Matura próbna – Matematyka – Marzec 2021 – Odpowiedzi

A

W zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym:
$$(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{3}=6-2\sqrt{12}+2-2\sqrt{3}= \\
=8-2\sqrt{4\cdot3}-2\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8-6\sqrt{3}$$

B

Z własności logarytmów wynika, że liczby stojące przed logarytmami możemy zamienić na potęgowanie liczb logarytmowanych, zatem:
$$2log_{5}4-3log_{5}\frac{1}{2}=log_{5}4^2-log_{5}\left(\frac{1}{2}\right)^3=log_{5}16-log_{5}\frac{1}{8}$$

Nie obliczymy oddzielnie wartości \(log_{5}16\) oraz \(log_{5}\frac{1}{8}\), ale możemy skorzystać z działań na logarytmach i rozpisać to w ten sposób:
$$log_{5}16-log_{5}\frac{1}{8}=log_{5}\left(16:\frac{1}{8}\right)=log_{5}(16\cdot8)=log_{5}128$$

Wiedząc, że \(128\) to jest \(2^7\) możemy zapisać, że:
$$log_{5}128=log_{5}2^7=7log_{5}2$$

C

Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena maseczki przed podwyżką
\(1,4x\) - cena maseczki po podwyżce

Z treści zadania wynika, że cena maseczki po podwyżce jest równa \(106,40zł\), zatem:
$$1,4x=106,40zł \\
x=76zł$$

B

Najpierw musimy sprowadzić nasze pierwiastki do postaci potęgi, a potem skorzystać z działań na potęgach. Otrzymamy wtedy, że:
$$\left(\sqrt[2]{b}\cdot\sqrt[4]{b}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(b^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=b^{\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}}=b^{\frac{1}{4}}=b^{0,25}$$

B

Skoro podana para liczb spełnia nasz układ równań, to podstawmy w takim razie \(x=1\) oraz \(y=-3\) do tego układu, otrzymując:
\begin{cases}
1-(-3)=a^2 \\
(1+a)\cdot1-3\cdot(-3)=-4a
\end{cases}

\begin{cases}
4=a^2 \\
1+a-(-9)=-4a
\end{cases}

\begin{cases}
4=a^2 \\
10+a=-4a
\end{cases}

\begin{cases}
a^2=4 \\
-5a=10
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Otrzymaliśmy dwa równania z jedną niewiadomą, które teraz musimy rozwiązać:
I równanie:
$$a^2=4 \\
a=2 \quad\lor\quad a=-2$$

II równanie:
$$-5a=10 \\
a=-2$$

Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Widzimy wyraźnie, że tylko \(a=-2\) spełnia jedno i drugie równanie, stąd też właśnie to \(a=-2\) jest prawidłową odpowiedzią.

B

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie takich równań odbywa się dokładnie tak, jak robimy to przy postaci iloczynowej, czyli każdą wartość w nawiasie musimy przyrównać do zera. W związku z tym:
$$x-4=0 \quad\lor\quad x^2-1=0 \\
x=4 \quad\lor\quad x^2=1 \\
x=4 \quad\lor\quad x=1 \quad\lor\quad x=-1$$

Krok 2. Wyznaczenie iloczynu wszystkich rozwiązań równania.
Na koniec musimy jeszcze wyznaczyć iloczyn, czyli pomnożyć przez siebie wszystkie otrzymane wyniki:
$$4\cdot1\cdot(-1)=-4$$

D

Rozwiązanie tej nierówności najlepiej jest zacząć od mnożenia po prawej stronie:
$$\frac{12-5x}{2}\lt3\left(1-\frac{1}{2}x\right)+7x \\
\frac{12-5x}{2}\lt3-\frac{3}{2}x+7x \quad\bigg/\cdot2 \\
12-5x\lt6-3x+14x \\
12-5x\lt6+11x \\
-16x\lt-6 \quad\bigg/:(-16) \\
x\gt\frac{6}{16} \\
x\gt\frac{3}{8}$$

To oznacza, że zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie \(\left(\frac{3}{8};+\infty\right)\).

Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną, czyli \(-16\) musieliśmy zmienić znak nierówności na przeciwny!

