warto postąpić nieco sprytniej, a mianowicie najpierw przekształćmy punkty \(A\) oraz \(B\), a następnie wyznaczmy wzór funkcji, która przechodzi przez punkty \(A'B'\).

Krok 1. Przekształcenie punktów \(A\) oraz \(B\).
Przekształcając punkty względem początku układu współrzędnych musimy zmienić wartości współrzędnej iksowej oraz igrekowej na przeciwną, zatem:
$$A'=(0;-4) \\
B'=(-2;-2)$$

To oznacza, że funkcja \(g(x)\) będzie prostą, która przechodzi przez punkty \(A'\) oraz \(B'\) i my teraz musimy wyznaczyć wzór tej prostej.

Krok 2. Wyznaczenie wzoru funkcji \(g(x)\).
Znając współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi prosta możemy bez problemu wyznaczyć wzór tej funkcji. Skorzystamy z metody układu równań, który zbudujemy podstawiając do postaci kierunkowej \(y=ax+b\) współrzędne punktu \(A'\) oraz \(B'\):
$$\begin{cases}
-4=0a+b \\
-2=-2a+b
\end{cases}$$

Z pierwszego równania wychodzi nam wprost, że \(b=-4\). Możemy tę wartość podstawić teraz do drugiego równania, obliczając w ten sposób współczynnik \(a\):
$$-2=-2a+(-4) \\
-2a=2 \\
a=-1$$

To oznacza, że nasza funkcja \(g(x)\) wyraża się wzorem \(-1x-4\), czyli po prostu \(g(x)=-x-4\).

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nie musimy nawet rysować tego wszystkiego w układzie współrzędnych, wystarczy szybki rysunek kwadratu z wpisanym okręgiem, tak aby dostrzec czym tak naprawdę jest długość średnicy.


Z rysunku jasno wynika, że jak poznamy długość odcinka \(AB\), to tym samym poznamy długość średnicy okręgu.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka AB.
Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{6^2+(-6)^2} \\
|AB|=\sqrt{36+36} \\
|AB|=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$$

Krok 3. Ustalenie długości średnicy okręgu.
Średnica okręgu wpisanego w kwadrat ma identyczną długość co bok tego kwadratu. W związku z tym średnica ta ma długość \(6\sqrt{2}\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Zanim obliczymy długość przekątnej \(KL\) to musimy obliczyć długość przekątnej podstawy tego prostopadłościanu. W podstawie mamy prostokąt o bokach \(5dm\) oraz \(3dm\), zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$5^2+3^2=c^2 \\
25+9=c^2 \\
c^2=34 \\
c=\sqrt{34} \quad\lor\quad c=-\sqrt{34}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem przekątna podstawy ma długość \(\sqrt{34}dm\).

Krok 3. Obliczenie przekątnej \(KL\).
Przekątna podstawy (którą policzyliśmy przed chwilą), wysokość prostopadłościanu (która ma długość \(2dm\)) oraz przekątna \(KL\) (której szukamy) tworzą trójkąt prostokątny. Zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$(\sqrt{34})^2+2^2=|KL|^2 \\
34+4=|KL|^2 \\
|KL|^2=38 \\
|KL|=\sqrt{38} \quad\lor\quad |KL|=-\sqrt{38}$$

Tutaj ponownie ujemną wartość odrzucamy. Otrzymaliśmy więc informację, że odcinek \(KL\) ma długość \(\sqrt{38}dm\), czyli w przybliżeniu będzie to \(6,16dm\).

