Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Nasze losowanie polega na tym, że losujemy jedną z kilkuset dostępnych kopert. Musimy więc teraz dobrze ustalić ile jest tych wszystkich kopert (czyli ile tak naprawdę jest liczb trzycyfrowych), bo wbrew pozorom nie będzie ich \(999-100=899\). To bardzo często popełniany błąd w tego typu zadaniach. Tak jak liczb np. od \(1\) do \(10\) nie jest \(10-1=9\), tylko \(10\), tak naszych kopert będziemy mieć \(900\). Możemy więc zapisać, że \(|Ω|=900\).
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) będą wszystkie te liczby które są parzyste i które mają przynajmniej jedną czwórkę. Obliczenie ile jest takich liczb może sprawiać problemy, bo nie jest to takie proste do wyznaczenia. Rozpiszmy więc sobie wszystko bardzo dokładnie:
I sposób - analizując poszczególne możliwości.
Zacznijmy od rozpisania sytuacji w których jest tylko jedna czwórka w całym zapisie:
1. Czwórka może wystąpić w rzędzie setek \(4■■\). Wtedy w rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu pozostałych cyfr (\(0,1,2,3,5,6,7,8,9\), czyli bez czwórki), a w rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech cyfr (\(2,6,8,0\), bo liczba musi być parzysta). To oznacza, że tutaj zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć \(1\cdot9\cdot4=36\) zdarzeń sprzyjających.
2. Czwórka może wystąpić w rzędzie dziesiątek \(■4■\). W takiej sytuacji w rzędzie setek możemy mieć jedną z ośmiu cyfr (pasuje każda cyfra, oprócz \(4\) oraz \(0\), bo nie ma takich liczb jak \(042\)). W rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech cyfr (\(2,6,8,0\)). Zgodnie z regułą mnożenia mamy więc \(8\cdot1\cdot4=32\) zdarzenia sprzyjające.
3. Czwórka może wystąpić w rzędzie jedności \(■■4\). Tutaj w rzędzie setek możemy mieć jedną z ośmiu cyfr (pasuje każda cyfra oprócz \(4\) oraz \(0\)). W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu cyfr (każda oprócz \(4\)). W związku z tym mamy tutaj \(8\cdot9\cdot1=72\) zdarzenia sprzyjające.
Teraz policzmy ile jest zdarzeń w których mamy dwie czwórki w całym zapisie:
1. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie setek i dziesiątek \(44■\). Tutaj cyfrą jedności może być być jedna z czterech cyfr (\(0,2,6,8\)). Mamy zatem \(4\) zdarzenia sprzyjające.
2. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie setek i jedności \(4■4\). Tutaj cyfrą dziesiątek może być jedna z dziewięciu cyfr (wszystkie oprócz \(4\)). Mamy zatem \(9\) zdarzeń sprzyjających.
3. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie dziesiątek i jedności \(■44\). Tutaj cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (bez \(0\) oraz bez \(4\)). Mamy zatem \(8\) zdarzeń sprzyjających.
No i jest jeszcze jedna możliwość, czyli wszystkie cyfry naszej liczby są równe \(4\), dzięki czemu powstanie liczba \(444\). Mamy więc jeszcze jedną dodatkową możliwość.
W związku z tym wszystkich zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=36+32+72+4+9+8+1=162$$
II sposób - nieco sprytniejszy, opierający się na tym ile zdarzeń nie jest sprzyjających.
Jak widać powyżej, obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających było dość trudne i bardzo łatwo jest tutaj o pomyłkę. Okazuje się, że znacznie szybciej dałoby się policzyć ile zdarzeń NIE jest sprzyjających.
1. Na pewno zdarzeniami niesprzyjającymi są wszystkie liczby nieparzyste, które stanowią połowę wszystkich zdarzeń elementarnych. Takich zdarzeń będzie więc \(450\).
