Matura próbna – Matematyka – Marzec 2021 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – marzec 2021. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury.

Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Marzec 2021

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \((\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{3}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(2log_{5}4-3log_{5}\frac{1}{2}\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Medyczna maseczka ochronna wielokrotnego użytku z wymiennymi filtrami wskutek podwyżki zdrożała o \(40\%\) i kosztuje obecnie \(106,40zł\). Cena maseczki przed podwyżką była równa:

Zadanie 4. (1pkt) Dla każdej dodatniej liczby \(b\) wyrażenie \(\left(\sqrt[2]{b}\cdot\sqrt[4]{b}\right)^{\frac{1}{3}}\) jest równe:

Zadanie 5. (1pkt) Para liczb \(x=1\), \(y=-3\) spełnia układ równań \(\begin{cases}x-y=a^2 \\ (1+a)x-3y=-4a\end{cases}\)

Wtedy \(a\) jest równe:

Zadanie 6. (1pkt) Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2(x-4)(x^2-1)=0\) jest równy:

Zadanie 7. (1pkt) Zbiorem rozwiązań nierówności \(\frac{12-5x}{2}\lt3\left(1-\frac{1}{2}x\right)+7x\) jest:

Zadanie 8. (1pkt) Funkcja liniowa \(f(x)=(a-1)x+3\) osiąga wartość najmniejszą równą \(3\). Wtedy:

Zadanie 9. (1pkt) Na wykresie przedstawiono wykres funkcji \(f\).

matura z matematyki



Wskaż zdanie prawdziwe.

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{8x-7}{2x^2+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(1\) jest równa:

Zadanie 11. (1pkt) Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy \(64\). Stąd wynika, że \(y\) jest równe:

Zadanie 12. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa \(5\), a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \((-3)\). Wtedy iloraz \(\dfrac{a_{4}}{a_{2}}\) jest równy:

Zadanie 13. (1pkt) Trójkąt \(ABC\) jest wpisany w okrąg o środku \(O\). Miara kąta \(CAO\) jest równa \(70°\) (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta \(ABC\) jest równa:

matura z matematyki

Zadanie 14. (1pkt) Ciągi \((a_{n})\), \((b_{n})\) oraz \((c_{n})\) są określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) następująco:

$$a_{n}=6n^2-n^3 \\

b_{n}=2n+13 \\

c_{n}=2^n$$



Wskaż zdanie prawdziwe.

Zadanie 15. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-2)^n\cdot n+1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wtedy trzeci wyraz tego ciągu jest równy:

Zadanie 16. (1pkt) W romb o boku \(2\sqrt{3}\) i kącie \(60°\) wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy:

Zadanie 17. (1pkt) Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego \(ABC\) poprowadzono prostą \(DE\) równoległą do podstawy \(AB\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Stosunek pola trójkąta \(ABC\) do pola trójkąta \(CDE\) jest równy:

Zadanie 18. (1pkt) Końcami odcinka \(PR\) są punkty \(P=(4,7)\) i \(R=(-2,-3)\). Odległość punktu \(T=(3,-1)\) od środka odcinka \(PR\) jest równa:

Zadanie 19. (1pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(sin\alpha=\frac{4}{5}\). Wtedy:

Zadanie 20. (1pkt) Dane są punkty \(M=(6,0)\), \(N=(6,8)\) oraz \(O=(0,0)\). Tangens kąta ostrego \(MON\) jest równy:

Zadanie 21. (1pkt) Proste o równaniach \(y=3ax-2\) i \(y=2x+3a\) są prostopadłe. Wtedy \(a\) jest równe:

Zadanie 22. (1pkt) Dany jest trapez \(ABCD\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C=(3,5)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu 𝑦\(y=5x+3\). Wtedy bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu:

Zadanie 23. (1pkt) W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawy \(AB\) i \(CD\) mają długości równe odpowiednio \(a\) i \(b\) (przy czym \(a\gt b\)). Miara kąta ostrego trapezu jest równa \(30°\). Wtedy wysokość tego trapezu jest równa:

Zadanie 24. (1pkt) Przekątna sześcianu ma długość \(5\sqrt{3}\). Wtedy objętość tego sześcianu jest równa:

Zadanie 25. (1pkt) Ostrosłupy prawidłowe trójkątne \(O_{1}\) i \(O_{2}\) mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa \(O_{1}\) jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa \(O_{2}\). Stosunek objętości ostrosłupa \(O_{1}\) do objętości ostrosłupa \(O_{2}\) jest równy:

