Matura – Matematyka – Maj 2015 (stara matura) – Odpowiedzi

C

Krok 1. Obliczenie ceny netto towaru.
Cena brutto to cena netto towaru powiększona o podatek VAT, który jest wyliczany z ceny netto. Skoro mamy sprawdzić jaka jest cena brutto przy stawce \(23\%\), to najpierw musimy wyznaczyć cenę netto.

\(x\) - cena netto
\(0,07x\) - podatek VAT (bo \(0,07=7\%\))
\(x+0,07x=1,07x\) - cena brutto

W naszym przypadku cena brutto jest równa \(34347zł\), zatem:
$$1,07x=34347zł \quad\bigg/:1,07 \\
x=32100$$

Krok 2. Obliczenie ceny towaru przy stawce VAT \(23\)-procentowej.
Do ceny netto \(32100zł\) musimy teraz dodać \(23\%\) podatku VAT, zatem:
$$1,23\cdot32100zł=39483zł$$

Cena netto samochodu jest więc równa \(39483zł\).

B

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
$$|x+4,5|\ge6 \\
x+4,5\ge6 \quad\lor\quad x+4,5\le-6 \\
x\ge1,5 \quad\lor\quad x\le-10,5$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymany wynik możemy zapisać jako:
$$x\in(-\infty;-10,5\rangle\cup\langle1,5;+\infty)$$

Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest dodatnia. Z przedziału jasno wynika, że taką liczbą będzie \(x=2\).

D

Pamiętając o tym, że \(\sqrt[3]{2^5}=(2^5)^\frac{1}{3}=2^{\frac{5}{3}}\) możemy całość obliczyć w następujący sposób:
$$2^{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[3]{2^5}=2^{\frac{4}{3}}\cdot2^{\frac{5}{3}}= \\
=2^{\frac{4}{3}+\frac{5}{3}}=2^{\frac{9}{3}}=2^3$$

A

W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów:
$$r\cdot \log_{a}x=\log_{a}x^r \\
\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}$$

Zatem:
$$2\log_{5}10-\log_{5}4=\log_{5}10^2-\log_{5}4=\log_{5}100-\log_{5}4= \\
=\log_{5}\frac{100}{4}=\log_{5}25=2$$

B

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tej nierówności. Aby uprościć sobie obliczenia wymnóżmy na początku obie strony przez \(30\), pozbywając się tym samym wszystkich ułamków:
$$\frac{3}{5}-\frac{2x}{3}\ge\frac{x}{6} \quad\bigg/\cdot30 \\
18-20x\ge5x \\
18-25x\ge0 \\
-25x\ge-18 \quad\bigg/:(-25) \\
x\le\frac{18}{25}$$

Zwróć uwagę na zmianę znaku w ostatniej linijce. Wynika ona z tego, że dzieliliśmy nierówność przez liczbę ujemną.

Otrzymany wynik możemy zapisać w formie przedziału:
$$x\in(-\infty;\frac{18}{25}\rangle$$

A

Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to także wartość mianownika musi być różna od zera. W związku z tym:
$$x^2-4x\neq0 \\
x(x-4)\neq0 \\
x\neq0 \quad\lor\quad x-4\neq0 \\
x\neq0 \quad\lor\quad x\neq4$$

Dziedziną tej funkcji będą więc wszystkie liczby rzeczywiste różne od \(0\) i \(4\).

B

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego iż w mianowniku nie może znaleźć się liczba zero, to musimy napisać założenia do naszego równania:
$$3-x\neq0 \\
x\neq3$$

Gdyby wśród obliczonych rozwiązań tego równania pojawiła się liczba \(3\), to zgodnie z założeniami musielibyśmy ją odrzucić.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
To równanie najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż, dzięki czemu otrzymamy:
$$(2x-4)\cdot3=(3-x)\cdot4 \\
6x-12=12-4x \\
10x-12=12 \\
10x=24 \\
x=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$$

B

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), zatem:
$$0=-\frac{2}{3}x+4 \\
\frac{2}{3}x=4 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\
x=6$$

C

Skoro punkt \(M\) należy do wykresu funkcji \(f(x)\), to możemy do jej wzoru podstawić współrzędne tego punktu, wyznaczając w ten sposób wartość niewiadomej \(a\). Otrzymamy wtedy:
$$3=(3-2a)\cdot\frac{1}{2}+2 \\
3=1\frac{1}{2}-a+2 \\
3=3\frac{1}{2}-a \\
-\frac{1}{2}=-a \\
a=\frac{1}{2}$$

B

Do zapisania równania prostej (a tym samym do wyznaczenia współczynnika kierunkowego) posłużymy się współrzędnymi punktów \(P\) oraz \(Q\), które możemy odczytać z rysunku. Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(P=(x_{P};y_{P})\) oraz \(Q=(x_{Q};y_{Q})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{P})(x_{Q}-x_{P})-(y_{Q}-y_{P})(x-x_{P})=0 \\
(y-5)(5-2)-(3-5)(x-2)=0 \\
(y-5)\cdot3-(-2)\cdot(x-2)=0 \\
3y-15-(-2x+4)=0 \\
3y-15+2x-4=0 \\
3y+2x-19=0 \\
3y=-2x+19 \quad\bigg/:3 \\
y=-\frac{2}{3}x+\frac{19}{3}$$

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest w takim razie równy \(a=-\frac{2}{3}\).

A

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=-4\) oraz \(r=2\). Podstawiając do tego \(a_{n}=156\) wyliczymy który wyraz ma pożądaną przez nas wartość:
$$156=-4+(n-1)\cdot2 \\
156=-4+2n-2 \\
156=2n-6 \\
2n=162 \\
n=81$$

C

Wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego możemy zapisać jako \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Czwarty wyraz ciągu jest więc równy \(a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}\). Ta informacja w połączeniu z zależnością \(a_{4}=3a_{1}\) z treści zadania pozwoli nam ułożyć proste równanie:
$$a_{1}\cdot q^{3}=3a_{1} \quad |:a_{1} \\
q^3=3 \\
q=\sqrt[3]{3}$$

D

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym wynika, że zależność między przyprostokątną leżącą przy danym kącie, a przeciwprostokątną możemy opisać funkcją cosinus:
$$cosα=\frac{1,30}{4} \\
cosα=0,325$$

Krok 2. Odczytanie miary kąta z tablic trygonometrycznych.
Musimy teraz poprawnie odczytać z tablic trygonometrycznych dla jakiego kąta ostrego funkcja cosinus przyjmuje wartość około \(0,325\). Najbliżej tej wartości jest kąt \(71°\), zatem \(60°\lt α\lt 90°\).

Uwaga! Wiele osób błędnie odczytuje z tablic, że poszukiwanym kątem jest ten o mierze \(19°\). To byłby kąt \(19°\) gdybyśmy mieli funkcję sinus, a nie cosinus.

D

Skorzystamy z tak zwanej "jedynki trygonometrycznej":
$$sin^2α+cos^2α=1$$

Podstawiając wartość sinusa do tego wzoru wyznaczymy poszukiwaną wartość cosinusa.
$$\left(\frac{2}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{21}{25} \\
cos=\sqrt{\frac{21}{25}} \quad\lor\quad cos=-\sqrt{\frac{21}{25}} \\
cos=\frac{\sqrt{21}}{5} \quad\lor\quad cos=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

D

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Z treści wynika że podstawą jest bok \(AB\), bo równej długości są odcinki \(|AC|=|BC|\). Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają jednakową miarę, zatem skoro \(|\sphericalangle CAB|=50°\), to możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ABC|=50°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABD\).
Skoro odcinek \(BD\) jest dwusieczną kąta \(ABC\), to miara kąta \(ABD\) jest równa:
$$|\sphericalangle ABD|=50°:2=25°$$

Analogicznie: |\sphericalangle DBC|=50°:2=25°

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(EBD\).
Wbrew pozorom odcinek \(BE\) wcale nie jest dwusieczną kąta \(DBC\), co prowadziłoby nas do błędnej odpowiedzi \(12,5°\). Miarę poszukiwanego kąta musimy wyznaczyć korzystając z trójkąta \(ABE\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny, bo odcinek \(EB\) jest wysokością trójkąta, a wysokość zawsze pada pod kątem prostym. W ten sposób obliczymy miarę kąta \(ABE\), co z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość kąta \(EBD\). Zatem:
$$|\sphericalangle ABE|=180°-90°-50°=40°$$

Miara kąta \(EBD\) jest różnicą między kątem \(ABE\) oraz \(ABD\):
$$|\sphericalangle EBD|=|\sphericalangle ABE|-|\sphericalangle ABD|=40°-25°=15°$$

B

Podobieństwo trójkątów oznacza, że stosunek długości poszczególnych boków jest taki sam w obydwu figurach. To z kolei pozwoli nam ułożyć równania, dzięki którym wyznaczymy długości boków \(a\) oraz \(b\). Musimy tylko uważać, aby dobrze zapisać odniesienia do poszczególnych boków.

Krok 1. Wyznaczenie długości boku \(a\).
$$\frac{4}{6}=\frac{a}{15} \quad\bigg/\cdot30 \\
20=2a \\
a=10$$

Krok 2. Wyznaczenie długości boku \(b\).
$$\frac{4}{6}=\frac{12}{b}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$4b=72 \\
b=18$$

A

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem:
$$2m\cdot4m^2=-1 \\
8m^3=-1 \\
m^3=-\frac{1}{8} \\
m=-\frac{1}{2}$$

A

Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(M=(x_{M};y_{M})\) oraz \(N=(x_{N};y_{N})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{M})(x_{N}-x_{M})-(y_{N}-y_{M})(x-x_{M})=0 \\
(y-(-5))(-1-3)-(7-(-5))(x-3)=0 \\
(y+5)\cdot(-4)-12\cdot(x-3)=0 \\
-4y-20-12x+36=0 \\
-4y-12x+16=0 \\
-4y=12x-16 \quad\bigg/:(-4) \\
y=-3x+4$$

C

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, czyli tak naprawdę na odległość między dwoma punktami:
$$|PQ|=\sqrt{(x_{Q}-x_{P})^2+(y_{Q}-y_{P})^2} \\
|PQ|=\sqrt{(3-(-2))^2+(3-(-2))^2} \\
|PQ|=\sqrt{5^2+5^2} \\
|PQ|=\sqrt{25+25} \\
|PQ|=\sqrt{25\cdot2} \\
|PQ|=5\sqrt{2}$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W zasadzie wykonując dokładny rysunek moglibyśmy odczytać z niego rozwiązanie, bez dokonywania jakichkolwiek obliczeń.



Nawet gdybyśmy zrobili tylko szkic tej sytuacji, to po prostej analizie odpowiedzi możemy odrzucić \(B\) oraz \(C\), bo pierwszą współrzędną punktu \(S\) jest na pewno \(0\) (wiemy to, bo zgodnie z treścią zadania punkt ten leży na osi \(Oy\)). W zasadzie to i odpowiedź \(D\) możemy odrzucić, bo punkt \(S\) jest na pewno niżej położony niż punkt \(K\), więc druga współrzędna (igrekowa) musi być mniejsza od \(4\). W ten oto sposób wiemy już, że to musi być odpowiedź \(A\).

