Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a^2+b^2=7, to a^4+b^4=31

Uzasadnij, że jeżeli $a+b=1$ i $a^2+b^2=7$, to $a^4+b^4=31$.

Rozwiązanie:

Zadanie wymaga od nas sprawnego posługiwania się wzorami skróconego mnożenia, a kluczem do sukcesu jest tak naprawdę to, aby wpaść na pomysł jak powiązać ze sobą wszystkie informacje z treści zadania.

Krok 1. Rozpisanie wartości $a^4+b^4$ przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.

Zgodnie ze wzorem na kwadrat sumy możemy zapisać, że:
$$(a^2+b^2)^2=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2$$

To oznacza, że:
$$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$$

Wartość $a^2+b^2$ jest równa $7$, a więc:
$$a^4+b^4=7^2-2a^2b^2 \\
a^4+b^4=49-2a^2b^2$$

Gdyby teraz udało nam się udowodnić, że $2a^2b^2$ jest równe $18$, to otrzymalibyśmy działanie $49-18$, czyli $31$, co zakończyłoby dowód.

Krok 2. Podniesienie do kwadratu wyrażenia $a+b$ i obliczenie wartości $2a^2b^2$.

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Z treści zadania wiemy, że $a+b=1$ oraz że $a^2+b^2=7$, co po podstawieniu do tego wzoru da nam:
$$1^2=7+2ab \\
2ab=-6$$

Jesteśmy już bardzo blisko końcowego rozwiązania, bo skoro $2ab=-6$, to podnosząc obie strony do potęgi drugiej otrzymamy:
$$4a^2b^2=36 \quad\bigg/:2 \\
2a^2b^2=18$$

Krok 3. Zakończenie dowodu.

Znamy wartość $2a^2b^2$, więc podstawiając ją do wzoru z pierwszego kroku otrzymamy:
$$a^4+b^4=49-2a^2b^2 \\
a^4+b^4=49-18=31$$

Ostatecznie udowodniliśmy, że wartość $a^4+b^4$ jest faktycznie równa $31$.

Odpowiedź:

Udowodniliśmy twierdzenie wykorzystując do tego wzory skróconego mnożenia.

Zadania

Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a^2+b^2=7, to a^4+b^4=31

Uzasadnij, że jeżeli \(a+b=1\) i \(a^2+b^2=7\), to \(a^4+b^4=31\).