Matura próbna – Matematyka – Operon 2021 – Odpowiedzi

C

Aby móc skorzystać ze standardowych działań na potęgach, musielibyśmy mieć jednakowe podstawy potęg lub wykładniki (a póki co tego nie mamy). Z tego też względu w tym zadaniu należy postąpić nieco sprytniej i rozbić niektóre czynniki w taki sposób, aby móc skrócić licznik z mianownikiem. Całość wyglądałaby następująco:
$$\frac{10^{13}\cdot7^{13}}{14^{13}\cdot5^{10}}=\frac{2^{13}\cdot5^{13}\cdot7^{13}}{2^{13}\cdot7^{13}\cdot5^{10}}=\frac{5^{13}}{5^{10}}=5^{3}$$

D

Krok 1. Zapisanie liczby odwrotnej.
Liczbą odwrotną otrzymamy zamieniając miejscami licznik z mianownikiem, czyli w tym przypadku byłoby to \(\frac{2}{1+\sqrt{3}}\). Takiej odpowiedzi niestety nie mamy, a to dlatego, że musimy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika.

Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika
Aby usunąć niewymierność musimy pomnożyć licznik oraz mianownik przez dokładnie to samo wyrażenie co w mianowniku, tylko ze zmienionym znakiem. Pozwoli nam to na skorzystanie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). W związku z tym:
$$\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\frac{2\cdot(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})\cdot(1-\sqrt{3})}=\frac{2-2\sqrt{3}}{1^2-\sqrt{3}^2}= \\
=\frac{2-2\sqrt{3}}{1-3}=\frac{2-2\sqrt{3}}{-2}=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$$

A

Ze wzorów skróconego mnożenia wynika, że:
$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$

Powinniśmy dostrzec, że aby wartość tego wyrażenia była jak najmniejsza, to wartość \(x\) musi być jak najmniejsza, natomiast wartość \(y\) jak największa (bo wtedy dużo odejmiemy). Skoro tak, to najmniejszą wartość osiągniemy dla \(x=2\) oraz \(y=4\), a będzie ona równa:
$$2^2-4^2=4-16=-12$$

B

Po obniżce o \(20\%\) laptop kosztował:
$$0,8\cdot1500zł=1200zł$$

Potem nastąpiła podwyżka o \(20\%\), więc teraz laptop kosztuje:
$$1,2\cdot1200zł=1440zł$$

D

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$3log_{4}2+log_{4}32=log_{4}2^3+log_{4}32=log_{4}8+log_{4}32=log_{4}(8\cdot32)=log_{4}256$$

Wiedząc, że \(256=16\cdot16=4^2\cdot4^2=4^4\) możemy zapisać, że:
$$log_{4}256=log_{4}4^4=4$$

B

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na wstępie powinniśmy zauważyć, że odpowiedzi A oraz C możemy od razu odrzucić, gdyż nie są to liczby całkowite. Aby poznać prawidłową odpowiedź, musimy rozwiązać podaną nierówność:
$$\sqrt{2}\ge\frac{x}{3} \\
3\sqrt{2}\ge x \\
x\le3\sqrt{2}$$

Krok 2. Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność.
Wartość \(3\sqrt{2}\) to w przybliżeniu \(3\cdot1,41\approx4,23\). Nasza niewiadoma \(x\) musi być mniejsza od tej wartości, a skoro tak, to najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność będzie \(4\).

C

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Pierwiastki równania to po prostu rozwiązania równania. Aby rozwiązać podane równanie musimy postąpić tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównać wszystkie wartości w nawiasach oraz przed nawiasem do zera. W związku z tym:
$$x=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \quad\lor\quad x-11=0 \quad\lor\quad x+12=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-16 \quad\lor\quad x=11 \quad\lor\quad x=-12$$

Z drugiego równania nie otrzymamy rozwiązać, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista \(x\), która podniesiona do kwadratu dałaby \(-16\). W związku z tym zostaje nam \(x=0\), \(x=11\) oraz \(x=-12\).