Nie mniej jednak spróbujmy to obliczyć, bo mogłyby tutaj znaleźć się znacznie bardziej skomplikowane liczby (np. z pierwiastkami). Ustalmy zatem jakie znamy współrzędne:
$$K=(-4;4) \\
L=(x_{L};0) \\
S=(0;y_{S})$$

Naszym zadaniem jest podanie współrzędnych punktu \(S\), zatem brakuje nam współrzędnej \(y_{S}\). Do wyznaczenia brakującej współrzędnej wykorzystamy wzór na środek odcinka.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(y_{S}\).
Ze wzoru na środek odcinka wiemy, że:
$$x_{S}=\frac{x_{K}+x_{L}}{2} \\
y_{S}=\frac{y_{K}+y_{L}}{2}$$

Nas interesuje tylko współrzędna "igrekowa", bo "iksową" już znamy, zatem:
$$y_{S}=\frac{y_{K}+y_{L}}{2} \\
y_{S}=\frac{4+0}{2} \\
y_{S}=2$$

To oznacza, że poszukiwane współrzędne to \(S=(0;2)\).

C

Tradycyjnie do wyznaczenia równania okręgu potrzebujemy znać współrzędne środka \(O=(a;b)\) oraz promień \(r\), wtedy równanie przybiera następującą postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Tak naprawdę przyglądając się odpowiedziom widzimy, że w każdej z nich po prawej stronie równania znalazła się ta sama liczba, czyli że \(r^2=18\). Nie musimy więc obliczać długości promienia, której nam teoretycznie brakuje. Gdyby odpowiedzi miały zróżnicowaną prawą stronę równania, to długość promienia obliczylibyśmy wzorem na długość odcinka biorąc do obliczeń współrzędne punktu \(O\) oraz \(S\) (ewentualnie \(O\) oraz \(T\)).

Naszym zadaniem jest więc jedynie ustalenie jak wygląda lewa strona równania. Podstawiając do równania okręgu współrzędne punktu \(O=(3;1)\) otrzymamy:
$$(x-3)^2+(y-1)^2=18$$

C

Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu (\(a\)).
Trzeba dobrze wczytać się w treść zadania. Podaną mamy długość przekątnej ściany sześcianu, a nie przekątnej całego sześcianu jako takiego. Wiemy więc, że ścianami sześcianu są kwadraty o przekątnej \(d=2\). Nam do obliczenia pola całkowitego potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu. Z własności kwadratu wynika, że:
$$d=a\sqrt{2} \\
2=a\sqrt{2} \\
a=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Sześcian składa się z sześciu ścian, każda z nich jest kwadratem o boku \(a=\sqrt{2}\), zatem:
$$P_{c}=6\cdot a^2 \\
P_{c}=6\cdot (\sqrt{2})^2 \\
P_{c}=6\cdot2 \\
P_{c}=12$$

D

Krok 1. Obliczenie objętości kuli.
$$V_{k}=\frac{4}{3}πR^3 \\
V_{k}=\frac{4}{3}π\cdot5^3 \\
V_{k}=\frac{4}{3}π\cdot125 \\
V_{k}=\frac{500}{3}π$$

Krok 2. Obliczenie objętości stożka.
$$V_{s}=\frac{1}{3}πr^2H \\
V_{s}=\frac{1}{3}π\cdot10^2\cdot H \\
V_{s}=\frac{1}{3}π\cdot100\cdot H \\
V_{s}=\frac{100}{3}π\cdot H$$

Krok 3. Obliczenie wysokości stożka.
We wzorze na objętość stożka znajdzie się wysokość \(H\), którą wyznaczymy sobie porównując do siebie objętości dwóch brył.
$$V_{k}=V_{s} \\
\frac{500}{3}π=\frac{100}{3}π\cdot H \quad\bigg/\cdot3 \\
500π=100π\cdot H \quad\bigg/:100π \\
H=5[cm]$$

D

Skoro średnie arytmetyczne są sobie równe, to możemy ułożyć proste równanie:
$$\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{2+4+7+8+9+x}{6} \\
\frac{30}{5}=\frac{30+x}{6} \\
6=\frac{30+x}{6} \\
36=30+x \\
x=6$$

B

Zapiszmy sobie, że:
\(4x\) - liczba dziewczyn
\(5x\) - liczba chłopców
\(4x+5x=9x\) - liczba dzieci w klasie

Prawdopodobieństwo, że wybraną osobą będzie dziewczyna jest więc równe:
$$P(A)=\frac{4x}{9x}=\frac{4}{9}$$

Udowodniono rozwiązując nierówność kwadratową i interpretując otrzymaną deltę.

