Matura próbna – Matematyka – Operon 2015 – Odpowiedzi

A

Sprowadzając potęgi do wspólnej podstawy otrzymamy:
$$a=8^{23}\cdot4^{17} \\
a=(2^{3})^{23}\cdot(2^2)^{17} \\
a=2^{3\cdot23}\cdot2^{2\cdot17} \\
a=2^{69}\cdot2^{34} \\
a=2^{69+34} \\
a=2^{103}$$

B

Sprawdźmy po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A. \(36^{\frac{2}{3}}=(6^2)^{\frac{2}{3}}=6^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{6^4}=\sqrt[3]{6^3\cdot6}=6\sqrt[3]{6}\)
Odp. B. \(36^{\frac{3}{2}}=(6^2)^{\frac{3}{2}}=6^3=216\)
Odp. C. \(36^{\frac{1}{4}}=(6^2)^{\frac{1}{4}}=6^{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}\)
Odp. D. \(36^{\frac{3}{4}}=(6^2)^{\frac{3}{4}}=6^{\frac{3}{2}}=\sqrt{6^3}=\sqrt{6^2\cdot6}=6\sqrt{6}\)

Liczbą wymierną jest więc liczba z drugiej odpowiedzi.

C

Wykonując działania na potęgach i pierwiastkach oraz korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2=(\sqrt{7})^2-2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=7-2\sqrt{21}+3=10-2\sqrt{21}$$

B

Naszym zadaniem (patrząc po odpowiedziach) jest sprawdzenie jakie miejsca zerowe ma nasza funkcja. W tym konkretnym przypadku funkcja przyjmie wartość równą zero wtedy, kiedy wartość w nawiasie będzie równa zero. Możemy zatem zapisać, że:
$$x+6=0 \\
x=-6$$

Funkcja ta ma jedno miejsce zerowe i jest nim \(x=-6\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro tangens jest równy \(\frac{3}{4}\), a przeciwprostokątna ma długość \(30\), to znaczy że zajdzie taka oto sytuacja:



Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(3x)^2+(4x)^2=30^2 \\
9x^2+16x^2=900 \\
25x^2=900 \\
x^2=36 \\
x=6 \quad\lor\quad x=-6$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=6\).

Krok 3. Obliczenie długości krótszej przyprostokątnej.
Krótsza przyprostokątna ma długość \(3x\), czyli \(3\cdot6=18\).

C

\(x\) - cena towaru na początku
\(0,9x\) - cena towaru po obniżce
\(1,2\cdot0,9x=1,08x\) - cena towaru po podwyżce

To oznacza, że cena towaru zwiększyła się z \(x\) do \(1,08x\), czyli zwiększyła się o \(8\%\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy naszkicować wykres paraboli. Na pewno ramiona paraboli będą skierowane do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny. Całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Z rysunku wynika dość wyraźnie, że nasza funkcja będzie rosnąć od minus nieskończoności aż dotrze do wierzchołka. To właśnie w wierzchołku się potem odbije i zacznie maleć. Wniosek z tego taki, że musimy obliczyć współrzędną iksową naszego wierzchołka (potocznie zapisywaną jako \(p\)).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej iksowej wierzchołka.
Współrzędną \(p\) obliczymy ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

W naszym przypadku współczynniki wynoszą odpowiednio: \(a=-4, b=16, c=-23\), zatem:
$$p=\frac{-16}{2\cdot(-4)} \\
p=\frac{-16}{-8} \\
p=2$$

Krok 3. Zapisanie przedziału.
Wiemy już, że współrzędna iksowa wierzchołka jest równa \(p=2\), zatem funkcja ta rośnie w przedziale \(x\in(-\infty, 2)\).

