Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2017

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Zadanie obliczymy tzw. metodą delty.
Współczynniki: \(a=2,\;b=1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=1-(48)=1+48=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-7}{2\cdot2}=\frac{-8}{4}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+7}{2\cdot2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=2\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-2\) oraz \(x=\frac{3}{2}\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero dla \(x\in\left\langle-2;\frac{3}{2}\right\rangle\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania: \(x^2-6=0 \lor 3x+2=0\).
ALBO
• Gdy wskażesz poprawnie jedno lub dwa rozwiązania równania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Równanie jest przedstawione w wygodnej postaci iloczynowej. Całe równanie będzie równe zero wtedy, gdy w jednym z nawiasów otrzymamy zero, zatem:
$$(x^2-6)(3x+2)=0 \\
x^2-6=0 \quad\lor\quad 3x+2=0 \\
x^2=6 \quad\lor\quad 3x=-2 \\
x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do postaci \((2x-1)^2\ge0\) ale nie dokończysz uzasadnienia.
ALBO
• Gdy mając postać \(4x^2-4x+1\ge0\) obliczysz jedynie, że delta jest równa \(0\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez \(x\), ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że \(x\) jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:
$$4x+\frac{1}{x}\ge4 \quad\bigg/\cdot x\\
4x^2+1\ge4x \\
4x^2-4x+1\ge0 \\
(2x-1)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości odcinka \(AD\) oraz \(DB\) (patrz: Krok 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że odcinek \(BC\) jest dwukrotnie krótszy od \(AB\) oraz że odcinek \(DB\) jest dwukrotnie krótszy od \(BC\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację nanosząc na rysunek dane z treści zadania:



Przy okazji możemy od razu zapisać, że skoro jest to trójkąt prostokątny i \(|\sphericalangle ABC|=60°\) to \(|\sphericalangle CAB|=30°\), co ułatwi nam późniejsze obliczenia.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|AD|\) (czyli \(x\)).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ADC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$tg30°=\frac{h}{x} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}x=h \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \\
x=\frac{3h}{\sqrt{3}}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DB\) (czyli \(y\)).
Tym razem spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{h}{y} \\
\sqrt{3}=\frac{h}{y} \\
\sqrt{3}y=h \\
y=\frac{h}{\sqrt{3}}$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Już po otrzymanych wynikach widzimy wyraźnie, że odcinek \(AD\) oznaczony jako \(x\) jest trzykrotnie większy od odcinka \(DB\) oznaczonego jako \(y\). Formalnie możemy jeszcze to zapisać w taki sposób:
$$|AD|:|DB|=x:y=\frac{3h}{\sqrt{3}}:\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{3h}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{h}=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W naszym zbiorze mamy pięć liczb. Skoro losowanie odbywa się ze zwracaniem, to znaczy że za pierwszym razem możemy wylosować jedną z pięciu liczb i za drugim razem wylosujemy także jedną z pięciu. W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=5\cdot5=25$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są wszystkie te sytuacje w których dzieląc liczbę pierwszą przez drugą otrzymamy liczbę całkowitą. Wypiszmy zatem te wszystkie możliwości:
$$(1,1), (2,1), (2,2), (4,1), (4,2), (4,4), \\
(5,1), (5,5), (10,1), (10,2), (10,5), (10,10)$$

Mamy \(12\) takich przypadków, zatem \(|A|=12\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz równanie \(2a_{1}+49r=50\) lub inne podobne (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Przekształcenie wyrazów z pierwszej sumy.
Każdy z wyrazów ciągu arytmetycznego możemy rozpisać korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

W związku z tym:
$$a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100 \\
(a_{1}+20r)+(a_{1}+23r)+(a_{1}+26r)+(a_{1}+29r)=100 \\
4a_{1}+98r=100 \\
2a_{1}+49r=50$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{25}+a_{26}\).
Mamy obliczyć ile to jest \(a_{25}+a_{26}\), czyli zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy policzyć sumę:
$$a_{25}+a_{26}=(a_{1}+24r)+(a_{1}+25r) \\
a_{25}+a_{26}=2a_{1}+49r$$