Krok 2. Obliczenie sumy pierwiastków równania.
Suma wszystkich pierwiastków równania będzie więc równa:
$$0+11+(-12)=11-12=-1$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oś symetrii przebiega zawsze przez wierzchołek paraboli. W związku z tym kluczem do sukcesu będzie poznanie współrzędnej \(p\) tej paraboli.


Krok 2. Wyznaczenie równania osi symetrii.
Wzór funkcji zapisany jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\) i przyjmuje on wartość \(f(x)=-2(x+3)^2-4\), czyli tak naprawdę \(f(x)=-2(x-(-3))^2-4\). Teraz bez żadnych wątpliwości widzimy, że \(p\) jest równe \(-3\), a co za tym idzie - osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-3\).

D

Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy, gdy współczynnik \(a\) jest dodatni. W tym przypadku \(a=m-\sqrt{2}\), zatem:
$$m-\sqrt{2}\gt0 \\
m\gt\sqrt{2}$$

A

Krok 1. Zapisanie równania prostej w postaci kierunkowej.
Prosta \(k\) zapisana jest w postaci ogólnej, a my potrzebujemy postaci kierunkowej \(y=ax+b\) (bo tylko wtedy będziemy mogli przyrównać współczynniki kierunkowe). Musimy więc przekształcić równanie \(3x+2y-5=0\) w taki sposób, aby po lewej stronie był sam \(y\), a po prawej cała reszta zapisu. Zatem:
$$3x+2y-5=0 \\
2y=-3x+5 \\
y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$

Krok 2. Ustalenie równania prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy. Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{3}{2}\), więc prosta równoległa będzie się wyrażać równaniem \(y=-\frac{3}{2}x+b\).

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze obliczenia współczynnika \(b\). W tym celu do równania \(y=-\frac{3}{2}x+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(P\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-5\):
$$y=-\frac{3}{2}x+b \\
-5=-\frac{3}{2}\cdot2+b \\
-5=-3+b \\
b=-2$$

To oznacza, że prosta równoległa wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{2}x-2\).

C

Współrzędne wierzchołka paraboli W=(p;q) możemy obliczyć korzystając ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\). Ze wzoru funkcji odczytujemy współczynniki: \(a=3,\;b=-30,\;c=82\) i przy okazji obliczmy jeszcze deltę:
$$Δ=b^2-4ac=(-30)^2-4\cdot3\cdot82=900-984=-84$$

Teraz możemy już obliczyć poszukiwane współrzędne, zaczynając od \(p\):
$$p=\frac{-(-30)}{2\cdot3} \\
p=\frac{30}{6} \\
p=5$$

Współrzędna \(q\) będzie równa:
$$q=\frac{-(-84)}{4\cdot3} \\
q=\frac{84}{12} \\
q=7$$

Wierzchołkiem paraboli będzie więc punkt \(W=(5;7)\).

A

W tym zadaniu powinniśmy dostrzec, że:
$$a_{3}=a_{5}-2r \\
a_{7}=a_{5}+2r$$

Skoro tak, to:
$$a_{3}+a_{7}=a_{5}-2r+a_{5}+2r=2a_{5}$$

Wiemy, że suma \(a_{3}+a_{7}=28\), więc:
$$2a_{5}=28 \\
a_{5}=14$$

B

Korzystając z zależności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
6^2=3\cdot(5x+2) \\
36=15x+6 \\
30=15x \\
x=2$$

D

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\) oraz \(a_{11}\).
Chcąc obliczyć wartość piątego i jedenastego wyrazu, musimy podstawić do wzoru ciągu odpowiednio \(n=5\) oraz \(n=11\):
$$a_{5}=(-1)^{2\cdot5+1}\cdot\left(2^{5-1}-1\right) \\
a_{5}=(-1)^{10+1}\cdot(2^4-1) \\
a_{5}=(-1)^{11}\cdot(16-1) \\
a_{5}=(-1)\cdot15 \\
a_{5}=-15$$

$$a_{11}=(-1)^{2\cdot11+1}\cdot\left(2^{11-1}-1\right) \\
a_{11}=(-1)^{22+1}\cdot(2^{10}-1) \\
a_{11}=(-1)^{23}\cdot(1024-1) \\
a_{11}=(-1)\cdot1023 \\
a_{11}=-1023$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{5}+a_{11}\).
Suma tych wyrazów jest więc równa:
$$a_{5}+a_{11}=(-15)+(-1023) \\
a_{5}+a_{11}=-1038$$

