Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - Operon 2018
Zadanie 1. (1pkt) Bartek wyruszył rowerem na trasę o długości \(70km\) o godzinie 8.20. Trasę tę pokonał, jadąc ze średnią prędkością \(28\frac{km}{h}\). W trakcie jazdy, o godzinie 9.50, Bartek zrobił sobie piętnastominutową przerwę.
Uzupełnij zdania. Wybierz właściwą odpowiedź spośród A lub B oraz spośród C lub D.
Bartek zrobił sobie przerwę po przejechaniu \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\).
A. \(36,4km\)
B. \(42km\)
Bartek dojechał do końca trasy o godzinie \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\).
C. \(11.05\)
D. \(11.25\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Skoro Bartek wystartował o godzinie 8:20 i zrobił przerwę o godzinie 9:50, to znaczy że jechał półtorej godziny, czyli \(t=1,5h\). Z treści zadania wiemy też, że średnia prędkość jazdy Bartka wyniosła \(v=28\frac{km}{h}\). Musimy policzyć jak długą trasę pokonał Bartek, a zrobimy to korzystając z przekształconego wzoru na prędkość:
$$v=\frac{s}{t} \\
s=v\cdot t \\
s=28\frac{km}{h}\cdot1,5h \\
s=42km$$
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Policzmy ile czasu zajęłoby pokonanie trasy o długości \(s=70km\) jadąc ze średnią prędkością \(v=28\frac{km}{h}\). Ponownie skorzystamy tutaj z przekształcenia naszego wzoru na prędkość:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{70km}{28\frac{km}{h}} \\
t=2,5h$$
Skoro więc Bartek wyruszył na trasę o godzinie 8:20, to na końcu tej trasy powinien pojawić się o godzinie 10:50. Musimy jeszcze jednak pamiętać o tym, że Bartek zrobił sobie dodatkowo \(15\) minut przerwy, zatem ostatecznie na mecie był o godzinie 11:05.
Zadanie 2. (1pkt) Na rysunku przedstawiono kartkę z kalendarza na rok 2019.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Druga niedziela czerwca 2019r. przypadnie w dziewiątym dniu miesiąca.
Pierwszy dzień września w 2019r. wypadnie w niedzielę.
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wiemy, że czerwiec ma 30 dni i z przedstawionej kartki kalendarza wynika, że skoro 1 lipca jest w poniedziałek, to 30 czerwca będzie w niedzielę. Skoro tak, to cofając się o siedem dni wiemy, że niedziele wypadną także 23 czerwca, 16 czerwca, 9 czerwca oraz 2 czerwca. Pierwsze zdanie jest więc prawdą, bo pierwszą niedzielą miesiąca jest ta, która wypada 2 czerwca, a drugą niedzielą będzie ta wypadająca 9 czerwca.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro 31 lipca wypada w środę, to 1 sierpnia wypada w czwartek. Analogicznie 8 sierpnia, 15 sierpnia, 22 sierpnia oraz 29 sierpnia wypadną także w czwartek. W związku z tym 30 sierpnia to będzie piątek, 31 sierpnia to będzie sobota, czyli 1 września to będzie niedziela.
Zadanie 3. (1pkt) W prostokątnym układzie współrzędnych punkt \(K=(-\sqrt{3}+2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\) leży w:
A. \(I\) ćwiartce
B. \(II\) ćwiartce
C. \(III\) ćwiartce
D. \(IV\) ćwiartce
Wyjaśnienie:
Zadanie z pozoru wydaje się dość niejasne, dlatego opiszmy sobie co się tutaj tak naprawdę dzieje. Mamy podany punkt \(K\), którego współrzędna iksowa jest równa \(x=-\sqrt{3}+2\sqrt{2}\), natomiast współrzędna igrekowa przyjmuje postać \(y=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\). Naszym zadaniem jest tak naprawdę zaokrąglenie tych wartości, aby móc zaznaczyć sobie ten punkt w układzie współrzędnych. Precyzyjniej rzecz ujmując interesuje nas przede wszystkim ustalenie znaku współrzędnej iksowej oraz igrekowej tego punktu \(K\). Jeżeli przykładowo współrzędna iksowa oraz igrekowa byłyby ujemne, to niezależnie od tego czy nasz punkt \(K\) miałby współrzędne \(K=(-1;-2)\) czy też \(K=(-100;-200)\), to leżałby on w \(III\) ćwiartce. Wszystkie wątpliwości na temat numeracji ćwiartek układu współrzędnych wyjaśni poniższy rysunek:
Krok 1. Ustalenie znaku współrzędnej iksowej.
