Matura – Matematyka – Maj 2015 (stara matura) – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury na poziomie podstawowym – maj 2015 (stara matura). Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2015 (stara matura)

Zadanie 1. (1pkt) Cena pewnego towaru wraz z \(7\)-procentowym podatkiem VAT jest równa \(34\;347 zł\). Cena tego samego towaru wraz z \(23\)-procentowym podatkiem VAT będzie równa:

Zadanie 2. (1pkt) Najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność \(|x+4,5|\ge6\) jest:

Zadanie 3. (1pkt) Liczba \(2^{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[3]{2^5}\) jest równa:

Zadanie 4. (1pkt) Liczba \(2\log_{5}10-\log_{5}4\) jest równa:

Zadanie 5. (1pkt) Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność \(\frac{3}{5}-\frac{2x}{3}\ge\frac{x}{6}\) jest przedziałem:

Zadanie 6. (1pkt) Dziedziną funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{x+4}{x^2-4x}\) może być zbiór:

Zadanie 7. (1pkt) Rozwiązaniem równania \(\frac{2x-4}{3-x}=\frac{4}{3}\) jest liczba:

Zadanie 8. (1pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=-\frac{2}{3}x+4\) jest:

Zadanie 9. (1pkt) Punkt \(M=(\frac{1}{2},3)\) należy do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(3-2a)x+2\). Wtedy:

Zadanie 10. (1pkt) Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu \(y=ax+b\).

matura z matematyki

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:

Zadanie 11. (1pkt) W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) określonym dla \(n\ge1\) dane są \(a_{1}=-4\) i \(r=2\). Którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(156\)?

Zadanie 12. (1pkt) W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), spełniony jest warunek \(a_{4}=3a_{1}\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:

Zadanie 13. (1pkt) Drabinę o długości \(4\) metrów oparto o pionowy mur, a jej podstawę umieszczono w odległości \(1,30m\) od tego muru (zobacz rysunek).

matura z matematyki

Kąt \(α\), pod jakim ustawiono drabinę, spełnia warunek:

Zadanie 14. (1pkt) Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{2}{5}\). Wówczas \(cosα\) jest równy:

Zadanie 15. (1pkt) W trójkącie równoramiennym \(ABC\) spełnione są warunki: \(|AC|=|BC|\), \(|\sphericalangle CAB|=50°\). Odcinek \(BD\) jest dwusieczną kąta \(ABC\), a odcinek \(BE\) jest wysokością opuszczoną z wierzchołka \(B\) na bok \(AC\). Miara kąta \(EBD\) jest równa:

matura z matematyki

Zadanie 16. (1pkt) Przedstawione na rysunku trójkąty są podobne.

matura z matematyki

Wówczas:

Zadanie 17. (1pkt) Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:

Zadanie 18. (1pkt) Dane są punkty \(M=(3,-5)\) oraz \(N=(-1,7)\). Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie:

Zadanie 19. (1pkt) Dane są punkty \(P=(-2,-2)\), \(Q=(3,3)\). Odległość punktu \(P\) od punktu \(Q\) jest równa:

Zadanie 20. (1pkt) Punkt \(K=(-4,4)\) jest końcem odcinka \(KL\), punkt \(L\) leży na osi \(Ox\), a środek \(S\) tego odcinka leży na osi \(Oy\). Wynika stąd, że:

Zadanie 21. (1pkt) Okrąg przedstawiony na rysunku ma środek w punkcie \(O=(3,1)\) i przechodzi przez punkty \(S=(0,4)\) i \(T=(0,-2)\). Okrąg ten jest opisany przez równanie:

Zadanie 22. (1pkt) Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:

Zadanie 23. (1pkt) Kula o promieniu \(5cm\) i stożek o promieniu podstawy \(10cm\) mają równe objętości. Wysokość stożka jest równa:

Zadanie 24. (1pkt) Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2, 4, 7, 8, 9\) jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2, 4, 7, 8, 9, x\). Wynika stąd, że:

Zadanie 25. (1pkt) W pewnej klasie stosunek liczny dziewcząt do liczby chłopców jest równy \(4:5\). Losujemy jedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe:

Zadanie 26. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\ge0\).

Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\ge x-2\).

Zadanie 28. (2pkt) Rozwiąż równanie \(4x^3+4x^2-x-1=0\).

Zadanie 29. (2pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

matura z matematyki

Funkcja \(h\) określona jest dla \(x\in\langle-3,5\rangle\) wzorem \(h(x)=f(x)+q\), gdzie \(q\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji \(h\) jest liczba \(x_{0}=-1\).
a) Wyznacz \(q\).
b) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji \(h\).

Zadanie 30. (2pkt) Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy \(444\), a ostatni jest równy \(653\). Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o \(11\) większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Zadanie 31. (2pkt) Dany jest okrąg o środku w punkcie \(O\). Prosta \(KL\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(L\), a środek \(O\) tego okręgu leży na odcinku \(KM\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że kąt \(KML\) ma miarę \(31°\).

matura z matematyki

Zadanie 32. (4pkt) Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zadanie 33. (4pkt) Wśród \(115\) osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Rodzaj kupionych biletów} & \text{Liczba osób} \\
\hline
\text{ulgowe} & 76 \\
\text{normalne} & 41
\end{array}
$$

Uwaga! \(27\) osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Zadanie 34. (5pkt) Biegacz narciarski Borys wyruszył na trasę biegu o \(10\) minut później niż inny zawodnik, Adam. Metę zawodów, po przebyciu \(15\)-kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali równocześnie. Okazało się, że wartość średniej prędkości na całej trasie w przypadku Borysa była o \(4,5km/h\) większa niż w przypadku Adama. Oblicz, w jakim czasie Adam pokonał całą trasę biegu.

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

Dodaj komentarz