A

Aby rozwiązać taką nierówność to po lewej stronie musimy mieć iksa, a po prawej pozostałe liczby. Dlatego też kluczem do sukcesu w tym przykładzie jest wyłączenie iksa przed nawias przy wyrażeniu \(x-\sqrt{3}x\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$x-\sqrt{3}x\gt2 \\
x(1-\sqrt{3})\gt2$$

Teraz podzielimy obie strony równania przez \(1-\sqrt{3}\), więc po lewej stronie zostanie nam sam \(x\), ale tutaj trzeba być bardzo ostrożnym. Wartość \(1-\sqrt{3}\) jest ujemna, a dzieląc (lub mnożąc) nierówności przez ujemne liczby musimy pamiętać o zmianie znaku. Dlatego też:
$$x(1-\sqrt{3})\gt2 \quad\bigg/:(1-\sqrt{3}) \\
x\lt\frac{2}{1-\sqrt{3}} \\
x\lt\frac{2\cdot(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})\cdot(1+\sqrt{3})} \\
x\lt\frac{2+2\sqrt{3}}{1-3} \\
x\lt\frac{2+2\sqrt{3}}{-2} \\
x\lt-1-\sqrt{3}$$

Z tego też względu zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział \((-\infty,-1-\sqrt{3})\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zgodnie z informacjami z treści zadania możemy stworzyć następujący rysunek:



Skąd wiemy, że kąt \(BAO\) także ma \(48°\)? Trójkąt \(ABO\) musi być równoramienny (ramiona są długości promienia), zatem kąty przy podstawie mają jednakową miarę.

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AOB\).
W trójkącie \(ABO\) jak w każdym innym suma miar kątów musi być równa \(180°\), zatem kąt \(AOB\) ma miarę:
$$|\sphericalangle AOB|=180°-48°-48°=84°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ACB\).
Zgodnie z własnosciami kątów środkowych i wpisanych, miara kąta \(ACB\) jest dwukrotnie mniejsza od miary kąta środkowego \(AOB\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle ACB|=84°:2=42°$$

C

Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie nierówności.
Naszym zadaniem jest sprawdzenie ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu, czyli kiedy \(-3n+118\) jest większe od zera.
$$-3n+118\gt0 \\
-3n\gt-118 \\
n\lt39\frac{1}{3}$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z nierówności wyszło nam, że dopóki \(n\) jest mniejsze od \(39\frac{1}{3}\) to wyrazy ciągu są dodatnie. Zatem przykładowo dla \(n=25\) ciąg jest dodatni, ale dla \(n=40\) ciąg będzie już ujemny.

Z własności ciągów wiemy, że \(n\) jest zawsze liczbą naturalną, większą od zera. W związku z tym naszą nierówność spełniać będą liczby \(n\in\{1,2,3,...,37,38,39\}\), czyli ten ciąg ma \(39\) dodatnich wyrazów.

A

Do zadania możemy podejść na wiele sposobów. Nasza funkcja przedstawiona jest w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), czyli takiej z której łatwo odczytamy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Moglibyśmy więc odczytać, że wierzchołek ma współrzędne \(W=(4;9)\). Co nam ta wiedza daje? Same współrzędne wierzchołka wiele nam nie powiedzą, ale wiemy jeszcze dodatkowo, że współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (konkretnie to \(a=1\), bo po znaku równa się nie stoi żadna liczba), zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Wykres będzie więc wyglądał mniej więcej w ten sposób:



I z takiego rysunku możemy wywnioskować, że ta funkcja nie ma miejsc zerowych, bo parabola nigdy nie przetnie się z osią iksów.

Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tych własności, to całkiem niezłym pomysłem byłoby też przyrównanie wzoru funkcji do zera (przyrównujemy do zera, bo szukamy miejsc zerowych, czyli miejsc dla których funkcja przyjmuje wartość równą zero) i wtedy otrzymalibyśmy:
$$(x-4)^2+9=0 \\
(x-4)^2=-9$$

Z racji tego iż nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje ujemny wynik, to znaczy że ta funkcja nigdy nie przybiera wartości równej \(0\), czyli nie ma miejsc zerowych.