Musimy sprawdzić, czy wartość \(-\sqrt{3}+2\sqrt{2}\) jest dodatnia, czy też ujemna. Stosując przybliżenia \(\sqrt{3}\approx1,73\) oraz \(\sqrt{2}\approx1,41\) możemy zapisać, że:
$$-\sqrt{3}+2\sqrt{2}\approx-1,73+2\cdot1,41\approx-1,73+2,82\approx1,09$$
To oznacza, że współrzędna iksowa jest z pewnością dodatnia (jest nieco większa od \(1\)).
Krok 2. Ustalenie znaku współrzędnej igrekowej.
Korzystając z tych samych przybliżeń co w poprzednim kroku możemy zapisać, że:
$$3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\approx3\cdot1,41-2\cdot1,73\approx4,23-3,46\approx0,77$$
To oznacza, że współrzędna igrekowa jest także dodatnia (jest nieco mniejsza od \(1\)).
Krok 3. Ustalenie ćwiartki układu współrzędnych.
Skoro obydwie współrzędne są dodatnie, to znaczy że punkt \(K\) leży w \(I\) ćwiartce.
Zadanie 4. (1pkt) Dane jest równanie: \(−4(3−2x)=−2,05+5x+(−0,5)^2\). Rozwiązaniem danego równania jest liczba:
A. \(-3,4\)
B. \(-3\frac{7}{30}\)
C. \(3,4\)
D. \(3\frac{7}{30}\)
Wyjaśnienie:
Zaczynając od wymnożenia liczby \(-4\) przez wartości w nawiasie oraz od wykonania potęgowania możemy zapisać, że:
$$−4(3−2x)=−2,05+5x+(−0,5)^2 \\
-12+8x=-2,05+5x+0,25 \quad\bigg/-5x \\
-12+3x=-2,05+0,25 \\
-12+3x=-1,8 \quad\bigg/+12 \\
3x=10,2 \\
x=3,4$$
Zadanie 5. (1pkt) Oceń prawdziwość podanych zdań.
\(60\%\) liczby \(4,5\) wynosi tyle samo, co \(\frac{2}{3}\) liczby \(4,05\).
Liczba \(2,7\) jest o \(10\%\) większa od liczby \(2\frac{3}{5}\).
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
\(60\%\) liczby \(4,5\) możemy zapisać jako \(0,6\cdot4,5\) natomiast \(\frac{2}{3}\) liczby \(4,05\) możemy zapisać jako \(\frac{2}{3}\cdot4,05\). Obliczając wartości tych wyrażeń otrzymamy:
\(0,6\cdot4,5=2,7 \\
\frac{2}{3}\cdot4,05=\frac{2}{3}\cdot\frac{405}{100}=\frac{810}{300}=2,7\)
Otrzymaliśmy jednakowe wyniki, zatem zdanie jest prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Liczba o \(10\%\) większa od liczby \(2\frac{3}{5}\) to \(1,1\cdot2\frac{3}{5}\), czyli:
$$1,1\cdot2\frac{3}{5}=\frac{11}{10}\cdot\frac{13}{5}=\frac{143}{50}=2\frac{43}{50}=2\frac{86}{100}=2,86$$
Zdanie jest więc nieprawdą.
Zadanie 6. (1pkt) Według przepisu do wykonania koktajlu owocowego dla \(3\) osób należy przygotować \(30dag\) truskawek. Ilość truskawek, jaką zgodnie z przepisem trzeba przygotować do wykonania koktajlu dla \(10\) osób, można obliczyć za pomocą wyrażenia:
A. \(0,3\cdot30dag\)
B. \(3\frac{1}{3}\cdot0,3kg\)
C. \(10\cdot30dag\)
D. \(\frac{10}{3}\cdot0,03kg\)
Wyjaśnienie:
Do przygotowania koktajlu dla \(3\) osób potrzebujemy \(30dag\) truskawek. Dla \(6\) osób potrzebowalibyśmy dwa razy więcej truskawek, bo \(\frac{6}{3}=2\). Dla \(9\) osób potrzebowalibyśmy trzy razy więcej truskawek, bo \(\frac{9}{3}=3\). Analogicznie więc dla \(10\) osób potrzebujemy \(3\frac{1}{3}\) razy więcej truskawek, bo \(\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}\). To oznacza, że prawidłowym wyrażeniem będzie \(3\frac{1}{3}\cdot30dag\), czyli \(3\frac{1}{3}\cdot0,3kg\).
