Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2016 – Odpowiedzi

D

Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona

W naszym przypadku:
\(δ=4\%=0,04\)
\(p=60\)

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Podstawiając powyższe dane do wzoru na błąd bezwzględny otrzymamy:
$$δ=\frac{|x-p|}{x} \\
0,04=\frac{|x-60|}{x} \\
0,04x=|x-60|$$

Otrzymaliśmy równanie z wartością bezwzględną. Musimy więc ustalić, czy wartość w nawiasie bezwzględności jest dodatnia, czy też ujemna (od tego zależy jak będzie wyglądać opuszczenie nawiasów bezwzględności). W treści zadania mamy informację, że liczba \(60\) jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli liczba \(x\) jest większa od \(60\). To oznacza, że wartość \(x-60\) jest na pewno dodatnia. Możemy więc bez problemu opuścić nawiasy bezwzględności nie zmieniając żadnej wartości. Otrzymamy więc:
$$0,04x=x-60 \\
-0,96x=-60 \\
x=62,5$$

C

Krok 1. Podstawienie liczb do wyrażenia.
Podstawiając wskazane liczby do naszego wyrażenia otrzymamy:
$$\frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{2-\sqrt{2}})^2} \\
\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$$

Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Teraz musimy usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. Wymnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{2}\) nic nam nie da. Aby usunąć niewymierność musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(2+\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}\cdot(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})\cdot(2+\sqrt{2})}= \\
=\frac{4\sqrt{2}+4}{4-2}=\frac{4\sqrt{2}+4}{2}=2\sqrt{2}+2=2(\sqrt{2}+1)$$

C

Jeżeli przyjmiemy, że \(x\) to początkowa cena towaru, to:
\(1,2x\) - cena towaru po podwyżce o \(20\%\)
\(0,9x\) - cena towaru jaką chcemy otrzymać
\(1,2x-0,9x=0,3x\) - o tyle musimy dokonać obniżki

Z powyższej analizy wyszło nam, że cenę \(1,2x\) musimy obniżyć o \(0,3x\), zatem obniżka ta będzie równa:
$$\frac{0,3x}{1,2x}=\frac{1}{4}=25\%$$

D

Krok 1. Wyznaczenie wartości poszczególnych wyrazów ciągu.
Z podanego w treści zadania wyrażenia wynika, że musimy poznać wartość \(a_{3}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{1}\). Wyznaczmy zatem każdą z tych wartości:
$$a_{3}=log(3+1)=log4 \\
a_{7}=log(7+1)=log8 \\
a_{1}=log(1+1)=log2$$

Tu warto sobie przy okazji powiedzieć, że jeżeli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie ta podstawa jest równa \(10\). Czyli przykładowo \(log4=log_{10}4\).

Krok 2. Obliczenie wartości liczby.
Możemy teraz podstawić wskazane logarytmy do całego wyrażenia i przystąpić do obliczenia wartości naszej liczby. Trzeba będzie się tutaj wykazać umiejętnościami działań na logarytmach, a całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{3\cdot log4-log8}{log2}=\frac{log4^3-log8}{log2}=\frac{log64-log8}{log2}= \\
=\frac{log\frac{64}{8}}{log2}=\frac{log8}{log2}=\frac{log2^3}{log2}=\frac{3\cdot log2}{log2}=3$$

C

Iloraz to dzielenie, zatem musimy wykonać następujące działanie:
$$\frac{8^{10}-4^{14}}{6\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[6]{4}}=\frac{(2^3)^{10}-(2^2)^{14}}{6\cdot4^{\frac{1}{3}}\cdot4^{\frac{1}{6}}}= \\
=\frac{2^{30}-2^{28}}{6\cdot4^{\frac{2}{6}}\cdot4^{\frac{1}{6}}}=\frac{2^{30}-2^{28}}{6\cdot4^{\frac{3}{6}}}=\frac{2^{30}-2^{28}}{6\cdot(2^2)^{\frac{1}{2}}}= \\
=\frac{2^{30}-2^{28}}{6\cdot2^1}=\frac{2^{26}\cdot2^{4}-2^{26}\cdot2^{2}}{6\cdot2}= \\
=\frac{2^{26}\cdot(2^{4}-2^{2})}{6\cdot2}=\frac{2^{26}\cdot(16-4)}{12}=\frac{2^{26}\cdot12}{12}=2^{26}$$

D

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+2\neq0 \\
x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mnożąc obydwie strony tego równania przez \(x+2\) otrzymamy:
$$\frac{8-2x^2}{x+2}=x+2 \quad\bigg/\cdot(x+2) \\
8-2x^2=(x+2)\cdot(x+2) \\
8-2x^2=x^2+4x+4 \\
-3x^2-4x+4=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy obliczyć deltę:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-3)\cdot4=16-(-48)=16+48=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-8}{2\cdot(-3)}=\frac{4-8}{-6}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+8}{2\cdot(-3)}=\frac{4+8}{-6}=\frac{12}{-6}=-2$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To jeszcze nie jest koniec zadania. Musimy zweryfikować nasze wyniki. W założeniach zapisaliśmy sobie, że \(x\) nie może być równy \(-2\), a to oznacza, że rozwiązanie \(x=-2\) musimy wykluczyć. To oznacza, że nasze równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(\frac{2}{3}\).

A

Krok 1. Podstawienie do nierówności wartości \(x=4\).
Wiemy, że liczba \(4\) ma spełniać nierówność, zatem podstawiając \(x=4\) otrzymamy:
$$a^{2}\cdot4-16\lt0 \\
4a^2-16\lt0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową z niewiadomą \(a\), zatem musimy ją teraz rozwiązać. Rozwiązywanie nierówności kwadratowej zaczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli od przyrównania wartości \(4a^2-16\) do zera, otrzymując równanie kwadratowe:
$$4a^2-16=0 \\
4a^2=16 \\
a^2=4 \\
a=2 \quad\lor\quad a=-2$$

Znając miejsca zerowe możemy przystąpić do szkicowania wykresu paraboli, pamiętając że jej ramiona będą skierowane do góry, bo przed \(a^2\) mamy dodatnią wartość:


Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem nierówności (a tym samym całego zadania) będzie przedział \(a\in(-2,2)\).