D

W tablicach matematycznych możemy odnaleźć wzory na pole powierzchni całkowitej kuli oraz stożka i są one następujące:
$$P_{k}=4πr^2 \\
P_{s}=πr(r+l)$$

Z treści zadania wynika, że:
$$P_{k}=P_{s} \\
4πr^2=πr(r+l)$$

Znając długość promienia \(r=4\) okazuje się, że w powyższym równaniu jedyną niewiadomą jest poszukiwana przez nas długość \(l\), czyli tworzącej stożka. Warto też od razu sobie skrócić wartość \(π\), która znalazła się po obu stronach równania. W związku z tym otrzymamy:
$$4πr^2=πr(r+l) \quad\bigg/:π \\
4r^2=r(r+l) \\
4\cdot4^2=4\cdot(4+l) \\
4\cdot16=16+4l \\
64=16+4l \\
4l=48 \\
l=12$$

B

To zadanie możemy oczywiście rozwiązać w ten sposób, że podstawimy sobie podane w odpowiedziach wartości \(a\) i sprawdzimy kiedy otrzymamy pożądaną medianę. Możemy do tego też poedjść nieco bardziej matematycznie (a w zasadzie analitycznie):

Krok 1. Uszeregowanie liczb.
Aby obliczać medianę musimy uszeregować liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Liczby \(a\) nie znamy, więc na razie ją pomijamy:
$$4,8,16,21,25$$

Krok 2. Analiza wartości niewiadomej \(a\).
Wiemy, że nasz zestaw ma \(6\) liczb, czyli mediana będzie równa średniej arytmetycznej trzeciego i czwartego wyrazu. Jak \(a\) byłoby liczbą mniejszą lub równą \(8\), to trzecim wyrazem byłaby liczba \(8\), a czwartym \(16\), czyli mielibyśmy medianę równą:
$$\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12$$

Taki wariant więc odrzucamy.

Tak samo odrzucamy wariant kiedy \(a\) jest większe od \(21\), bo wtedy trzeci wyraz byłby równy \(16\), a czwarty \(21\), zatem mediana byłaby równa:
$$\frac{16+21}{2}=\frac{37}{2}=18,5$$
Ten wariant także odrzucamy.

To oznacza, że nasze \(a\) musi brać udział w liczeniu mediany, czyli musi być tym trzecim lub czwartym wyrazem, zatem możemy ułożyć równanie:
$$\frac{a+16}{2}=14 \\
a+16=28 \\
a=12$$

Mediana będzie więc równa \(14\) tylko wtedy, gdy \(a=12\).

C

W zadaniu wykorzystamy regułę mnożenia.
Na pierwszym miejscu może znaleźć się jedna z dwóch cyfr: \(2\) lub \(5\). Zero znaleźć się nie może, bo nie mamy takiej liczby jak np. \(02525\).
Na drugim miejscu może się znaleźć jedna z trzech cyfr: \(0, 2, 5\).
Tak samo na trzecim, czwartym i piątym miejscu, tu też może znaleźć się jedna z trzech cyfr: \(0, 2, 5\).

W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia wszystkich takich liczb będziemy mieć:
$$Ω=2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=162$$

A

Krok 1. Ustalenie liczby zdarzeń elementarnych.
Losujemy spośród \(40\) kul, zatem wszystkich zdarzeń elementarnych mamy \(Ω=40\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie kuli czerwonej. Skoro mamy \(35\) kul białych, to kul czerwonych jest \(40-35=5\). W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(A=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Skoro mamy 5 zdarzeń sprzyjających, a wszystkich zdarzeń elementarnych jest \(40\), to prawdopodobieństwo będzie równe:
$$P(A)=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$$

\(x=2\), \(x=-1\) oraz \(x=5\)

Aby wartość tego równania była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi być równy zero. Możemy więc zapisać, że:
$$x^3-8=0 \quad\lor\quad x^2-4x-5=0$$

Obliczmy więc każde z równań oddzielnie:
I równanie:
\(x^3-8=0 \\
x^3=8 \\
x=2\)

II równanie:
Jest to równanie w postaci ogólnej, zatem możemy tutaj skorzystać z delty:
$$Δ=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16-(-20)=36 \\
\sqrt{Δ}=6 \\
\\
x_{1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$$

W związku z tym to równanie ma trzy rozwiązania: \(x=2\), \(x=-1\) oraz \(x=5\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania \(x^3-8=0\) oraz \(x^2-4x-5=0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x\in(-\infty;\frac{4}{3})\cup(4;+\infty)\)

