Matura – Matematyka – Czerwiec 2015 (stara matura) – Odpowiedzi

B

Korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach możemy zapisać, że:
$$\frac{(0,2)^3}{\sqrt[4]{25^{-3}}}=\frac{(\frac{1}{5})^3}{\sqrt[4]{5^{2\cdot(-3)}}}=\frac{5^{-3}}{\sqrt[4]{5^{-6}}}=\frac{5^{-3}}{5^{-\frac{6}{4}}}= \\
=5^{-3}:5^{-\frac{6}{4}}=5^{-3-(-\frac{6}{4})}=5^{-\frac{3}{2}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{\sqrt[2]{5^3}}$$

B

Cena brutto to cena netto plus podatek VAT wyliczany z ceny netto. Tego zadania nie możemy więc rozwiązać mnożąc \(45\;018zł\) przez \(0,77\) (tak jak robimy to w przypadku obliczania podatku od np. lokat). Oto jak powinniśmy podejść do takiego zadania:

Krok 1. Zapisanie odpowiednich relacji między ceną netto i brutto.
\(x\) - cena netto
\(0,23x\) - podatek VAT
\(x+0,23x=1,23x\) - cena brutto

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro cena brutto to \(45\;018zł\), to:
$$1,23x=45\;018zł \\
x=36\;600zł$$

Cena netto samochodu jest więc równa \(36\;600zł\).

C

Możemy rozwiązać każdą nierówność oddzielnie i sprawdzić które z rozwiązań będzie identyczne jak na rysunku, ale możemy też rozwiązać to nieco bardziej matematycznie. Po lewej stronie nierówności będziemy mieć zawsze \(|x-a|\), gdzie \(a\) jest punktem leżącym idealnie po środku między krańcami przedziałów (w naszym przypadku między \(-4\) oraz \(2\)). To oznacza, że:
$$a=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Po lewej stronie nierówności będziemy mieć zatem \(|x-(-1)|\), czyli \(|x+1|\). I już w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie, bo taka sytuacja pojawia się jedynie w trzeciej odpowiedzi.

Gdybyśmy chcieli jeszcze mimo wszystko ustalić znak nierówności i liczbę po prawej stronie, to musimy spojrzeć na to jak dużo jednostek dzieli nasz punkt środkowy \(a=-1\) od punktów krańcowych. Między punktem środkowym \(a=-1\) oraz punktami krańcowymi \(-4\) oraz \(2\) mamy dokładnie po \(3\) jednostki w lewo i w prawo. Nas interesują wszystkie te wartości, które są oddalone od punktu środkowego o mniej niż \(3\) jednostki (tak aby zmieściły się w przedziale), stąd też ostatecznym rozwiązaniem będzie:
$$|x+1|\lt3$$

C

Najprościej (i chyba w tym przypadku najlepiej) jest po prostu sprawdzić dla którego \(m\) otrzymamy liczbę podzielną przez \(19\). Podstawiając po kolei każdą z odpowiedzi otrzymamy:
Odp. A. \(17^3+(-8)^3=4913+(-512)=4913-512=4401\)
\(4401:19=231,63...\)

Odp. B. \(17^3+(-2)^3=4913+(-8)=4913-8=4905\)
\(4905:19=258,15...\)

Odp. C. \(17^3+2^3=4913+8=4921\)
\(4921:19=259\)

Odp. D. \(17^3+8^3=4913+512=5425\)
\(5425:19=285,52...\)

W ten oto sposób widzimy wyraźnie, że liczba stała się podzielna przez \(19\) tylko w sytuacji, gdy \(m=2\).

Gdybyśmy jednak chcieli to zadanie rozwiązać nieco bardziej matematycznie, to należałoby całość rozpisać korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \\
17^3+m^3=(17+m)(17^2-17m+m^2)$$

Z tak otrzymanej postaci widzimy, że liczba będzie podzielna przez \(19\), gdy wartość w jednym z nawiasów będzie podzielna przez \(19\). Patrząc się przykładowo na pierwszy nawias możemy powiedzieć, że \(17+m\) będzie podzielne przez \(19\) właśnie dla \(m=2\), bo otrzymamy wtedy \(17+2\), czyli \(19\).

C

Najprościej jest to równanie rozwiązać zaczynając od pomnożenia obu stron przez \(x\):
$$\frac{-2(x-3)}{x}=x-2 \quad\bigg/\cdot x \\
-2(x-3)=(x-2)\cdot x \\
-2x+6=x^2-2x \\
x^2=6 \\
x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6}$$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, obydwa nie wykluczają się z założeniem \(x\neq0\), stąd też równanie ma dwa różne rozwiązania.

D

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=2,\;b=11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot2\cdot3=121-24=97$$

Delta wyszła nam dodatnia, więc równanie ma na pewno dwa rozwiązania. Musimy jeszcze tylko ustalić czy są to rozwiązania dodatnie, czy też ujemne.

Krok 2. Określenie, czy rozwiązania są dodatnie czy ujemne.
Najprościej będzie określić znak obliczając po prostu wartości \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\):
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{97}\approx9,8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-9,8}{2\cdot2}=\frac{-20,8}{4}=-5,2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+9,8}{2\cdot2}=\frac{-1,2}{4}=-0,3$$

C

Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku ułamka musi być różna od zera. W związku z tym, aby dowiedzieć się jakie liczby należy wykliczyć z dziedziny musimy rozwiązać następujące równanie:
$$x(x-1)^2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x-1=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=1$$

A

Aby odjąć od siebie te dwa ułamki musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. To znaczy, że licznik i mianownik pierwszego ułamka musimy pomnożyć przez \(x\), natomiast licznik i mianownik drugiego ułamka musimy pomnożyć przez \((x-1)\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{x\cdot x}{(x-1)\cdot x}-\frac{1\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}= \\
=\frac{x^2}{x^2-x}-\frac{x-1}{x^2-x}=\frac{x^2-(x-1)}{x^2-x}=\frac{x^2-x+1}{x^2-x}$$

B

Korzystając z działań na logarytmach i potęgach możemy zapisać, że:
$$8log_{4}2+2=log_{4}2^8+2=log_{4}4^4+2=4+2=6$$

A

Krok 1. Określenie miejsca w którym funkcja przyjmuje najmniejszą wartość.
Wykresem naszej funkcji kwadratowej będzie parabola o ramionach skierowanych do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni. To oznacza, że najmniejszą swoją wartość funkcja będzie osiągać w wierzchołku.

Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako \(W=(p;q)\). Szukamy najmniejszej wartości, czyli współrzędnej \(q\) (gdybyśmy szukali odpowiedzi na pytanie dla jakiego argumentu ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, to wtedy szukalibyśmy współrzędnej \(p\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Krok 2. Obliczenie delty.
Musimy policzyć deltę, która znalazła się w liczniku, zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot0=16-0=16$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości współrzędnej \(q\).
Znając deltę możemy zapisać, że:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \\
q=\frac{-16}{4\cdot1} \\
q=\frac{-16}{4} \\
q=-4$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Poziomą osią układu współrzędnych jest oś iksów. To oznacza, że funkcja \(g\) będzie wyglądać w ten oto sposób:



Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji \(g(x)\).
Nasza funkcja będzie na pewno wyrażona wzorem w postaci \(g(x)=ax+b\). Musimy tylko ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od ustalenia współczynnika kierunkowego \(a\). Wykres funkcji \(g(x)\) jest prostą rosnącą, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. Z tego wynika, że interesują nas już tylko dwie odpowiedzi: B oraz D. Musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika \(b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu funkcja przecina oś igreków. W naszym przypadku funkcja \(g(x)\) przecina oś igreków dla \(y=-2\), zatem \(b=-2\).

To oznacza, że funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=2x-2\).

C

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Do obliczenia sumy stu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{n}=2n-1 \\
a_{1}=2\cdot1-1 \\
a_{1}=2-1 \\
a_{1}=1$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem:
$$a_{n}=2n-1 \\
a_{2}=2\cdot2-1 \\
a_{2}=4-1 \\
a_{2}=3$$

W związku z tym:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=3-1 \\
r=2$$

Krok 3. Obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu.
Teraz podstawiając do wzoru \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=100\) (bo mamy obliczyć sumę stu wyrazów) możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{100}=\frac{2\cdot1+(100-1)\cdot2}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{2+99\cdot2}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{2+198}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{200}{2}\cdot100 \\
S_{100}=100\cdot100 \\
S_{100}=10000$$

A

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając pod to równanie dane z treści zadania otrzymamy:
$$(x-10)^2=(x+35)\cdot(x+20) \\
x^2-20x+100=x^2+20x+35x+700 \\
-20x+100=55x+700 \\
-75x=600 \\
x=-8$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dobry rysunek to klucz do rozwiążania tego zadania. Musimy ustalić gdzie znajduje się bok danej długości. W trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna. W naszym przypadku najdłuższym bokiem jest ten o długości \(2\), więc to na pewno będzie przeciwprostokątna. Pozostałe boki, czyli \(\sqrt{3}\) oraz \(1\) to przyprostokątne.

Dodatkowo wiemy, że kąt \(α\) jest kątem najmniejszym, a to oznacza że musi się on znajdować przy dłuższej przyprostokątnej. Cały trójkąt wygląda więc w ten oto sposób:



Krok 2. Wyznaczenie miary \(cosα\).
Mając poprawny rysunek bez przeszkód wyznaczymy cosinusa. Cosinus odpowiada stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej, zatem:
$$cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

B

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
cos^2α=1-sin^2α$$

W związku z tym:
$$\frac{2sinα\cdot cos^2α}{1+cos^2α-sin^2α}=\frac{2sinα\cdot cos^2α}{1-sin^2α+cos^2α}=\frac{2sinα\cdot cos^2α}{cos^2α+cos^2α}= \\
=\frac{2sinα\cdot cos^2α}{2cos^2α}=sinα$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zgodnie z treścią zadania mamy następujące dwie figury



Krok 2. Zapisanie pól powierzchni obydwu figur.
Pole kwadratu jest równe:
$$P_{k}=a^2$$

Pole rombu jest równe:
$$P_{r}=a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot sinα \\
P_{r}=2a^2\cdot sinα$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(α\).
Z treści zadania wynika, że pola kwadratu oraz rombu są sobie równe, zatem:
$$P_{k}=P_{r} \\
a^2=2a^2\cdot sinα \\
1=2\cdot sinα \\
sinα=\frac{1}{2}$$

Z tablic matematycznych możemy odczytać, że sinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta \(30°\) i to jest też nasza końcowa odpowiedź.

B

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\), stąd też możemy obliczyć długość boku \(AB\), korzystając ze wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{(4+2)^2+(-1-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{6^2+(-6)^2} \\
|AB|=\sqrt{36+36} \\
|AB|=\sqrt{72} \\
|AB|=\sqrt{36\cdot2} \\
|AB|=6\sqrt{2}$$

Jest to trójkąt równoboczny, stąd też wiemy, że każdy bok tego trójkąta ma miarę \(a=6\sqrt{2}\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Obliczmy zatem tę wysokość:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{6\sqrt{6}}{2} \\
h=3\sqrt{6}$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia okręgu.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej, promień okręgu opisanego na trójkącie stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości, czyli:
$$R=\frac{2}{3}\cdot h \\
R=\frac{2}{3}\cdot3\sqrt{6} \\
R=2\sqrt{6}$$

A

Najlepiej będzie zrozumieć ideę tego zadania w momencie kiedy narysujemy sobie całą sytuację:



Odległość punktu od prostej mierzymy zawsze po najkrótszej linii, czyli po linii prostopadłej. W tym przypadku widzimy bardzo wyraźnie, że od punktu A do prostej \(x\) mamy \(5\) jednostek, a od punktu \(A\) do prostej \(y\) mamy także \(5\) jednostek. Nas pytają o sumę tych odległości, czyli:
$$5+5=10$$

C

Zadanie jest dość trudne, bo nie mamy zbyt wiele informacji na temat trójkąta \(ABC\). Gdyby bok trójkąta przechodził przez punkt \(S\), to mielibyśmy trójkąt prostokątny, ale niestety tutaj tak nie jest. Całość zadania opiera się jednak nie na trójkącie, a na kątach wpisanych i środkowych. Spójrzmy na kąt \(ABC\) o mierze \(40°\). Jest to kąt opisany na łuku \(AC\). To oznacza, że jak dorysujemy prostą \(AS\), to powstanie nam kąt środkowy \(ASC\) (który także jest opisany na łuku \(AC\)), który będzie miał miarę dwukrotnie większą, czyli:
$$|\sphericalangle ASC|=2\cdot40° \\
|\sphericalangle ASC|=80°$$



Teraz spójrzmy na powstały trójkąt \(ASC\). Jest to trójkąt równoramienny (ramiona \(AS\) oraz \(CS\) mają długość promienia okręgu). To z kolei oznacza, że kąty przy podstawie \(AC\) muszą mieć jednakową miarę. Skoro więc kąt \(ASC\) ma miarę \(100°\), to:
$$α=(180°-80°):2=100°:2=50°$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:



Krok 2. Obliczenie stosunku pola powierzchni bocznej do pola podstawy.
Musimy obliczyć stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy czyli:
$$\require{cancel}\frac{P_{b}}{P_{p}}=\frac{πrl}{πr^2} \\
\frac{P_{b}}{P_{p}}=\frac{\cancel{π}\cdot\cancel{r}\cdot l}{\cancel{π}\cdot\cancel{r}\cdot r} \\
\frac{P_{b}}{P_{p}}=\frac{l}{r} \\
\frac{P_{b}}{P_{p}}=\frac{10}{3}$$

D

Ostrosłup prawidłowy trójkąty składa się z czterech trójkątów równobocznych. O tych trójkątach wiemy, że mają bok o długości \(a=8\). Skoro są to trójkąty równoboczne, to pole każdego z nich obliczymy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem pole całkowite składające się z czterech takich trójkątów będzie równe:
$$P_{c}=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{c}=a^2\sqrt{3} \\
P_{c}=8^2\sqrt{3} \\
P_{c}=64\sqrt{3}$$

D

Korzystając ze wzoru na objętość kuli możemy stwierdzić, że:
$$V=\frac{4}{3}πr^3 \\
288π=\frac{4}{3}πr^3 \quad\bigg/:π \\
288=\frac{4}{3}r^3 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4} \\
216=r^3 \\
r=6$$

D

Aby obliczyć medianę musimy uporządkować liczby w kolejności rosnącej. Uporządkujmy zatem te wartości, które znamy:
$$1,2,3,5,9$$

Jeżeli do tego zestawu dodamy jeszcze liczbę \(x\) to nasz zestaw będzie mieć \(6\) liczb. W związku z tym mediana będzie średnią arytmetyczną między trzecim i czwartym wyrazem. Już po wstępnej analizie powinniśmy dostrzec, że ta mediana będzie równa \(4\) w sytuacji w której \(x\) jest liczbą większą lub równą \(5\), ale jeżeli tego nie widzimy to możemy rozpatrzeć każdy przypadek po kolei:
Dla \(x=2\) mediana będzie równa \(\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}=2,5\)
Dla \(x=3\) mediana będzie równa \(\frac{3+3}{2}=\frac{6}{2}=3\)
Dla \(x=4\) mediana będzie równa \(\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3,5\)
Dla \(x=5\) mediana będzie równa \(\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4\)

W związku z tym poszukiwaną przez nas liczbą jest \(5\).

C

Aby iloczyn trzech cyfr naturalnych dał wynik \(4\), to musimy pomnożyć przez siebie jedynkę, dwójkę i dwójkę lub też jedynkę, jedynkę i czwórkę. W związku z tym interesującymi nas liczbami będą:
$$122,212,221 \\
114,141,411$$

Łącznie jest to więc \(6\) liczb.

A

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Na każdej z kostek może wypaść jedna z sześciu cyfr - \(1, 2, 3, 4, 5\) oraz \(6\). Wyniki na kostkach są niezależne względem siebie. Skoro na jednej kostce mamy \(6\) różnych możliwości i na drugiej także mamy \(6\) różnych możliwości, to zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której iloczyn liczby oczek jest równy \(4\). Wypiszmy sobie takie przypadki:
$$(1,4), (2,2), (4,1)$$

Są to więc tylko trzy takie sytuacje, zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$

\(\langle-2;2\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Tradycyjnie na początku musimy obliczyć miejsca zerowe wielomianu, przyrównując wartość \(7x^2-28\) do zera. Możemy to zrobić metodą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik \(b=0\)), ale w tym konkretnym przypadku możemy te miejsca zerowe wyznaczyć znacznie szybciej:
$$7x^2-28=0 \quad\bigg/:7 \\
x^2-4=0 \\
x^2=4 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe, pamiętając o tym żeby kropki były zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\). Parabola będzie więc wyglądać następująco:


Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, czyli rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$\langle-2;2\rangle$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=-3 \quad\lor\quad x=2\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(x^3\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(27\). To oznacza, że:
$$x^4-2x^3+27x-54=0 \\
x^3(x-2)+27(x-2) \\
(x^3+27)(x-2)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$x^3+27=0 \quad\quad\lor\quad\quad x-2=0 \\
x^3=-27 \quad\quad\lor\quad\quad x=2 \\
x=-3 \quad\quad\lor\quad\quad x=2$$

To oznacza, że rozwiązaniem naszego równania są: \(x=-3 \quad\lor\quad x=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\) lub zapisując to w postaci ogólnej \(f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}\)

Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Bardzo ważną informacją jest to, że dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość \(y=4\), która jest jednocześnie najwyższą wartością tej funkcji. Krótko mówiąc - jest to po prostu wierzchołek paraboli. Tak więc \(W=(-3;4)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy zapisać wzór funkcji kwadratowej w następującej postaci:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

gdzie \(p\) i \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

Tak więc nasza funkcja przyjmuje wzór:
$$f(x)=a(x-(-3))^2+4 \\
f(x)=a(x+3)^2+4$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i ostatecznego wzoru funkcji.
Znamy już prawie pełny wzór naszej funkcji, brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\).

Tak na marginesie, to jeśli dobrze sobie wyobrazimy tę sytuację, to już powinniśmy wiedzieć, że na pewno będzie on ujemny. Skąd to wiadomo? Skoro funkcja przyjmuje najwyższe wartości w swoim wierzchołku to jej ramiona muszą być skierowane do dołu, a więc \(a\lt0\). Gdyby ramiona były skierowane do góry, to najwyższą wartością byłoby \(+\infty\).

Do obliczenia wartości współczynnika \(a\) wykorzystamy punkt \(A=(-1,3)\), który należy do wykresu tej funkcji. Podstawiamy jego współrzędne do wzoru wyznaczonego w poprzednim kroku i otrzymujemy:
$$f(x)=a(x+3)^2+4 \\
3=a(-1+3)^2+4 \\
-1=a\cdot2^2 \\
-1=4a \\
a=-\frac{1}{4}$$

Poszukiwanym wzorem funkcji kwadratowej jest więc \(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\).

Oczywiście moglibyśmy jeszcze wykonać potęgowanie (choć nie jest to już konieczne) i wtedy otrzymalibyśmy postać ogólną:
$$f(x)=-\frac{1}{4}(x^2+6x+9)+4 \\
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{6}{4}x-\frac{9}{4}+4 \\
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w postaci \(f(x)=a(x+3)^2+4\) (patrz: Krok 2.) lub \(f(x)=ax^2+6ax+9a+4\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów opartych na średnicy oraz wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa.

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że trójkąty \(ABC\) i \(ABD\) są prostokątne. Skąd to wiemy? Obydwa trójkąty wyznaczone przez przekątne czworokąta są oparte na średnicy okręgu, a z własności figur w okręgach wiemy, że to jest równoznaczne z tym że dany trójkąt jest prostokątny. Tak więc:
$$\sphericalangle ADB|=|\sphericalangle ACB|=90°$$

Skoro są to trójkąty prostokątne to do udowodnienia tezy zawartej w zadaniu możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, tworząc prosty układ równań:
\begin{cases}
\text{Trójkąt }ABD: |AD|^2+|BD|^2=|AB|^2 \\
\text{Trójkąt }ABC: |BC|^2+|AC|^2=|AB|^2
\end{cases}

Po prawej stronie tych dwóch równań mamy wartość \(|AB|^2\), więc korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2$$

Co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że kąty \(ADB\) oraz \(ACB\) są kątami prostymi i dostrzeżesz, że można skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono obliczając sumę siedmiu wyrazów.