C

W tym zadaniu zbyt wiele nie policzymy, musimy tylko przeanalizować całą sytuację. Zobaczmy jak ta funkcja zachowuje się dla kilku przykładowych \(n\):
Gdy \(n=4\), to musimy obliczyć NWD liczb \(4\) oraz \(14\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(2\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=2\).
Gdy \(n=10\), to musimy obliczyć NWD liczb \(10\) oraz \(20\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).
Gdy \(n=20\), to musimy obliczyć NWD liczb \(20\) oraz \(30\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).
Gdy \(n=30\), to musimy obliczyć NWD liczb \(30\) oraz \(40\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).

Jakbyśmy do tego zadania nie podchodzili, to nie uda nam się otrzymać NWD większego od \(10\).

Gdyby jednak to zadanie było zadaniem dowodowym, to jak matematycznie udowodnić, że na pewno nie otrzymamy nigdzie \(NWD=20\)? Załóżmy, że nasza pierwsza liczba dzieli się przez \(20\) (tylko wtedy byłaby szansa, że NWD jest równe \(20\)), czyli że \(n=20\cdot k\), gdzie \(k\) jest dodatnią liczbą całkowitą. W takiej sytuacji druga liczba będzie równa \(20k+10\). Jeżeli teraz w drugiej liczbie wyłączymy przed nawias wartość \(20\), to otrzymamy \(20\cdot(k+\frac{1}{2})\). Skoro \(k\) było dodatnią liczbą całkowitą, to przez ułamek \(\frac{1}{2}\) wartość w nawiasie wyszła nam niecałkowita. To oznacza, że jeżeli pierwsza liczba jest podzielna przez \(20\), to druga (ta większa od \(10\)) nie będzie podzielna przez \(20\), bo zawsze dzieląc ją przez \(20\) otrzymamy wynik z "połówką". Np.:
Jeżeli \(n=20\), to mamy liczby \(20\) oraz \(30\). Dzieląc obydwie liczby przez \(20\) otrzymamy \(20:20=1\) oraz \(30:20=1,5\).
Jeżeli \(n=200\), to mamy liczby \(200\) oraz \(210\). Dzieląc obydwie liczby przez \(20\) otrzymamy \(200:20=10\) oraz \(210:20=10,5\).

A

Do zadania można podejść na wiele sposobów, możemy nawet podstawiać poszczególne wartości współczynnika \(b\) i sprawdzać kiedy nierówność \(-2x+b\gt0\) da rozwiązanie \(x\lt2\) (w nierówności mamy dajemy \(\gt0\), bo mają to być wartości dodatnie). Przykładowo dla \(b=4\) z pierwszej odpowiedzi otrzymalibyśmy:
$$-2x+4\gt0 \\
-2x\gt-4 \\
x\lt2$$

Otrzymaliśmy rozwiązanie \(x\lt2\), zatem już wiemy że poszukiwaną wartością było \(b=4\).

Można też do tego zadania podejść bardziej analitycznie. Skoro funkcja liniowa przyjmuje wartości dodatnie dla \(x\lt2\), to dla \(x=2\) musi przyjmować wartość równą \(0\), zatem:
$$-2\cdot2+b=0 \\
-4+b=0 \\
b=4$$

B

Wzór funkcji przesuniętej o cztery jednostki w prawo stworzymy pomniejszając wartość iksa o \(4\). Nasza prosta będzie więc opisana równaniem:
$$y=\frac{1}{2}\cdot(x-4)+1 \\
y=\frac{1}{2}x-2+1 \\
y=\frac{1}{2}x-1$$

A

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka funkcji \(f(x)\).
Funkcję \(f(x)\) mamy zapisaną w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\) z której bardzo szybko możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Patrząc się na wzór funkcji możemy stwierdzić, że \(p=-1\) oraz \(q=5\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
To zadanie będzie najprościej rozwiązać tworząc sobie prosty rysunek pomocniczy na którym zaznaczymy funkcję \(f(x)\) oraz \(g(x)\). O funkcji \(f(x)\) wiemy już, że ma swój wierzchołek w punkcie \(W=(-1;5)\), wiemy też że będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-1\), czyli jest mniejszy od zera), zatem całość będzie wyglądać następująco:


Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Osią symetrii funkcji \(f(x)\) była prosta \(x=-1\) przechodząca przez wierzchołek tej paraboli. Przekształcając tę funkcję względem osi igreków otrzymaliśmy funkcję \(g(x)\), która swój wierzchołek ma w punkcie \(W=(1;5)\), zatem tutaj osią symetrii będzie prosta \(x=1\).

A

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie równań.
Na wstępie możemy od razu odrzucić dwie ostatnie odpowiedzi, bo nawet na logikę nie jest możliwe to, by jadąc z mniejszą prędkością, pokonać szybciej tą samą trasę.

Ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\) wynika, że \(s=v\cdot t\). W obydwu przypadkach pokonana trasa jest niezmienna, zmienne za to będą prędkość \(v\) oraz czas \(t\). Jeżeli skrócimy czas podróży o \(20\%\), to czas jazdy wyniesie \(0,8t\). W związku z tym możemy nawet sobie rozpisać, że:
Standardowa podróż: \(s=v\cdot t\)
Podróż o \(20\%\) krótsza: \(s=v_{nowa}\cdot0,8t\)

Skoro w jednym i drugim przypadku pokonana trasa jest jednakowa, to możemy zapisać, że:
$$v\cdot t=v_{nowa}\cdot0,8t \quad\bigg/:t \\
v=0,8v_{nowa} \quad\bigg/:0,8 \\
v_{nowa}=\frac{v}{0,8}$$

I tu chyba najtrudniejsza część zadania, bowiem jak teraz dowiedzieć się z tego zapisu o ile procent trzeba zwiększyć poszukiwaną prędkość? Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, zatem możemy zastąpić \(\frac{v}{0,8}\) dzieleniem \(v:\frac{4}{5}\). Teraz pamiętając o tym, że dzielenie to jest mnożenie przez odwrotność, możemy zapisać że:
$$v_{nowa}=v:\frac{4}{5} \\
v_{nowa}=v\cdot\frac{5}{4} \\
v_{nowa}=1,25v \\
v_{nowa}=125\%v$$

Skoro nowa prędkość stanowi \(125\%\) prędkości starej, to znaczy, że musimy zwiększyć prędkość o \(25\%\).

C

Krok 1. Potraktowanie ciągu jako funkcji.
Potraktujmy nasz ciąg jak funkcję, która jest określona jedynie dla argumentów będących liczbami naturalnymi. Funkcja swoją najmniejszą lub największą wartość przyjmuje w wierzchołku \(W=(p;q)\). To oznacza, że tak naprawdę interesować nas będzie poznanie współrzędnych wierzchołka paraboli, ale z zastrzeżeniem, że współrzędna \(p\) musi być liczbą naturalną.


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\).
Współrzędną \(p\) obliczymy ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Ze wzoru ciągu możemy odczytać, że \(b=-24\) oraz \(a=\frac{3}{4}\). W związku z tym:
$$p=\frac{-(-24)}{2\cdot\frac{3}{4}} \\
p=\frac{24}{\frac{3}{2}} \\
p=24:\frac{3}{2} \\
p=24\cdot\frac{2}{3} \\
p=16$$

Współrzędna \(p\) jest liczbą naturalną i to jest bardzo dobra wiadomość, bo za chwilę będziemy mogli podstawić tę liczbę do wzoru naszego ciągu. Gdyby się okazało, że \(p\) jest równe np. \(16\frac{1}{5}\), to w kolejnym kroku musielibyśmy sprawdzić wartość funkcji dla argumentów \(n=16\) oraz \(n=17\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(q\).
Współrzędną \(q\) moglibyśmy wyznaczyć ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale skoro znamy wartość współrzędnej \(p=16\) to możemy po prostu podstawić do wzoru wartość \(n=16\) i w ten sposób obliczymy wartość przyjmowaną w tym wierzchołku, czyli wartość współrzędnej \(q\). Zatem:
$$q=\frac{3}{4}\cdot16^2-24\cdot16+90 \\
q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90 \\
q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90 \\
q=192-384+90 \\
q=-102$$

To oznacza, że najmniejszą wartością przyjmowaną przez ten ciąg jest wartość \(16\)-stego wyrazu i jest ona równa \(-102\).

D

Krok 1. Zapisanie równania wynikającego z własności ciągów arytmetycznych.
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że dla trzech następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$\sqrt{3}tgα=\frac{2sin^2α+2cos^2α}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Jeżeli teraz w liczniku wyłączymy przed nawias dwójkę i skorzystamy z jedynki trygonometrycznej \(sin^2α+cos^2α=1\) to otrzymamy:
$$\sqrt{3}tgα=\frac{2\cdot(sin^2α+cos^2α)}{2} \\
\sqrt{3}tgα=\frac{2\cdot1}{2} \\
\sqrt{3}tgα=\frac{2}{2} \\
\sqrt{3}tgα=1 \\
tgα=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Jak spojrzymy na "małą tabelkę trygonometryczną" to takiej wartości jak \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) nie znajdziemy. Wszystko dlatego, że mamy niewymierność w mianowniku, którą musimy usunąć. Moglibyśmy też wybrnąć z tej sytuacji w taki sposób, że obliczylibyśmy przybliżoną wartość \(\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,5774\) i wtedy z dużych tablic odczytalibyśmy, że interesujący nas kąt ma miarę \(30°\).

Aby usunąć niewymierność z mianownika musimy licznik i mianownik pomnożyć przez \(\sqrt{3}\), otrzymując:
$$tgα=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
tgα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Teraz z małej tabelki trygonometrycznej możemy odczytać, że \(α=30°\).

B

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Do obliczenia sinusa będziemy potrzebowali znać długość przeciwprostokątnej, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$3^2+(\sqrt{7})^2=c^2 \\
9+7=c^2 \\
c^2=16 \\
c=4 \quad\lor\quad c=-4$$

Długość przeciwprostokątnej nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(c=4\).

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa.
Sinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) do długości przeciwprostokątnej, czyli:
$$sinα=\frac{3}{4}$$

Krok 3. Obliczenie wartości wskazanej liczby.
Naszym zadaniem jest teraz obliczenie wartości liczby \(4^{sinα}\), czyli \(4^{\frac{3}{4}}\). Korzystając z własności potęg i pierwiastków możemy zapisać, że:
$$4^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{4^3}=\sqrt[4]{64}=\sqrt[4]{16\cdot4}=2\sqrt[4]{4}=2\sqrt[4]{2^2}=2\sqrt{2}$$

D

Krok 1. Wyznaczenie punktu przez które przechodzi lewe ramię kąta.
Z tablic matematycznych możemy odczytać, że jeżeli mamy taką sytuację jak na powyższym rysunku, czyli kiedy jedno ramię kąta pokrywa się z osią iksów, wierzchołek kąta znajduje się w miejscu przecięcia się osi układu współrzędnych, a drugie ramię przechodzi przez punkt \(M=(x;y)\), to:
$$cosα=\frac{x}{r}$$

gdzie \(r\) to odległość od punktu \(M\) do początku układu współrzędnych, którą możemy policzyć ze wzoru \(r=\sqrt{x^2+y^2}\).

