Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2003

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość odsetek (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość podatku od odsetek (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Aby rozwiązać to zadanie musimy zrozumieć ideę lokat bankowych. Lokaty działają w ten sposób, że wpłacamy do banku określoną kwotę pieniędzy (nazwijmy ją kapitałem początkowym) na dany procent, a bank nalicza nam od tej kwoty odsetki (czyli tak jakby premię za trzymanie pieniędzy na lokacie). Sam podatek odprowadzany jest tylko i wyłącznie od tych odsetek. To bardzo ważna uwaga, bowiem najczęstszym błędem jest to, że uczniowie obliczają podatek nie od odsetek, tylko od kapitału początkowego (lub kapitału plus odsetek).

Krok 1. Obliczenie wysokości odsetek (przed opodatkowaniem).
Na samym początku musimy obliczyć ile wyniosą odsetki. Skoro wkładamy \(1200zł\) na rok, a oprocentowanie roczne jest równe \(8\%\), to odsetki wyniosą:
$$0,08\cdot1200zł=96zł$$

Krok 2. Obliczenie wysokości podatku od odsetek.
Odsetki są równe \(96zł\), podatek jest ustalony w wysokości \(20\%\), zatem kwota tego podatku będzie równa:
$$0,2\cdot96zł=19,2zł$$

Krok 3. Obliczenie wysokości odsetek (po opodatkowaniu).
Skoro otrzymalibyśmy \(96zł\) odsetek, ale musimy od tego jeszcze zapłacić \(19,2zł\) podatku, to zostanie nam:
$$96zł-19,2zł=76,8zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru \(x=200\) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Aby obliczyć ile benzyny zostanie w baku po przejechaniu \(200km\) musimy zgodnie z informacjami podanymi w treści zadania podstawić do wskazanego wzoru \(x=200\). Zatem:
$$y=-0,05x+45 \\
y=-0,05\cdot200+45 \\
y=-10+45=35$$

To oznacza, że w baku zostanie \(35\) litrów benzyny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Analizując wzór możemy wywnioskować, że bak ma pojemność \(45\) litrów. Widać to chociażby w sytuacji w której podstawimy do wzoru \(x=0\), bo otrzymamy wtedy:
$$y=-0,05\cdot0+45 \\
y=0+45 \\
y=45$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru \(y=0\) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Naszym zadaniem jest tak naprawdę sprawdzenie po ilu kilometrach skończy się benzyna w baku. Aby to zrobić wystarczy podstawić do wzoru pod igreka wartość równą \(0\) (podstawiamy zero, bo brak benzyny to \(0\) litrów).
$$y=-0,05x+45 \\
0=-0,05x+45 \\
0,05x=45 \quad\bigg/\cdot20 \\
x=900$$

To oznacza, że benzyny starczy na przejechanie \(900km\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie jedynie do postaci \(0,05x=45-y\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Musimy przekształcić podany wzór do takiej formy, by po lewej stronie równania znalazł się sam iks, a po prawej pozostałe wartości (igrek oraz liczby). Przenosimy zatem iksa na lewą stronę, a igreka na prawą:
$$y=-0,05x+45 \\
0,05x=45-y \quad\bigg/\cdot20 \\
x=900-20y$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykonasz poprawny rysunek szkicowy (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy udowodnisz podobieństwo występujących trójkątów i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednią proporcję np. \(\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\) (Krok 3.).
4 pkt
• Gdy podstawisz do proporcji wszystkie dane (Krok 4.), ale popełnisz błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby przystąpić do rozwiązywania zadania warto jest na początku narysować sobie szkic tej całej sytuacji. W tym przypadku warto ten szkic narysować jak najdokładniej, bo zgodnie z treścią zadania jest to jedna z rzeczy, która będzie punktowana:


Wyjaśnić sobie musimy skąd jeszcze wzięła się długość \(5,25m\). Skoro ławka stoi w odległości \(6m\) od domu Adama, a promień zajączka odbił się na odległość \(0,75m\) od ławki, to odległość od miejsca odbicia się promienia do domu Adama jest równa \(6m-0,75m=5,25m\).

