Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2006 – Odpowiedzi

C

W tym zadaniu musimy się wykazać sprytem. W zasadzie jest wiele dróg dojścia do prawidłowej odpowiedzi, ale my skupimy się na prostej obserwacji. Po pierwsze, mamy otrzymać \(140kg\) zaprawy, zatem suma wszystkich składników powinna być równa \(140kg\). Tak się składa, że tylko w II i III wierszu suma składników daje wynik równy \(140kg\), więc moglibyśmy ograniczyć się już tylko do tych dwóch odpowiedzi. Po drugie z treści zadania wynika, że np. piasku ma być \(15\) razy więcej niż cementu (stosunek \(15:1\)), albo że wapna ma być \(4\) razy więcej niż cementu (stosunek 4:1\)). Jeżeli ograniczamy się już tylko do tych dwóch wierszy które nam zostały (II i III) to widzimy wyraźnie, że to w trzecim wierszu mamy \(15\) razy więcej piasku (\(105kg\)) niż cementu (\(7kg\)) oraz mamy tu \(4\) razy więcej wapna (\(28kg\)) niż cementu (\(7kg\)). Prawidłowe proporcje znalazły się więc w trzecim wierszu.

D

Naszym zadaniem jest tak naprawdę określenie położenia środka okręgu wpisanego w trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt powstaje w miejscu przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta, dlatego też to właśnie ostatnia odpowiedź jest prawidłowa.

D

Co roku krzew podwaja swoją wysokość. Z tego też względu wystarczy rozpisać sobie jaką wysokość miał krzew w poszczególnych latach i sprawdzić jaką ostatecznie wysokość osiągnie po trzech latach:
\(x\) - wysokość krzewu w dniu posadzenia
\(2x\) - wysokość krzewu po roku
\(2\cdot2x=4x\) - wysokość krzewu po dwóch latach
\(2\cdot4x=8x\) - wysokość krzewu po trzech latach

To oznacza, że prawidłowym równaniem będzie \(8x=144\).

A

Krok 1. Obliczenie udziału procentowego każdego z pojazdów.
Między 7:00 i 8:00 przejechało \(9\) pojazdów. Musimy więc obliczyć ile procent stanowi każdy typ pojazdu, a następnie musimy przyporządkować tym obliczeniom odpowiedni diagram.
Samochody osobowe: \(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\approx66,7\%\)
Samochody ciężarowe: \(\frac{2}{9}\approx22,2\%\)
Autobusy: \(\frac{1}{9}\approx11,1\%\)

Krok 2. Dopasowanie diagramu.
Na diagramie nie mamy podanych żadnych wartości procentowych, musimy więc wydedukować który z nich jest tym właściwym. Jak to zrobić? Spójrzmy najpierw na ilość samochodów - ich ma być nieco ponad \(66\%\), czyli \(\frac{2}{3}\) diagramu powinno być przeznaczone na samochód osobowy. W tym momencie pasowałyby nam tylko dwa wykresy - wykres A oraz C. Na wykresie B samochody osobowe są w znacznie większej ilości niż \(66\%\), natomiast na wykresie D jest ich mniej niż \(50\%\).

Samochodów ciężarowych ma być nieco ponad \(22\%\), czyli tak mniej więcej \(\frac{1}{5}\) diagramu. I tu już widzimy wyraźnie, że odpowiedź C nam odpada, bo na diagramie C nie ma w ogóle samochodów ciężarowych, a na wykresie A faktycznie zaznaczony kawałek ma powierzchnię około \(\frac{1}{5}\) diagramu.

Z tej analizy wynika więc, że prawidłowym diagramem jest ten z odpowiedzi A.

C

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. Między 10:00 a 11:00 przejedzie przez most jeden autobus.
Komentarz: Nie wiemy ile autobusów przejedzie o tej porze, bo takich godzin nie mamy w tabeli.

Odp. B. Samochody osobowe jeżdżą szybciej niż samochody ciężarowe.
Komentarz: W tabeli żadna dana nie mówi o tym jaka jest prędkość jazdy samochodów.

Odp. C. Między 7:00 a 8:00 przejechało więcej samochodów osobowych niż pozostałych pojazdów.
Komentarz: To prawda i wynika to wprost z tabelki, bo samochodów osobowych przejechało \(6\), a pozostałych pojazdów było \(2+1=3\).