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wykres funkcji \(f(x)=2^x+3\) jest tak naprawdę przesunięciem wykresu funkcji wykładniczej \(2^x\) o trzy jednostki w górę. Jeżeli nie pamiętamy jak rysuje się funkcje wykładnicze, to zawsze możemy podstawić sobie do wzoru kilka iksów i sprawdzić jaką wartość przyjmie funkcja dla tych konkretnych argumentów. Przykładowo:
Dla \(x=0\) funkcja \(f(x)=2^x\) przyjmuje wartość \(y=2^0=1\)
Dla \(x=1\) funkcja \(y=2^x\) przyjmuje wartość \(y=2^1=2\)
Dla \(x=2\) funkcja \(y=2^x\) przyjmuje wartość \(y=2^2=4\)
Dla \(x=-1\) funkcja \(y=2^x\) przyjmuje wartość \(y=2^{-1}=\frac{1}{2}\)

Funkcja \(f(x)=2^x+3\) będzie przyjmować zawsze wartości o \(3\) większe od funkcji \(f(x)=2^x\). Spróbujmy zatem narysować ten wykres:



Krok 2. Odczytanie zbioru wartości funkcji.
Szukamy zbioru wartości, czyli patrzymy na oś igreków. Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje wartości większe od \(3\) i idzie aż do nieskończoności, zatem zbiorem wartości funkcji jest \((3,+\infty)\).

A

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu możemy bez problemu obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
-2=1+r \\
r=-3$$

Krok 2. Obliczenie wartości dziewiątego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu arytmetycznego możemy obliczyć wartość dowolnego wyrazu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{9}=a_{1}+(9-1)r \\
a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{9}=1+8\cdot(-3) \\
a_{9}=1-24 \\
a_{9}=-23$$

C

Krok 1. Wyznaczenie miejsca przecięcia się z osią iksów.
Z osią iksów prosta przetnie się wtedy, kiedy jej wartość będzie równa \(y=0\), zatem:
$$4x+1=0 \\
4x=-1 \\
x=-\frac{1}{4}$$

To oznacza, że prosta przetnie się z osią iksów w punkcie \(\left(-\frac{1}{4},0\right)\).

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się z osią igreków.
Z osią igreków prosta przetnie się wtedy, kiedy jej argument będzie równy \(x=0\), zatem:
$$y=4\cdot0+1 \\
y=1$$

To oznacza, że prosta przetnie się z osią igreków w punkcie \((0,1)\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację. Wykresem funkcji będzie parabola (bo jest to funkcja kwadratowa), której ramiona są skierowane do góry (bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni).



Prosta \(y=m\) jest prostą która przyjmuje jednakową wartość dla wszystkich argumentów (np. dla \(m=3\) mielibyśmy prostą \(y=3\)). Skoro prosta \(y=m\) ma nie mieć z naszą parabolą punktów wspólnych, to znaczy że musi znaleźć się pod parabolą (czyli w tej zielonej części na rysunku). Jaki z tego płynie wniosek? Wystarczy, że poznamy współrzędną igrekową wierzchołka naszej paraboli i będziemy wiedzieć od jakiej wartości musi być mniejszy nasz parametr \(m\).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli.
Szukamy współrzędnej \(q\) wierzchołka (czyli współrzędnej igrekowej). Możemy to zrobić za pomocą wzoru:
$$q=-\frac{Δ}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=10\)
$$q=-\frac{4^2-4\cdot1\cdot10}{4\cdot1} \\
q=-\frac{16-40}{4} \\
q=-\frac{-24}{4} \\
q=-(-6) \\
q=6$$

Krok 3. Ustalenie zbioru do którego należy liczba \(m\).
Nasza liczba \(m\) musi być mniejsza od \(6\) (bo dla \(m=6\) prosta \(y=m\) przecięłaby parabolę dokładnie w wierzchołku), zatem interesuje nas zbiór \((-\infty,6)\).

