Matura – Matematyka – Maj 2022

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy przenieść wszystkie liczby na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć jedynie zero. W związku z tym:
$$3x^2-2x-9\ge7 \\
3x^2-2x-16\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Chcąc rozwiązać nierówność musimy sprawdzić jakie mamy miejsca zerowe, czyli musimy sprawdzić dla jakich argumentów \(3x^2-2x-16=0\). Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe w postaci ogólnej, a to oznacza, że z pomocą przyjdzie nam więc niezawodna delta.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-2,\;c=-16\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-16)=4-(-192)=4+192=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-14}{2\cdot3}=\frac{2-14}{6}=\frac{-12}{6}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+14}{2\cdot3}=\frac{2+14}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi obliczone miejsca zerowe i rysujemy przechodzącą przez te punkty parabolę z ramionami skierowanymi do góry (bo współczynnik \(a\) jest dodatni).


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów, dla których nierówność przyjmuje wartości większe od zera lub równe zero, czyli patrzymy się na to, co znalazło się nad osią lub na osi. W związku z tym rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-2\rangle\cup\langle\frac{8}{3};+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równania wynikające ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego np. \(a_{4}=a_{1}+3r\) (patrz: Krok 1.) oraz ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=-1 \\
a_{4}=8$$

Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{1}+3r \\
8=-1+3r \\
9=3r \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(S_{100}\).
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Podstawiając teraz znane nam wartości oraz \(n=100\) (bo interesuje nas suma stu pierwszych wyrazów), otrzymamy:
$$S_{100}=\frac{2\cdot(-1)+(100-1)\cdot3}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{-2+99\cdot3}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{-2+297}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100 \\
S_{100}=147,5\cdot100 \\
S_{100}=14750$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \((a-b)^2\gt0\) (patrz Krok 1.) lub \(a^2+b^2\gt2ab\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Przekształcenie równania.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\
\frac{a^2+b^2}{2}\gt\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
2\cdot(a^2+b^2)\gt a^2+2ab+b^2 \\
2a^2+2b^2\gt a^2+2ab+b^2 \\
a^2+b^2\gt 2ab \\
a^2-2ab+b^2\gt0 \\
(a-b)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że różnica \(a-b\) jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy skorzystasz z twierdzenia Pitagorasa i zapiszesz odpowiednie równanie związane z długościami przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz dwa równania typu \(\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=2\) oraz \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\), z których stworzysz układ równań.
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie oparte na jedynce trygonometrycznej, w którym to równaniu pojawi się tylko jedna funkcja trygonometryczna.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że \(tg\alpha=2\). Tangens odpowiada za stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, a skoro tak, to pierwsza przyprostokątna (leżąca naprzeciwko kąta \(\alpha\)) ma długość \(2x\), a druga przyprostokątna ma długość \(x\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przeciwprostokątna ma długość:
$$(2x)^2+x^2=c^2 \\
4x^2+x^2=c^2 \\
5x^2=c^2 \\
c=\sqrt{5x^2} \quad\lor\quad c=-\sqrt{5x^2}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{5x^2}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(sin^2\alpha\).
Sinus odpowiada za stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) (która ma u nas długość \(2x\)), względem przeciwprostokątnej (która ma długość \(c=\sqrt{5x^2}\). Skoro tak, to:
$$sin\alpha=\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}$$

Nas interesuje \(sin^2\alpha\), zatem całość musimy podnieść do kwadratu, co znacząco uprości cały zapis:
$$sin^2\alpha=\left(\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}\right)^2 \\
sin^2\alpha=\frac{(2x)^2}{(\sqrt{5x^2})^2} \\
sin^2\alpha=\frac{4x^2}{5x^2} \\
sin^2\alpha=\frac{4}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że trójkąt \(ABD\) jest równoramienny (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów i zapiszesz, że np. \(|\sphericalangle ADB|=|\sphericalangle BAC|\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy kąt \(BAC\) jako kąt \(\alpha\). Z tego kąta poprowadzono dwusieczną, co prowadzi nas do wniosku, że \(|\sphericalangle DAB|=\frac{1}{2}\alpha\) oraz \(|\sphericalangle CAD|=\frac{1}{2}\alpha\).

