Ciągi liczbowe

Ciągi liczbowe to jak sama nazwa wskazuje są to wypisane po kolei liczby.

Przykładowe ciągi
Z przykładowymi ciągami możemy spotkać się np. zapisując wyniki losowania Dużego Lotka czy też zapisując numery autobusów odjeżdżające z danego przystanku. Na matematyce interesują nas zazwyczaj te ciągi liczb, które można opisać jakąś matematyczną zasadą, przykładowo:
\(3, 6, 9, 12, 15…\) – każda kolejna liczba jest o \(3\) większa od poprzedniej
\(8, 4, 0, -4, -8…\) – każda kolejna liczba jest o \(4\) mniejsza od poprzedniej
\(5, 10, 20, 40…\) – każda kolejna liczba jest \(2\) razy większa od poprzedniej
\(1, -2, 4, -8, 16\) – każda kolejna liczba jest pomnożeniem przez \(-2\) liczby poprzedniej
\(1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}\) – każda kolejna liczba jest \(3\) razy mniejsza od poprzedniej
\(1, 4, 9, 16, 25…\) – każda kolejna liczba jest kwadratem liczby naturalnej

Ciągi których nie da się opisać matematyczną regułą (czyli właśnie np. wyniki losowania Lotto) nazywamy ciągami losowymi np.:
\(1, 5, 9, 11, 18, 49\)
\(7, 9, \sqrt{2}, -9, \frac{32}{33}\)
\(2, -99, 3, \sqrt{3}, \sqrt{11}\)

Wyrazy ciągu
Poszczególne liczby znajdujące w ciągach nazywamy wyrazami ciągu. Wyrazy ciągu zapisujemy symbolem \(a_{n}\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną:
\(a_{1}\) – to pierwszy wyraz ciągu
\(a_{2}\) – to drugi wyraz ciągu
\(a_{100}\) – to setny wyraz ciągu
\(a_{n}\) – to \(n\)-ty wyraz ciągu

Przykładowo w ciągu \(6, 12, 18, 24, 30…\):
\(a_{1}=6 \\
a_{2}=12 \\
a_{3}=18 \\
itd.\)

Ciągi, a funkcje
Istnieje bardzo duża zbieżność między ciągami i funkcjami. Można nawet powiedzieć, że ciągi, które da się opisać wzorem matematycznym są tak naprawdę szczególnym rodzajem funkcjami. Szczególnym, bo są to funkcje których argumentami są tylko i wyłącznie liczby naturalne. To właśnie dlatego zagadnienia dotyczące ciągów będą miały bardzo dużo wspólnego z działem funkcji.

Możemy to sobie omówić nawet na konkretnym przykładzie. Mamy funkcję \(f(x)=x+6\). Ta funkcja dla każdego argumentu \(x\) przypisuje mu wartość o sześć większą od \(x\). Przykładowo dla \(x=1\) będziemy mieli \(f(1)=1+6=7\).

Teraz weźmy analogiczny ciąg \(a_{n}=n+6\). Ten ciąg dla każdego kolejnego wyrazu \(n\) przypisuje wartość o sześć większą od \(n\). Przykładowo dla \(n=1\) (czyli dla pierwszego wyrazu) ciąg przyjmie wartość \(a_{1}=1+6=7\).

To co jednak będzie różnić funkcje od ciągów to fakt, iż ciągi przyjmują wartości tylko dla liczb naturalnych. O ile więc podstawić do funkcji \(x=1,5\), o tyle do ciągu nie podstawimy \(n=1,5\), bo nie ma czegoś takiego jak „półtorowy wyraz”. Wyraz może być pierwszy (wtedy \(n=1\)), drugi (wtedy \(n=2\)) itd.

Ciągi skończone i nieskończone
Spostrzegawcze osoby zauważyły z pewnością, że w części przykładowych ciągów na końcu pojawił się wielokropek \(…\). Kiedy zapisujemy wielokropek to informujemy, że w danym ciągu interesuje nas nieskończona albo bardzo duża liczba naszych wyrazów. Przykładowo:
\(3, 6, 9, 12, 15…\) – ciąg jest nieskończony i ma nieskończenie wiele wyrazów.
\(3, 6, 9, 12, 15\) – ciąg jest skończony, ma tylko pięć wyrazów.
\(3, 6, 9, …, 96, 99\) – ciąg jest skończony, ma bardzo dużo wyrazów, a ostatni z nich jest równy \(99\).

Ciągi monotoniczne i niemonotoniczne
Kolejnym istotnym podziałem ciągów jest ten, który związany jest z monotonicznością i tutaj wyróżniamy:
Ciągi monotoniczne: rosnący, malejący, stały (to trzy główne) oraz niemalejący i nierosnący
Ciągi niemonotoniczne: wszystkie inne, które nie są monotoniczne

Więcej na temat monotoniczności ciągów przeczytasz tutaj:

Ciągi arytmetyczne i geometryczne
Zdecydowanie najważniejszymi ciągami jakimi zajmujemy się na matematyce są ciągi arytmetyczne oraz geometryczne. Więcej na ich temat przeczytasz tutaj:

Dodaj komentarz