$$\begin{split}σ=\sqrt{\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+…+(x_{n}-\bar{a})^2}{n}}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+…+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2}\end{split}$$
\(x_{1}, x_{2}, x_{3}…\) – poszczególne liczby z których liczymy odchylenie standardowe
\(\bar{a}\) – średnia arytmetyczna tych liczb
Są to więc identyczne wzory jakie mieliśmy przy wariancji, tylko znajdują się one pod pierwiastkiem.
Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji, zatem skoro wariancja jest równa \(7\) to odchylenie standardowe będzie równe \(σ=\sqrt{7}\).
Tak jak przy wariancji tak i przy odchyleniu standardowym – musimy zacząć od obliczenia średniej arytmetycznej tych liczb:
$$\bar{a}=\frac{-2+10+1}{3} \\
\bar{a}=\frac{9}{3} \\
\bar{a}=3$$
Teraz możemy przejść do odchylenia standardowego i obliczymy je z dwóch wzorów, tak aby sprawdzić jak wyglądają one w praktycznym użyciu:
I sposób:
$$\begin{split}σ=\sqrt{\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+(x_{3}-\bar{a})^2}{3}}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{(-2-3)^2+(10-3)^2+(1-3)^2}{3}}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{(-5)^2+7^2+(-2)^2}{3}}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{25+49+4}{3}}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{78}{3}}=\sqrt{26}\end{split}$$
II sposób:
$$\begin{split}σ=\sqrt{\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+{x_{3}}^2}{3}-(\bar{a})^2}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{(-2)^2+10^2+1^2}{3}-3^2}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{4+100+1}{3}-9}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{105}{3}-9}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{35-9}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{26}\end{split}$$
Częściej spotkamy się raczej ze stosowaniem tego pierwszego wzoru, aczkolwiek drugi wzór ma ogromną zaletę – tylko raz potęgujemy średnią arytmetyczną. Będzie to więc spore ułatwienie w sytuacji, gdy średnia będzie jakimś ułamkiem.