Zadanie 26. (1pkt) Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których cyfra \(7\) występuje dokładnie jeden raz, jest:

Zadanie 27. (1pkt) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez \(5\), jest równe:

Zadanie 28. (1pkt) Liczba \(x\) jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb: \(1+x\), \(1+2x\), \(4+3x\), \(1\), jest równa \(10\). Wtedy:

Zadanie 29. (2pkt) Rozwiąż nierówność: \(3x(x+1)\gt x^2+x+24\)

Zadanie 30. (2pkt) Rozwiąż równanie: \(\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2\)

Zadanie 31. (2pkt) Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości \(a\) i \(b\). Punkt \(O\) leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Wykaż, że promień \(r\) tego okręgu jest równy \(\frac{ab}{a+b}\).

Zadanie 32. (2pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2sinα cosα\).

Zadanie 33. (2pkt) Dany jest czworokąt \(ABCD\), w którym \(|BC|=|CD|=|AD|=13\) (zobacz rysunek). Przekątna \(BD\) tego czworokąta ma długość \(10\) i jest prostopadła do boku \(AD\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).

matura z matematyki

Zadanie 34. (2pkt) Funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+bx+c\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że \(1+c\gt b\).

Zadanie 35. (5pkt) Rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa \(10\). Wyrazy \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\).

74 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Marek

Dlaczego w 19 poprawną odpowiedzią jest -3/5, a nie 3/5?

Julka
Reply to  Marek

Jest napisane, że kąt jest ostry, a w kącie ostrym zarówno sinus, jak i cosinus są zawsze dodatnie

Konrad

Jak wygląda odpowiedź na pytanie 34

Jakub

Jak rozwiązać zadanie 34?

hydrogeolog

świetnie i logicznie wytłumaczone zad 34 krok po kroku Jestem pod wrażeniem

Nova
Reply to  SzaloneLiczby

Owszem b^2>4b-4, ale to wcale nie znaczy, że 4c jest większe od b^2. Gdyby zachodziła odwrotna nierówność miałoby to sens. 4c>4b-4>=b^2

Nova
Reply to  SzaloneLiczby

Ok. Dziękuję. Jasne.

Unicorn05
Reply to  SzaloneLiczby

Nie zgadzam się z przykładem. Analogiczną do zadania zależnością jest udowodnienie, że x≥3, a to nie oznacza, że x jest mniejsze od 4. Jest jakiś inny sposób na to zadanie?

Anna
Reply to  SzaloneLiczby

Zgadzam się z przedmówcą, uważam, że zadanie to wymaga pomyślenia i jako egzaminator ciekawa jestem schematu oceniania. Rozwiązanie przedstawione tutaj bardzo przejrzyste i osobiście uważam je za przystępne dla uczniów :)

agakoncza

Jak ocenia pan próbna maturę jeżeli chodzi o stopień trudności?

Marzena
Reply to  SzaloneLiczby

Popieram w 100%. Pisałam dzisiaj ten arkusz i mam dokładnie takie same odczucia.

Marcin

Jedyne zadanie jakiego nie zrobiłem, to 34 (#human) haha, tak to reszta dobrze. Nie wiem, chyba z pół godziny nad nim myślałem i doszedłem tylko do b^2<4c, na rozszerzenie z czymś takim, a nie tu…..

Ula
Reply to  Marcin

Zaprzecz tezie, wstaw 4c do delty I otrzymasz zaprzeczenie założeniu, że deltą mniejsza od zera. To dowód NIE WPROST. Jak na podstawę, to za trudne!

Mieszko

Nie powinno być w pierwszym zadaniu 8-4√3?

ania

czy można było rozwiązać zadanie 34 dzięki układowi dwóch nierówności: jedna wynikająca z delty mniejszej od 0 a druga z dowodu niewprost?

Matematyk

Zadanie 34:
Funkcja nie ma miejsc zerowych i współczynnik przy kwadracie zmiennej jest dodatni, zatem dla każdej rzeczywistej wartości x mamy f(x)>0. W szczególności f(-1)>0, co oznacza, że 1-b+c>0, czyli 1+c>b.