B

Krok 1. Zapisanie zależności między sinusem i cosinusem.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy zapisać, że:
$$tgα=5 \\
\frac{sinα}{cosα}=5 \\
sinα=5cosα$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości całego wyrażenia.
Podstawiając \(sinα=5cosα\) do naszego wyrażenia otrzymamy:
$$W=\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα} \\
W=\frac{5cosα-cosα}{5cosα+cosα} \\
W=\frac{4cosα}{6cosα} \\
W=\frac{4}{6} \\
W=\frac{2}{3}$$

B

Z treści zadania wynika, że stosunek \(\frac{x}{y}=\sqrt{3}\). Funkcją trygonometryczną, która opisuje zależności między dwoma przyprostokątnymi jest tangens. W związku z tym musimy odpowiedzieć sobie na pytanie - dla jakiego kąta ostrego tangens jest równy \(\sqrt{3}\). Dzieje się tak dla kąta \(α=60°\).

Niestety takiej odpowiedzi wśród proponowanych nie mamy, ale... Skoro jest to trójkąt prostokątny i wiemy, że na pewno jest tutaj kąt ostry o mierze \(60°\), to znaczy że trzeci kąt tego trójkąta ma miarę:
$$180°-90°-60°=30°$$

C

Kąt środkowy oparty na \(\frac{1}{9}\) okręgu ma miarę \(\frac{1}{9}\cdot360°=40°\).

Nas pytają nie o kąt środkowy, lecz o wpisany, a z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że kąt wpisany będzie dwa razy mniejszy od kąta środkowego, zatem jego miara będzie równa \(40°:2=20°\).

A

W zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka w układzie współrzędnych. Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne środka odcinka, znamy też współrzędne jednego z punktów, więc możemy wyznaczyć poszukiwane współrzędne punktu \(B\).

Krok 1. Obliczenie współrzędnej iksowej punktu \(B\).
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
-\frac{1}{2}=\frac{-\frac{1}{3}+x_{B}}{2} \\
-1=-\frac{1}{3}+x_{B} \\
x_{B}=-\frac{2}{3}$$

Krok 2. Obliczenie współrzędnej igrekowej punktu \(B\).
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
\frac{3}{2}=\frac{\frac{2}{3}+y_{B}}{2} \\
3=\frac{2}{3}+y_{B} \\
y_{B}=\frac{7}{3}$$

To oznacza, że współrzędne punktu \(B\) są równe: \(B=(-\frac{2}{3},\frac{7}{3})\).

B

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Do obliczenia odchylenia standardowego przyda nam się znajomość średniej arytmetycznej, zatem:
$$\bar{a}=\frac{1+4+1+5+9+2+1+1}{8}=\frac{24}{8}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Odchylenie standardowe możemy obliczyć w następujący sposób:
$$σ=\sqrt{\frac{1^2+4^2+1^2+5^2+9^2+2^2+1^2+1^2}{8}-3^2} \\
σ=\sqrt{\frac{1+16+1+25+81+4+1+1}{8}-3^2} \\
σ=\sqrt{\frac{1+16+1+25+81+4+1+1}{8}-9} \\
σ=\sqrt{\frac{130}{8}-9} \\
σ=\sqrt{\frac{130}{8}-9} \\
σ=\sqrt{16,25-9} \\
σ=\sqrt{7,25} \\
σ\approx2,69$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania otrzymamy:



Krok 2. Obliczenie długości promienia podstawy.
Z własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\) wynika, że przyprostokątne mają tą samą długość. Skoro tak, to średnica okręgu znajdującego się w podstawie ma także długość równą \(8\), a to z kolei oznacza, że promień okręgu ma długość:
$$r=8:2=4$$

