Co to jest największy wspólny dzielnik? Jak go wyznaczyć? I właściwie po co go wyliczamy? Na te i inne pytania odpowiemy sobie w tym temacie.
Przed nami bardzo ważne zagadnienie, więc zanim zaczniemy sobie jego omawianie, to ustalmy co już potrafimy:
- Znamy kilka cech podzielności liczb (np. przez \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(9\), \(10\))
- Wiemy, że liczby naturalne dzielą się na pierwsze (które mają tylko dwa dzielniki) i złożone (które mają więcej niż dwa dzielniki).
- Wiemy, że każdą liczbę złożoną można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych, np.: \(18=2\cdot3\cdot3\) lub \(21=3\cdot7\)
- Umiemy dokonać rozkładu liczby na czynniki pierwsze, aby dowiedzieć się jakie liczby pierwsze należy przez siebie wymnożyć by otrzymać pożądaną liczbę złożoną.
Każdą z tych umiejętności powinieneś już opanować niemal do perfekcji, dlatego jeśli jeszcze masz jakieś trudności z danym tematem, to na dole strony znajdziesz linki do najważniejszych informacji.
Co to jest największy wspólny dzielnik?
Wypiszmy sobie dzielniki liczb \(12\) i \(18\):
$$D_{12}={1,2,3,4,6,12} \\
D_{18}={1,2,3,6,9,18}$$
Widzimy wyraźnie, że część dzielników liczb \(12\) i \(18\) się powtarza. Tymi dzielnikami są \(1\), \(2\), \(3\) i \(6\). Jak sama nazwa tematu wskazuje – interesować nas będzie ten największy dzielnik, który jest wspólny dla dwóch liczb. W naszym przypadku jest to \(6\). Możemy więc powiedzieć, że \(6\) jest największym wspólnym dzielnikiem (w skrócie: NWD) liczb \(12\) i \(18\).
Wydawać by się więc mogło, że odnalezienie NWD jest dziecinnie proste, wszak wystarczy wypisać sobie dzielniki i wybrać ten największy, który jest wspólny dla dwóch liczb. Rzeczywiście w przypadku liczb \(12\) i \(18\) jest to dosyć łatwe. A co jeśli chcemy znaleźć NWD dla nieco większych liczb, takich jak \(45\) i \(120\)?
Możemy wypisać sobie wszystkie dzielniki tych liczb, aczkolwiek jest to dość czasochłonne i nie ukrywajmy – dość trudne. Nawet jeśli jesteśmy bardzo dobrzy z matematyki to od czasu do czasu nie zauważymy jakiegoś nietypowego dzielnika. Przykładowo jednym z dzielników liczby \(120\) jest \(8\), co pewnie dostrzeże niewielu z Was. Jest jednak prostszy sposób, który jednoznacznie pozwoli nam wyznaczyć NWD – to rozkład liczb na czynniki pierwsze.
Krok 1. Spróbujmy rozłożyć na czynniki pierwsze liczby \(45\) i \(120\). Możemy to zrobić jednocześnie w jednym zapisie:
$$
\begin{array}{cc|c}
45 & 120 & \; \\
\; & \; & \; \\
\; & \; & \; \\
\; & \; & \;
\end{array}
$$
Krok 2. Teraz szukamy jakiegoś dzielnika, który jest wspólny dla \(45\) i \(120\).
Nie będzie to \(2\), bo \(45\) nie dzieli się przez \(2\).
Pasuje za to \(3\) i to jest nasz pierwszy czynnik, który zapiszemy po prawej stronie:
$$
\begin{array}{cc|c}
45 & 120 & 3 \\
15 & 40 & \; \\
\; & \; & \; \\
\; & \; & \;
\end{array}
$$
Krok 3. Po lewej stronie mamy już liczbę \(15\) (bo \(45:3=15\)) oraz \(40\) (bo \(120:3=40\)). Szukamy wspólnego dzielnika.
Nie będzie to \(2\), bo \(15\) nie dzieli się przez \(2\).
Nie będzie to też \(3\), bo \(40\) nie dzieli się przez \(3\).
To może \(4\)? Na pewno nie możemy tam wpisać \(4\), bo przecież to jest liczba złożona!
To będzie \(5\), bo zarówno \(15\) jak i \(40\) dzielą się przez \(5\):
$$
\begin{array}{cc|c}
45 & 120 & 3 \\
15 & 40 & 5 \\
3 & 8 & \; \\
\; & \; & \;
\end{array}
$$
Krok 4. Po lewej stronie zostało nam \(3\) i \(8\), które nie mają już wspólnego dzielnika. Zostawiamy więc tak jak jest i patrzymy co nam wyszło po prawej stronie, a znajdziemy tam \(3\) i \(5\). Żeby poznać NWD liczb \(45\) i \(120\) musimy pomnożyć wszystkie liczby, które wypisaliśmy po tej prawej stronie. W naszym przypadku będzie to \(3\cdot5=15\), co oznacza że NWD \((45, 120) = 15\).
Czy wyznaczanie NWD jest tylko matematyczną ciekawostką, czy też może do czegoś się przydaje?
Wszystkie tematy o których sobie mówimy w dziale podzielności liczb są bardzo przydatne w dziale ułamków zwykłych, zwłaszcza przy skracaniu i doprowadzaniu ułamków do wspólnej postaci mianownika, tak aby np. można było wykonać jakieś dodawanie lub odejmowanie. Nie jest to więc sztuka dla samej sztuki, tylko umiejętność, którą za chwilę będziemy bardzo często wykorzystywać. Im lepiej opanujesz wszystkie zagadnienia, tym łatwiej będzie Ci w kolejnych klasach rozwiązywać różne zadania.