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Aby wyznaczyć miejsca zerowe musimy przyrównać wartość \(3x^2-16x+16\) do zera, zatem musimy rozwiązać równanie:
$$3x^2-16x+16=0$$

Jest to równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy obliczyć je korzystając z delty:
$$Δ=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=256-192=64 \\
\sqrt{Δ}=8 \\
\\
x_{1}=\frac{16-8}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \\
x_{2}=\frac{16+8}{6}=\frac{24}{6}=4$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań nierówności.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe i otrzymamy następującą sytuację:


Nas interesują wartości większe od zera, czyli to co znalazło się nad osią iksów. Rozwiązaniem tej nierówności będzie więc przedział:
$$x\in(-\infty;\frac{4}{3})\cup(4;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Rozpisanie podanego wyrażenia.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym możemy rozbić sobie wyrażenie z treści zadania na takie, by jego częściami składowymi był właśnie zapis \(a^2-2ab+b^2\). Całość wyglądałaby następująco:
$$3a^2-2ab+3b^2=a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Przeanalizujmy sobie każdy ze składników powstałej sumy:
\((a-b)^2\) - jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero, bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny.
\(2a^2\) - ta liczba też jest na pewno dodatnia lub równa zero, bo \(a^2\) jest na pewno nieujemne, no a liczba nieujemna pomnożona przez \(2\) nadal jest liczbą nieujemną.
\(2b^2\) - podobnie jak \(2a^2\), jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero.

W związku z tym mając dodawanie \((a-b)^2+2a^2+2b^2\) dodajemy do siebie trzy liczby, które są na pewno dodatnie lub równe zero. Stąd też ich suma musi dać wynik większy lub równy \(0\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając ze wzorów skróconego mnożenia poprawnie rozpiszesz lewą stronę nierówności, chociażby do postaci \(a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2\) (patrz: Krok 1.) lub jakiejkolwiek innej podobnej.
ALBO
• Gdy obliczysz deltę z parametrem \(b\), otrzymując \(Δ=-32b^2\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono korzystając z własności trójkątów równoramiennych.

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(SBC\).
Spójrzmy na trójkąt \(SBC\). Wiemy, że jest to trójkąt równoramienny, bo z treści zadania wynika, że \(SB=BC\). Skoro tak, to kąty przy podstawie tego trójkąta mają identyczną miarę. Jeżeli więc kąt \(ACS\) (czyli tak jakby \(BCS\)) ma miarę \(α\), to kąt \(BSC\) ma także miarę równą \(α\).

To z kolei oznacza, że skoro w trójkącie suma kątów ma być równa \(180°\), to kąt \(SBC\) ma miarę:
$$|\sphericalangle SBC|=180°-α-α=180°-2α$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABS\).
Kąt \(ABS\) i kąt \(SBC\) to kąty przyległe, których łączna miara musi mieć w takim razie \(180°\). Skoro \(|\sphericalangle SBC|=180°-2α\), to znaczy że kąt \(ABS\) musi mieć miarę równą \(2α\). Jeżeli ktoś tego nie dostrzega, to możemy to rozpisać w taki sposób:
$$|\sphericalangle ABS|=180°-|\sphericalangle SBC| \\
|\sphericalangle ABS|=180°-(180°-2α) \\
|\sphericalangle ABS|=180°-180°+2α \\
|\sphericalangle ABS|=2α$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ASB\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABS\). To także trójkąt równoramienny (ramiona \(AS\) oraz \(BS\) są promieniami okręgu), zatem tutaj też kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro więc \(|\sphericalangle ABS|=2α\) to i \(|\sphericalangle SAB|=2α\).

To z kolei oznacza, że trzeci kąt w tym trójkącie, czyli kąt \(ASB\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle ASB|=180°-2α-2α=180°-4α$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(ASD\).
Suma kątów \(ASD\), \(ASB\) oraz \(BSC\) musi nam dać łącznie \(180°\). Już ustaliliśmy, że \(|\sphericalangle ASB|=180°-4α\) oraz \(|\sphericalangle ASB|=α\). Szukamy miary kąta \(ASD\) zatem:
$$|\sphericalangle ASD|=180°-|\sphericalangle ASB|-|\sphericalangle BSC| \\
|\sphericalangle ASD|=180°-(180°-4α)-α \\
|\sphericalangle ASD|=180°-180°+4α-α \\
|\sphericalangle ASD|=3α$$

Udało nam się udowodnić, że \(|\sphericalangle ASD|=3α\), zatem dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawną zależność między kątem \(ABS\) i kątem \(α\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(P(A)=\frac{9}{25}\)

Krok 1. Ustalenie liczby zdarzeń elementarnych.
Korzystając z reguły mnożenia możemy stwierdzić, że wszystkich par jakie możemy wylosować będziemy mieć dokładnie: \(5\cdot5=25\). W związku z tym \(Ω=25\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie takich liczb, których iloczyn da liczbę nieparzystą. Przykładowo więc wylosowanie \((3;5)\) jest zdarzeniem sprzyjającym, bo \(3\cdot5=15\), ale już \((3;4)\) zdarzeniem sprzyjającym nie będzie, bo \(3\cdot4=12\).

Powinniśmy więc dostrzec, że aby iloczyn dwóch liczb był liczbą nieparzystą, to obydwa czynniki muszą być nieparzyste, czyli w pierwszym losowaniu musi nam wypaść \(1\), \(3\) lub \(5\) i tak samo w drugim losowaniu musimy mieć \(1\), \(3\) lub \(5\). W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia takich par będziemy mieć: \(3\cdot3=9\). Możemy więc zapisać, że \(A=9\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Skoro mamy \(9\) zdarzeń sprzyjających, a wszystkich zdarzeń elementarnych jest \(25\), to prawdopodobieństwo wylosowania liczb spełniających warunki zadania będzie równe:
$$P(A)=\frac{9}{25}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|BD|=2\sqrt{17}\)

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny którego jeden z kątów ostrych ma miarę \(30°\). Znamy też miarę jednego z boków tego trójkąta, bowiem \(|AC|=4\). Mając miarę kąta oraz jednego boku jesteśmy w stanie obliczyć pozostałe długości boków tego trójkąta, czyli \(AD\) oraz \(DC\). Możemy to zrobić albo z wykorzystaniem własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\) albo po prostu z funkcji trygonometrycznych. Korzystając z własności takiego trójkąta wiemy, że bok \(AD\) jest równy połowie długości \(AC\), zatem:
$$|AD|=2$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).


Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABD\). To także jest trójkąt prostokątny w którym znamy długości dwóch boków \(|AD|=2\) oraz \(|AB|=8\), a przeciwprostokątna tego trójkąta to poszukiwana przez nas przekątna trapezu, czyli odcinek \(BD\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa mamy:
$$2^2+8^2=|BD|^2 \\
4+64=|BD|^2 \\
|BD|^2=68 \\
|BD|=\sqrt{68}=\sqrt{4\cdot17}=2\sqrt{17}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{1}=26, k=27\)

Krok 1. Obliczenie sumy sześciu wyrazów tego ciągu.
Skoro średnia arytmetyczna sześciu wyrazów tego ciągu jest równa \(16\), to znaczy że:
$$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{6}=16 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=96$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy rozpisać każdy z kolejnych wyrazów w następujący sposób:
\(a_{1} \\
a_{2}=a_{1}+r \\
a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{4}=a_{1}+3r \\
a_{5}=a_{1}+4r \\
a_{6}=a_{1}+5r\)

Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r+a_{1}+5r=96 \\
6a_{1}+15r=96$$

Z treści zadania wynika, że \(r=-4\), zatem mamy:
$$6a_{1}+15\cdot(-4)=96 \\
6a_{1}-60=96 \\
6a_{1}=156 \\
a_{1}=26$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(k\) dla której \(a_{k}=-78\).
Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie który wyraz tego ciągu jest równy \(-78\), wiedząc że \(a_{1}=26\) oraz \(r=-4\). Możemy to zrobić korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W zasadzie w tym wzorze zamiast symbolu \(n\) możemy użyć symbolu \(k\), tak aby dopasować się do treści zapisu z zadania, zatem:
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\
-78=26+(k-1)\cdot(-4) \\
-78=26-4k+4 \\
-78=30-4k \\
-4k=-108 \\
k=27$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie lub wręcz obliczysz sumę sześciu pierwszych wyrazów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie równanie z jedną niewiadomą \(k\) np. \(26+(k−1)\cdot(−4)=-78\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy otrzymany wynik jest błędny ze względny na błędy rachunkowe.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(B=(20\frac{2}{5};-2\frac{4}{5})\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację w układzie współrzędnych.


Krok 2. Ustalenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Symetralna odcinka to nic innego jak prosta prostopadła, która musi przechodzić przez środek odcinka. Skoro to ma być prosta prostopadła do prostej przechodzącej \(AB\) i wiemy, że ta symetralna wyraża się równaniem \(y=3x\), to możemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) naszej prostej przechodzącej przez punkty \(AB\).

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych ma być równy \(-1\), zatem skoro symetralna ma \(a=3\), to prosta \(AB\) musi mieć ten współczynnik równy \(a=-\frac{1}{3}\).

To też oznacza, że nasza prosta \(AB\) musi wyrażać się wzorem:
$$y=-\frac{1}{3}x+b$$

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Do pełnego wzoru prostej \(AB\) brakuje nam znajomości współczynnika \(b\). Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt \(A=(-18,10)\) i podstawiając te współrzędne do wyznaczonej przed chwilą postaci \(y=-\frac{1}{3}x+b\) wyznaczymy brakujący współczynnik \(b\). Zatem:
$$10=-\frac{1}{3}\cdot(-18)+b \\
10=6+b \\
b=4$$

To oznacza, że nasza prosta \(AB\) wyraża się równaniem:
$$y=-\frac{1}{3}x+4$$

Krok 4. Wyznaczenie środka odcinka \(AB\).
Prosta AB oraz symetralna przecinają się w punkcie, który jest środkiem odcinka \(AB\) (jest to własność symetralnej). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązując układ równań składający się z dwóch prostych wyznaczymy współrzędne punktu ich przecięcia, czyli w naszym przypadku współrzędne środka odcinka \(AB\). Zatem:
$$\begin{cases}
y=3x \\
y=-\frac{1}{3}x+4
\end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania mamy:
$$3x=-\frac{1}{3}x+4 \quad\bigg/\cdot3 \\
9x=-x+12 \\
10x=12 \\
x=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$$

Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć współrzędną igrekową, korzystając z dowolnego równania np. \(y=3x\), zatem:
$$y=3\cdot\frac{6}{5} \\
y=\frac{18}{5}$$

To oznacza, że współrzędne środka odcinka \(AB\) to:
$$S=\left(\frac{6}{5}; \frac{18}{5}\right)$$

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Znamy współrzędne punktu \(A\), znamy współrzędne punktu \(S\) (czyli środka odcinka), zatem możemy bez przeszkód obliczyć współrzędne punktu \(B\), korzystając ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości obliczeń możemy policzyć każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
\frac{6}{5}=\frac{-18+x_{B}}{2} \\
\frac{12}{5}=-18+x_{B} \\
\frac{12}{5}=-\frac{90}{5}+x_{B} \\
x_{B}=\frac{102}{5}=20\frac{2}{5} \\
\quad \\
\text{oraz} \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
\frac{18}{5}=\frac{10+y_{B}}{2} \\
\frac{36}{5}=10+y_{B} \\
\frac{36}{5}=\frac{50}{5}+y_{B} \\
y_{B}=-\frac{14}{5}=-2\frac{4}{5}$$