2. Liczby nieparzyste odkładamy już na bok i ich nie analizujemy. Wśród pozostałych zdarzeń (czyli wśród liczb parzystych) zdarzeniami niesprzyjającymi będą teraz te liczby w których nie użyto cyfry \(4\). W takich liczbach w rzędzie setek możemy mieć więc \(8\) różnych cyfr (wszystkie cyfry oprócz \(4\) oraz \(0\)). W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu cyfr (wszystkie oprócz \(4\)). W rzędzie jedności będziemy mieć jedną z czterech cyfr (\(0,2,6,8\)). To oznacza, że parzystych liczb w których nie ma czwórki będzie łącznie \(8\cdot9\cdot4=288\).
W związku z tym wszystkich zdarzeń niesprzyjających mamy \(450+288=738\). Skoro zdarzeń elementarnych mamy \(900\), a zdarzeń niesprzyjających jest \(738\), to zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=900-738=162$$
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{162}{900}=\frac{18}{100}=\frac{9}{50}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że jest \(450\) liczb trzycyfrowych parzystych.
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz obliczysz liczbę zdarzeń niesprzyjających (Krok 2. - II sposób).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz, że można policzyć oddzielnie ilość liczb z jedną, dwiema i trzema czwórkami i poprawnie obliczysz przynajmniej część z tych zdarzeń sprzyjających (np. tych w których jest tylko jedna czwórka lub dwie czwórki) (Krok 2. - I sposób).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy podczas obliczania pomylisz się o jedno zdarzenie elementarne (np. pisząc, że liczb trzycyfrowych jest \(899\)), ale cała reszta jest zrobiona poprawnie.
ALBO
• Gdy popełnisz błąd rachunkowy przy zliczaniu zdarzeń sprzyjających, ale cała reszta jest zrobiona poprawnie.
ALBO
• Gdy nie przedstawisz wyniku w postaci ułamka nieskracalnego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Jedna z trudniejszych matur jakie przerabiałem, zgodzisz się ze mną?
Ogólnie te próbne matury z różnych Wydawnictw są moim zdaniem nieco trudniejsze :)
Mam takie pytanie jak bym w zad 26 podstawił 4 i 6 to wyjdzie 32 oczywiście 32 jest podzielenie przez 8 mam takie pytanie czy jak bym tak zrobił na prawdziwej maturze to były by jakieś punkty za to zadanie dziękuję bardzo za odpowiedź
Jeżeli w zadaniu dowodowym podstawimy przypadkowe liczby, to niestety otrzymamy 0 punktów ;)
W zad 27 nie ma napisane, że boki mają różne długości, co jeśli a = b = c ?
Zadanie powinno zawierać informację, że nie jest to trójkąt równoboczny, bo obecnie jak dla mnie jest to poważna wada.
Sam przy rozwiązywaniu myślałem że czegoś nie wiem ( bo przecież trójkąt może być równoboczny ) i olałem zadanie zakładając brak wiedzy potrzebnej do rozwiązania.
Nie mówiąc już o tym że w przypadku różności a od b od c nie ma podane który bok jest najdłuższy.
Ale jak najbardziej mogą być to boki o jednakowej długości – twierdzenie cały czas jest prawdziwe :)
Dlaczego w zadaniu 30 na pozycji 2 i 3 odrzucono cyfrę 4? CO NAJMNIEJ…to oznacza, że może być więcej… Np. 448
Ale przecież moja rozpiska jak najbardziej uwzględnia liczbę 448 – jest to w drugim punkcie numer 1. gdzie do liczby 44 dobieramy cyfrę jedności :)
Fakt! Czytajmy więc do końca…:) Swoją drogą „kawał” dobrej roboty. Pozdrawiam.
Wielkie dzięki za miłe słowa i trzymam kciuki za sukces na maturze! :)
Czy w 31 konieczne jest znalezienie a49 nierównością? Metoda prób i błędów też da oczekiwany wynik a w tym przypadku zajmuje mniej czasu
No ale musisz przyznać, że „metoda prób i błędów” to nie jest najlepszy sposób na rozwiązywanie zadań ;) Generalnie bardzo często w takich sytuacjach (kiedy uczeń zgadnie/wydedukuje jakiś kluczowy aspekt zadania) przyznaje się punkty cząstkowe, więc pewnie tak byłoby i w tym przypadku ;)