Zadanie 7. (1pkt) Gosia kupiła dwie cebulki kwiatów. Obie zasadzi w jednej doniczce. Ma do dyspozycji trzy doniczki ceramiczne i dwie plastikowe.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Gosia może zasadzić kwiaty w doniczkach na \(6\) różnych sposobów.
Prawdopodobieństwo, że obie cebulki Gosia zasadzi w doniczce ceramicznej, wynosi \(\frac{1}{5}\).
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skoro obie cebulki mają znaleźć się w jednej doniczce, a mamy pięć różnych doniczek (trzy ceramiczne oraz dwie plastikowe), to Gosia może zasadzić kwiaty na \(5\) różnych sposobów (zasadzi kwiaty albo w pierwszej, albo w drugiej, albo w trzeciej, albo w czwartej, albo w piątej doniczce). Zdanie jest więc fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Gosia może zasadzić kwiaty w jednej z pięciu doniczek. Z tych pięciu doniczek aż trzy są ceramiczne. Prawdopodobieństwo, że Gosia zasadzi kwiaty w ceramicznej doniczce jest więc równe \(\frac{3}{5}\), czyli zdanie było fałszem.
Zadanie 9. (1pkt) Czy romb jest równoległobokiem? Wybierz odpowiedź T (tak) lub N (nie) i jej uzasadnienie spośród A, B albo C.
wszystkie boki rombu są przystające
romb ma dwie pary boków równoległych
przekątne rombu są prostopadłe
Wyjaśnienie:
Równoległobok nie ma boków przystających (czyli jednakowej długości), ani też przekątne równoległoboku nie przecinają się pod kątem prostym. Te cechy nie mogłyby więc wskazywać, że romb jest równoległobokiem. Romb jest równoległobokiem, bo ma dwie pary boków równoległych i to jest poprawna odpowiedź.
Zadanie 11. (1pkt) Dla zachowania bezpieczeństwa kąt nachylenia między poziomym podłożem a drabiną przystawną powinien wynosić od \(65°\) do \(75°\). Na którym rysunku przedstawiono ustawienie drabiny zgodne z wymaganiami bezpieczeństwa?
Wyjaśnienie:
Kluczowym spostrzeżeniem pozwalającym na rozwiązanie tego zadania jest dostrzeżenie, że ściana, podłoże oraz drabina tworzą trójkąt prostokątny. Dzięki temu będziemy mogli skorzystać z różnych własności trójkątów prostokątnych, wiedząc przy okazji że miara jednego z kątów jest równa \(90°\). Rozpatrzmy każdy z przypadków osobno:
I drabina:
Korzystając z własności kątów wierzchołkowych wiemy, że kąt między ścianą i drabiną ma także \(12°\). Wiemy też, że kąt między ścianą i podłogą ma \(90°\), zatem trzeci kąt tego trójkąta (czyli kąt między podłożem i drabiną) będzie mieć miarę:
$$180°-90°-12°=78°$$
II drabina:
Tym razem skorzystamy z kątów przyległych. Suma kątów przyległych jest równa \(180°\). Skoro jeden kąt ma miarę \(118°\), to drugi (czyli ten, który nas interesuje) będzie mieć:
$$180°-118°=62°$$
III drabina:
Tutaj powinniśmy się zorientować, że jest to trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\). Skąd to wiemy? Wynika to z faktu, że przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, a to cecha charakterystyczna właśnie dla trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Interesujący nas kąt między podłożem i drabiną ma zatem \(60°\).
IV drabina:
Wiemy, że suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\). Wiemy też, że jeden z kątów ma miarę \(90°\), zatem na dwa pozostałe kąty zostaje nam \(180°-90°=90°\). Możemy więc zapisać, że:
$$α+3α=90° \\
4α=90° \\
α=22,5°$$
Interesujący nas kąt między podłożem i drabiną ma miarę \(3α\), czyli \(3\cdot22,5°=67,5°\). Z prezentowanych odpowiedzi tylko ta mieści się w przedziale od \(65°\) do \(75°\).