Warto też zauważyć, że skoro jest to trójkąt równoramienny, to także \(|\sphericalangle ABC|=\alpha\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(BAC\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(ABD\). Jest to trójkąt podobny do trójkąta \(ABC\), czyli także musi być on równoramienny. Kąty przy podstawie takich trójkątów mają jednakową miarę (tutaj jest podstawa \(BD\)), zatem \(|\sphericalangle ADB|=\alpha\). W ten sposób opisaliśmy już symbolami wszystkie kąty w trójkącie \(ABD\). Suma kątów w trójkącie musi być równa \(180°\), zatem:
$$\frac{1}{2}\alpha+\alpha+\alpha=180° \\
2,5\alpha=180° \\
\alpha=72°$$

Zgodnie z oznaczeniami, miara kąta \(\alpha\) jest także miarą poszukiwanego przez nas kąta \(BAC\), zatem:
$$|\sphericalangle BAC|=72°$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Skoro zbiór ma \(9\) elementów, a losowanie odbywa się ze zwracaniem, to zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=9\cdot9=81\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są pary liczb, których iloczyn (czyli wynik mnożenia) daje wynik równy \(24\). Wypiszmy zatem interesujące nas pary, zwłaszcza że nie ma ich wiele:
$$(3;8), (4;6), (6;4), (8;3)$$

Są cztery takie pary, czyli \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{81}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci iloczynowej jako \(f(x)=a(a+5)(x-3)\).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci ogólnej jako \(f(x)=ax^2+2ax-15a\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci kanonicznej jako \(f(x)=a(x+1)^2+6\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) oraz \(q\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci iloczynowej jako \(f(x)=a(a+5)(x-3)\) lub ogólnej jako \(f(x)=ax^2+2ax-15a\) i obliczysz współrzędną \(q\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie, w którym jedyną niewiadomą jest współczynnik \(a\) np. \(0=a\cdot(-5+1)^2+6\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci ogólnej jako \(f(x)=ax^2+2ax-15a\) i zapiszesz, że \(W=(-1,6))\).
4 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór funkcji w postaci iloczynowej lub kanonicznej i obliczysz współczynnik \(a\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz poprawnie wartości dwóch z trzech współczynników.
ALBO
• Gdy otrzymany wynik końcowy jest niepoprawny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu jest zauważenie, iż podane punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) leżą na osi \(OX\), co prowadzi nas wprost do informacji, że miejscami zerowymi tej funkcji są \(x_{1}=-5\) oraz \(x_{2}=3\). Ogólnie sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Z własności parabol wiemy, że wierzchołek paraboli \(W=(p;q)\) znajduje się dokładnie po środku między miejscami zerowymi. To pozwala nam niemalże błyskawicznie obliczyć współrzędną \(p\) wierzchołka.
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\
p=\frac{-5+3}{2} \\
p=\frac{-2}{2} \\
p=-1$$

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli.
W treści zadania mamy informację, że prosta \(y=6\) ma tylko jeden punkt wspólny z naszą parabolą (co zresztą widać na rysunku). To oznacza, że ta prosta musi przechodzić przez wierzchołek (nie ma innej możliwości), co z kolei prowadzi nas do wniosku, że w takim razie współrzędna \(q=6\).

Wiemy już zatem, że \(W=(-1;6)\).

Krok 4. Obliczenie wartości współczynnika \(a\).
Znając współrzędne wierzchołka paraboli, możemy pokusić się o zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Podstawiając znane współrzędne wierzchołka \(W=(-1;6)\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-(-1))^2+6 \\
f(x)=a(x+1)^2+6$$

Do pełni wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Aby go poznać, wystarczy podstawić do wyznaczonej postaci współrzędne jednego ze znanych punktów, np. \(A=(-5;0)\). Podstawiając zatem \(x=-5\) oraz \(y=0\), otrzymamy:
$$0=a\cdot(-5+1)^2+6 \\
0=a\cdot(-4)^2+6 \\
0=16a+6 \\
-6=16a \\
a=-\frac{3}{8}$$

To oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci kanonicznej jest \(f(x)=-\frac{3}{8}(x+1)^2+6\)

Krok 5. Obliczenie wartości współczynników \(b\) oraz \(c\).
Aby rozwiązać nasze zadanie, musimy poznać wzór funkcji w postaci ogólnej (tylko wtedy poznamy wartości brakujących współczynników \(b\) oraz \(c\)). Póki co, mamy tylko postać kanoniczną, zatem wymnóżmy wszystkie liczby i przekształćmy tym samym zapis do postaci ogólnej:
$$f(x)=-\frac{3}{8}(x+1)^2+6 \\
f(x)=-\frac{3}{8}(x^2+2x+1)+6 \\
f(x)=-\frac{3}{8}x^2-\frac{6}{8}x-\frac{3}{8}+6 \\
f(x)=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+5\frac{5}{8}$$

To oznacza, że \(a=-\frac{3}{8}\), \(b=-\frac{3}{4}\) oraz \(c=5\frac{5}{8}\).