Do zadania można podejść na kilka sposobów, więc rozważmy sobie dwa najprostsze rozwiązania.

I sposób:
W tej metodzie potraktujemy tę nierówność tak jak każdą inną. To, że znajdują się w niej wartości \(y\) na razie nam nie przeszkadza (potraktujemy je jak zwykłe liczby).

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-8y,\;c=5y^2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8y)^2-4\cdot4\cdot5y^2=64y^2-80y^2=-16y^2$$

Zastanówmy się teraz jaka jest ta delta. Jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod \(y\) to wartość \(y^2\) będzie dodatnia lub równa zero (gdy \(y=0\)). Pomnożenie tej liczby jeszcze przez \(-16\) sprawi, że wynik zawsze będzie niedodatni (ujemny gdy \(y\neq0\) lub równy zero gdy \(y=0\)). Wniosek z tego taki, że \(Δ\le0\).

Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Skoro \(Δ\le0\), to znaczy że ta funkcja ma maksymalnie jedno miejsce zerowe (gdy \(Δ=0\)), a cała reszta wykresu zawsze będzie przebiegać nad osią \(Ox\). To oznacza, że ta funkcja nigdy nie przyjmie wartości ujemnych, co kończy nasz dowód.



II sposób:
Możemy też spróbować przedstawić tę nierówność przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Gdyby udało nam się powiązać niektóre wyrazy w taki sposób, że dałoby się je pokazać w formie pewnej potęgi, to udowodnilibyśmy, że "coś" podniesione do potęgi jest zawsze większe od zera.
Krok 1. Zapisanie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Aby móc tego dokonać musimy rozbić \(5y^2\) na sumę \(4y^2+y^2\), zatem:
$$4x^2-8xy+5y^2\ge0 \\
4x^2-8xy+4y^2+y^2\ge0 \\
(2x-2y)^2+y^2\ge0$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Kwadrat liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Niezależnie więc co podstawimy pod \(x\) i \(y\) to \((2x-2y)^2\ge0\) oraz \(y^2\ge0\). Suma dwóch liczb nieujemnych także daje liczbę nieujemną, więc dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz pod \(x\) i \(y\) konkretne wartości liczbowe.
1 pkt
• Gdy obliczysz deltę (patrz: I sposób Krok 1.) i nie wyciągniesz z niej żadnych wniosków.
ALBO
• Gdy skorzystasz ze wzorów skróconego mnożenia i otrzymasz zapis typu \((2x-2y)^2+y^2\ge0\) (patrz: II sposób Krok 1.) i nie wyciągniesz z niego żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle \cup \langle2;+\infty)\)

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Aby móc w ogóle przystąpić do rozwiązywania tej nierówności musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Otrzymamy więc:
$$2x^2-4x\ge x-2 \\
2x^2-5x+2\ge0$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, więc rozwiązaniem nierówności będzie suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle \cup \langle2;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x=\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=-1\)

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$4x^3+4x^2-x-1=0 \\
4x^2(x+1)-1\cdot(x+1)=0 \\
(4x^2-1)(x+1)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej możemy przyrównać wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$4x^2-1=0 \quad\lor\quad x+1=0 \\
4x^2=1 \quad\lor\quad x=-1 \\
x^2=\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=-1 \\
x=\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=-1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

a) \(q=-3\)
b) \(x=1\) oraz \(x=3\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie jak musi wyglądać nasza funkcja \(h(x)\) wiedząc, że jest ona przesuniętą postacią funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że miejscem zerowym tej funkcji jest teraz \(x=-1\).