Zadanie 12. (1pkt) Objętość prostopadłościanu o wymiarach \(3cm\times0,3dm\times0,03m\) wynosi:
A. \(9\cdot10^3mm^3\)
B. \(0,27×10^3mm^3\)
C. \(27\cdot10^{-6}m^3\)
D. \(33\cdot10^{-3}cm^3\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
To co musimy zrobić na wstępie to ujednolicić jednostki. Nie wiemy na którą jednostkę opłaci nam się zamienić najbardziej (w odpowiedziach występują zarówno milimetry, centymetry jak i metry). Wydaje się, że najprościej będzie zamienić wszystko na centymetry, a w razie czego zamienimy sobie potem jednostki objętości na te, które są nam potrzebne.
$$0,3dm=3cm \\
0,03m=3cm$$
W związku z tym objętość prostopadłościanu jest równa:
$$V=3cm\cdot3cm\cdot3cm \\
V=27cm^3$$
Krok 2. Zamiana jednostek objętości.
Skoro \(1cm=0,01m=10^{-2}m\), to \(1cm^3=10^{-6}m\).
W związku z tym \(27cm^3=27\cdot10^{-6}m^3\).
Zadanie 15. (1pkt) Oceń prawdziwość podanych zdań.
Każdy graniastosłup prosty, który ma sześć ścian, jest prostopadłościanem.
Ostrosłup, który ma sześć krawędzi, jest czworościanem.
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Graniastosłup prosty to taki, którego ściany boczne są prostokątami. Aby graniastosłup prosty był prostopadłościanem, to także w swojej podstawie musi mieć prostokąt. Z informacji podanej w zadaniu wynika, że graniastosłup ma sześć ścian, co z kolei oznacza że w podstawie znalazł się czworokąt (nie ma innej możliwości - będą wtedy dwie podstawy i cztery ściany boczne). Niestety nie mamy pewności, czy tym czworokątem jest prostokąt, bo równie dobrze może to być np. romb lub trapez. Z tego też względu zdanie jest fałszem, bo nie każdy taki graniastosłup będzie prostopadłościanem.
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Czworościan to ostrosłup mający (jak sama nazwa wskazuje) cztery ściany w kształcie trójkąta. W związku z tym w podstawie takiego ostrosłupa musi znaleźć się trójkąt (nie musi to być trójkąt równoboczny, bo nie musi to być czworościan foremny).
Tu warto przypomnieć, że ostrosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(2n\) krawędzi oraz \(n+1\) ścian. Skoro nasz ostrosłup ma \(6\) krawędzi, to znaczy że \(2n=6\), czyli \(n=3\). To oznacza, że w podstawie faktycznie znajduje się trójkąt, a cała bryła ma \(n+1\), czyli \(3+1=4\) ściany. W związku z tym zdanie jest prawdą.
Zadanie 16. (2pkt) Oblicz sumę wszystkich czynników pierwszych liczby \(9350\), jeżeli największy z nich wynosi \(17\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozkład liczby na czynniki pierwsze.
Rozkładając liczbę na czynniki pierwsze należy pamiętać o tym, by korzystać jedynie z liczb pierwszych (czyli takich, które dzielą się tylko przez jedynkę oraz samą siebie). My z treści zadania wiemy, że jednym z takich czynników jest liczba \(17\), dlatego od tej liczby możemy rozpocząć nasz rozkład:
$$
\begin{array}{c|c}
9350 & 17 \\
550 & 5 \\
110 & 11 \\
10 & 5 \\
2 & 2 \\
1 & \;
\end{array}
$$
Krok 2. Obliczenie sumy czynników pierwszych.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze obliczyć sumę czynników pierwszych, zatem:
$$17+5+11+5+2=40$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie rozłożysz liczbę na czynniki pierwsze, ale nie zsumujesz tych czynników.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 17. (2pkt) Uzasadnij, że prostokąt o przekątnej długości \(8cm\) i szerokości \(4\sqrt{2}cm\) jest kwadratem.
Odpowiedź
Udowodniono obliczając długość drugiego boku prostokąta lub też korzystając z własności przekątnych kwadratu.
Wyjaśnienie:
I sposób: Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Krok 2. Obliczenie szerokości prostokąta.