Krok 3. Obliczenie objętości walca.
Znając długość promienia możemy już bez przeszkód obliczyć objętość całej bryły.
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=\pi\cdot r^2\cdot H \\
V=\pi\cdot4^2\cdot8 \\
V=\pi\cdot16\cdot8 \\
V=128\pi$$

D

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa kąta \(α\).
W tym zadaniu musimy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta z sinusem. Dzięki temu wyznaczymy wartość sinusa poszukiwanego kąta:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα \\
15=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6\cdot sinα \\
15=5\cdot6\cdot sinα \\
15=30\cdot sinα \\
sinα=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Odczytanie z tablic miary kąta.
Sinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta \(30°\) oraz \(150°\) i to właśnie ten pierwszy przypadek znalazł się w naszych odpowiedziach.

B

Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Aby móc przystąpić w ogóle do działania musimy zapisać równanie prostej \(l\) w postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\). Zatem:
$$3x-2y=7 \\
-2y=-3x+7 \quad\bigg/:(-2) \\
y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$$

Krok 2. Ustalenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza prosta \(l\) ma ten współczynnik kierunkowy równy \(\frac{3}{2}\) (właśnie po to zapisywaliśmy równanie tej prostej w postaci kierunkowej), zatem druga prosta musi mieć współczynnik \(a\) równy:
$$a\cdot\frac{3}{2}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3} \\
a=-\frac{2}{3}$$

Taki współczynnik kierunkowy znalazł się jedynie w drugiej odpowiedzi, zatem poszukiwaną przez nas prostą prostopadłą jest \(y=-\frac{2}{3}x+1\).

A

Na miejscu tysięcy może znaleźć się jedna z czterech cyfr - \(2,4,6,8\).
Na miejscu setek może znaleźć się jedna z pięciu cyfr - \(0,2,4,6,8\), ale skoro cyfry się nie mogą powtarzać, to odpadnie nam tutaj ta cyfra, któa została wybrana na miejscu tysięcy.
Na miejscu dziesiątek może się znaleźć jedna z pięciu cyfr - \(0,2,4,6,8\), ale odpadną nam tutaj dwie cyfry, które znalazły się już w cyfrze tysięcy oraz setek.
Na miejscu jedności może znaleźć się jedna z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), ale odpadną nam tutaj trzy cyfry, które znalazły się już w cyfrze tysięcy, setek oraz dziesiątek.

W związku z tym takich liczb czterocyfrowych będzie zgodnie z regułą mnożenia:
$$4\cdot4\cdot3\cdot7$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\) możemy sporządzić następujący rysunek:



Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Nasz otrzymany przekrój jest prostokątem o wymiarach \(a\) oraz \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$P=a\cdot a\sqrt{2} \\
16=a\cdot a\sqrt{2} \\
16=a^2\sqrt{2} \\
a^2=\frac{16}{\sqrt{2}}$$

Biorąc pod uwagę fakt, że pole całkowite sześcianu jest równe \(P_{c}=6a^2\) to nie ma za bardzo sensu pierwiastkować i obliczać ile jest równe \(a\), skoro za chwilę będziemy znowu potrzebować \(a^2\). Możemy pozostać przy wyliczeniu \(a^2\), ale usuńmy jeszcze niewymierność z mianownika:
$$a^2=\frac{16}{\sqrt{2}} \\
a^2=\frac{16\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a^2=\frac{16\sqrt{2}}{2} \\
a^2=8\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie pola całkowitego sześcianu.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej:
$$P_{c}=6a^2 \\
P_{c}=6\cdot8\sqrt{2} \\
P_{c}=48\sqrt{2}$$

\(\frac{33}{27}\) nie jest wyrazem tego ciągu

Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie i wyciągnięcie wniosków z następującego równania:
$$\frac{3n-1}{2n+5}=\frac{33}{27}$$

