Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2016 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – Nowa Era 2016. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2016

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(60\) jest przybliżeniem z niedomiarem liczby \(x\). Błąd względny tego przybliżenia to \(4\%\). Liczba \(x\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Dla liczb \(a=2\sqrt{2}\) i \(b=\sqrt{2-\sqrt{2}}\) wyrażenie \(\frac{a}{b^2}\) jest równe:

Zadanie 3. (1pkt) Cenę towaru podwyższono o \(20\%\). O ile procent należy obniżyć nową cenę towaru, aby po obniżce stanowiła ona \(90\%\) ceny przed zmianami?

Zadanie 4. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=log(n+1)\) dla \(n\ge1\). Liczba \(\frac{3a_{3}-a_{7}}{a_{1}}\) jest równa:

Zadanie 5. (1pkt) Iloraz liczby \(8^{10}-4^{14}\) przez liczbę \(6\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[6]{4}\) jest równy:

Zadanie 6. (1pkt) Równanie \(\frac{8-2x^2}{x+2}=x+2\) ma dokładnie:

Zadanie 7. (1pkt) Liczba \(4\) spełnia nierówność \(a^{2}x-16\lt0\) z niewiadomą \(x\) wtedy i tylko wtedy, gdy:

Zadanie 8. (1pkt) Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej \(n\) największy wspólny dzielnik liczb \(n\) oraz \(n+10\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa:

Zadanie 9. (1pkt) Funkcja liniowa \(f(x)=-2x+b\) przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich \(x\lt2\) i tylko dla takich. Wynika stąd, że współczynnik \(b\) jest równy:

Zadanie 10. (1pkt) Prostą o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+1\) przesunięto wzdłuż osi \(Ox\) o cztery jednostki w prawo. Otrzymano prostą o równaniu:

Zadanie 11. (1pkt) Wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=-(x+1)^2+5\) przekształcono symetrycznie względem osi \(Oy\) i otrzymano wykres funkcji \(g\). Wskaż równanie prostej, która jest osią symetrii wykresu funkcji \(g\).

Zadanie 12. (1pkt) Pan Krzysztof pokonuje trasę Warszawa-Kraków w czasie \(t\) ze średnią prędkością \(v\). Aby skrócić czas podróży o \(20\%\), pan Krzysztof musi średnią prędkość:

Zadanie 13. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{3}{4}n^2-24n+90\) dla \(n\ge1\). Najmniejszy wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:

Zadanie 14. (1pkt) Dla pewnego kąta ostrego \(α\) trzywyrazowy ciąg \((2sin^2α,\;\sqrt{3}tgα,\;2cos^2α)\) jest arytmetyczny. Miara kąta \(α\) jest równa:

Zadanie 15. (1pkt) Kąt \(α\) jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku.

matura z matematyki



Liczba \(4^{sinα}\) jest równa:

Zadanie 16. (1pkt) Prosta o równaniu \(y=-2x\) tworzy z osią \(Ox\) kąt rozwarty \(α\) (zobacz rysunek poniżej).

matura z matematyki



Cosinus kąta \(α\) jest równy:

Zadanie 17. (1pkt) W okrąg o środku \(S\) wpisano deltoid \(ABCD\) (zobacz rysunek poniżej). Krótsza przekątna deltoidu ma długość \(4\), a jego najmniejszy kąt wewnętrzny ma miarę \(45°\).

matura z matematyki



Pole deltoidu jest równe:

Zadanie 18. (1pkt) Dwa okręgi: pierwszy o środku \(O_{1}=(-2,4)\) i promieniu \(r_{1}=4\) oraz drugi o środku \(O_{2}=(6,0)\), są styczne zewnętrznie. Promień drugiego okręgu jest równy:

Zadanie 19. (1pkt) Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny.

matura z matematyki



Kąt między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy ostrosłupa to:

Zadanie 20. (1pkt) Pole powierzchni bocznej walca jest \(5\) razy większe od sumy pól jego podstaw. Miara kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tego walca do podstawy jest w przybliżeniu równa:

Zadanie 21. (1pkt) Laura ma pięć płyt z muzyką taneczną i trzy z muzyką poważną. Na ile sposobów Laura może tak ustawić poszczególne płyty na półce, aby wszystkie płyty tego samego gatunku znalazły się obok siebie? Wskaż poprawny sposób obliczeń.

