W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD. Wykaż, że pole trójkąta

W prostokącie $ABCD$ punkt $P$ jest środkiem boku $BC$, a punkt $R$ jest środkiem boku $CD$. Wykaż, że pole trójkąta $APR$ jest równe sumie pól trójkątów $ADR$ oraz $PCR$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Oznaczmy sobie na rysunku poszczególne długości odcinków:

Krok 2. Obliczenie pól trójkątów $ADR$, $PCR$ oraz $ABP$, a także prostokąta $ABCD$.

$$P_{ADR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot b=\frac{1}{4}ab \\
P_{PCR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{8}ab \\
P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab \\
P_{ABCD}=ab$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta $APR$.

Pole trójkąta $APR$ obliczymy odejmując od pola prostokąta pola trzech trójkątów, zatem:
$$P_{APR}=P_{ABCD}-P_{ADR}-P_{PCR}-P_{ABP} \\
P_{APR}=ab-\frac{1}{4}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{1}{4}ab \\
P_{APR}=ab-\frac{2}{8}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{2}{8}ab \\
P_{APR}=ab-\frac{5}{8}ab \\
P_{APR}=\frac{3}{8}ab$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.

Suma pól trójkątów $ADR$ oraz $PCR$ jest równa:
$$P_{ADR}+P_{PCR}=\frac{1}{4}ab+\frac{1}{8}ab=\frac{3}{8}ab$$

Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak wyznaczone pole trójkąta $APR$ w trzecim kroku, a to kończy nasz dowód.

Odpowiedź:

Udowodniono obliczając miary pól poszczególnych trójkątów.

Zadania

W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD. Wykaż, że pole trójkąta

W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\).