Korzystając z tego wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\), możemy zapisać, że:
$$S_{7}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7} \\
S_{7}=a_{1}+(a_{1}+r)+(a_{1}+2r)+(a_{1}+3r)+(a_{1}+4r)+(a_{1}+5r)+(a_{1}+6r) \\
S_{7}=7a_{1}+21r$$

Wiemy, że środkowy (czyli czwarty) wyraz tego ciągu jest równy \(0\), czyli:
$$a_{1}+3r=0 \\
a_{1}=-3r$$

Podstawiając to do wyznaczonej przed chwilą sumy otrzymamy:
$$S_{7}=7a_{1}+21r \\
S_{7}=7\cdot(-3r)+21r \\
S_{7}=-21r+21r \\
S_{7}=0$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz sumę wszystkich wyrazów w postaci \(S_{7}=7a_{1}+21r\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy rozpiszesz każdy wyraz powiązując go z \(a_{4}\) np. \(a_{1}=a_{4}-3r\), \(a_{2}=a_{4}-2r\) itd.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(P(A)=\frac{1}{4}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym losowaniu możemy trafić na jedną z ośmiu cyfr. W drugim losowaniu możemy trafić już tylko na jedną z siedmiu cyfr, bo odpada nam ta cyfra, która była wylosowana za pierwszym razem (losowanie jest bez zwracania). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=8\cdot7=56$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której otrzymana liczba (utworzona z wylosowanych cyfr) będzie podzielna przez \(4\). Wypiszmy sobie takie przypadki:
$$(1,2), (1,6), (2,4), (2,8), (3,2), (3,6), (4,8), \\
(5,2), (5,6), (6,4), (6,8), (7,2), (7,6), (8,4)$$

Warto tutaj zwrócić uwagę, że przykładowo nie da się wylosować zdarzenia \((4,4)\) czy też \((8,8)\), bo cyfry losujemy bez zwracania, czyli cyfry nie mogą się powtarzać. Mamy więc 14 takich liczb, zatem \(|A|=14\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{14}{56}=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=1176\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym możemy naszkicować taki oto rysunek:



Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(x+7)^2+x^2=35^2 \\
x^2+14x+49+x^2=1225 \\
2x^2+14x-1176=0 \\
x^2+7x-588=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=7,\;c=-588\)
$$Δ=b^2-4ac=7^2-4\cdot1\cdot(-588)=49-(-2352)=49+2352=2401 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{2401}=49$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7-49}{2\cdot1}=\frac{-56}{2}=-28 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7+49}{2\cdot1}=\frac{42}{2}=21$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo długość odcinka nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(x=21\).

Krok 4. Zapisanie długości przekątnych rombu.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami z rysunku przekątne mają długość \(2x\) oraz \(2x+14\). Skoro wyszło nam, że \(x=21\), to znaczy że przekątne mają długość \(2\cdot21=42\) oraz \(2\cdot21+14=56\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni rombu.
Znając długości przekątnych możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\
P=\frac{1}{2}\cdot42\cdot56 \\
P=21\cdot56 \\
P=1176$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy i zapiszesz zależność między długościami przekątnych np. \(2x\) oraz \(2x+14\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy metodą prób i błędów odgadniesz długości przekątnych.
2 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa ułożysz równanie z jedną niewiadomą np. \((x+7)^2+x^2=35^2\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy ułożysz układ równań z dwiema niewiadomymi i zapiszesz w nim równania typu \(p-q=7\) oraz \(p^2+q^2=35^2\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to połówki przekątnych.
ALBO
• Gdy metodą prób i błędów odgadniesz długości przekątnych i obliczysz z nich poprawnie pole rombu.
3 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{1}{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na rysunek informacje z treści zadania, które ułatwią nam obliczenia.