C

Zbiór wartości odczytujemy z osi \(OY\). Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje wartości od \(-6\), aż do \(3\). Ustalmy jeszcze tylko nawiasy. Tutaj największą pułapką jest niezamalowana kropka przy wartości \(-6\). Owszem, dla argumentu \(x=-2\) mamy niezamalowaną kropkę, ale ta funkcja jak najbardziej przyjmuje wartość chociażby dla \(x=-1\) czy też \(x=0\). Przy wartości równej \(3\) tego problemu już nie ma, tutaj nawias będzie otwarty. Z tego względu zbiorem wartości będzie przedział \(\langle-6, 3)\).

C

W tym zadaniu musimy skorzystać ze wzoru:
$$k=\frac{n-2}{n}\cdot180°$$

Podstawiając \(k=156°\), otrzymamy:
$$156°=\frac{n-2}{n}\cdot180° \\
\frac{156°}{180°}=\frac{n-2}{n} \\
\frac{156}{180}=\frac{n-2}{n}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$156n=180\cdot(n-2) \\
156n=180n-360 \\
-24n=-360 \\
n=15$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy zauważyć, że jeden z boków trójkąta opiera się na średnicy okręgu, a to pozwala nam stwierdzić, że cały duży trójkąt (nazwijmy go \(ABC\)) jest prostokątny.


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Zwróćmy uwagę, że trójkąt \(AOB\) z zaznaczonym kątem \(\alpha\) jest równoboczny, czyli każdy kąt tego trójkąta ma miarę \(60°\). Skąd to wiemy? Widzimy wyraźnie, że każdy bok tego trójkąta ma jednakową długość promienia i właśnie ta obserwacja pozwala nam błyskawicznie wyznaczyć, że \(\alpha=60°\). Teoretycznie moglibyśmy już zakończyć rozwiązywanie tego zadania (bo pasuje już tylko jedna odpowiedź), ale spróbujmy jeszcze samodzielnie obliczyć pozostałe miary kątów.

Krok 3. Obliczenie miar kątów \(\beta\) oraz \(\gamma\).
Skoro kąt \(ACB\) ma miarę \(90°\), a kąt \(ACO\) ma miarę \(60°\), to kąt \(\gamma\) będzie mieć miarę:
$$\gamma=90°-60°=30°$$

Trójkąt \(OBC\) jest równoramienny (ramiona \(OB\) oraz \(OC\) mają długość równą promieniowi okręgu), a skoro tak, to kąty przy boku \(BC\) muszą mieć jednakową miarę. W związku z tym możemy stwierdzić, że \(\beta=30°\).

D

Krok 1. Obliczenie sumy długości podstaw trapezu.
Korzystając ze wzoru na pole trapezu możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
45=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot5 \\
9=\frac{1}{2}\cdot(a+b) \\
a+b=18$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka łączącego środki ramion.
Mamy trapez równoramienny, więc odcinek łączący środki ramion będzie równy połowie sumy podstaw:
$$x=\frac{18}{2} \\
x=9$$

B

Powinniśmy dostrzec, że trójkąty \(ABM\) oraz \(KLM\) są względem siebie podobne (wynika to z cechy kąt-kąt-kąt). Skoro tak, to stosunek odcinka \(AM\) względem \(AB\) musi być taki sam jak stosunek odcinka \(KM\) względem \(KL\). Jeżeli oznaczymy odcinek \(AM\) jako \(x\), to otrzymamy:
$$\frac{x}{4}=\frac{x+3}{9}$$