Wyznaczmy zatem najpierw współrzędne jakiegoś punktu, który znajduje się na lewym ramieniu naszego kąta. Skoro lewe ramię możemy opisać równaniem \(y=-2x\), to podstawiając np. \(x=-1\) otrzymamy:
$$y=-2\cdot(-1) \\
y=2$$

To oznacza, że nasze ramię przechodzi przez punkt \(M=(-1;2)\). Tak na marginesie, to w przypadku takiego zadania zamkniętego moglibyśmy ten punkt odczytać wprost z rysunku.

Krok 2. Obliczenie długości \(r\).
W naszym przypadku ramię przechodzi przez punkt \(M=(-1;2)\), czyli \(x=-1\) oraz \(y=2\). Korzystając z podanego powyżej wzoru możemy zapisać, że:
$$r=\sqrt{x^2+y^2} \\
r=\sqrt{(-1)^2+2^2} \\
r=\sqrt{1+4} \\
r=\sqrt{5}$$

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{x}{r} \\
cosα=\frac{-1}{\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{-1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{-\sqrt{5}}{5}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$$

D

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(BSD\).
Spójrzmy na kąty \(BAD\) oraz \(BSD\). Są to kąty oparte na tym samym łuku. Kąt \(BAD\) jest kątem wpisanym i znamy jego miarę, jest ona równa \(45°\). Kąt \(BSD\) jest kątem środkowym, zatem zgodnie z własnościami kątów środkowych i wpisanych (opartych na tym samym łuku) jego miara będzie dwa razy większa, czyli:
$$|\sphericalangle BSD|=2\cdot45° \\
|\sphericalangle BSD|=90°$$

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Spójrzmy na trójkąt \(SBD\). Udowodniliśmy przed chwilą, że jest to trójkąt prostokątny. Jego przyprostokątne są tak naprawdę długościami promienia okręgu, czyli będzie to trójkąt prostokątny równoramienny. Można nawet powiedzieć, że to jest taka połówka kwadratu. Z własności kwadratów oraz trójkątów o kątach \(45°,45°,90°\) (a ten trójkąt właśnie takim będzie) wiemy, że kwadrat o boku \(r\) ma przekątną o długości \(r\sqrt{2}\). My wiemy, że bok \(BD\) ma długość \(4\), zatem:


$$r\sqrt{2}=4 \\
r=\frac{4}{\sqrt{2}} \\
r=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
r=\frac{4\sqrt{2}}{2} \\
r=2\sqrt{2}$$

Wyszło nam więc, że boki \(SB\) oraz \(SD\) mają długość \(2\sqrt{2}\), czyli promienie naszego okręgu mają długość \(r=2\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości dłuższej przekątnej deltoidu.
Dłuższa przekątna deltoidu jest średnicą okręgu. Skoro więc promień ma długość \(r=2\sqrt{2}\), to:
$$|AC|=2r \\
|AC|=2\cdot2\sqrt{2} \\
|AC|=4\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni deltoidu.
Wiemy już, że przekątne deltoidu mają długości \(4\sqrt{2}\) oraz \(4\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}ef \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}\cdot4 \\
P=2\sqrt{2}\cdot4 \\
P=8\sqrt{2}$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie odległości między środkami okręgów.
Obliczmy odległość między środkami okręgów, czyli długość odcinka \(|O_{1}O_{2}|\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:
$$|O_{1}O_{2}|=\sqrt{(6-(-2))^2+(0-4)^2} \\
|O_{1}O_{2}|=\sqrt{(6+2)^2+(0-4)^2} \\
|O_{1}O_{2}|=\sqrt{8^2+4^2} \\
|O_{1}O_{2}|=\sqrt{64+16} \\
|O_{1}O_{2}|=\sqrt{80} \\
|O_{1}O_{2}|=\sqrt{16\cdot5} \\
|O_{1}O_{2}|=4\sqrt{5}$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia drugiego okręgu.
Długość drugiego okręgu jest różnicą między odcinkiem \(|O_{1}O_{2}|\) i długością krótszego okręgu, zatem:
$$r_{2}=|O_{1}O_{2}|-r_{1} \\
r_{2}=4\sqrt{5}-4 \\
r_{2}=4\cdot(\sqrt{5}-1)$$

A

Kątem między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy jest kąt \(DES\). Kąt ten tworzy wysokość ściany bocznej oraz wysokość trójkąta znajdującego się w podstawie (a w tym przypadku będzie to \(\frac{1}{3}\) takiej wysokości).

B

Pole powierzchni bocznej walca wyliczymy ze wzoru:
$$P_{b}=2πrH$$

Pole podstawy wyliczymy ze wzoru:
$$P_{p}=πr^2$$

Skoro w walcu mamy dwie podstawy (dolną i górną), a pole powierzchni bocznej jest \(5\) razy większe od sumy powierzchni tych podstaw to otrzymamy równanie:
$$P_{b}=5\cdot2\cdot P_{p} \\
2πrH=10\cdot πr^2 \quad\bigg/:πr \\
2H=10r \\
H=5r$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek informację, którą przed chwilą otrzymaliśmy i zaznaczmy przy okazji poszukiwany kąt:


Krok 3. Obliczenie miary kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do podstawy.
Tangens odpowiada stosunkowi długości dwóch przyprostokątnych. Jedna przyprostokątna ma długość \(5r\), druga ma długość \(2r\), zatem zgodnie z rysunkiem możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{5r}{2r} \\
tgα=2,5$$

Z tablic możemy odczytać, że tangens przyjmuje wartość około \(2,4751\) dla kąta o mierze \(68°\) oraz wartość około \(2,6051\) dla kąta o mierze \(69°\). Znacznie bliżej jest do tej pierwszej wartości, zatem możemy powiedzieć, że nasz poszukiwany kąt ma w przybliżeniu \(68°\).