C

Z treści zadania możemy wywnioskować, że nasza funkcja liniowa jest dość nietypowa, bo wyjątkowo osiąga ona swoją najmniejszą wartość i jest ona równa \(3\) (zazwyczaj funkcje liniowe nie mają najmniejszej i największej wartości). To prowadzi nas do wniosku, że tą funkcją liniową musi być \(y=3\), zatem współczynnik kierunkowy tej funkcji musi być równy \(0\). Nasz współczynnik kierunkowy (czyli liczba stojąca przed \(x\)) to \(a-1\), zatem:
$$a-1=0 \\
a=1$$

To oznacza, że warunki zadania są spełnione jedynie dla \(a=1\).

D

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. - to nieprawda, gdyż dziedziną tej funkcji jest przedział \((-3,5\rangle\). Pamiętaj, że dziedzinę odczytujemy z osi \(OX\).
Odp. B. - to nieprawda, gdyż ta funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe i jest nim \(x=4\).
Odp. C. - to nieprawda, gdyż dla argumentu \(x=1\) funkcja przyjmuje wartość \(y=3\).
Odp. D. - to prawda, faktycznie zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-4, 5\rangle\).

Prawidłowa jest więc jedynie ostatnia odpowiedź.

B

Chcemy sprawdzić jaka jest wartość tej funkcji dla argumentu \(x=1\), zatem musimy podstawić właśnie \(x=1\) do wzoru tej funkcji:
$$f(1)=\frac{8\cdot1-7}{2\cdot1^2+1} \\
f(1)=\frac{8-7}{2+1} \\
f(1)=\frac{1}{3}$$

C

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że wartość środkowego z trzech wyrazów podniesiona do kwadratu jest równa iloczynowi wyrazów sąsiadujących, zatem:
$$y^2=x\cdot z$$

Z treści zadania wynika, że:
$$x\cdot y\cdot z=64 \\
x\cdot z=\frac{64}{y}$$

Podstawiając tę informację do naszej własności \(y^2=x\cdot z\) otrzymamy:
$$y^2=\frac{64}{y} \bigg/\cdot y \\
y^3=64 \\
y=4$$

C

Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=-3\) oraz \(r=5\). Skoro tak, to bez problemu obliczymy wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{4}\). Możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r=-3+5=2 \\
a_{4}=a_{1}+3r=-3+3\cdot5=-3+15=12$$

W związku z tym iloraz \(\dfrac{a_{4}}{a_{2}}\) będzie równy:
$$\frac{a_{4}}{a_{2}}=\frac{12}{2}=6$$

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\).
Powinniśmy dostrzec, że trójkąt \(AOC\) jest równoramienny (boki \(AO\) oraz \(CO\) mają długość promienia okręgu). Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę, zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=180°-70°-70°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Kąt \(ABC\) jest kątem wpisanym, który jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(AOC\). Z własności takich kątów wynika, że jego miara będzie dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego, zatem:
$$|\sphericalangle ABC|=40°:2=20°$$

B

Teoretycznie już po samym wzorze powinniśmy się zorientować, że jedynie ciąg \((b_{n})\) jest arytmetyczny. Nie mniej jednak, aby nie było żadnych wątpliwości, dobrze jest sprawdzić sobie kilka początkowych wyrazów każdego ciągu. Przykładowo:

Ciąg \(a_{n}\):
$$a_{1}=6\cdot1^2-1^3=6-1=5 \\
a_{2}=6\cdot2^2-2^3=6\cdot4-8=24-8=16 \\
a_{3}=6\cdot3^2-3^3=6\cdot9-27=54-27=27 \\
a_{4}=6\cdot4^2-4^3=6\cdot16-64=96-64=32$$

To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(a_{2}-a_{1}=11\), natomiast \(a_{4}-a_{3}=5\).

Ciąg \(b_{n}\):
$$b_{1}=2\cdot1+13=2+13=15 \\
b_{2}=2\cdot2+13=4+13=17 \\
b_{3}=2\cdot3+13=6+13=19 \\
b_{4}=2\cdot4+13=8+13=21$$

Tu wyraźnie widzimy, że każdy kolejny wyraz jest o \(2\) większy od poprzedniego i że tym samym jest to ciąg arytmetyczny, w którym \(r=2\).