Mnożąc teraz na krzyż, wyjdzie nam, że:
$$9x=4\cdot(x+3) \\
9x=4x+12 \\
5x=12 \\
x=2,4$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(cosα\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\) w związku z tym podstawiając wartość sinusa otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{3}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{9}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{16}{25} \\
cosα=\sqrt{\frac{16}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{16}{25}} \\
cosα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{4}{5}$$

Wartość ujemną cosinusa odrzucamy, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(cosα=\frac{4}{5}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Znamy wartość sinusa oraz cosinusa, zatem możemy bez problemu obliczyć tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \\
tgα=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \\
tgα=\frac{3}{5}:\frac{4}{5} \\
tgα=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4} \\
tgα=\frac{3}{4}$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia.
Na koniec musimy podstawić obliczone wartości do wyrażenia z treści zadania, otrzymując:
$$\left(\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2\right)\cdot\frac{4}{5}= \\
=\left(\frac{3}{4}-\frac{9}{16}\right)\cdot\frac{4}{5}= \\
=\left(\frac{12}{16}-\frac{9}{16}\right)\cdot\frac{4}{5}= \\
=\frac{3}{16}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3}{20}$$

D

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Z treści zadania wynika, że punkty \(A\) oraz \(C\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu, a to oznacza, że odcinek \(AC\) jest przekątną tej figury. Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(-2-3)^2+(3-(-2))^2} \\
|AC|=\sqrt{(-5)^2+5^2} \\
|AC|=\sqrt{25+25} \\
|AC|=\sqrt{25\cdot2} \\
|AC|=5\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro więc nasza przekątna ma długość \(5\sqrt{2}\), to:
$$a\sqrt{2}=5\sqrt{2} \\
a=5$$

Krok 3. Obliczenie obwodu kwadratu.
Na koniec została już tylko formalność, czyli obliczenie obwodu kwadratu:
$$Obw=4a \\
Obw=4\cdot5 \\
Obw=20$$

A

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian ma \(12\) krawędzi. Skoro suma ich długości wynosi \(72\), to każda krawędź ma:
$$12a=72 \\
a=6$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=a^3 \\
V=6^3 \\
V=216$$

B

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Jeżeli pierwszą krawędź oznaczymy sobie jako \(a\), to druga zgodnie z treścią zadania będzie dwa razy większa, czyli \(b=2a\), a kolejna będzie jeszcze dwa razy większa, czyli \(c=4a\).

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Objętość naszej bryły jest równa \(216\), zatem korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=a\cdot b\cdot c \\
216=a\cdot2a\cdot4a \\
216=8a^3 \\
a^3=27 \\
a=3$$

Skoro \(a=3\), to zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami \(b=2\cdot3=6\) oraz \(c=4\cdot3=12\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc \\
P_{c}=2\cdot3\cdot6+2\cdot3\cdot12+2\cdot6\cdot12 \\
P_{c}=36+72+144 \\
P_{c}=252$$

C

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Z tabelki trygonometrycznej musimy odczytać jaką miarę przyjmuje kąt dla sinusa równego \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Spoglądając do tak zwanej małej tabelki widzimy, że będzie to miara \(45°\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nasz graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Zwróć uwagę, że powstał nam trójkąt równoramienny, w którym wysokość \(H\) będzie miała taką samą długość jak przekątna podstawy \(b\). Z własności kwadratów wiemy, że \(b=a\sqrt{2}\), zatem \(H=a\sqrt{2}\). Dodatkowo przekątna graniastosłupa \(d\) będzie \(\sqrt{2}\) razy większa od przekątnej podstawy \(b\), czyli \(d=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a\).

Krok 3. Zapisanie objętości graniastosłupa.
Wzór na objętość graniastosłupa to w tym przypadku:
$$V=a^2\cdot H \\
V=a^2\cdot a\sqrt{2} \\
V=a^3\cdot\sqrt{2}$$

Chcąc dopasować się do odpowiedzi, musimy jeszcze nasz wynik przekształcić. Wiedząc, że \(d=2a\), czyli że \(a=\frac{1}{2}\), otrzymamy:
$$V=\left(\frac{1}{2}d\right)^3\cdot\sqrt{2} \\
V=\frac{1}{8}d^3\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}d^3$$

B

Aby wyznaczyć medianę, musimy najpierw dowiedzieć się ile ocen zdobył nasz uczeń. Sumując wyniki z diagramu otrzymamy informację, że tych ocen jest:
$$2+6+5+2+1=16$$

Jest to parzysty wynik, zatem mediana będzie równa średniej arytmetycznej wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku będzie to średnia arytmetyczna ósmej i dziewiątej oceny.