Matematyk
Reply to  SzaloneLiczby

Przyznaję, że ten sposób jest MEEEGA sztuczkowaty, ale jest formalnie poprawny, bo w zadaniu jest do udowodnienia implikacja tylko w jedną stronę: jeśli funkcja kwadratowa jest dana wzorem f(x)=x^2+bx+c i nie ma miejsc zerowych, to 1+c>b. Osobiście przyznam, że rozwiązując zadanie na ten sposób powyżej nie wpadłem – standardowo liczyłem tak jak Ty, a podstawienie x=-1 podpowiedziała mi znajoma osoba. Myślę, że rozwiązanie sposobem przedstawionym przez Ciebie będzie głównym sposobem uwzględnionym w schemacie rozwiązania i często wybieranym przez maturzystów, z różnym skutkiem. Na egzaminie za poprawne merytorycznie rozwiązanie przyznaje się zawsze pełną liczbę punktów, niezależnie od tego jak sztuczkowaty jest… Czytaj więcej »

Lech Szeg
Reply to  SzaloneLiczby

Zad. 34 Jeśli nie chcemy zgadywać, że za x trzeba podstawić -1 (bo tak rzeczywiście nie należy dowodzić… nawet mimo tego, że CKE podaje takie „urwane” rozwiązanie) musimy właśnie udowodnić, że x= -1. A oto wyjaśnienie jak to zrobić: f(x) > 0 bo delta < 0 oraz a=1 1 + c – b > 0 porządkujemy lewą stronę, by „c” było na końcu, tak jak w nierówności kwadratowej: 1 – b + c > 0 x^2 + bx + c > 0 teraz doskonale widzimy, żeby nierówność była prawdziwa to: x^2 =1 oraz bx = – b Rozwiązujemy oba równania:… Czytaj więcej »

Lech Szeg
Reply to  SzaloneLiczby

;-)
Dla maturzystów zdających poziom podstawowy przeprowadzenie takiego dowodu było nie lada wyzwaniem. Inne sposoby moim zdaniem są trudniejsze, ten wymaga jedynie zauważenie, że f (x) >0 oraz podobieństwa 1+ c > b do ogólnego wzoru f. kwadratowej ax^2 + bx +c > 0. Tyle i aż tyle. ;-)

E
Reply to  Lech Szeg

To rozwiązanie zad. 34 jest mega poprawne! Mega merytoryczne, najlepsze jakie widziałem…
Ja zrobiłem to troszkę inaczej, na zasadzie tożsamości (coś jak Radek – szalone.liczby)
To co podało CKE w kluczu to jakieś nieporozumienie….

Marcin
Reply to  SzaloneLiczby

Ciekawe co CKE ma do powiedzenia, gdy uczeń napisze f(1) > 0,
więc 1 + c > -b

Andrzej

Czy dowód można przeprowadzić analizując trzy przypadki:
1. założenie, że teza jest następująca: 1 + c =b (co prowadzi do sprzeczności z faktem iż b^2 -4c<0
2. 1 + c (c +1)^2 – 4c = (c –1)^2 >= 0 – sprzeczność
3. 1 +c>0 co musi być prawdą w kontekście dwóch powyższych przypadków ?

Tomasz

kurde , wydawało mi się że lepiej mi poszło , oby tylko było 30 procent (wiem że to próbna)

Malwina

Zad. 34

Kurde, siedziałam nad tym zadaniem cały wieczór i MAM DOWÓD, wychodzący tylko z delty<0. Co sądzicie?

A więc:
delta=b^2-4c i delta<0, bo funkcja nie ma miejsc zerowych.
b^2-4c<0 /:4
1/4b^2-c<0
1/4b^2<c /+1
1/4b^2+1<c+1
c+1>1/4b^2+1 /-b
c+1-b>1/4b^2-b+1
c+1-b>(1/2b-1)^2
c+1>(1/2b-1)^2+b

Pozostała interpretacja. Mieliśmy udowodnić, że c+1>b. Skoro (1/2b-1)^2 będzie zawsze > lub =0 i ta nierówność jest prawdziwa, gdy delta=b, więc możemy zapisać, że c+1>(1/2b-1)^2+b>=b, a zatem c+1>b, co kończy dowód.

kika
Reply to  Malwina

,f(x) >0 dla x€R ,więc współrzędna wierzchołka paraboli p>0, p=-b/2a=-b, czyli b>0 .Wobec powyzszego c>b,a tym bardziej c+1>b

Paweł T bo RODO

w 34 zrobiłem trochę inaczej, ale też wyszedłem od delty:
b^2 – 4c < 0
b^2 < 4c | -4b + 4
b^2 -4b + 4 < 4c -4b +4
(b-2)^2 0 => c + 1 > b

Paweł T bo RODO
Reply to  SzaloneLiczby

coś ucięło tą ostatnią część XD
(b-2)^2 < 4 * (c – b + 1)
a że kwadrat jest nieujemny to też c – b + 1 musi być dodatnie (żeby było silnie większe niż 0)

TOJA

zamiast ostatniego zapisu : (b-2)^2>0=>4c-4b+4>0/:4 =>c-b+1>0=>c+1>b

Wiktoria

Co jeżeli w zadaniu 29 nie podzieliłam przez dwa i rozwiązałam wszystko na większych liczbach? Obliczyłam delte, miejsca zerowe, naszkicowałam wykres i zapisałam rozwiązanie x∈(−∞;−8)∪(6;+∞) ? Będą jakieś punkty czy to jest źle rozwiązane zadanie ?