Ciąg \(c_{n}\):
$$c_{1}=2^1=2 \\
c_{2}=2^2=4 \\
c_{3}=2^3=8 \\
c_{4}=2^4=16$$

To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(c_{2}-c_{1}=2\), natomiast \(c_{4}-c_{3}=8\).

Ciągiem arytmetycznym jest więc jedynie ciąg \((b_{n})\).

D

Chcąc obliczyć trzeci wyraz tego ciągu, wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\):
$$a_{3}=(-2)^3\cdot3+1 \\
a_{3}=(-8)\cdot3+1 \\
a_{3}=(-24)+1 \\
a_{3}=-23$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Kluczową obserwacją wynikającą z rysunku jest to, że wysokość rombu jest równa dwóm promieniom naszego okręgu. Możemy wiec zapisać, że \(h=2r\).

Krok 2. Obliczenie wysokości rombu.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który utworzył nam się na powyższym rysunku. Dzięki niemu możemy tutaj skorzystać z funkcji trygonometrycznych. Znamy długość przeciwprostokątnej, a szukamy długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(60°\), więc idealnie będzie nam pasował sinus:
$$sin60°=\frac{h}{2\sqrt{3}}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{2\sqrt{3}}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$2h=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} \\
2h=2\cdot3 \\
2h=6 \\
h=3$$

Krok 3. Obliczenie promienia okręgu.
Tak jak ustaliliśmy na początku: \(h=2r\). Skoro tak, to:
$$2r=3 \\
r=\frac{3}{2}$$

A

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i wykorzystanie własności trójkątów równobocznych.
Powinniśmy dostrzec, że skoro prosta \(DE\) jest równoległą do podstawy \(AB\), to trójkąt \(DEC\) jest podobny do trójkąta \(ABC\).

Dodatkowo z własności trójkątów równobocznych wiemy, że odległość od punktu przecięcia się wysokości aż do wierzchołka, stanowi \(\frac{2}{3}h\). Skoro tak i skoro trójkąty \(ABC\) oraz \(DEC\) są podobne, to analogicznie podstawa \(DE\) będzie stanowić \(\frac{2}{3}\) długości podstawy \(AB\).

Z naszych analiz wynika więc, że mamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkątów \(ABC\) oraz \(DEC\).
Ze wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}ah \\
\text{oraz} \\
P_{DEC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}a\cdot\frac{2}{3}h \\
P_{DEC}=\frac{4}{18}ah$$

Krok 3. Obliczenie stosunku pól powierzchni trójkątów \(ABC\) oraz \(DEC\).
Interesuje nas stosunek pól tych dwóch trójkątów, zatem:
$$\frac{P_{ABC}}{P_{DEC}}=\frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{4}{18}ah}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{4}{18}}=\frac{1}{2}:\frac{4}{18}=\frac{1}{2}\cdot\frac{18}{4}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$$

To oznacza, że stosunek tych dwóch pól jest równy \(9:4\).

B

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(PR\).
Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka w układzie współrzędnych. Środek odcinka \(PR\) o współrzędnych możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{P}+x_{R}}{2};\frac{y_{P}+y_{R}}{2}\right)$$

Podstawiając współrzędne z treści zadania, otrzymamy:
$$S=\left(\frac{4+(-2)}{2};\frac{7+(-3)}{2}\right) \\
S=\left(\frac{2}{2};\frac{4}{2}\right) \\
S=(1;2)$$

Krok 2. Obliczenie odległości punktu \(T\) od środka odcinka \(PR\).
Naszym celem jest tak naprawdę obliczenie długości odcinka \(ST\), zatem korzystając ze wzoru na długosć odcinka możemy zapisać, że:
$$|ST|=\sqrt{(x_{T}-x_{S})^2+(y_{T}-y_{S})^2} \\
|ST|=\sqrt{(3-1)^2+(-1-2)^2} \\
|ST|=\sqrt{2^2+(-3)^2} \\
|ST|=\sqrt{4+9} \\
|ST|=\sqrt{13}$$