Odp. D. W ciągu doby przejedzie \(8\) razy więcej pojazdów niż przejechało między 7:00 a 10:00.
Komentarz: Nie wiemy ile pojazdów przejechało w porach innych niż 7:00-10:00, bo takie dane nie znalazły się w tabeli.

A

Samochodów osobowych przejechało łącznie dokładnie \(17\) sztuk. Wszystkich pojazdów przejechało \(25\). To oznacza, że samochody osobowe stanowiły:
$$\frac{17}{25}=\frac{68}{100}=68\%$$

A

Samochodów osobowych w ciągu trzech godzin przejechało \(17\) sztuk. To oznacza, że w ciągu godziny przejechało średnio:
$$17:3=\frac{17}{3}=5\frac{2}{3}$$

C

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. W ciągu całej doby temperatura gleby jest niższa na głębokości \(30cm\) niż na głębokości \(10cm\).
Komentarz: To nieprawda, bo widzimy że tuż po północy temperatura jest niższa na głębokości \(10cm\).

Odp. B. Na obu głębokościach gleba ma najniższą temperaturę o północy.
Komentarz: To nieprawda, bo na głębokości \(10cm\) temperatura jest najniższa około godziny 8:00.

Odp. C. Gleba na głębokości \(30cm\) nagrzewa się wolniej i stygnie wolniej niż gleba na głębokości \(10cm\).
Komentarz: To prawda. Wykres na głębokości \(30cm\) jest mniej zmienny, cały czas temperatura oscyluje w granicach około \(19-20°C\).

Odp. D. Amplituda dobowa temperatur gleby na głębokości \(10cm\) jest mniejsza niż amplituda dobowa temperatur na głębokości \(30cm\).
Komentarz: To nieprawda. Amplituda dobowa (czyli różnica między najwyższą i najniższą temperaturą) na głębokości \(10cm\) jest równa mniej więcej \(24°C-18°C=6°C\). Amplituda dobowa na wysokości \(30cm\) jest znacznie niższa i wynosi około \(20°C-19°C=1°C\).

B

W południe gleba na głębokości \(10cm\) jest nieco wyższa niż \(22°C\), więc prawidłowe widełki temperatury znalazły się w drugiej odpowiedzi.

C

Najwyższa temperatura na głębokości \(10cm\) jest w okolicach godziny 15:00.

Objętość beczki wynosi \(V=847dm^3\).

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Stosując proponowane oznaczenia możemy zapisać, że:
\(d=7dm\)
\(h=12dm\)
\(Obw=33dm\) (obwód beczki w najszerszym miejscu)

Przyglądając się wzorowi zapisanemu na początku zadania widzimy, że brakuje nam znajomości długości \(D\), czyli średnicy w miejscu najszerszym. Do jej wyznaczenia wykorzystamy obwód beczki w jej najszerszym miejscu.

Krok 2. Obliczenie średnicy w miejscu najszerszym (\(D\)).
Wykorzystamy tutaj wzór na obwód okręgu:
$$Obw=2πr$$

Podstawiając dane do tego wzoru otrzymamy:
$$33dm=2πr \\
r=\frac{33dm}{2π} \\
r=\frac{33dm}{2\cdot\frac{22}{7}} \\
r=\frac{33dm}{\frac{44}{7}} \\
r=33dm\cdot\frac{7}{44} \\
r=5\frac{1}{4}dm$$

To jeszcze nie jest koniec, bo w ten sposób obliczyliśmy promień okręgu (tak naprawdę jest to promień przekroju poprzecznego beczki w jej najszerszym miejscu), a my potrzebujemy znać długość średnicy (czyli naszego \(D\)). Średnica jest dwukrotnie większa od promienia, zatem:
$$D=2\cdot r \\
D=2\cdot5\frac{1}{4}dm \\
D=10,5dm$$

Krok 3. Obliczenie objętości beczki.
Mamy już wszystkie potrzebne dane, więc możemy bez przeszkód obliczyć objętość naszej beczki, wykorzystując wzór z treści zadania:
$$\require{cancel}
V=\frac{1}{\cancel{12}}\cdot π\cdot(2\cdot(10,5)^2+(7)^2)\cdot\cancel{12} \\
V=(2\cdot110,25+49)π \\
V=(220,5+49)π \\
V=269,5π \\
V=269,5\cdot\frac{22}{7} \\
V=847[dm^3]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykorzystując wzór na obwód okręgu zapiszesz, że \(r=\frac{33dm}{2π}\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz średnicę (nie promień!) beczki \(D=10,5dm\) (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru z treści zadania obliczoną średnicę beczki (Krok 3.), ale otrzymasz niepoprawny wynik z powodu błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(M=\frac{wm}{100}+m\)