To równanie najproście jest rozwiązać mnożąc na krzyż, zatem:
$$27\cdot(3n-1)=33\cdot(2n+5) \\
81n-27=66n+165 \\
15n=192 \\
n=12,8$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ciągach \(n\) jest zawsze liczbą naturalną większą od zera. Otrzymany wynik nie jest liczbą naturalną, zatem liczba \(\frac{33}{27}\) nie jest wyrazem tego ciągu (dokładniej rzecz ujmując jest to liczba pomiędzy \(12\)-stym i \(13\)-stym wyrazem).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x\in\mathbb{R}\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Naszą nierówność obliczymy standardowo metodą delty:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=8,\;c=-20\)
$$Δ=b^2-4ac=8^2-4\cdot(-1)\cdot(-20)=64-80=-16$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
To, że wyszła nam ujemna delta nie oznacza, że nierówność nie ma rozwiązań lub że w ogóle nie istnieje. Oznacza to tylko tyle, że nie będziemy mieć miejsc zerowych. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny), zatem całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości mniejszych od zera i okazuje się, że nasza cała parabola jest pod osią iksów. To oznacza, że jakiejkolwiek liczby nie podstawimy do nierówności, to otrzymamy zawsze wynik ujemny, zatem rozwiązaniem tej nierówności jest po prostu zbiór liczb rzeczywistych \(x\in\mathbb{R}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że ta nierówność nie ma miejsc zerowych, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(h=\sqrt{51}\)

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znając współrzędne obydwu punktów możemy obliczyć długość odcinka \(AB\) (czyli długość boku trójkąta):
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(6-(-2))^2+(2-4)^2} \\
|AB|=\sqrt{8^2+(-2)^2} \\
|AB|=\sqrt{64+4} \\
|AB|=\sqrt{68} \\
|AB|=\sqrt{4\cdot17} \\
|AB|=2\sqrt{17}$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta.
Nasz trójkąt jest trójkątem równobocznym, zatem znając długość boku możemy obliczyć wysokość figury z następującego wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{2\sqrt{17}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
h=\sqrt{17}\cdot\sqrt{3} \\
h=\sqrt{51}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku \(AB\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Aby udowodnić, że nasze wyrażenie jest większe lub równe zero musimy doprowadzić zapis do postaci z potęgowaniem, bowiem jakiejkolwiek liczby byśmy nie podnieśli do potęgi, to będzie ona większa lub równa zero. Będziemy więc chcieli "zwinąć" zapis przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Aby tego dokonać musimy zastosować bardzo sprytny zabieg, a mianowicie musimy rozbić liczbę \(13\) na sumę liczb \(9+4\). Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$x^2-6x+y^2-4y+13 \\
x^2-6x+9+y^2-4y+4 \\
(x-3)^2+(y-2)^2$$

\((x-3)^2\) jest większe lub równe zero oraz \((y-2)^2\) jest większe lub równe zero. Suma dwóch liczb większych lub równych zero jest także większa lub równa zero i właśnie to musieliśmy udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to równanie w taki sposób, że rozbijesz trzynastkę na sumę \(9+4\), ale nie zakończysz dowodzenia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wykazano dorysowując przekątną kwadratu.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli dorysujemy przekątną kwadratu, to pamiętając że przekątna kwadratu dzieli nam kąt prosty na dwa kąty po \(45°\), otrzymamy następującą sytuację:



Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Kwadrat o boku \(6\) ma długość przekątnej równą \(6\sqrt{2}\). Patrząc się na rysunek widzimy, że ta przekątna składa się z wysokości trójkąta \(\frac{x\sqrt{3}}{2}\) oraz połowy boku trójkąta \(\frac{x}{2}\), zatem:
$$\frac{x\sqrt{3}}{2}+\frac{x}{2}=6\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
x\sqrt{3}+x=12\sqrt{2} \\
x(\sqrt{3}+1)=12\sqrt{2} \\
x=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} \\
x=\frac{12\sqrt{2}\cdot(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\cdot(\sqrt{3}-1)} \\
x=\frac{12\sqrt{2}\cdot(\sqrt{3}-1)}{3-1} \\
x=\frac{12\sqrt{2}\cdot(\sqrt{3}-1)}{2} \\
x=6\sqrt{2}\cdot(\sqrt{3}-1) \\
x=6\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dorysujesz przekątną kwadratu i zauważysz, że jej częścią składową jest wysokość trójkąta oraz połowa długości boku tego trójkąta (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(a=-3,\;b=12,\;c=-2\)