D

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{16}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{9}{25} \\
cosα=\sqrt{\frac{9}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{9}{25}} \\
cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(cosα=\frac{3}{5}\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie tangesa kąta \(MON\).
Z własności tangensów (możemy znaleźć je w tablicach maturalnych) wynika, że kiedy jedno ramię kąta pokrywa się z osią \(OX\), a wierzchołek jest w punkcie \((0,0)\) (a obydwie te rzeczy mają tutaj miejsce), to \(tg\alpha=\frac{y}{x}\), gdzie \(x\) oraz \(y\) to współrzędne dowolnego punktu, który leży na drugim ramieniu. My znamy współrzędne takiego punktu i jest nim \(N=(6,8)\), zatem podstawiając \(x=6\) oraz \(y=8\), otrzymamy:
$$tg\alpha=\frac{y}{x} \\
tg\alpha=\frac{8}{6} \\
tg\alpha=\frac{4}{3}$$

B

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W przypadku pierwszej prostej współczynnik kierunkowy jest zapisany jako \(3a\), natomiast w drugiej prostej współczynnik kierunkowy jest równy \(2\). W związku z tym:
$$3a\cdot2=-1 \\
6a=-1 \\
a=-\frac{1}{6}$$

C

W tym zadaniu tak naprawdę nie musimy niczego obliczać. Z treści wynika, że prosta przechodząca przez wierzchołki \(C\) i \(D\) musi być równoległa do prostej \(y=5x+3\), która przechodzi przez wierzchołki \(A\) i \(B\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Prosta przechodząca przez wierzchołki \(A\) i \(B\) ma współczynnik \(a=5\), zatem i prosta do niej równoległa musi mieć \(a=5\). Taką sytuację mamy jedynie w trzeciej odpowiedzi, stąd też wiemy, że poszukiwanym równaniem prostej będzie \(y=5x-10\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który utworzył nam się na rysunku szkicowym. Bazując na nim możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych i zapisać, że:
$$tg30°=\frac{h}{\frac{a-b}{2}}$$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że \(tg30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\), zatem:
$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{\frac{a-b}{2}}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$3\cdot h=\frac{a-b}{2}\cdot\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{3} \\
h=\frac{a-b}{6}\cdot\sqrt{3}$$

A

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Skoro więc przekątna ma długość \(5\sqrt{3}\), to:
$$a\sqrt{3}=5\sqrt{3} \\
a=5$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu wyjdzie nam, że:
$$V=a^3 \\
V=5^3 \\
V=125$$

C

Krok 1. Obliczenie pól podstaw obu ostrosłupów.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w swojej podstawie trójkąt równoboczny. Wzór na pole takiego trójkąta to \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

Z treści zadania wynika, że krawędź podstawy ostrosłupa \(O_{1}\) (czyli krawędź trójkąta równobocznego) ma długość \(3a\), natomiast ostrosłupa \(O_{2}\) ma długość \(a\). Skoro tak, to pola podstaw tych ostrosłupów będą równe:
$$P_{p1}=\frac{(3a)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Zapisanie objętości ostrosłupów.
Korzystając ze wzoru na objętość \(V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H\) możemy zapisać, że:
$$V_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H \\
V_{1}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H$$

$$V_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H \\
V_{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H$$

Krok 3. Obliczenie stosunku objętości.
Interesuje nas stosunek objętości ostrosłupa \(O_{1}\) do objętości ostrosłupa \(O_{2}\). Porównując obliczone przed chwilą objętości widzimy wyraźnie, że \(V_{1}\) jest \(9\) razy większe od \(V_{2}\) (to przez tą dziewiątkę, która stoi przed \(a^2\)), stąd też stosunek objętości na pewno wynosi \(9:1\). Gdybyśmy nie byli tego pewni, to zawsze możemy rozpisać to w ten sposób:
$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H}{\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}:\frac{a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot\frac{12}{a^2\sqrt{3}}=\frac{9}{1}$$

A

Krok 1. Przeanalizowanie różnych możliwości zapisu liczby spełniającej warunki zadania.
Jeżeli liczba ma być parzysta i ma zawierać jedną siódemkę, to mamy do rozpatrzenia dwie możliwości:
a) Siódemka jest cyfrą setek, czyli mamy liczbę \(7■■\)
b) Siódemka jest cyfrą dziesiątek, czyli mamy liczbę \(■7■\)

Siódemka nie może być cyfrą jedności, bo wtedy liczba nie będzie parzysta.