Zadanie 22. (1pkt) W tabeli podano oceny z matematyki czterech uczniów pewnej klasy.

matura z matematyki



Oceny którego ucznia wykazują największe odchylenie standardowe?

Zadanie 23. (1pkt) W urnie jest o \(10\) kul białych więcej niż czarnych. Z urny losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{3}{4}\). Ile wszystkich kul jest w urnie?

Zadanie 24. (2pkt) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów \(x\), dla których funkcja kwadratowa \(f(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+2\) przyjmuje większe wartości niż funkcja liniowa \(g(x)=-x+2\).

Zadanie 25. (2pkt) Dla jakich wartości \(m\) równanie \(x(3x-6)(x^3+27)(x+m)=0\) z niewiadomą \(x\) ma trzy różne rozwiązania?

Zadanie 26. (2pkt) Ustalono, że w pewnym jeziorze populacja zagrożonego gatunku ryb maleje każdego roku o \(30\%\), a na początku badań wynosiła \(50\) tys. sztuk. Podaj wzór funkcji wyrażającej liczebność tej populacji po upływie \(t\) lat i oblicz, ile ryb zagrożonego gatunku było w jeziorze po trzech latach od chwili rozpoczęcia badań.

Zadanie 27. (2pkt) Udowodnij, że różnica kwadratów dowolnej liczby pierwszej \(p\gt2\) i liczby o dwa od niej mniejszej jest podzielna przez \(8\).

Zadanie 28. (2pkt) W trapezie prostokątnym \(ABCD\), w którym \(AB||CD\) i \(|AB|=2|CD|\), poprowadzono przekątne \(AC\) i \(BD\), przecinające się w punkcie \(S\). Udowodnij, że odległość punktu \(S\) od ramienia \(AD\), prostopadłego do podstaw, jest trzy razy mniejsza niż długość podstawy \(AB\).

matura z matematyki

Zadanie 29. (2pkt) Punkty \(A=(-2\sqrt{3},0)\), \(B=(0,0)\), \(C=(\sqrt{3},3)\) są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego \(ABCDEF\). Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(AD\) tego sześciokąta.

matura z matematyki

Zadanie 30. (2pkt) Na rysunku pokazano ciąg kwadratów. Każdy następny kwadrat ma z poprzednim wspólny tylko jeden wierzchołek i dwa razy większą niż on długość boku. Wiedząc, że czwarty kwadrat ma bok długości \(8\), oblicz długość łamanej narysowanej pogrubioną linią, ograniczającą kwadraty od pierwszego do dziesiątego.

matura z matematyki

Zadanie 31. (4pkt) W koszyku jest pięć kul o numerach \(1, 2, 3, 6, 9\). Losujemy kolejno bez zwracania trzy kule i zapisujemy ich numery, tworząc liczbę trzycyfrową: numer pierwszej wylosowanej kuli jest cyfrą setek, drugiej - cyfrą dziesiątek, a trzeciej - cyfrą jedności zapisanej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy liczbę podzielną przez \(3\). Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 32. (4pkt) W trójkącie prostokątnym \(ABC\) punkty \(A=(-4,1)\) i \(B=(7,-2)\) są końcami przeciwprostokątnej. Prosta o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\) zawiera jedną z przyprostokątnych tego trójkąta. Oblicz długość środkowej \(BS\) w trójkącie \(ABC\).

Zadanie 33. (5pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym (zobacz rysunek poniżej) punkt \(O\) jest punktem przecięcia przekątnych podstawy dolnej, a odcinek \(OC'\) jest o \(4\) dłuższy od przekątnej podstawy. Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) podstawy dolnej i wierzchołek \(C'\) podstawy górnej. Pole figury otrzymanej w wyniku przekroju jest równe \(48\). Zaznacz tę figurę na rysunku poniżej i oblicz objętość graniastosłupa.

matura z matematyki

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

Dodaj komentarz