Jeżeli uda nam się udowodnić, że bok o nieznanej nam długości \(b\) ma taką samą miarę co bok o długości \(a=4\sqrt{2}\), to będziemy mogli z całą pewnością stwierdzić, że ten prostokąt jest kwadratem. W tym celu skorzystamy po prostu z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
(4\sqrt{2})^2+b^2=8^2 \\
16\cdot2+b^2=64 \\
32+b^2=64 \\
b^2=32 \\
b=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$
Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Udało nam się wykazać, że boki oznaczone jako \(a\) oraz \(b\) mają identyczną miarę, zatem ten prostokąt jest kwadratem.
II sposób: Korzystając z własności przekątnych kwadratu.
Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Jeżeli więc pokażemy, że w przypadku tego prostokąta zachodzi taka zależność, to będziemy mogli stwierdzić, że faktycznie jest on kwadratem.
W związku z tym skoro \(a=4\sqrt{2}\) to przekątna kwadratu powinna mieć długość:
$$a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\cdot2=8$$
Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak długość przekątnej podanej w treści zadania, zatem możemy z całą pewnością stwierdzić, iż ten prostokąt jest kwadratem.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz drugą długość prostokąta (patrz: Krok 2.), ale nie zapiszesz, że otrzymana miara jest równa długości pierwszego boku i dlatego jest to kwadrat (np. nie zauważysz, że \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)).
ALBO
• Gdy skorzystasz z własności przekątnych kwadratów, ale nie zapiszesz końcowego wniosku.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 18. (2pkt) Wyznacz \(T\) ze wzoru \(s=\frac{F-T}{2m}\cdot t^2\).
Odpowiedź
\(T=F-\frac{2ms}{t^2}\)
Wyjaśnienie:
Przekształcanie wzoru najprościej jest zacząć od pozbycia się wartości \(2m\) znajdującej się w mianowniku ułamka:
$$s=\frac{F-T}{2m}\cdot t^2 \quad\bigg/\cdot2m \\
s\cdot2m=(F-T)\cdot t^2 \quad\bigg/:t^2 \\
\frac{2ms}{t^2}=F-T \quad\bigg/+T \\
T+\frac{2ms}{t^2}=F \quad\bigg/-\frac{2ms}{t^2} \\
T=F-\frac{2ms}{t^2}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymany wynik jest błędny ze względu na zły znak.
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(\frac{2ms}{t^2}=F-T\) i dalej popełnisz błąd.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 19. (3pkt) Wojtek przechowuje \(24\) standardowe sześcienne kostki do gry w zamkniętym pudełku o pojemności \(0,6\) litra. Każda z tych kostek ma krawędź o długości \(1,5cm\). Oblicz, ile procent pojemności pudełka wypełniają wszystkie te kostki. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Kostki zajmują \(13,5\%\) objętości pudełka.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie pojemności pojedynczej kostki.
Każda kostka jest sześcianem o krawędzi długości \(a=1,5cm\). Możemy więc bez przeszkód obliczyć objętość tego sześcianu, ale zanim to zrobimy, to możemy zrobić jeszcze jedną sprytną rzecz, która znacznie uprości nam obliczenia. Widzimy wyraźnie, że w zadaniu będziemy operować jednostką litrów, a wiemy że \(1l=1dm^3\). Zamieńmy więc długość kostki na decymetry, tak aby potem nie mieć problemu z przekształcaniem jednostek objętości.
$$a=1,5cm=0,15dm$$
Teraz możemy przystąpić do obliczenia objętości pojedynczej kostki:
$$V=a^3 \\
V=(0,15dm)^3 \\
V=0,003375dm^3$$
Krok 2. Obliczenie objętości wszystkich kostek do gry.
Skoro Wojtek ma \(24\) kostki do gry, to ich objętość będzie równa:
$$V=24\cdot0,003375dm^3 \\
V=0,081dm^3$$
Krok 3. Obliczenie procentu wypełnienia pudełka.