Krok 2. Obliczenie liczby kombinacji w każdym z rozpatrywanych przypadków.
Rozpatrzmy zatem ile teraz mamy kombinacji w każdej z możliwych sytuacji:
a) \(7■■\)
- w rzędzie setek mamy \(7\), czyli jest to jedna cyfra.
- w rzędzie dziesiątek możemy mieć dowolną cyfrę od \(0\) do \(9\), ale oprócz siódemki, zatem tutaj jest dziewięć możliwości.
- w rzędzie jedności możemy mieć jedynie \(0,2,4,6,8\), zatem tutaj jest pięć możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich pasujących kombinacji z tej serii mamy:
$$1\cdot9\cdot5=45$$

b) \(■7■\)
- w rzędzie setek możemy mieć dowolną cyfrę od \(1\) do \(9\), ale oprócz siódemki, zatem tutaj jest osiem możliwości.
- w rzędzie dziesiątek mamy \(7\), czyli jest to jedna cyfra.
- w rzędzie jedności możemy mieć jedynie \(0,2,4,6,8\), zatem tutaj jest pięć możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich pasujących kombinacji z tej serii mamy:
$$8\cdot1\cdot5=40$$

Krok 3. Obliczenie łącznej liczby interesujących nas kombinacji.
Teraz w grę wchodzi reguła dodawania. Musimy dodać do siebie wszystkie interesujące nas kombinacje, zatem wszystkich liczb spełniających warunki zadania będziemy mieć:
$$45+40=85$$

D

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy spośród liczb naturalnych dwucyfrowych, a takich jest \(90\). Możemy więc zapisać, że \(|Ω|=90\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te liczby, które są podzielne przez \(5\). Sprawdźmy zatem ile jest takich liczb:
- w rzędzie dziesiątek może znaleźć się dowolna cyfra od \(1\) do \(9\), mamy więc dziewięć możliwości uzupełnienia tej cyfry
- w rzędzie jedności może znaleźć się jedynie \(0\) lub \(5\), więc mamy dwie możliwości uzupełnienia tej cyfry

Teraz zgodnie z regułą mnożenia możemy zapisać, że zdarzeń sprzyjających jest \(|A|=9\cdot2=18\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{18}{90}$$

A

Krok 1. Uporządkowanie liczb w porządku niemalejącym.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w porządku rosnącym (a precyzyjniej w porządku niemalejącym). Teoretycznie wydaje się to trudne, bo w trzech liczbach mamy niewiadomą \(x\), ale skoro liczba \(x\) jest dodatnia, to na pewno \(1\) jest tą liczbą najmniejszą, a \(4+3x\) jest największą. Nasz uporządkowany zestaw będzie wyglądał następująco:
$$1; \quad 1+x; \quad 1+2x; \quad 4+3x$$

Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Mamy parzystą ilość wyrazów, zatem mediana jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów środkowych, czyli \(1+x\) oraz \(1+2x\). Mediana jest równa \(10\), zatem możemy zapisać, że:
$$\frac{1+x+1+2x}{2}=10 \\
\frac{3x+2}{2}=10 \\
3x+2=20 \\
3x=18 \\
x=6$$

\(x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Spróbujmy doprowadzić całość do dobrze znanej nam postaci ogólnej, dzięki czemu będziemy mogli za chwilę skorzystać z delty. Wymnażając więc to co jest po lewej stronie i przenosząc wszystkie wyrazy z prawej na lewą stronę, otrzymamy:
$$3x(x+1)\gt x^2+x+24 \\
3x^2+3x\gt x^2+x+24 \\
2x^2+2x-24\gt0$$

Możemy jeszcze (choć nie musimy) podzielić wszystko przez \(2\), dzięki czemu będziemy bazować na mniejszych liczbach. Otrzymamy wtedy nierówność:
$$x^2+x-12\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=1,\;c=-12\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-12)=1-(-48)=1+48=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-7}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+7}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (bo \(a=1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-4\) oraz \(x=3\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-\frac{1}{3}\) oraz \(x=1\)

