Funkcja liniowa f(x)=(m^2-4)x+2 jest malejąca, gdy

Funkcja liniowa \(f(x)=(m^2-4)x+2\) jest malejąca, gdy:

Funkcja jest malejąca wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest mniejszy od zera (czyli \(a\lt0\)). W tym przypadku współczynnik \(a\) został zapisany z parametrem, więc aby nasza funkcja była malejąca, to \(m^2-4\) musi być mniejsze od zera.

Aby dowiedzieć się kiedy funkcja jest malejąca musimy rozwiązać nierówność \(m^2-4\lt0\). Możemy ją oczywiście obliczyć za pomocą delty lub zapisując ją w postaci iloczynowej, ale tak naprawdę jest to prosta nierówność, którą śmiało możemy rozwiązać w pamięci. Rozwiązaniem tej nierówności jest oczywiście przedział \(m\in(-2;2)\). Jeśli jednak nie umiemy tego wyliczyć w pamięci, to możemy rozwiązać to jak każdą inną nierówność w trzech prostych krokach:

1. Najpierw szukamy miejsc zerowych, więc przyrównujemy \(m^2-4\) do zera:
$$m^2-4=0 \\
(m-2)(m+2)=0 \\
m=2 \quad\lor\quad m=-2$$

2. Następnie rysujemy szkic paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane ku górze, bo przed \(m^2\) nie stoi znak minusa:

3. Teraz odczytujemy dla jakich wartości funkcja przyjmuje wartości ujemne (czyli dla jakich argumentów wykres funkcji znalazł się pod osią \(Ox\)), a jest to przedział \(m\in(-2;2)\).

B. \(m\in(-2;2)\)