Prosta l jest styczna do okręgu o środku S w punkcie A, AC jest średnicą okręgu, a AB jest jego cięciwą

Prosta $l$ jest styczna do okręgu o środku $S$ w punkcie $A$, $AC$ jest średnicą okręgu, a $AB$ jest jego cięciwą. Kąt między prostą $l$ i cięciwą $AB$ jest równy $52°$. Zatem kąt $ACB$ ma miarę:

A. $42°$

B. $48°$

C. $52°$

D. $58°$

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zgodnie z treścią zadania mamy taką oto sytuację:

matura z matematyki

Kluczową informacją jest fakt, że powstały trójkąt jest prostokątny. Wynika to z tego, że trójkąt jest wpisany w okręg, a jeden z boków tego trójkąta jest jednocześnie długością średnicy. W takiej sytuacji trójkąt zawsze jest prostokątny.

Krok 2. Obliczenie miary kąta $CAB$.
Styczna do okręgu jest zawsze prostopadła do promienia/średnicy który przechodzi przez punkt styczności. To oznacza, że:
$$|\sphericalangle CAB|+52°=90° \\
|\sphericalangle CAB|=38°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta $ACB$.
Skoro jest to trójkąt prostokątny, to znamy już tak naprawdę miary dwóch kątów: $|\sphericalangle CAB|=38°$ oraz $|\sphericalangle ABC|=90°$. W związku z tym miarę kąta $ACB$ obliczymy w następujący sposób:
$$|\sphericalangle ACB|=180°-38°-90°=52°$$

Zadania

Prosta l jest styczna do okręgu o środku S w punkcie A, AC jest średnicą okręgu, a AB jest jego cięciwą

Prosta \(l\) jest styczna do okręgu o środku \(S\) w punkcie \(A\), \(AC\) jest średnicą okręgu, a \(AB\) jest jego cięciwą. Kąt między prostą \(l\) i cięciwą \(AB\) jest równy \(52°\). Zatem kąt \(ACB\) ma miarę:

Rozwiązanie

Odpowiedź