Krok 1. Zapisanie założeń.
Jak to w równaniach wymiernych zazwyczaj bywa - musimy zacząć od wypisania założeń. Wartość w mianowniku nie może być równa zero, stąd też:
$$3x-2\neq0 \\
3x\neq2 \\
x\neq\frac{2}{3}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron równania przez to, co znalazło się w mianowniku, czyli \(3x-2\), zatem:
$$\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2 \quad\bigg/\cdot(3x-2) \\
6x-1=(3x+2)(3x-2)$$

Po prawej stronie otrzymaliśmy mnożenie, w którym możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Możemy więc zapisać, że:
$$6x-1=(3x)^2-2^2 \\
6x-1=9x^2-4 \\
9x^2-6x-3=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem korzystając z delty możemy zapisać, że:
Współczynniki: \(a=9,\;b=-6,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot9\cdot(-3)=36-(-108)=36+108=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-12}{2\cdot9}=\frac{6-12}{18}=\frac{-6}{18}=-\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+12}{2\cdot9}=\frac{6+12}{18}=\frac{18}{18}=1$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się z założeniami. W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(x\neq\frac{2}{3}\) i akurat w tym przypadku to założenie nie wpływa na rozwiązanie zadania. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem naszego równania są dwie liczby: \(x=-\frac{1}{3}\) oraz \(x=1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając z własności stycznych do okręgu i trójkątów podobnych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jedną z własności stycznych do okręgu jest to, że promień okręgu tworzy ze styczną kąt prosty. To oznacza, że na rysunku powstanie nam taka oto sytuacja:


Co więcej, możemy w takim razie podpisać dwa odcinki jako \(a-r\) oraz \(b-r\):


Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy teraz zauważyć, że na rysunku mamy tak naprawdę dwa podobne trójkąty prostokątne. Skąd wiemy, że są one podobne? Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt (obydwa mają kąt prosty, obydwa mają wspólny kąt ostry między bokiem \(b\) oraz przeciwprostokątną, zatem i trzecia miara kątów musi być wspólna).


Krok 3. Wykorzystanie cech podobieństwa trójkątów.
Korzystając z cech trójkątów podobnych możemy zapisać, że stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta musi być taki sam, jak stosunek długości przyprostokątnych drugiego trójkąta, zatem:
$$\frac{a}{b}=\frac{r}{b-r}$$

Długości boków są zawsze dodatnie, więc bez obaw możemy teraz wykonać mnożenie na krzyż:
$$a\cdot(b-r)=br \\
ab-ar=br \\
ab=ar+br \\
ab=r(a+b) \\
r=\frac{ab}{a+b}$$

Otrzymaliśmy pożądaną postać, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jakąś relację związaną z podobieństwem trójkątów np. \(\frac{a}{b}=\frac{r}{b-r}\) (patrz: Krok 3.) albo \(\frac{a}{b}=\frac{a-r}{r}\) lub inną podobną.
ALBO
• Gdy zapiszesz, że pole trójkąta jest sumą pól dwóch mniejszych trójkątów (np. jeżeli wierzchołki trójkąta oznaczymy jako ABC, to pole tego trójkąta będzie równe sumie pól AOC oraz ABO).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(\frac{24}{25}\)

Do zadania możemy podejść standardowo i korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy wyznaczyć wartości sinusa i cosinusa. Ale istnieje znacznie sprytniejszy sposób na poznanie wartości wyrażenia \(2sinα cosα\). Taki zapis powinien nam się kojarzyć ze wzorami skróconego mnożenia i to będzie właśnie klucz do rozwiązania zadania.

Jeżeli podniesiemy obie strony równania \(sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}\) do kwadratu, to otrzymamy:
$$(sinα+cosα)^2=\left(\frac{7}{5}\right)^2$$

Korzystając po lewej stronie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), otrzymamy:
$$sin^2α+2sinα\cdot cosα+cos^2α=\frac{49}{25}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$sin^2α+cos^2α+2sinα\cdot cosα=\frac{49}{25} \\
1+2sinα\cdot cosα=1\frac{24}{25} \\
2sinα\cdot cosα=\frac{24}{25}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podniesiesz obie strony równania do kwadratu i otrzymasz postać \(sin^2α+2sinα\cdot cosα+cos^2α=\frac{49}{25}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{ABCD}=125\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dorysowując wskazaną w zadaniu przekątną BD otrzymamy tak naprawdę dwa trójkąty - prostokątny \(ABD\) oraz równoramienny \(BCD\).