C

Rozpatrzmy dwa warianty:
I wariant - najpierw układamy płyty z muzyką taneczną, potem z muzyką poważną.
W tym wariancie najpierw stawiamy pierwszą płytę taneczną (mamy tutaj pięć możliwości, bo jest pięć takich płyt), potem stawiamy drugą płytę taneczną (mamy tym razem cztery możliwości, bo odpada nam płyta która znalazła się na pierwszym miejscu) itd. Jak skończą nam się płyty taneczne to stawiamy płytę z muzyką poważną (mamy tutaj trzy możliwości), potem drugą poważną (mamy już wtedy dwie możliwości) i na koniec ostatnią (mamy już wtedy tylko jedną możliwość).
Zgodnie z regułą mnożenia liczba sposobów w jaki możemy ułożyć płyty wyniesie:
$$5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1$$

II wariant - najpierw układamy płyty z muzyką poważną, a potem z muzyką taneczną.
I tutaj analogicznie jak przed chwilą, tylko w zmienionej kolejności będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia:
$$3\cdot2\cdot1\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$

Widzimy wyraźnie, że liczba sposobów ułożenia płyt w obydwu wariantach jest sobie równa (tak naprawdę w jednym i drugim mnożeniu mamy tylko pozamieniane czynniki). My możemy ułożyć płyty na pierwszy lub drugi sposób, więc tych sposobów będzie po prostu \(2\) razy więcej niż w pierwszym czy drugim wariancie. Z tego też względu wszystkich możliwości będziemy mieć:
$$2\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1$$

D

Odchylenie standardowe możemy obliczyć korzystając np. ze wzoru:
\(\begin{split}σ=\sqrt{\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2}\end{split}\)

Musielibyśmy więc obliczyć średnią arytmetyczną dla każdego ucznia (to jest to właśnie \(\bar{a}\) znajdujące się we wzorze), a następnie musielibyśmy podstawiać do tego wzoru poszczególne oceny. Jest to dość sporo liczenia, ale tak przykładowo dla Ady obliczenia wyglądałyby następująco:
$$\bar{a}=\frac{4+4+4+5+5}{5} \\
\bar{a}=\frac{22}{5} \\
\bar{a}=4,4$$

Odchylenie standardowe wyniosłoby więc:
$$\begin{split}σ=\sqrt{\frac{4^2+4^2+4^2+5^2+5^2}{5}-(4,4^2)}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{16+16+16+25+25}{5}-19,36}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{98}{5}-19,36}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{98}{5}-19,36}\end{split} \\
σ=\sqrt{19,6-19,36} \\
σ=\sqrt{0,24} \\
σ\approx0,49$$

Jednak do tego zadania powinniśmy podejść nieco inaczej. To zadanie tak prawdę mówiąc bardziej sprawdza to, czy rozumiemy czym jest odchylenie standardowe. Powinniśmy zauważyć, że odchylenie standardowe jest tym większe im bardziej poszczególne liczby odstają od średniej. Oceny Ady, Basi i Czarka są niemalże jednolite. Oceny Darka są już bardziej "rozstrzelone", bo Darek ma same skrajne oceny. To sprawia, że każda z ocen będzie mocno odstawać od średniej arytmetycznej i tym samym odchylenie standardowe będzie tutaj bardzo wysokie. To właśnie dlatego bez żadnego liczenia możemy powiedzieć, że odchylenie standardowe ocen Darka będzie zdecydowanie największe.

B

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba kul czarnych
\(x+10\) - liczba kul białych

To z kolei oznacza, że wszystkich kul będziemy mieć:
$$x+x+10=2x+10$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby czarnych kul.
Wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe \(\frac{3}{4}\). Jeżeli więc potraktujemy wylosowanie białej kuli jako zdarzenie sprzyjające \(|A|=x+10\), a liczbę wszystkich kul jako liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=2x+10\), to powstanie nam równanie:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|} \\
\frac{3}{4}=\frac{x+10}{2x+10}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$3\cdot(2x+10)=4\cdot(x+10) \\
6x+30=4x+40 \\
2x=10 \\
x=5$$

To oznacza, że mamy \(5\) kul czarnych.

Krok 3. Obliczenie ilości wszystkich kul.
Skoro kul białych jest \(10\) więcej, to białych kul będziemy mieć \(5+10=15\). Naszym zadaniem jest powiedzenie ile jest wszystkich kul w urnie, a tych będzie łącznie:
$$5+15=20$$

Ewentualnie skoro \(x=5\), a wszystkich kul jest \(2x+10\), to:
$$2\cdot5+10=10+10=20$$

\(x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)\)

Krok 1. Zapisanie nierówności kwadratowej.
Skoro funkcja \(f(x)\) ma przyjmować większe wartości niż funkcja \(g(x)\), to musi zajść następująca nierówność:
$$\frac{1}{2}x^2+2x+2\gt-x+2 \\
\frac{1}{2}x^2+3x\gt0 \quad\bigg/\cdot2 \\
x^2+6x\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam klasyczna nierówność kwadratowa, której rozwiązywanie zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+6x\) jest równe \(0\), zatem:
$$x^2+6x=0 \\
x\cdot(x+6)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-6$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=0\) oraz \(x=-6\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy prawidłowo obliczysz miejsca zerowe wielomianu (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy poprawnie narysujesz wykresy funkcji \(f(x)\) oraz \(g(x)\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(m\in\{-2,0,3\}\)

Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania.
Korzystając z własności postaci iloczynowej możemy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera, otrzymując:
$$x=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \quad\lor\quad x^3+27=0 \quad\lor\quad x+m=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 3x=6 \quad\lor\quad x^3=-27 \quad\lor\quad x=-m \\
x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-m$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Chcemy, by nasze równanie miało trzy różne rozwiązania. Widzimy, że otrzymaliśmy już trzy konkretne wartości \(x=0, x=2, x=-3\), a to oznacza, że całe równanie będzie miało trzy rozwiązania tylko wtedy, gdy równanie \(x=-m\) "zdubluje się" z otrzymanym już wynikiem. Możemy więc zapisać, że równanie ma trzy rozwiązania, gdy (uwaga na znaki!):
$$m=0 \quad\lor\quad m=-2 \quad\lor\quad m=3$$

Możemy nawet zapisać, że \(m\in\{-2,0,3\}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wszystkie rozwiązania równania, łącznie z \(x=-m\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(p_{t}=50000\cdot(0,7)^t\) oraz \(p_{3}=17150\)

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji.
Przeanalizujmy sobie całą sytuację:
Po upływie roku populacja wyniesie: \(p_{1}=50000\cdot0,7\)
Po upływie dwóch lat populacja wyniesie: \(p_{2}=50000\cdot0,7\cdot0,7=50000\cdot(0,7)^2\)
Po upływie trzech lat populacja wyniesie: \(p_{3}=50000\cdot0,7\cdot0,7\cdot0,7=50000\cdot(0,7)^3\)
I tutaj możemy dostrzec już pewną prawidłowość, dzięki której będziemy w stanie zapisać, że po upływie \(t\) lat populacja wyniesie: \(p_{t}=50000\cdot(0,7)^t\)

Krok 2. Obliczenie ilości ryb po trzech latach.
Korzystając z uzyskanego wzoru lub z fragmentu naszej analizy możemy zapisać, że po upływie trzech lat liczba ryb wyniesie:
$$p_{3}=50000\cdot(0,7)^3 \\
p_{3}=50000\cdot0,343 \\
p_{3}=17150$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wzór funkcji (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz ilość ryb po trzech latach (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono rozpisując wyrażenie i korzystając z informacji na temat liczb parzystych oraz nieparzystych.

Krok 1. Zapisanie wyrażenia na podstawie treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy, że \(p\) jest dowolną liczbą pierwszą, to liczbą o dwa od niej mniejszą będzie liczba \(p-2\). W związku z tym skoro interesuje nas różnica kwadratów tych dwóch liczb, to musimy sprawdzić wartość wyrażenia:
$$p^2-(p-2)^2$$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy powyższe wyrażenie rozpisać jako:
$$p^2-(p^2-4p+4)=p^2-p^2+4p-4=4p-4=4\cdot(p-1)$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Skoro liczba \(p\) jest tak zwaną liczbą pierwszą i \(p\gt2\) (bo tak wynika z treści zadania), to na pewno jest to liczba nieparzysta (bo wszystkie liczby pierwsze oprócz dwójki są nieparzyste). Skoro tak, to liczba \(p-1\) (która znalazła się w nawiasie naszego przekształconego wyrażenia) będzie liczbą parzystą. Na matematyce liczby parzyste zapisujemy jako \(2n\), gdzie \(n\) jest liczbą nieparzystą. Nasze wyrażenie moglibyśmy więc zapisać jako:
$$4\cdot2n=8n$$

Otrzymany w ten sposób wynik dowodzi, że ta liczba musi być podzielna przez \(8\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz wyrażenie do postaci \(4\cdot(p-1)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono korzystając z podobieństwa trójkątów.

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(ABS\) oraz \(CDS\). Są to trójkąty podobne i wiemy to na podstawie cechy kąt-kąt-kąt, co wynika wprost z własności kątów naprzemianległych oraz wierzchołkowych.


Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Jeżeli przyjmiemy, że trójkąt \(CDS\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABS\) trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{|AB|}{|CD|}$$

Z treści zadania wynika, że \(|AB|=2|CD|\), zatem:
$$k=\frac{2|CD|}{|CD|} \\
k=2$$

Uwaga: Gdybyśmy przyjęli, że trójkąt \(ABS\) jest podstawowy, a trójkąt \(CDS\) jest podobny, to skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{2}\) i jest to jak najbardziej poprawny tok rozwiązywania zadania. Różnica jest tylko taka, że w dalszych krokach trzeba konsekwentnie odnosić się do wybranej przez siebie figury podobnej.

Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy na rysunku poszukiwaną odległość punktu \(S\) od ramienia \(AD\) i zobaczmy co nam w tym momencie powstanie:


Tutaj kluczową obserwacją jest to, co wynika ze skali podobieństwa \(k=2\). Jeżeli wysokość trójkąta \(CDS\) ma długość \(h\), to wysokość trójkąta \(ABS\) będzie dwukrotnie dłuższa, czyli wyniesie \(2h\). To z kolei prowadzi nas do wniosku, że odcinek \(AD\) ma miarę równą \(h+2h=3h\).

Krok 4. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy teraz na trójkąty \(ABD\) oraz \(PSD\). Te trójkąty są także podobne (wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bowiem odcinek \(PS\) jest równoległy do odcinka \(AB\)). Jeżeli więc odcinek \(PD\) jest trzykrotnie krótszy od odcinka \(AD\), to odcinek \(PS\) będzie także trzykrotnie krótszy od odcinka \(AB\).

