Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji, który oznaczamy symbolem \(σ\). Możemy je obliczyć z następujących wzorów:

$$\begin{split}σ=\sqrt{\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+…+(x_{n}-\bar{a})^2}{n}}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+…+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2}\end{split}$$

\(x_{1}, x_{2}, x_{3}…\) – poszczególne liczby z których liczymy odchylenie standardowe
\(\bar{a}\) – średnia arytmetyczna tych liczb

Są to więc identyczne wzory jakie mieliśmy przy wariancji, tylko znajdują się one pod pierwiastkiem.

Przykład 1. Wariancja trzech liczb wynosi \(7\). Oblicz odchylenie standardowe.

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji, zatem skoro wariancja jest równa \(7\) to odchylenie standardowe będzie równe \(σ=\sqrt{7}\).

Przykład 2. Oblicz odchylenie standardowe liczb: \(-2, 10, 1\).

Tak jak przy wariancji tak i przy odchyleniu standardowym – musimy zacząć od obliczenia średniej arytmetycznej tych liczb:
$$\bar{a}=\frac{-2+10+1}{3} \\
\bar{a}=\frac{9}{3} \\
\bar{a}=3$$

Teraz możemy przejść do odchylenia standardowego i obliczymy je z dwóch wzorów, tak aby sprawdzić jak wyglądają one w praktycznym użyciu:
I sposób:
$$\begin{split}σ=\sqrt{\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+(x_{3}-\bar{a})^2}{3}}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{(-2-3)^2+\left((10-3\right)-2)^2+(1-3)^2}{3}}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{(-5)^2+7^2+(-2)^2}{3}}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{25+49+4}{3}}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{78}{3}}=\sqrt{26}\end{split}$$

II sposób:
$$\begin{split}σ=\sqrt{\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+{x_{3}}^2}{3}-(\bar{a})^2}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{(-2)^2+10^2+1^2}{3}-3^2}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{4+100+1}{3}-9}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{\frac{105}{3}-9}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{35-9}\end{split} \\
\begin{split}σ=\sqrt{26}\end{split}$$

Częściej spotkamy się raczej ze stosowaniem tego pierwszego wzoru, aczkolwiek drugi wzór ma ogromną zaletę – tylko raz potęgujemy średnią arytmetyczną. Będzie to więc spore ułatwienie w sytuacji, gdy średnia będzie jakimś ułamkiem.

Zobacz też: Wariancja

Dodaj komentarz