Chcąc poznać pole całego czworokąta, musimy poznać pola tych dwóch trójkątów.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABD\).
Tutaj sprawa jest prosta - korzystamy ze standardowego wzoru na pole trójkąta:
$$P_{ABD}=\frac{1}{2}ah \\
P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot13\cdot10 \\
P_{ABD}=65$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(BCD\).
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że wysokość przecina podstawę trójkąta na dwie równe części. Skoro tak, to powstanie nam taka oto sytuacja:


Widzimy wyraźnie, że powstały nam tutaj dwa podobne trójkąty prostokątne, zatem wysokość trójkąta \(BCD\) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+h^2=13^2 \\
25+h^2=169 \\
h^2=144 \\
h=12 \quad\lor\quad h=-12$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia, zatem \(h=12\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(BCD\).
Znamy już wysokość tego trójkąta, czyli \(h=12\). Wiemy też, że podstawa ma długość \(a=10\), zatem:
$$P_{BCD}=\frac{1}{2}ah \\
P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot12 \\
P_{BCD}=60$$

Krok 5. Obliczenie pola czworokąta.
Na koniec została już tylko formalność. Pole czworokąta \(ABCD\) jest sumą pól trójkątów \(ABD\) oraz \(BCD\), zatem:
$$P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{BCD} \\
P_{ABCD}=65+60 \\
P_{ABCD}=125$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz, że wysokość trójkąta \(BCD\) da się obliczyć z równania \(5^2+h^2=13^2\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ABD\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(BCD\) (patrz: Krok 4.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono, korzystając z własności funkcji kwadratowych i wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro funkcja zapisana jest w postaci \(f(x)=x^2+bx+c\), to widzimy, że jej ramiona będą skierowane do góry, gdyż \(a=1\). Z treści zadania wynika, że ta funkcja nie ma miejsc zerowych, zatem w całości musi znajdować się nad osią \(OX\), co prowadzi nas do wniosku, że musi ona wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Nie ma dla nas znaczenia, czy ta parabola będzie bardziej po lewej, czy prawej stronie - ważne, że w całości jest nad osią \(OX\).

Warto też zauważyć, że parabola przetnie oś \(OY\) dla dodatniej wartości współrzędnej \(y\). To z kolei oznacza, że na pewno współczynnik \(c\) jest liczbą dodatnią. W tym konkretnym zadaniu z tej własności nie skorzystamy (przynajmniej w zaprezentowanym przeze mnie rozwiązaniu), ale warto o tym pamiętać na przyszłość.

Krok 2. Wykorzystanie informacji na temat miejsc zerowych.
Co się musi stać, aby funkcja kwadratowa nie miała miejsc zerowych? Stanie się tak tylko wtedy, gdy obliczana delta będzie mniejsza od \(0\). Skoro tak, to:
$$b^2-4ac\lt0$$

Wiemy już, że \(a=1\), zatem:
$$b^2-4c\lt0 \\
b^2\lt4c$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Mamy wykazać, że \(1+c\gt b\). Póki co wiemy, że \(4c\) jest większe od \(b^2\). Spróbujmy zatem lekko przekształcić nierówność z treści zadania:
$$1+c\gt b \\
c\gt b-1 \quad\bigg/\cdot4 \\
4c\gt4b-4$$

I tu pojawia się mały problem, bo umiemy wykazać, że \(4c\gt b^2\), a nas proszą o wykazanie, że \(4c\gt4b-4\). Jak to teraz ugryźć? Jeżeli wykażemy, że \(b^2\) jest większe lub równe \(4b-4\), to będziemy pewni, że nierówność z treści zadania jest spełniona. Zapiszmy zatem, że:
$$b^2\ge 4b-4 \\
b^2-4b+4\ge0 \\
(b-2)^2\ge0$$

Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero i tak też otrzymaliśmy w powyższej nierówności. To oznacza, że nierówność z treści zadania jest prawdziwa.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(f(x)\gt0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(a_{n}=3n-7\)