Możemy to nawet zapisać matematycznie w formie proporcji. Jeżeli przyjmiemy, że trójkąt \(ABD\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(PSD\) jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{|PD|}{|AD|} \\
k=\frac{h}{3h} \\
k=\frac{1}{3}$$

Z tego też względu każdy odcinek trójkąta podobnego \(PSD\) jest trzykrotnie krótszy od odpowiadającemu mu odcinkowi trójkąta podstawowego \(ABD\), zatem \(|PS|=\frac{1}{3}|AB|\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów \(CDS\) oraz \(ABS\) i wyznaczysz skalę ich podobieństwa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(y=\sqrt{3}x+6\)

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(BC\).
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że proste \(BC\) oraz \(AD\) są względem siebie równoległe. Jeżeli więc wyznaczymy współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BC\) (a nie jest to trudne, bo znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\)), to będziemy bardzo blisko odnalezienia równania prostej przechodzącej przez przekątną \(AD\).

Oczywiście możemy wyznaczyć całe równanie prostej \(BC\) (np. z metody układu równań), ale nam wystarczy poznanie współczynnika \(a\) tej prostej, a dokonamy tego za pomocą prostego wzoru:
$$a=\frac{y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}} \\
a=\frac{3-0}{\sqrt{3}-0} \\
a=\frac{3}{\sqrt{3}} \\
a=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
a=\frac{3\sqrt{3}}{3} \\
a=\sqrt{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AD\).
Wiemy, że prosta \(AD\) jest równoległa do prostej \(BC\), zatem współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej będzie równy \(\sqrt{3}\). Możemy więc powiedzieć, że nasza prosta będzie się wyrażać równaniem \(y=\sqrt{3}x+b\). Musimy jeszcze poznać wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając współrzędne punktu przez które ta prosta przechodzi, czyli punktu \(A=(-2\sqrt{3},0)\):
$$y=\sqrt{3}x+b \\
0=\sqrt{3}\cdot(-2\sqrt{3})+b \\
0=-2\cdot3+b \\
b=6$$

Skoro współczynnik \(b=6\), to nasza prosta \(AD\) wyraża się równaniem \(y=\sqrt{3}x+6\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BC\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(L=3069\)

Krok 1. Dostrzeżenie ciągu geometrycznego.
Patrząc się na opisaną sytuację powinniśmy dostrzec, że długości boków kolejnych kwadratów układają się w ciąg geometryczny w którym \(a_{4}=8\) (bo czwarty kwadrat ma długość boku równą \(8\)) oraz \(q=2\) (bo każdy kolejny kwadrat jest dwukrotnie większy).

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Za chwilę do naszych obliczeń będziemy potrzebować wartości pierwszego wyrazu, zatem już teraz możemy ją wyznaczyć. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego otrzymamy, że:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^3$$

Skoro \(a_{4}=8\) oraz \(q=2\), to:
$$8=a_{1}\cdot 2^3 \\
8=a_{1}\cdot8 \\
a_{1}=1$$

Krok 3. Obliczenie długości poszukiwanej łamanej.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Jest jednak pewne zastrzeżenie, które musimy sobie zrobić i to jest chyba główna pułapka w tym zadaniu. Jak podstawimy sobie do powyższego wzoru \(n=10\) to otrzymamy tak naprawdę informację o tym jaka jest suma długości pojedynczych boków pierwszych dziesięciu kwadratów (czyli tak na chłopski rozum dowiemy się ile to jest \(1+2+4+8+...\)). Tymczasem na naszą łamaną składają się aż trzy boki każdego kwadratu, zatem nas interesowałoby poznanie długości \(1+1+1+2+2+2+4+4+4+8+8+8...\) Z tego też względu długość naszej łamanej (oznaczmy ją sobie jako \(L\)) będzie trzykrotnie dłuższa od obliczonego \(S_{10}\). Całość możemy rozpisać następująco:
$$L=3\cdot S_{10} \\
L=3\cdot a_{1}\cdot\frac{1-q^{10}}{1-q} \\
L=3\cdot1\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \\
L=3\cdot1\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \\
L=3\cdot\frac{1-1024}{-1} \\
L=3\cdot1023 \\
L=3069$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz ciąg geometryczny i obliczysz wartość pierwszego wyrazu tego ciągu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{2}{5}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Skoro kule losowane są bez zwracania i losujemy trzy kule, to za pierwszym razem możemy wyciągnąć jedną z pięciu kul, za drugim razem jedną z czterech kul (bo jedna jest już odrzucona), a za trzecim razem jedną z trzech kul (bo dwie są już odrzucone). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot4\cdot3=60\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których wylosowana liczba jest podzielna przez \(3\). Aby liczba była podzielna przez \(3\) to suma jej cyfr musi być podzielna przez \(3\). Musimy się więc najpierw zastanowić jakie komplety trzech cyfr dadzą nam oczekiwaną sumę. Przy okazji trzeba pamiętać, że liczby nie mogą się powtarzać (bo losowanie jest bez zwracania). W związku z tym pasującymi kompletami będą:
$$\{1,2,3\}, \{1,2,6\}, \{1,2,9\}, \{3,6,9\}$$

Ale to nie koniec. To, że mamy cztery komplety takich cyfr nie kończy obliczania liczby zdarzeń sprzyjających, bo tak przykładowo z kompletu cyfr \(1,2,3\) możemy otrzymać np. \(123, 132, 321\) i inne. Musimy się więc jeszcze zastanowić ile liczb z każdej takiej "trójki" cyfr możemy ułożyć. Z reguły mnożenia wynika, że z każdej takiej trójki ułożymy \(3\cdot2\cdot1=6\) liczb. Skoro mamy cztery takie komplety trójek, to łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających będziemy mieć \(4\cdot6=24\), stąd też możemy napisać, że \(|A|=24\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz cztery komplety "trójek" z których da się ułożyć sprzyjające zdarzenia (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz wypiszesz cztery komplety "trójek" z których da się ułożyć sprzyjające zdarzenia (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz (lub wypiszesz) liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|BS|=\frac{5\sqrt{10}}{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Rozwiązywanie zadania rozpocznijmy od narysowania układu współrzędnych i zaznaczenia na nim danych z treści zadania:


Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Z rysunku wynika, że prosta o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\) przechodzi przez bok \(AC\). Widzimy też, że prosta \(BC\) jest prostopadła do tej prostej, a to pozwoli nam wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BC\). Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma \(a=\frac{1}{3}\), to druga prosta będzie mieć \(a=-3\), bo \(\frac{1}{3}\cdot(-3)=-1\). To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się wzorem \(y=-3x+b\). Do poznania pełnego wzoru musimy jeszcze tylko wyznaczyć współczynnik \(b\) tej prostej.