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Z treści zadania możemy odczytać bardzo ważną informację, a mianowicie współrzędne wierzchołka paraboli. Zastanówmy się co to znaczy, że funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,2\rangle\) i że osiąga największą wartość równą \(10\). To by oznaczało, że nasza funkcja wygląda mniej więcej w ten sposób:



Wynika z tego, że funkcja ma wierzchołek w punkcie \(W=(2,10)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli możemy zapisać ją w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a(x-2)^2+10$$

Krok 3. Podstawienie współrzędnych punktu \(A\) oraz wyznaczenie współczynnika \(a\).
Do wyznaczonej przed chwilą postaci kanonicznej możemy podstawić współrzędne znanego nam punktu \(A\), co pozwoli wyznaczyć nam już jeden ze współczynników:
$$f(x)=a(x-2)^2+10 \\
-2=a(4-2)^2+10 \\
-2=a\cdot2^2+10 \\
-2=4a+10 \\
4a=-12 \\
a=-3$$

Krok 4. Wyznaczenie współczynników \(b\) oraz \(c\).
Znając współczynnik kierunkowy \(a=-3\) wiemy już, że w postaci kanonicznej nasza funkcja przyjmuje wzór:
$$f(x)=-3(x-2)^2+10$$

Jeżeli wykonamy teraz potęgowanie, to doprowadzimy funkcję do postaci ogólnej, co z kolei pozwoli nam odczytać wartości wszystkich współczynników:
$$f(x)=-3(x-2)^2+10 \\
f(x)=-3(x^2-4x+4)+10 \\
f(x)=-3x^2+12x-12+10 \\
f(x)=-3x^2+12x-2$$

To oznacza, że interesująca nas funkcja ma współczynniki:
$$a=-3,\;b=12,\;c=-2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz funkcję w postaci kanonicznej (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wartość współczynnika \(a\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w postaci \(f(x)=-3(x-2)^2+10\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{n}=-\frac{109}{23}n+\frac{201}{23}\) oraz \(a_{n}=3n+1\)

Krok 1. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wynika, że możemy ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
a_{1}=4 \\
{a_{2}}^2+{a_{4}}^2+{a_{7}}^2=702
\end{cases}$$

Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać wyrazy \(a_{2}\), \(a_{4}\) oraz \(a_{7}\) zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W związku z tym otrzymamy:
$$\begin{cases}
a_{1}=4 \\
(a_{1}+r)^2+(a_{1}+3r)^2+(a_{1}+6r)^2=702
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Podstawiając \(a_{1}=4\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$(4+r)^2+(4+3r)^2+(4+6r)^2=702 \\
16+8r+r^2+16+24r+9r^2+16+48r+36r^2=702 \\
46r^2+80r+48=702 \\
46r^2+80r-654=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=46,\;b=80,\;c=-654\)
$$Δ=b^2-4ac=80^2-4\cdot46\cdot(-654)=6400-(-120336)=126736 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{126736}=356$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-80-356}{2\cdot46}=\frac{-436}{92}=-\frac{109}{23} \\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-80+356}{2\cdot46}=\frac{276}{92}=3$$

Żadnej z tych wartości odrzucić nie możemy (moglibyśmy odrzucić, gdyby np. podana była informacja o tym że ciąg jest rosnący). W związku z tym zostaje nam \(r_{1}=-\frac{109}{23}\) oraz \(r_{2}=3\).