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\).
Z treści zadania wiemy, że suma pierwszych pięciu wyrazów jest równa \(10\), czyli:
$$S_{5}=10 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=10$$

Spróbujmy teraz każdy z tych wyrazów powiązać z \(a_{3}\). Dlaczego akurat z \(a_{3}\)? Jest to wyraz, który bardzo nam pasuje, bo nie dość, że jest środkowym wyrazem tej sumy (co jak się za chwilę okaże, ma spore znaczenie), to jeszcze występuje w ciągu geometrycznym. Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{1}=a_{3}-2r \\
a_{2}=a_{3}-r \\
a_{4}=a_{3}+r \\
a_{5}=a_{3}+2r$$

Możemy więc zapisać, że:
$$a_{3}-2r+a_{3}-r+a_{3}+a_{3}+r+a_{3}+2r=10$$

Wartości \(r\) występujące w równaniu tak naprawdę się nam skrócą i zostanie jedynie niewiadoma \(a_{3}\), zatem:
$$5a_{3}=10 \\
a_{3}=2$$

Krok 2. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.
Paradoksalnie, różnicę ciągu arytmetycznego obliczymy korzystając z informacji na temat ciągu geometrycznego. Rozpiszmy sobie wartości \(a_{5}\) i \(a_{13}\), powiązując je z \(a_{3}\) (którego wartość już znamy, bowiem \(a_{3}=2\)):
$$a_{5}=a_{3}+2r=2+2r \\
a_{13}=a_{3}+10r=2+10r$$

Wiemy, że \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworząc ciąg geometryczny. Możemy skorzystać z jednej z własności ciągów geometrycznych i zapisać, że w takim razie:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{13}}{a_{5}} \\
\frac{2+2r}{2}=\frac{2+10r}{2+2r}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$(2+2r)\cdot(2+2r)=2\cdot(2+10r)$$

Po lewej stronie równania możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:
$$4+8r+4r^2=4+20r \\
4r^2-12r=0 \\
r^2-3r=0$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Oczywiście możemy to zrobić przy pomocy delty (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale wiemy już, że takie równania kwadratowe możemy rozwiązać w znacznie prostszy sposób, wyłączając \(r\) przed nawias:
$$r^2-3r=0 \\
r\cdot(r-3)=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r-3=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=3$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa wyniki, ale czy oba nam pasują? Z treści zadania wynika, że ciąg arytmetyczny jest rosnący, a to sprawia, że na pewno \(r\) nie może być równe \(0\), bo dla \(r=0\) nasz ciąg byłby stały. W związku z tym jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(r=3\).

Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

Widzimy, że musimy poznać jeszcze wartość \(a_{1}\), a skoro \(a_{3}=2\) oraz \(r=3\), to:
$$a_{1}=a_{3}-2r \\
a_{1}=2-2\cdot3 \\
a_{1}=2-6 \\
a_{1}=-4$$

Teraz możemy podstawić \(a_{1}=-4\) oraz \(r=3\) do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, otrzymując:
$$a_{n}=-4+(n-1)\cdot3 \\
a_{n}=-4+3n-3 \\
a_{n}=3n-7$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz równanie z wykorzystaniem wzoru na sumę \(S_{5}\), tak aby niewiadomymi były jedynie \(a_{1}\) oraz \(r\).
ALBO
• Gdy ułożysz równanie typu \(a_{3}-2r+a_{3}-r+a_{3}+a_{3}+r+a_{3}+2r=10\) (patrz: Krok 1.) albo \(a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r=10\).
ALBO
• Gdy skorzystasz z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego i zapiszesz, że np. \((a_{1}+4r)^2=(a_{1}+2r)(a_{1}+12r)\).
2 pkt
• Gdy obliczysz wartość \(a_{3}\) (patrz: Krok 1).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z dwoma niewiadomymi: \(a_{1}\) oraz \(r\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz dowolne równanie z jedną niewiadomą: \(a_{1}\) lub \(r\) np. \((2+2r)\cdot(2+2r)=2\cdot(2+10r)\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz, że \(r=0 \quad\lor\quad r=3\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(a_{1}=-4 \quad\lor\quad a_{1}=2\).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz \(a_{1}\) lub \(r\), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.