Co to jest wartość bezwzględna, jak ją zapisujemy i jak ją obliczamy? Omówmy sobie podstawowe informacje na temat wartości bezwzględnej.
Zapisywanie wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględną zapisujemy przy pomocy dwóch pionowych kresek między którymi znajduje się jakaś liczba lub wyrażenie. Przykładowo możemy spotkać się z takimi zapisami:
$$|3|,\quad |-4|,\quad |4x|,\quad |7-x|$$
Czym jest wartość bezwzględna?
Wartość bezwzględna mówi nam jaka jest odległość danej liczby od zera (na osi liczbowej). Z tego też względu przykładowo wartość bezwzględna z \(5\) jest równa \(5\) (ponieważ od zera do piątki mamy \(5\) jednostek). Analogicznie wartość bezwzględna z \(-5\) będzie także równa \(5\) (ponieważ od zera do minus piątki mamy również \(5\) jednostek).
Matematycznie możemy więc zapisać, że:
$$|5|=5 \quad\text{ oraz }\quad |-5|=5$$
Tutaj możemy sobie podać jeszcze kilka innych przykładów, ot chociażby:
$$|17|=17 \quad\quad\text{ oraz }\quad\quad |-17|=17 \\
\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2} \quad\quad\text{ oraz }\quad\quad \left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2} \\
|\sqrt{3}|=\sqrt{3} \quad\quad\text{ oraz }\quad\quad |-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$$
Obliczanie wartości bezwzględnej – kluczowy problem
Powyższe przykłady były bardzo proste i to właśnie za ich pomocą musimy zrozumieć jak naprawdę działa ta wartość bezwzględna. Okazuje się, że przy obliczaniu wartości bezwzględnej ogromne znaczenie ma to, czy liczba znajdująca się pod wartością bezwzględną jest dodatnia, czy też ujemna. W zależności od tego będziemy musieli zastosować jedną z poniższych reguł:
– jeżeli pod wartością bezwzględną mamy liczbę dodatnią (lub równą zero), to opuszczając wartość bezwzględną wystarczy przepisać liczbę, która się pod nią znalazła np. \(|7|=7\).
– jeżeli pod wartością bezwzględną mamy liczbę ujemną, to opuszczając wartość bezwzględną musimy zmienić znak liczby na przeciwny np. \(|-7|=-(-7)=7\).
Zwróć szczególną uwagę na zapis \(|-7|=-(-7)=7\). Oczywiście moglibyśmy od razu zapisać, że \(|-7|=7\), ale dobrą praktyką przy opuszczaniu wartości bezwzględnej z liczby ujemnej, jest właśnie wzięcie danej liczby (lub całego wyrażenia) w nawias i dostawienie przed nim znaku minus. Ta umiejętność rozpisywania wartości bezwzględnej przyda nam się to zwłaszcza w nieco bardziej skomplikowanych przypadkach.
Obliczanie wartości bezwzględnych z pojedynczych liczb jest bardzo proste, ale na matematyce spotkamy się także z nieco bardziej rozbudowanymi sytuacjami. Przykładowo pod wartością bezwzględną może znaleźć się jakieś wyrażenie z pierwiastkiem typu \(|\sqrt{3}-2|\). O tym jak rozwiązywać takie przykłady dowiesz się z poniższego tematu:
Wartość bezwzględna może też być bohaterem równania lub nierówności, a także przypadki omawiam tutaj: