Punkt A=(-1,3) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC o podstawie AB. Punkt D=(5,-4) jest spodkiem

Punkt \(A=(-1,3)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\) o podstawie \(AB\). Punkt \(D=(5,-4)\) jest spodkiem wysokości \(CD\) tego trójkąta. Współrzędne wierzchołka \(B\) są równe:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby mieć pełen obraz tej sytuacji, to warto zrobić sobie nawet prosty rysunek szkicowy.
matura z matematyki

Jedną z własności trójkąta równoramiennego jest to, że jego wysokość \(CD\) dzieli nam podstawę na dwie równe części. Można więc powiedzieć, że punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(B\).
Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$D=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(D\), zatem jedyną niewiadomą zostają poszukiwane współrzędne punktu \(B\). Dla przejrzystości obliczeń możemy je wyznaczyć oddzielnie:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
5=\frac{-1+x_{B}}{2} \\
10=-1+x_{B} \\
x_{B}=11 \\
\quad \\
y_{D}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
-4=\frac{3+y_{B}}{2} \\
-8=3+y_{B} \\
y_{B}=-11$$

To oznacza, że \(B=(11;-11)\).

Odpowiedź

A

Dodaj komentarz