Kąt \(α\) jest ostry oraz \(tgα=\frac{4}{3}\). Oblicz \(sinα+cosα\).
Z funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Podstawmy więc znaną nam wartość tangensa i spróbujmy wyznaczyć z niej wartość sinusa:
$$\frac{sinα}{cosα}=\frac{4}{3} \\
sinα=\frac{4}{3}cosα$$
Tym razem skorzystamy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną, dzięki któremu obliczymy dokładną wartość cosinusa.
$$sin^2α+cos^2α=1$$
Podstawiając do tego wzoru wyznaczoną wartość sinusa z poprzedniego kroku otrzymamy:
$$\left(\frac{4}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{16}{9}cos^2α+cos^2α=1 \\
\frac{25}{9}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{9}{25} \\
cos^2α=\frac{9}{25} \\
cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$
Wartość ujemną odrzucamy, bowiem w treści zadania mowa jest o kącie ostrym, a dla kątów ostrych cosinus jest dodatni.
Obliczoną wartość cosinusa możemy podstawić do wzoru wyprowadzonego w pierwszym kroku, tak więc:
$$sinα=\frac{4}{3}cosα \\
sinα=\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{5} \\
sinα=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$$
Znamy już wartość sinusa i cosinusa, tak więc:
$$sinα+cosα=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}$$
\(sinα+cosα=1\frac{2}{5}\)