Najprościej będzie rozpocząć przekształcenie od pozbycia się postaci ułamkowej. Stąd też na początku najłatwiej jest cały wzór wymnożyć przez \(m\):
$$w=\frac{M-m}{m}\cdot100 \quad\bigg/\cdot m \\
wm=(M-m)\cdot100 \quad\bigg/:100 \\
\frac{wm}{100}=M-m \\
M=\frac{wm}{100}+m$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(wm=(M-m)\cdot100\) i dalej popełnisz błąd.
2 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{wm}{100}=M-m\) i dalej popełnisz błąd.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|AC|=9m\) oraz \(|DE|=8m\)

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Aby obliczyć długość odcinka \(AC\) będziemy musieli posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa i trójkątem \(AGC\). Odcinek \(GC\) jest znany i jego długość wynosi \(5,4m\). Potrzebowalibyśmy poznać długość jeszcze odcinka \(AG\) i ona choć nie jest podana wprost, to jest prosta do wyznaczenia, bowiem będzie to połowa długości odcinka \(AB\). Skoro \(AB\) ma długość \(14,4m\), to odcinek \(AG\) ma długość \(14,4m:2=7,2m\). Zatem:
$$(7,2)^2+(5,4)^2=|AC|^2 \\
51,84+29,16=|AC|^2 \\
|AC|^2=81 \\
|AC|=9[m]$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DE\).
Należy zauważyć, że trójkąty \(ABC\) oraz \(DEC\) są podobne (cecha podobieństwa: kąt-kąt-kąt). Skoro tak, to możemy poznać długość boku \(DE\) korzystając z proporcji w stylu:
$$\frac{|AC|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|DE|} \\
\frac{9}{5}=\frac{14,4}{|DE|}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$9\cdot|DE|=72 \\
|DE|=8[m]$$

To oznacza, że mamy obliczone wszystko co było wymagane - długość krokwi \(AC\) wynosi \(9m\), natomiast długość belki \(DE\) jest równa \(8m\).

Uwaga: to nie była jedyna słuszna proporcja którą można zastosować. Równie dobrze można przykładowo zapisać proporcję:
$$\frac{AB}{DE}=\frac{CG}{CF}$$

Powyższa proporcja jest także jak najbardziej poprawna proporcja, tylko trzeba dodatkowo obliczyć długość odcinka \(CF\), a będzie ona równa \(5,4-2,4=3\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AC\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów \(ABC\) oraz \(DEC\) i zapiszesz poprawną proporcję np. \(\frac{|AC|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|DE|}\) (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(DE\), ale otrzymany wynik nie jest prawidłowy z powodu błędów rachunkowych.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wartości podatku VAT za okno.
Pierwszą rubryczką do uzupełnienia jest podatek VAT za okno. Stanowi on \(22\%\) ceny netto, zatem będzie on równy:
$$0,22\cdot1200zł=264zł$$

Krok 2. Obliczenie całkowitej kwoty za okno.
Potrzebujemy teraz uzupełnić rubryczkę "Razem" za okno, która tak naprawdę będzie kwotą brutto. Musimy więc do ceny netto dodać wartość podatku VAT, zatem:
$$1200zł+264zł=1464zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny netto za drzwi.
Aby lepiej zrozumieć ideę obliczania ceny netto wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - cena netto drzwi
\(0,22x\) - wartość podatku VAT

Cena drzwi plus wartość podatku VAT ma nam dać kwotę brutto, czyli \(3538zł\). Możemy zatem zapisać, że:
$$x+0,22x=3538zł \\
1,22x=3538zł \\
x=2900zł$$

Cena netto drzwi jest więc równa \(2900zł\).

Krok 4. Obliczenie podatku VAT za drzwi.
Znając już cenę netto za drzwi bez problemu obliczymy należny podatek VAT:
$$0,22\cdot2900zł=638zł$$

Można też byłoby od ceny brutto odjąć cenę netto:
$$3538zł-2900zł=638zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jedną z brakujących wartości w tabeli.
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz dwie z brakujących wartości w tabeli.
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz trzy z brakujących wartości w tabeli.
4 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz wszystkie brakujące wartości w tabeli.