Krok 2. Udowodnienie podobieństwa dwóch trójkątów.
To co jest dla nas istotne, to fakt iż powstały nam dwa trójkąty podobne. Skąd wiemy, że są to trójkąty podobne? Kąt padania promienia słonecznego jest na pewno równy kątowi odbicia (patrz: kąt alfa na rysunku). Skoro są to trójkąty prostokątne, to znaczy że już na pewno mają identyczne miary dwóch kątów - kąta prostego oraz tego kąta padania/odbicia. To oznacza z kolei, że także trzeci kąt w tych trójkach ma tą samą miarę, czyli oba te trójkąty są podobne, co stwierdziliśmy na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Krok 3. Zapisanie odpowiedniej proporcji.
Skoro udało nam się dojść do tego, że te trójkąty są podobne, to między długościami ich boków zajdzie relacja:
$$\frac{a}{b}=\frac{d}{c} \\
\text{lub } \frac{a}{d}=\frac{b}{c}$$

Krok 4. Podstawienie danych i obliczenie poszukiwanej wartości.
Znamy wartości trzech miar, czyli \(a=1, b=0,75, c=5,25\), poszukujemy jedynie długości \(d\). Podstawiając zatem te dane z rysunku do zapisanej wcześniej proporcji otrzymamy:
$$\frac{1}{0,75}=\frac{d}{5,25}$$

Można to rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej będzie zastosować mnożenie na krzyż, dzięki czemu mamy:
$$0,75d=5,25 \\
d=7$$

To oznacza, że Adam błysnął lusterkiem na wysokości \(7\) metrów.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jedynie promienie obydwu kół jako \(r=7\) oraz \(R=14\).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz pole jednego z kół (Krok 1. lub 2.).
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz pole obydwu kół (Krok 1. i 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni ronda (Krok 3.), ale nie zapiszesz w końcowym wyniku poprawnej jednostki.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Całość zadania sprowadza się tak naprawdę do tego by obliczyć pola dwóch kół - dużego i małego. Poszukiwany obszar (pierścień) będzie właśnie różnicą powierzchni między kołem dużym i małym.

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni dużego koła.
Skorzystamy ze wzoru:
$$P=πr^2$$

Widzimy, że do obliczenia pola koła potrzebny jest nam promień, a my na rysunku mamy podaną średnicę równą \(28cm\). Z racji tego iż promień jest dwukrotnie mniejszy od średnicy, to \(r=14cm\). Teraz możemy podstawić już te dane do wzoru, od razu stosując proponowane przybliżenie \(π=\frac{22}{7}\):
$$P=\frac{22}{7}\cdot(14m)^2 \\
P=\frac{22}{7}\cdot196m^2 \\
P=616m^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni małego koła.
Ponownie musimy podstawić dane do wzoru na pole koła, ale musimy jeszcze ustalić jaka jest długość promienia tego małego koła. Przyglądając się rysunkowi widzimy wyraźnie, że aby obliczyć długość tego promienia musimy od promienia dużego koła odjąć szerokość pierścienia. Otrzymamy zatem:
$$r=14m-7m=7m$$

Znając długość promienia podstawiamy go ponownie do wzoru na pole koła:
$$P=\frac{22}{7}\cdot(7m)^2 \\
P=\frac{22}{7}\cdot49m^2 \\
P=154m^2$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni ronda.
Znając pola powierzchni dużego i małego koła bez problemu obliczymy pole pierścienia, czyli naszego ronda:
$$P=616m^2-154m^2=462m^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na objętość stożka \(V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wzór na pole stożka to:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$

Z treści zadania wynika, że:
$$V=45m^3 \\
P_{p}=54m^2$$

Szukamy wysokości kopca (czyli stożka) i jest to nasza jedyna niewiadoma we wzorze na objętość stożka, zatem podstawiając dane z treści zadania do wzoru otrzymamy:
$$45m^3=\frac{1}{3}\cdot54m^2\cdot H \\
45m^3=18m^2\cdot H \\
H=\frac{45m^3}{18m^2} \\
H=2,5m$$