Krok 2. Określenie wartości \(q\).
Wykres funkcji \(h(x)\) trzeba było przesunąć o trzy jednostki do dołu, zatem:
$$h(x)=f(x)+q \\
h(x)=f(x)-3 \\
\text{zatem: } q=-3$$

Krok 3. Odczytanie wszystkich miejsc zerowych.
Z rysunku możemy odczytać pozostałe miejsca zerowe tej funkcji. Oprócz \(x=-1\) miejscami zerowymi są także \(x=1\) oraz \(x=3\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że \(q=-3\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy określisz pozostałe miejsca zerowe: \(x=1\) oraz \(x=3\) (patrz: Krok 3.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(S_{20}=10970\)

Krok 1. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=444 \\
a_{n}=653 \\
r=11$$

Aby obliczyć ile jest wyrazów w tym ciągu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
653=444+(n-1)\cdot11 \\
653=444+11n-11 \\
653-444+11=11n \\
11n=220 \\
n=20$$

To oznacza, że nasz ciąg ma \(20\) wyrazów.

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy korzystając z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n \\
S_{20}=\frac{444+653}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{1097}{2}\cdot20 \\
S_{20}=10970$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że liczba wyrazów tego ciągu to \(n=20\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie obliczysz liczbę wyrazów, ale konsekwentnie do niej obliczysz poprawnie sumę wszystkich wyrazów.
ALBO
• Gdy wypiszesz kolejne wyrazy tego ciągu, ale nie obliczysz ich sumy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności stycznej do okręgu.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Połączmy ze sobą punkty \(L\) oraz \(O\) (będzie to promień okręgu) i wprowadźmy sobie proste oznaczenia kątów:



Z własności stycznych wiemy, że kąt między styczną, a promieniem okręgu, jest kątem prostym (patrz rysunek). To pozwoli nam w prosty sposób wyznaczyć miarę kąta \(α\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Skoro suma kątów w trójkącie \(OKL\) ma być równa \(180°\), to kąt \(α\) ma miarę:
$$α=180°-90°-28°=62°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(β\).
Z własności kątów środkowych i wpisanych opartych na tym samym łuku wiemy, że kąt wpisany w okręg (a takim jest nasz kąt \(β\)) jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego (a takim jest tutaj kąt \(α\)). Zatem:
$$β=62°:2=31°$$

I właśnie to należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zaznaczysz (może być na rysunku), że kąt \(KLO\) jest prosty oraz zapiszesz że \(|\sphericalangle LOK|=2\cdot|\sphericalangle LMO|\) (patrz: Krok 3.)
ALBO
• Gdy dostrzeżesz, że \(|\sphericalangle LMO|=|\sphericalangle MLO|\), bo jest to trójkąt równoramienny.
ALBO
• Gdy połączysz punkt \(P\) z punktem przecięcia się okręgu i odcinka \(OK\), oznaczysz ten punkt przykładowo jako \(N\) i zauważysz, że powstał trójkąt prostokątny, a z własności stycznych do okręgu zapiszesz, że \(|\sphericalangle NLK|=|\sphericalangle LMN|\)
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(P_{c}=144+384\sqrt{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).

Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).
$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|} \\
\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|\\
\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3} \\
|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2 \\
(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2 \\
2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9 \\
18a^2+2304=50a^2 \\
-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32) \\
a^2-72=0$$

Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
$$a^2-72=0 \\
a^2=72 \\
a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H \\
P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16 \\
P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2} \\
P_{c}=144+384\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy powiążesz ze sobą długości przekątnej podstawy, przekątnej graniastosłupa i wysokości graniastosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz że \(tgα=\frac{4}{3}\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej graniastosłupa: \(|EC|=20\)
ALBO
• Gdy zaznaczysz na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
ALBO
• Gdy obliczysz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny bo pomylisz sinusa z cosinusem.
2 pkt
• Gdy zgodnie z przyjętym przez siebie sposobem rozwiązywaniem zadania otrzymasz równanie lub układ równań w którym jedyną niewiadomą jest długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.). Dopuszczalna jest dowolna forma zapisu np. \(a^2-72=0\) albo \(\frac{16}{a\sqrt{2}}=\frac{4}{3}\) albo \(16^2+(a\sqrt{2})^2=20^2\) itd.
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy graniastosłupa: \(|AC|=12\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{5}{23}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Będziemy wybierać jedną ze \(115\) osób, stąd też \(|Ω|=115\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Naszym zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie osoby, która nie kupiła biletu. W związku z tym musimy teraz określić ile osób nie kupiło biletu. Można to zrobić na kilka sposobów (mniej lub bardziej matematycznych). Przykładowo:

I sposób: Skoro sprzedano \(76+41=117\) biletów, a \(27\) osób ma jeden i drugi bilet, to znaczy że osób które kupiły ten bilet jest \(117-27=90\). W związku z tym biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

II sposób: Możemy też wykonać prosty rysunek w którym zobrazujemy sobie całą sytuację:



Najpierw wpisujemy liczbę \(27\), bo tyle osób ma dwa bilety, a następnie obliczamy ile osób ma tylko bilet ulgowy lub tylko bilet normalny. Po zsumowaniu wartości wychodzi nam, że bilet kupiło: \(49+27+14=90\) osób, czyli biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{115}=\frac{5}{23}$$

Pamiętaj o tym, by przedstawić to rozwiązanie właśnie w formie nieskracalnego ułamka (jest to wyszczególnione w treści zadania).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz że bilet ulgowy kupiło \(49\) osób (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz że bilet normalny kupiło \(14\) osób (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz że co najmniej jeden bilet kupiło \(90\) osób (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) i zapiszesz poprawnie liczbę osób które kupiły jeden z biletów (patrz: Krok 1. oraz 2.)
ALBO
• Gdy zapiszesz, że biletu nie kupiło \(25\) osób.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) oraz obliczysz, że \(25\) osób nie kupiło biletu.
ALBO
• Gdy popełnisz błąd rachunkowy i konsekwentnie do niego podasz błędny wynik.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(t=\frac{5}{6}h=50 min.\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(v\) - średnia prędkość Adama [\(\frac{km}{h}\)]
\(t\) - czas Adama [\(h\)]

\(v+4,5\) - średnia prędkość Borysa [\(\frac{km}{h}\)]
\(t-\frac{1}{6}\) - czas Borysa [\(h\)]
Odejmujemy \(\frac{1}{6}\), bo Borys biegł \(10\) minut krócej, a skoro posługujemy się godzinami to \(10min=\frac{1}{6}h\).

\(s=15\) - długość trasy

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie układu równań na podstawie danych z treści zadania.
Skorzystamy tutaj ze wzoru \(s=vt\).
\begin{cases}
15=vt \\
15=(v+4,5)\left(t-\frac{1}{6}\right)
\end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(v=\frac{15}{t}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
15=\left(\frac{15}{t}+4,5\right)\left(t-\frac{1}{6}\right) \\
\cancel{15}=\cancel{15}-\frac{15}{6t}+4,5t-\frac{3}{4} \\
-\frac{15}{6t}+4,5t-\frac{3}{4}=0 \\
-\frac{5}{2t}+4,5t-\frac{3}{4}=0 \quad\bigg/\cdot4t \\
-10+18t^2-3t=0 \\
18t^2-3t-10=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=18,\;b=-3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot18\cdot(-10)=9-(-720)=729 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{729}=27$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-27}{2\cdot18}=\frac{3-27}{36}=\frac{-24}{36}=-\frac{2}{3} \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+27}{2\cdot18}=\frac{3+27}{36}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie ujemne musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zostaje nam \(t=\frac{5}{6}[h]\), a zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to czas biegu Adama, czyli dokładnie to czego szukaliśmy. Możemy jeszcze zapisać, że \(t=\frac{5}{6}h=50 min.\) i w takim też czasie Adam pokonał całą trasę biegu.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.