Skoro pudełko ma objętość \(0,6l\), czyli \(0,6dm^3\), a kostki zajmują \(0,081dm^3\) to:
$$\frac{0,081dm^3}{0,6dm^3}\cdot100\%=\frac{81}{6}\%=13,5\%$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz objętość wszystkich kości (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymany wynik będzie zły ze względu na jakiś błąd rachunkowy (np. zgubisz jedno zero albo źle obliczysz coś pisemnie).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 20. (3pkt) Siostry Basia i Kasia zbierają pieniądze na wycieczkę. Basia uzbierała \(115\%\) kwoty, którą zebrała Kasia. Gdy każda dziewczynka dostała od dziadków dodatkowo po \(232zł\), okazało się, że kwota uzbierana przez Kasię stanowi \(92\%\) kwoty zebranej przez Basię. Oblicz, ile pieniędzy uzbierała każda z dziewcząt. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Oszczędności Kasi to \(552zł\), a Basi to \(600zł\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
W tym zadaniu musimy koniecznie wprowadzić sobie pewne oznaczenia, zapisując przy okazji zależności wynikające z treści zadania:
\(x\) - oszczędności Kasi przed otrzymaniem pieniędzy od dziadków
\(1,15x\) - oszczędności Basi przed otrzymaniem pieniędzy od dziadków
\(x+232\) - oszczędności Kasi po otrzymaniu pieniędzy od dziadków
\(1,15x+232\) - oszczędności Basi po otrzymaniu pieniędzy od dziadków
Z treści zadania wynika, że:
$$x+232=0,92\cdot(1,15x+232)$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Rozwiązywanie powstałego równania zaczniemy od wymnożenia liczby znajdującej się przed nawiasem:
$$x+232=0,92\cdot(1,15x+232) \\
x+232=1,058x+213,44 \quad\bigg/-213,44 \\
x+18,56=1,058x \quad\bigg/-x \\
18,56=0,058x \quad\bigg/:0,058 \\
x=320[zł]$$
Krok 3. Obliczenie kwoty uzbieranych pieniędzy przez Kasię oraz Basię.
Obliczenie wartości \(x=320zł\) nie kończy naszego zadania. Musimy obliczyć ile pieniędzy ostatecznie zebrała każda z dziewczyn. W tym celu wracamy do naszych oznaczeń z kroku pierwszego i możemy zapisać, że:
Oszczędności Kasi: \(320zł+232zł=552zł\)
Oszczędności Basi: \(1,15\cdot320zł+232zł=368zł+232zł=600zł\)
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia i ułożysz równanie wynikające z treści zadania (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymany wynik będzie zły ze względu na jakiś błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy obliczysz poprawnie kwotę oszczędności Kasi lub Basi (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 21. (4pkt) Na rysunku I przedstawiono graniastosłup prawidłowy, którego wszystkie krawędzie są przystające, a suma ich długości wynosi \(90cm\). Na II rysunku przedstawiono graniastosłup, który ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(6cm\) i \(8cm\). Obie bryły mają taką samą wysokość.
Oba te graniastosłupy połączono w taki sposób, że otrzymano jeden graniastosłup czworokątny. Oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanego graniastosłupa czworokątnego. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(P=388+50\sqrt{3}cm^2\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi pierwszego graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że krawędzie pierwszego graniastosłupa są przystające, czyli mają jednakową miarę. Nasz graniastosłup ma \(9\) krawędzi, a skoro suma ich długości jest równa \(90cm\), to każda krawędź na długość:
$$a=90cm:9 \\
a=10cm$$
Krok 2. Obliczenie długości nieznanej krawędzi podstawy drugiego graniastosłupa.
O drugim graniastosłupie wiemy to, że w podstawie jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(6cm\) oraz \(8cm\). Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej (czyli trzeciej krawędzi podstawy), zatem:
$$a^2+b^2=c^2 \\
6^2+8^2=c^2 \\
36+64=c^2 \\
c^2=100 \\
c=10[cm]$$
Krok 3. Ustalenie wyglądu bryły po połączeniu graniastosłupów.
Ustalmy jak będzie wyglądać nasza bryła, która powstanie po połączeniu się pierwszego i drugiego graniastosłupa. Skoro mamy otrzymać graniastosłup czworokątny, to te dwa graniastosłupy trzeba będzie połączyć wzdłuż boku o jednakowej mierze, czyli w tym przypadku wzdłuż boku o długości \(10cm\). Każde inne złączenie spowoduje, że w podstawie nie będziemy mieli czworokąta. Wiemy też, że nowo powstała bryła ma wysokość \(10cm\), bo tak wynika z informacji na temat pierwszego graniastosłupa. W związku z tym nasz graniastosłup będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:
Krok 4. Obliczenie pól podstawy pierwszego i drugiego graniastosłupa.
Pole podstawy nowego graniastosłupa jest sumą pól podstaw pierwszego i drugiego graniastosłupa. Musimy zatem wyliczyć te dwa pola i je ze sobą zsumować.
