Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4km/h a biega ze średnią prędkością 6km/h zauważył

Janek, który chodzi ze średnią prędkością \(4\frac{km}{h}\) a biega ze średnią prędkością \(6\frac{km}{h}\) zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykówki, przybywa na miejsce o \(4\) minuty wcześniej niż idąc normalnym krokiem. Jak daleko od domu Janka znajduje się hala treningowa?

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(s\) - odległość z hali do domu (w kilometrach)
\(t\) - czas pokonania trasy pieszo (w godzinach)
\(t-\frac{1}{15}\) - czas pokonania trasy biegiem (w godzinach)

W przypadku czasu pokonania trasy biegiem odejmujemy wartość \(\frac{1}{15}\), bo \(4\) minuty to \(\frac{1}{15}\) godziny. Nie moglibyśmy zapisać, że czas ten wynosi \(t-4\), bo mielibyśmy niezgodność jednostek - czas mielibyśmy w minutach, a prędkość w \(\frac{km}{h}\).

Krok 2. Obliczenie czasu pokonania trasy pieszo.
To co jest niezmienne w przypadku pokonywania trasy pieszo i biegiem to droga jaką należy pokonać. Ze wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\) wynika, że \(s=v\cdot t\). Możemy więc ułożyć dwa następujące równania:
Pieszo: \(s=4\cdot t\)
Bieg: \(s=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right)\)

Te dwa równania możemy zapisać w postaci układu równań, dzięki któremu obliczymy czas pokonania trasy pieszo:
\begin{cases}
s=4\cdot t \\
s=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right)
\end{cases}

Układ ten najprościej będzie rozwiązać metodą podstawiania, zatem:
$$4\cdot t=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right) \\
4t=6t-\frac{6}{15} \\
-2t=-\frac{6}{15} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \\
t=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}[h]$$

Krok 3. Obliczenie odległości z hali do domu.
Skoro wyszło nam, że \(t=\frac{1}{5}\), to korzystając z równania \(s=4\cdot t\) możemy bez problemu obliczyć odległość z hali do domu:
$$s=4\cdot t \\
s=4\cdot\frac{1}{5} \\
s=\frac{4}{5}[km]$$

Odpowiedź

\(s=\frac{4}{5}km\)

Dodaj komentarz