Iza

Czy w zadaniu 35 można skorzystać z sumy 5 wyrazów ciągu. Mnie wyszło :2=a1+2r a to jest równe a3 (a1+2r=a3)

Lech Szeg

Wieczorem pokazałem uczniowi jeszcze inne przeprowadzenie dowodu: f(x) > 0 bo delta < 0 oraz a=1 1 + c – b > 0 x^2 + bx + c > 0 więc obie lewe strony porównujemy: 1 + c – b = x^2 + bx + c / – c 1- b = x^2 + bx x^2 + bx + b – 1 = 0 wiemy że a=1 oraz x = -b / 2a czyli b= -2x podstawiamy do równania: x^2 + bx + b – 1 = 0 x^2 + (-2x)x + (-2x) – 1 = 0 x^2 – 2x^2… Czytaj więcej »

hmm
Reply to  Lech Szeg

Dlaczego porównujemy lewe strony? Jeśli 5>0 i 6>0 to nie znaczy, że 5=6

Lech Szeg
Reply to  hmm

Hmm, dlatego, że współczynniki b i c odnoszą się do naszej f. kwadratowej, czyli są takie same oraz a =1

Zobacz:

1 – b + c > 0

1(x^2) – b(-x) + c > 0

+ bx mogę zapisać jako -b(-x)

Dlatego mamy prawo je porównać.

Last edited 1 miesiąc temu by Lech Szeg
hmm
Reply to  Lech Szeg

1+c > b
Dowód nie wprost:
Założenie:
a=1
1) c>0 => 1+c > 0 ponieważ Delta 0
2) b^2 – 4ac b^2 < 4ac
Teza:
1 + c =< b
Dowód:
0 < 1 + c =< b
czyli (1 + c)^2 =< b^2
oraz z 2) b^2 < 4c
czyli
(1 + c)^2 =< b^2 < 4c pomijamy b^2
(1 + c)^2 < 4c
f(c) = c^2 +2c +1 – 4c <0
f(c) = c^2 – 2c +1 < 0
Delta = 4-4 =0 czyli istnieje takie c, że f(c) = 0 sprzeczność.
C.N.U.

Szymon

W zadaniu 35 jest napisane: „Wiemy, że a3,a5,a13 tworząc ciąg geometryczny. Możemy skorzystać z jednej z własności ciągów geometrycznych i zapisać, że w takim razie:
a5/a3=a13/a5”

O jaką własność tu dokładnie chodzi ?

Majkelo

Dlaczego w 33 nie można pierwszego trójkąta obliczyć z Pitagorasa?

Noctua

Bardzo pomocne są Twoje rozwiązania, dziękuję :)

Śmieszek123

W zadaniu 30 powinno być 1/3 ale na plusie nie na –

Senjougaharahitagi

Mógłbym prosić o podpowiedź jak w zadaniu 32 obliczyć chociażby sinusa używając jedynki trygonometrycznej?

Piotr

w zadaniu 29 jest chyba zła odpowiedz odnośnie przedziałów

Mati mat-fiz BIKE

Nie byłoby szybciej gdyby w 35 zadaniu rozpisać wzór na sumę oraz wzór na zależność sąsiadów w ciągu geo. i wtedy zostaje nam prosty układ równań do zrobienia i wyznaczamy wzór ciągu. Albo mi się tylko wydaje, że jest szybciej, a tak naprawdę te dwa sposoby są tak samo szybkie?
W każdym razie jak byłem na maturze, to zadanie mi nie pykło…

Julka

Czy można poznać rozwiązanie zadania 32 za pomocą jedynki trygonometrycznej? To podane rozwiązanie wydaje się znacznie trudniejsze.

Szalony fan liczb

Ja chciałbym aby napisać, że bardzo dziękuję za szerzenie wiedzy i mi się to bardzo przydało. Dziękuje ślicznie : )

Angelika

Dlaczego w zadaniu 33 bok |BD| został podstawiony pod h skoro nie jest to wysokość tego trójkąta

mae

dziękuje za pomoc <3

Last edited 3 dni temu by mae