Podczas wyznaczania mediany musimy uporządkować wszystkie liczby w ciągu niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Nie musimy jednak wypisywać wszystkich ocen po kolei. Widzimy, że skoro uczeń ma dwie dwójki i sześć trójek, ósmą oceną w tym ciągu jest właśnie trójka, a dziewiątą będzie już czwórka. W związku z tym mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2} \\
m=\frac{7}{2} \\
m=3,5$$

A

Nasz zestaw składa się z \(10\) liczb. Mediana jest w takim razie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów, czyli piątego i szóstego. Na pierwszy rzut oka widać, że zestaw liczb jest uporządkowany od najmniejszego do największego, aczkolwiek musimy być ostrożni, bo nie wiemy przecież jaka jest wartość \(x\) (równie dobrze \(x\) może być najmniejszą lub największą liczbą w tym zestawie). Nie mniej jednak widzimy, że gdyby \(x\) przybierał wartość np. równą \(12\), to mediana

Mamy uporządkowany (od najmniejszej do największej) zestaw \(10\) liczb. Piątym wyrazem jest \(x\), szóstym jest \(4\), a mediana ma być równa \(3,5\), zatem:
$$\frac{x+4}{2}=3,5 \\
x+4=7 \\
x=3$$

To oznacza, że średnia arytmetyczna tego zestawu jest równa:
$$śr=\frac{1+1+2+2+3+4+6+7+9+11}{10} \\
śr=\frac{46}{10} \\
śr=4,6$$

B

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników. Rzucamy niezależnie dwoma kostkami, zatem liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Każdą parę wyników zapisujemy jako liczbę dwucyfrową, czyli przykładowo rzut \((1;4)\) oznacza liczbę \(14\). Musimy teraz ustalić, ile otrzymamy wyników podzielnych przez \(4\). Nie ma tutaj prostej metody na wyliczenie tych zdarzeń sprzyjających, musimy je po prostu wypisać. Nie będzie to trudne i najlepiej jest to robić dziesiątkami:
$$12, 16 \\
24 \\
32, 36 \\
44 \\
52, 56 \\
64$$

To oznacza, że \(9\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=9\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$

A

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a na każdej monecie jeden z dwóch wyników. Zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich kombinacji będzie więc równa \(|Ω|=6\cdot6\cdot2\cdot2=144\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy otrzymać jednakowe wyniki na kostkach i dwa orły, zatem interesującymi nas kombinacjami będą
$$(O,O,1,1); (O,O,2,2); (O,O,3,3) \\
(O,O,4,4); (O,O,5,5); (O,O,6,6)$$

Warunki zadania spełnia \(6\) przypadków, stąd też możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{144}=\frac{1}{24}$$

\(x\in\langle\frac{2-\sqrt{6}}{2};\frac{2+\sqrt{6}}{2}\rangle\)

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Rozwiązywanie zadania musimy zacząć od przekształcenia zapisu nierówności. Po pierwsze, musimy przenieść \(\frac{3}{2}\) na lewą stronę (tak aby po prawej stronie zostało \(0\)). Po drugie, musimy wykonać potęgowanie zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x-1)^2\le\frac{3}{2} \\
(x-1)^2-\frac{3}{2}\le0 \\
x^2-2x+1-\frac{3}{2}\le0 \\
x^2-2x-\frac{1}{2}\le0 \quad\bigg/\cdot2 \\
2x^2-4x-1\le0$$

Mnożenie obydwu stron przez \(2\) nie jest konieczne (na koniec uzyskamy te same wyniki), ale dzięki temu nie będziemy mieć już ułamków w dalszej części obliczeń.