To oznacza, że \(B=(20\frac{2}{5}; -2\frac{4}{5})\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu \(y=3x\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz odległość punktu \(A\) od prostej o równaniu \(y=3x\) otrzymując \(d=\frac{32\sqrt{10}}{5}\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu \(y=3x\) oraz obliczysz odległość punktu \(A\) od prostej o równaniu \(y=3x\) otrzymując \(d=\frac{32\sqrt{10}}{5}\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie równości wynikające ze wzoru na środek odcinka, które pozwolą obliczyć współrzędne punktu \(B\) (patrz: Krok 5.), ale same współrzędne obliczysz niepoprawnie.
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, które pozwoli wyznaczyć współrzędne punktu \(B\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie ostrosłupa mamy kwadrat o boku \(6\), zatem jego pole będzie równe:
$$P_{p}=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Z treści zadania wynika, że pole powierzchni całkowitej jest cztery razy większe od pola powierzchni podstawy, zatem to pole musi być równe:
$$P_{c}=4\cdot P_{p} \\
P_{c}=4\cdot36 \\
P_{c}=144$$

Krok 3. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej.
Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe \(144\), a pole podstawy jest równe \(36\), to pole wszystkich czterech ścian bocznych będzie równe:
$$P_{b}=P_{c}-P_{p} \\
P_{b}=144-36 \\
P_{b}=108$$

My takich ścian mamy cztery, zatem każda z nich (np. ściana \(BCS\)) ma pole powierzchni równe:
$$P_{BCS}=108:4 \\
P_{BCS}=27$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.


Spójrzmy na jedną ze ścian bocznych, np. na trójkąt \(BCS\). Jest to trójkąt o podstawie równej \(6\) i polu powierzchni równym \(27\). W związku z tym w prosty sposób możemy wyznaczyć wysokość tego trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah_{b} \\
27=\frac{1}{2}\cdot6\cdot h_{b} \\
54=6h_{b} \\
h_{b}=9$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na niebieski trójkąt \(SOE\). Odcinek \(OE\) to będzie długość równa połowie krawędzi podstawy, czyli:
$$|OE|=6:2 \\
|OE|=3$$

Wiemy też, że \(SE\) ma długość \(9\). Jedynym niewiadomym bokiem w tym trójkącie jest więc odcinek \(SO\), czyli wysokość ostrosłupa. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$H^2+3^2=9^2 \\
H^2+9=81 \\
H^2=72 \\
H=6\sqrt{2}$$

Krok 6. Obliczenie długości krawędzi bocznej.
Spójrzmy na trójkąt \(AOS\) i obliczmy długość krawędzi bocznej \(AS\). Odcinek \(AO\) to połowa długości przekątnej podstawy. Skoro mamy kwadrat o boku \(6\), to cała przekątna ma długość \(6\sqrt{2}\), czyli:
$$|AO|=6\sqrt{2}:2 \\
|AO|=3\sqrt{2}$$

Odcinek \(SO\) (czyli wysokość trójkąta) jest już nam znana, zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(3\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=|AS|^2 \\
9\cdot2+36\cdot2=|AS|^2 \\
18+72=|AS|^2 \\
|AS|^2=90 \\
|AS|=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$$

Krok 7. Obliczenie cosinusa kąta alfa.
Znając długość odcinka \(AO\) oraz \(AS\) bez problemu obliczymy cosinus kąta alfa:
$$cosα=\frac{|AO|}{|AS|} \\
cosα=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} \\
cosα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \\
cosα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{1}{\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(P_{c}=4P_{p}\) oraz \(P_{c}=P_{p}+P_{b}\) lub zapiszesz, że \(P_{b}=3P_{p}\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy (patrz: Krok 6.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie, które pozwoli obliczyć wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 4.), ale samą wysokość policzysz niepoprawnie.
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd związany z własnościami jakichś figur lub funkcji trygonometrycznych (np. błędne wyznaczenie długości przekątnej kwadratu, zastosowanie złego wzoru lub też wzięcie złych boków przy liczeniu funkcji trygonometrycznych).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 6.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.