Krok 2. Zapisanie długości przekątnej podstawy.
Widzimy, że kluczowym z punktu widzenia zadania będzie trójkąt \(BDH\). W jego dolnej przyprostokątnej znajduje się przekątna podstawy prostopadłościanu, oznaczona symbolem \(d\). Spróbujmy zapisać jej długość za pomocą wyrażeń algebraicznych, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=d^2 \\
d=\sqrt{a^2+b^2}$$

Krok 3. Wykorzystanie Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(BDH\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$d^2+1^2=(a+b)^2 \\
\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+1^2=(a+b)^2 \\
a^2+b^2+1=a^2+2ab+b^2 \\
2ab=1 \\
ab=\frac{1}{2}$$

Krok 4. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Spójrzmy na wzór na objętość prostopadłościanu:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=ab\cdot H$$

Znamy wysokość prostopadłościanu, bo \(H=1\). Nie wiemy jaką konkretnie miarę mają odcinki \(a\) oraz \(b\), ale wiemy że ich iloczyn jest równy \(\frac{1}{2}\). I ta wiedza nam w zupełności wystarczy do obliczenia objętości. Podstawiając te dane otrzymamy:
$$V=\frac{1}{2}\cdot1 \\
V=\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy wraz z oznaczeniami (patrz: Krok 1.) i zapiszesz jakąś podstawową zależność typu \(S=a+b\).
2 pkt
• Gdy rozpiszesz długość przekątnej podstawy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Krok 2.)
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(ab=\frac{1}{2}\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(72\) raty. Ostatnia rata równa jest równa \(65zł\).

Krok 1. Dostrzeżenie cech ciągu arytmetycznego.
Tak naprawdę całą naszą sytuację z treści zadania możemy opisać ciągiem arytmetycznym w którym:
$$a_{1}=775 \\
r=-10 \\
S_{n}=30240$$

Naszym zadaniem jest policzenie ilości wyrazów/rat, czyli \(n\) oraz wartości ostatniej raty, czyli \(a_{n}\).

Krok 2. Obliczenie ilości rat.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
30240=\frac{2\cdot775+(n-1)\cdot(-10)}{2}\cdot n \quad\bigg/\cdot2 \\
60480=(1550-10n+10)\cdot n \\
60480=(-10n+1560)\cdot n \\
60480=-10n^2+1560n \\
-10n^2+1560n-60480=0 \quad\bigg/:(-10) \\
n^2-156n+6048=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając oczywiście z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-156,\;c=6048\)
$$Δ=b^2-4ac=(-156)^2-4\cdot1\cdot6048=24336-24192=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-156)-12}{2\cdot1}=\frac{156-12}{2}=\frac{144}{2}=72 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-156)+12}{2\cdot1}=\frac{156+12}{2}=\frac{168}{2}=84$$

To oznacza, że ilość rat wynosi \(72\) lub \(84\) i póki co żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić.

Krok 4. Obliczenie wysokości ostatniej raty.
Zgodnie z treścią zadania chcemy obliczyć wysokość ostatniej raty. Musimy rozpatrzeć dwie sytuacje - kiedy były \(72\) raty oraz kiedy były \(84\) raty. Do wyznaczenia wysokości ostatnich rat skorzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Dla \(n=72\):
$$a_{72}=775+(72-1)\cdot(-10) \\
a_{72}=775+71\cdot(-10) \\
a_{72}=775+(-710) \\
a_{72}=65$$

Dla \(n=84\):
$$a_{84}=775+(84-1)\cdot(-10) \\
a_{84}=775+83\cdot(-10) \\
a_{84}=775+(-830) \\
a_{84}=-55$$

Krok 5. Analiza otrzymanych wyników i zapisanie ostatecznego rozwiązania.
Sytuacja w której rata jest ujemna jest sprzeczna z istotą zadania. W związku z tym musimy odrzucić to rozwiązanie, czyli musimy też odrzucić wariant, że rat mogło być \(84\). To oznacza, że całe zadanie ma tylko jedno poprawne rozwiązanie: rat było \(72\), a ostatnia rata była równa \(65zł\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz cechy ciągu arytmetycznego w którym \(a_{1}=775\) oraz \(r=-10\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy skorzystasz ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów i podstawisz do niego wartość pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu (patrz: Krok 2.)
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(n=72\) oraz \(n=84\) (patrz: Krok 3.) i nie odrzucisz błędnego rozwiązania.
4 pkt
• Gdy otrzymasz błędny wynik ze względu na popełniony błąd rachunkowy w równaniu kwadratowym, pod warunkiem że przynajmniej jedna z obliczonych wartości \(n\) jest liczbą naturalną.
ALBO
• Gdy wskażesz, że jedynym dobrym rozwiązaniem jest \(n=72\), ale błędnie obliczysz wysokość ostatniej raty.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.