Krok 4. Wyznaczenie wzoru ogólnego tego ciągu.
Aby wyznaczyć wzór ogólny ciągu wystarczy podstawić \(a_{1}\) oraz \(r\) do wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Z racji tego iż mamy dwie możliwości podstawienia różnicy to otrzymamy dwa rozwiązania tego zadania:
Gdy \(r=-\frac{109}{23}\):
$$a_{n}=4+(n-1)\cdot\left(-\frac{109}{23}\right) \\
a_{n}=4+(-\frac{109}{23}n)+\frac{109}{23} \\
a_{n}=4-\frac{109}{23}n+\frac{109}{23} \\
a_{n}=\frac{92}{23}-\frac{109}{23}n+\frac{109}{23} \\
a_{n}=-\frac{109}{23}n+\frac{201}{23}$$

Gdy \(r=3\):
$$a_{n}=4+(n-1)\cdot3 \\
a_{n}=4+3n-3 \\
a_{n}=3n+1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że drugi wyraz jest równy \(a_{1}+r\), czwarty wyraz jest równy \(a_{1}+3r\) oraz siódmy wyraz jest równy \(a_{1}+6r\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \((4+r)^2+(4+3r)^2+(4+6r)^2=702\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci ogólnej z której można potem liczyć deltę (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=648\) oraz \(P_{b}=216\sqrt{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek informacje z treści zadania.



Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Z własności okręgów wpisanych w trójkąt równoboczny wiemy, że długość promienia okręgu jest równa \(\frac{1}{3}\) wysokości takiego trójkąta, zatem:
$$h_{p}=3\cdot6=18$$

Krok 3. Obliczenie długości boku trójkąta znajdującego się w podstawie.
W podstawie znajduje się trójkąt równoboczny o wysokości \(h_{p}=18\), zatem jego długość boku będzie równa:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
18=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
36=a\sqrt{3} \\
a=\frac{36}{\sqrt{3}} \\
a=\frac{36\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
a=\frac{36\sqrt{3}}{3} \\
a=12\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(SOD\). Wiemy, że podstawa tego trójkąta (czyli odcinek \(DO\) będący promieniem okręgu) ma długość \(r=6\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretnie z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{|DO|} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{6} \\
H=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Ponownie spoglądamy na trójkąt \(SOD\). Do obliczenia pola powierzchni bocznej potrzebujemy znać długość wysokości ściany bocznej, a tę możemy obliczyć albo z Twierdzenia Pitagorasa (bo wiemy już, że przyprostokątne mają długości \(|DO|=6\) oraz \(H=6\sqrt{3}\)), albo po prostu z cosinusa:
$$cos60°=\frac{|DO|}{h_{b}} \\
\frac{1}{2}=\frac{6}{h_{b}} \\
\frac{1}{2}h_{b}=6 \\
h_{b}=12$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już komplet informacji na temat naszego ostrosłupa, bo wiemy że \(a=12\sqrt{3}\) oraz \(H=6\sqrt{3}\), więc możemy przystąpić do obliczenia objętości, korzystając ze wzoru:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{(12\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}\cdot6\sqrt{3} \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{432\sqrt{3}}{4}\cdot6\sqrt{3} \\
V=\frac{1}{3}\cdot108\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\
V=36\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\
V=216\cdot3 \\
V=648$$

Krok 7. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
W powierzchni bocznej mamy trzy trójkąty o podstawie \(a=12\sqrt{3}\) oraz wysokości \(h_{b}=12\), zatem:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{b} \\
P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{3}\cdot12 \\
P_{b}=3\cdot6\sqrt{3}\cdot12 \\
P_{b}=216\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy wraz z oznaczeniami (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 5.).
3 pkt
• Gdy obliczysz dwie z tych trzech długości: krawędź podstawy (patrz: Krok 3.), wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.), wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie kluczowe długości: krawędź podstawy (patrz: Krok 3.), wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.), wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy obliczysz objętość ostrosłupa (patrz: Krok 6.).
6 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.