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-4,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-1)=16-(-8)=24 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2\sqrt{6}}{2\cdot2}=\frac{4-2\sqrt{6}}{4}=\frac{2-\sqrt{6}}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2\sqrt{6}}{2\cdot2}=\frac{4+2\sqrt{6}}{4}=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Otrzymane miejsca zerowe zaznaczamy na osi liczbowej i przystępujemy do rysowania paraboli. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zera. Patrzymy się zatem co znajduje się pod osią lub na osi i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie przedział \(x\in\langle\frac{2-\sqrt{6}}{2};\frac{2+\sqrt{6}}{2}\rangle\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wykazano wyłączając odpowiednie liczby przed nawias.

Aby udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez \(5\), musimy cały zapis do postaci w której będziemy mieć \(5\) pomnożone przez jakąś liczbę całkowitą. W tym celu trzeba przekształcić zapis wyłączając wspólne czynniki przed nawias np. w taki oto sposób:
$$4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}= \\
=4^{n}\cdot(4^1+1)-3^{n}\cdot(3^2+1)= \\
=4^{n}\cdot5-3^{n}\cdot10= \\
=5\cdot(4^{n}-3^{n}\cdot2)$$

Wiedząc, że \(n\) jest liczbą naturalną możemy być pewni, że zapis \(4^{n}-3^{n}\cdot2\) jest liczbą całkowitą. To oznacza, że podana liczba dzieli się przez \(5\), a wynikiem tego dzielenia będzie to, co znalazło się w nawiasie, czyli \(4^{n}-3^{n}\cdot2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiednio czynniki przed nawias.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(a_{1}=2\)

W tym zadaniu musimy skorzystać wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\). Podstawiając do tego wzoru \(n=6\), otrzymamy:
$$S_{6}=\frac{a_{1}+a_{6}}{2}\cdot6 \\
72=\frac{a_{1}+22}{2}\cdot6 \\
12=\frac{a_{1}+22}{2} \\
24=a_{1}+22 \\
a_{1}=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające ze wzoru na sumę sześciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(30°, 30°, 150°, 150°\)

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin\alpha\).
W tym zadaniu pomoże nam wzór na pole równoległoboku z sinusem, czyli:
$$P=a\cdot b\cdot sin\alpha$$

Podstawiając do niego dane z treści zadania, otrzymamy:
$$30=5\cdot12\cdot sin\alpha \\
30=60\cdot sin\alpha \\
sin\alpha=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Wyznaczenie miar kątów równoległoboku.
Z tablic trygonometrycznych (możemy skorzystać nawet z tak zwanej małej tabelki) odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta o mierze \(30°\).

Suma kątów przy jednym ramieniu równoległoboku jest zawsze równa \(180°\). Skoro więc ostry kąt tej figury ma miarę \(30°\), to rozwarty kąt będzie mieć miarę:
$$180°-30°=150°$$


To oznacza, że nasz równoległobok ma kąty o mierze \(30°, 30°, 150°, 150°\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz wzór na pole powierzchni równoległoboku z sinusem (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy obliczysz wartość sinusa kąta ostrego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|BD|=10\)

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znamy współrzędne wierzchołków punktów \(A\) oraz \(B\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(5-(-7))^2+(-3-2)^2} \\
|AB|=\sqrt{12^2+(-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{144+25} \\
|AB|=\sqrt{169} \\
|AB|=13$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości i w dodatku pod kątem prostym. Będziemy więc zatem taką oto sytuację:


Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).
Na rysunku pomocniczym powstał nam trójkąt prostokątny, zatem z pomocą przyjdzie nam Twierdzenie Pitagorasa:
$$|AS|^2+|BS|^2=|AB|^2 \\
12^2+|BS|^2=13^2 \\
144+|BS|^2=169 \\
|BS|^2=25 \\
|BS|=5 \quad\lor\quad |BS|=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BS|=5\), co oznacza, że poszukiwany odcinek \(BD\) ma długość dwa razy większą, czyli \(|BD|=2\cdot5=10\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=105\) oraz \(P_{c}=142\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Trzy kolejne liczby nieparzyste możemy zapisać jako:
I krawędź: \(2n+1\)
II krawędź: \(2n+3\)
III krawędź: \(2n+5\)

W prostopadłościanie każda z krawędzi występuje czterokrotnie, a skoro suma długości tych krawędzi jest równa \(60\), to:
$$4\cdot(2n+1+2n+3+2n+5)=60 \\
4\cdot(6n+9)=60 \\
24n+36=60 \\
24n=24 \\
n=1$$

Otrzymany wynik posłuży nam teraz do wyznaczenia konkretnych długości krawędzi prostopadłościanu. Podstawiając \(n=1\) do zapisanych wcześniej wyrażeń, otrzymamy:
To oznacza, że:
I krawędź: \(2\cdot1+1=2+1=3\)
II krawędź: \(2\cdot1+3=2+3=5\)
III krawędź: \(2\cdot1+5=2+5=7\)

Krok 2. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając długości krawędzi możemy bez problemu obliczyć objętość tej bryły:
$$V=abc \\
V=3\cdot5\cdot7 \\
V=105$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, zatem korzystając ze wzoru na to pole możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc) \\
P_{c}=2\cdot(3\cdot5+3\cdot7+5\cdot7) \\
P_{c}=2\cdot(15+21+35) \\
P_{c}=2\cdot71 \\
P_{c}=142$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz długości krawędzi prostopadłościanu w postaci wyrażeń z jedną niewiadomą (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długości krawędzi prostopadłościanu.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(q=-12\frac{1}{4}\)

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znamy dwa miejsca zerowe, więc możemy przystąpić do zapisania funkcji w postaci iloczynowej. Dla przypomnienia, postać iloczynowa wygląda następująco:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$

Podstawiając teraz podane miejsca zerowe otrzymamy:
$$y=a\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1) \\
8=a\cdot\left(-3+2\frac{1}{2}\right)(-3-1) \\
8=a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4) \\
8=2a \\
a=4$$

To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem:
$$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1)$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej.
Chcemy teraz zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej (umożliwi nam to potem poznanie najmniejszej wartości funkcji). W tym celu musimy wymnożyć przez siebie nawiasy i uporządkować zapis:
$$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1) \\
y=(4x+10)(x-1) \\
y=4x^2-4x+10x-10 \\
y=4x^2+6x-10$$

Krok 3. Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\).
Wykres naszej funkcji jest parabolą, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a=4\)). Skoro tak, to swoją najmniejszą wartość ta funkcja będzie przyjmować w wierzchołku:


Nas interesuje poznanie najmniejszej wartości, czyli szukamy wartości współrzędnej \(q\). Korzystając zatem ze wzoru na tą współrzędną możemy zapisać, że:
$$q=-\frac{\Delta}{4a} \\
q=-\frac{(b^2-4ac)}{4a} \\
q=-\frac{(6^2-4\cdot4\cdot(-10))}{4\cdot4} \\
q=-\frac{(36+160)}{16} \\
q=-\frac{196}{16} \\
q=-12\frac{1}{4}$$

Tak na marginesie, można też byłoby obliczyć wartość współrzędnej \(p\) (ją się wylicza nieco szybciej), a następnie można byłoby sprawdzić jaką wartość przyjmuje funkcja dla tego argumentu. Współrzędną \(p\) obliczylibyśmy w następujący sposób:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-6}{2\cdot4} \\
p=\frac{-6}{8} \\
p=-\frac{3}{4}$$

I teraz podstawiając wartość \(x=-\frac{3}{4}\) do wzoru \(y=4x^2+6x-10\), otrzymalibyśmy:
$$q=4\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)^2+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10 \\
q=4\cdot\frac{9}{16}+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10 \\
q=\frac{9}{4}+\left(-\frac{18}{4}\right)-10 \\
q=-\frac{9}{4}-10 \\
q=-12\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci iloczynowej bez współczynnika \(a\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz wartości współczynnika \(a\) (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci ogólnej (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.