Współczynnik \(b\) prostej \(BC\) wyznaczymy podstawiając do postaci \(y=-3x+b\) współrzędne jednego z punktów, który do tej prostej należy. Podstawiając zatem współrzędne punktu \(B=(7,-2)\) otrzymamy:
$$y=-3x+b \\
-2=-3\cdot7+b \\
-2=-21+b \\
b=19$$

To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-3x+19\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostej \(AC\) oraz prostej \(BC\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że tworząc układ równań składający się z dwóch prostych otrzymamy miejsce ich przecięcia się. W związku z tym musimy rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases}
y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3} \\
y=-3x+19
\end{cases}$$

Ten układ równań najprościej będzie rozwiązać korzystając z metody podstawiania. Otrzymamy wtedy:
$$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=-3x+19 \\
3\frac{1}{3}x=16\frac{2}{3} \\
\frac{10}{3}x=\frac{50}{3} \\
x=5$$

Znamy już wartość współrzędnej iksowej punktu \(C\), a współrzędną igrekową obliczymy podstawiając \(x=5\) do dowolnego z równań (np. drugiego), zatem:
$$y=-3x+19 \\
y=-3\cdot5+19 \\
y=-15+19 \\
y=4$$

To oznacza, że \(C=(5;4)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).
Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(AC\), zatem korzystając ze wzoru na środek odcinka wyjdzie nam, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-4+5}{2};\frac{1+4}{2}\right) \\
S=\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$$

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(BS\).
Znając współrzędne punktu \(B=(7,-2)\) oraz \(S=\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)\) możemy bez problemu obliczyć poszukiwaną długość odcinka \(BS\):
$$|BS|=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2} \\
|BS|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}-7\right)^2+\left(\frac{5}{2}-(-2)\right)^2} \\
|BS|=\sqrt{\left(-6\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}+2\right)^2} \\
|BS|=\sqrt{\left(-\frac{13}{2}\right)^2+\left(\frac{9}{2}\right)^2} \\
|BS|=\sqrt{\frac{169}{4}+\frac{81}{4}} \\
|BS|=\sqrt{\frac{250}{4}} \\
|BS|=\sqrt{\frac{25\cdot10}{4}} \\
|BS|=\frac{5\sqrt{10}}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(BC\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne wierzchołka \(C\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=256\sqrt{2}\) (pamiętaj o zaznaczeniu figury na rysunku!)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i przy okazji wykonajmy jeden z celów tego zadania, czyli zaznaczmy poszukiwaną figurę:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Odcinek \(BD\) jest podstawą naszego trójkąta, który znalazł się w przekroju. Jeżeli oznaczymy sobie tę długość jako \(d\), to z treści zadania wynika, że wysokość tego trójkąta \(OC'\) ma długość \(d+4\). Skoro pole trójkąta jest równe \(48\), to otrzymamy następujące równanie:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
48=\frac{1}{2}\cdot d\cdot(d+4) \\
48=\frac{1}{2}d^2+2d \quad\bigg/\cdot2 \\
96=d^2+4d \\
d^2+4d-96=0$$

Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które możemy rozwiązać obliczając klasyczną deltę:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=16+384=400 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-20}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+20}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$

Otrzymaliśmy dwie możliwości, ale ujemny wynik musimy odrzucić, bo długość przekątnej podstawy musi być liczbą dodatnią. W związku z tym \(d=8\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OCC'\). Dolna podstawa będzie miała długość połowy przekątnej (którą przed chwilą wyznaczyliśmy). Możemy nawet zapisać, że:
$$|OC|=\frac{1}{2}d \\
|OC|=\frac{1}{2}\cdot8 \\
|OC|=4$$

Praktycznie znamy też długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, bo z treści zadania wynika, że jest ona o \(4\) dłuższa od przekątnej podstawy, zatem:
$$|OC'|=d+4 \\
|OC'|=8+4 \\
|OC'|=12$$

Znając miary dwóch boków trójkąta \(OCC'\) możemy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć długość trzeciego boku, który jest jednocześnie wysokością naszego graniastosłupa:
$$|OC|^2+H^2=|OC'|^2 \\
4^2+H^2=12^2 \\
16+H^2=144 \\
H^2=128 \\
H=\sqrt{128} \quad\lor\quad H=-\sqrt{128}$$

Wysokość nie może być oczywiście ujemna, zatem zostaje nam \(H=\sqrt{128}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(H=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}\).

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wiemy już, że w podstawie znajduje się kwadrat o przekątnej długości \(d=8\). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8 \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\sqrt{2}}{2} \\
a=4\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa znajduje się kwadrat o boku \(a=4\sqrt{2}\), wiemy też że wysokość bryły jest równa \(H=8\sqrt{2}\), zatem:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=a^2\cdot H \\
V=(4\sqrt{2})^2\cdot8\sqrt{2} \\
V=16\cdot2\cdot8\sqrt{2} \\
V=256\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zaznaczysz poszukiwany przekrój (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy korzystając ze wzoru na pole trójkąta poprawnie zapiszesz równanie typu \(\frac{1}{2}\cdot d\cdot(d+4)=48\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(BD\), czyli przekątnej podstawy (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale nie zaznaczysz na rysunku poszukiwanego przekroju.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.