W pierwszej podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a=10cm\). Pole pierwszego graniastosłupa jest więc proste do policzenia jeśli znamy wzór na pole trójkąta równobocznego \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Wystarczy wtedy podstawić znaną nam miarę o otrzymamy, że:
$$P_{p1}=\frac{10^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{p1}=\frac{100\sqrt{3}}{4} \\
P_{p1}=25\sqrt{3}[cm^2]$$
Niestety w niektórych szkołach ten wzór nie jest omawiamy, ale omawiany jest za to wzór na wysokość trójkąta równobocznego \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) i dzięki niemu także możemy obliczyć pole powierzchni. Obliczmy zatem wysokość naszego trójkąta równobocznego o boku \(a=10cm\):
$$h=\frac{10\cdot\sqrt{3}}{2} \\
h=5\sqrt{3}[cm]$$
Teraz korzystając ze standardowego wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P_{p1}=\frac{1}{2}ah \\
P_{p1}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot5\sqrt{3} \\
P_{p1}=5\cdot5\sqrt{3} \\
P_{p1}=25\sqrt{3}[cm^2]$$
Obliczenie pola powierzchni podstawy drugiego graniastosłupa jest już mniej problematyczne, bo z własności trójkątów prostokątnych wiemy, że przyprostokątne takiego trójkąta są jednocześnie długościami podstawy i wysokości trójkąta, zatem:
$$P_{p2}=\frac{1}{2}ah \\
P_{p2}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8 \\
P_{p2}=3\cdot8 \\
P_{p2}=24[cm^2]$$
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej graniastosłupa czworokątnego.
Mamy cztery ściany boczne, każda z nich jest prostokątem o wysokości \(10cm\). Zgodnie z naszym rysunkiem możemy zapisać, że:
$$P_{b}=6\cdot10+8\cdot10+10\cdot10+10\cdot10 \\
P_{b}=60+80+100+100 \\
P_{b}=340[cm^2]$$
Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa czworokątnego.
Pole podstawy nowo powstałego graniastosłupa to suma obliczonych w czwartym kroku pól \(P_{p1}\) oraz \(P_{p2}\). Pole powierzchni bocznej obliczyliśmy w kroku piątym. Jesteśmy więc gotowi do obliczenia pola powierzchni całkowitej, ale musimy pamiętać o tym, by pole podstawy graniastosłupa czworokątnego pomnożyć przez \(2\), bo graniastosłup ma przecież podstawę dolną i górną. Zatem:
$$P=2\cdot(P_{p1}+P_{p2})+P_{b} \\
P=2\cdot(25\sqrt{3}+24)+340 \\
P=50\sqrt{3}+48+340 \\
P=388+50\sqrt{3}[cm^2]$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przedstawisz poprawny sposób obliczenia pola podstawy pierwszego lub drugiego graniastosłupa (patrz: Krok 4.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz pola podstaw pierwszego i drugiego graniastosłupa (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz pole powierzchni bocznej nowo powstałego graniastosłupa (patrz: Krok 5.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymany wynik jest niepoprawny tylko i wyłącznie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
dziękuję za pomoc ;)
Powodzenia na egzaminie! ;)
miałem to w szkole na próbnym i tylko 45% ;( to ostatnie zadanie trudne
Jest szansa, że na prawdziwym egzaminie będzie lepiej ;) Trzymam kciuki!
Już jutro mam egzamin!!!!
Trzymam kciuki i wierzę, że osiągniesz jeszcze lepszy wynik niż na egzaminie próbnym! :)
w styczniu miałam to w szkole i zdałam na 56% jest jakiś postęp
łatwiutko na 100% zdane pozdro
Dzięki za pomoc
Dziękuję bardzo za pomoc
Dzięki za pomoc.
Czy zadanie 15 jest niepoprawne? Ostrosłup który ma sześć krawędzi nie jest czworościanem.
Ostrosłup z sześcioma krawędziami jest jak najbardziej czworościanem (czyli ostrosłupem, który w podstawie ma trójkąt).
Racja, ja musiałam pomylić go z ostrosłupem czworokątnym
w zadaniu 5 w 2 zdaniu powinno być 2/5 a nie 2/3 przynajmniej ja tak mam zapisane
Na egzaminie było 2/3 ;)
ech, rozwiązywałem to w ramach ćwiczeń i nie poszło za dobrze :(