Czym są wyrażenia algebraiczne i po co wprowadziliśmy litery do matematyki? Na co zwracać uwagę i jakich błędów należy unikać przy tworzeniu takich wyrażeń? Na te pytania odpowiemy sobie w tym temacie.
Dotychczas na matematyce operowaliśmy zazwyczaj samymi liczbami, tworzyliśmy różne działania, uczyliśmy się podstawowych własności liczb itd. Jednak były już rozdziały, w których zaczęły się pojawiać nam litery (chociażby we wzorach matematycznych, czy też zadaniach z drogą/prędkością/czasem). Okazuje się więc, że świat matematyki to nie tylko liczby! Czas na nowy dział, który nazywać będziemy algebrą. Dzisiaj zajmiemy się podstawowymi informacjami dotyczącymi wyrażeń algebraicznych.
Czym są wyrażenia algebraiczne?
Wyrażenia algebraiczne to tak naprawdę połączenie liter i liczb za pomocą znaków działań matematycznych. Z tego też względu wyrażeniami algebraicznymi będą:
$$x+5,\quad y^2-2,\quad 6x,\quad 2x+3y+8,\quad a^2+b^2+c^2$$
Zwróć szczególną uwagę na zapis np. \(6x\). Jest to tak naprawdę \(6\cdot x\), ale dla uproszczenia przyjęło się, żeby w kropkę oznaczającą mnożenie pomijać, tam gdzie jest to możliwe. I tak oto nie stawiamy kropki pomiędzy czynnikami, które są:
- dwiema literami np. \(a\cdot b=ab\)
- liczbą i literą np. \(2\cdot a=2a\)
- liczbą lub literą przed nawiasem np. \(3\cdot(a+b)=3(a+b)\)
Oczywiście powyższe zasady dotyczą tylko mnożenia. Pozostałe znaki zapisujemy normalnie.
Po co wprowadzono zasadę z likwidacją kropki w powyższych przypadkach?
Powody są w zasadzie trzy. Po pierwsze takie wyrażenie jest mimo wszystko czytelniejsze. Po drugie tak jest szybciej. Po trzecie unikamy w ten sposób ewentualnych błędów przez niedopatrzenie, bo zapis kropki jest bardzo zbliżony do dwóch kropek z dzielenia.
Po co w ogóle wprowadzono litery do matematyki?
Litery w matematyce pojawiły się w sumie z dwóch powodów:
1. Dzięki literom jesteśmy w stanie tworzyć zapisy, które pozwolą obliczać różne niewiadome. Do tej pory Twoim zadaniem na matematyce było zazwyczaj obliczanie końcowego wyniku mając wszystkie dane podane na tacy – dzięki algebrze będziesz mógł dochodzić do pewnych wartości samodzielnie, co sprawi że będziemy rozwiązywać zadania z niewielką ilością danych.
2. Dzięki literom możemy zapisywać pewne uniwersalne relacje, które zachodzą między liczbami.
Przykładowo każdą liczbę parzystą możemy zapisać jako \(2x\). Jakiejkolwiek liczby naturalnej byś nie podstawił do tego wzoru, to zawsze wyjdzie Ci liczba parzysta (np. dla \(x=5\) mamy wartość \(2\cdot5=10\)).
Liczbę nieparzystą możemy za to zapisać jako \(2x-1\) i tu także podstawiając dowolną liczbę naturalną otrzymamy liczbę nieparzystą (np. dla \(x=5\) mamy wartość \(2\cdot5-1=9\)).
Prosty przykład, który uzmysłowi Ci czym jest algebra:
Do tej pory zadania z polem prostokąta polegały przede wszystkim na tym, że znaliśmy miary jednego i drugiego boku (bądź też łatwo je można było obliczyć). Krótko mówiąc – zawsze mieliśmy komplet informacji, by coś wyznaczyć.
Dzięki algebrze będziemy w stanie policzyć znacznie więcej typów zadań, mając często dużo mniej informacji na wstępie. Przykładowo będziemy mogli obliczyć długość krótszego boku prostokąta, wiedząc że jest \(3\) razy krótszy od dłuższego i że pole całej figury wynosi \(12cm^2\). Musisz przyznać, że dzisiaj to zadanie wydaje się dość trudne i w zasadzie można je obliczyć co najwyżej metodą prób i błędów. Na szczęście w kolejnych tematach poznasz proste zasady, dzięki którym z łatwością rozwiążesz tego typu zadania.
Jak odczytywać zapis algebraiczny?
Zanim jednak przejdziemy do zadań to spójrzmy na kilka przykładów wyrażeń algebraicznych i zobaczmy co one dokładnie oznaczają. Zwróć uwagę na to, że niektóre zapisy są bardzo podobne do siebie, a jednak znaczą coś innego!
- \(a+2\) to suma liczb \(a\) i \(2\)
- \(a-2\) to różnica liczb \(a\) i \(2\)
- \(2a\) to iloczyn liczb \(2\) i \(a\) lub liczba dwa razy większa od \(a\)
- \(a:2\) to iloraz liczb \(a\) i \(2\) (a nawet możemy powiedzieć, że jest to połowa liczby \(a\), bo dzielenie przez \(2\) daje nam połowę)
- \(\frac{1}{2}a\) to iloczyn liczb \(\frac{1}{2}\) i \(a\) lub połowa liczby \(a\)
- \(0,5a\) to tutaj tak samo jest to iloczyn liczb \(0,5\) i \(a\) lub połowa liczby \(a\)
- \(a^2 + b^2\) to suma kwadratów liczb \(a\) i \(b\)
- \((a+b)^2\) to kwadrat sumy liczb \(a\) i \(b\)
Zadania kontrolne:
a) Liczba trzykrotnie większa od \(x\) to …
b) Liczba czterokrotnie mniejsza od \(x\) to …
c) Liczba o połowę większa od \(x\) to …
- Odpowiedź:
a) \(3x\)
b) \(\frac{1}{4}x\) lub \(0,25x\)
c) \(1\frac{1}{2}x\) lub \(1,5x\)
Tematy i ćwiczenia polecane dla Ciebie:
Bardzo fajne testy ;)
Super stronka! wszystko wytlumaczone, co robic po kolei, polecam!:)
fajna strona polecam
testy szalone liczby są mega fajne polecam
Kiedyś można było tylko pomarzyć o czymś takim teraz to doskonała pomoc by każdy uczeń sam sobie poradził z matematyką…bravo!
To jest takie łatwe że już bardziej nie może.
Wow, ale fajne! Przeczytałam to tylko jeden raz, i już wszystko rozumiem :)
Fajne i łatwe
Fajna strona, wszystko wytłumaczone i zadania jasne, wszystkie z odpowiedzią co pozwala sprawdzać czy zrobiło się dobrze
Bardzo ciekawe.
Od dziś algebra to moje pierwsze imię. Super wytłumaczone, dziękuje autorowi.
Może być, źle nie jest ;)
Jak dla mnie algebra to czarna magia
Polecam, Miałam wczoraj sprawdzian i zdałam na 5
Świetna strona, przygotowuje się z nią do egzaminu
Uczę się aktualnie na zapas i stwierdzam że to dobra strona
Algebra to klucz i Żródło matematyki mega fajnie wytłumaczone
Fajna strona polecam
Bardzo polecam :))