Wiemy już jaka jest wartość wyrażenia \(2a_{1}+49r\), zatem możemy zapisać, że:
$$a_{25}+a_{26}=50$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jedynie wzór w postaci iloczynowej \(f(x)=a(x+2)(x-6)\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz pełny wzór w postaci iloczynowej (z obliczonym współczynnikiem \(a\)), czyli \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz pełny wzór w postaci iloczynowej (z obliczonym współczynnikiem \(a\)), czyli \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\) (patrz: Krok 2.) oraz obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
f(x)=a(x-(-2))(x-6) \\
f(x)=a(x+2)(x-6)$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
W postaci iloczynowej brakuje nam jeszcze tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu \(A=(1,-5)\). Wtedy:
$$-5=a(1+2)(1-6) \\
-5=a\cdot3\cdot(-5) \\
-5=-15a \\
a=\frac{1}{3}$$

To oznacza, że nasza funkcja w postaci iloczynowej przyjmuje wzór: \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej \(p\)).
Nasza funkcja ma współczynnik kierunkowy równy \(a=\frac{1}{3}\), a to oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że minimalną wartość funkcja osiągnie w swoim wierzchołku. Znając dwa miejsca zerowe możemy bez problemu wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli, bowiem wierzchołek jest zawsze pośrodku tych miejsc zerowych. Zatem:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\
p=\frac{-2+6}{2} \\
p=\frac{4}{2} \\
p=2$$

Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji.
Wiemy już, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku i wiemy że osiąga ten wierzchołek dla \(x=2\). W związku z tym możemy podstawić \(x=2\) do wzoru funkcji, który wyznaczyliśmy w drugim kroku i otrzymamy poszukiwaną najmniejszą wartość funkcji:
$$f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6) \\
f(2)=\frac{1}{3}(2+2)(2-6) \\
f(2)=\frac{1}{3}\cdot4\cdot(-4) \\
f(2)=\frac{1}{3}\cdot(-16) \\
f(2)=-\frac{16}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(CD\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\) (patrz: Krok 3. oraz 4.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Równanie prostej przybiera postać \(y=ax+b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przetnie się z osią igreków. W naszym przypadku prosta \(CD\) przechodzi przez początek układu współrzędnych, zatem przecina oś igreków dla \(y=0\). To oznacza, że także \(b=0\), czyli prostą \(CD\) możemy opisać wzorem \(y=ax\).

To czego teraz potrzebujemy, to wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej. Zrobimy to podstawiając współrzędne punktu \(D=(3,4)\), który przez tą prostą przechodzi:
$$y=ax \\
4=a\cdot3 \\
a=\frac{4}{3}$$

Wyszło nam więc, że prosta \(CD\) przyjmuje postać \(y=\frac{4}{3}x\).

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Prosta \(AB\) jest prostopadła do prostej \(CD\), a to oznacza, że iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy \(-1\). Skoro prosta \(CD\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{4}{3}\), to znaczy że prosta \(AB\) ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{4}{3}=-1 \\
a=-\frac{3}{4}$$

Możemy więc już zapisać, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) naszej prostej, a zrobimy to podstawiając do wzoru współrzędne punktu \(D\), który przez tą prostą przechodzi:
$$y=-\frac{3}{4}x+b \\
4=-\frac{3}{4}\cdot3+b \\
4=-\frac{9}{4}+b \\
\frac{16}{4}=-\frac{9}{4}+b \\
b=\frac{25}{4}$$

W ten sposób poznaliśmy już pełne równanie prostej \(AB\) i jest to \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
O punkcie \(A\) wiemy tyle, że na pewno jego współrzędna igrekowa jest równa \(0\), bo leży ten punkt na osi iksów. Skoro tak, to brakuje nam już tylko współrzędnej iksowej tego punktu, a obliczymy ją podstawiając do równania prostej \(AB\) właśnie \(y=0\):
$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \\
0=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \\
\frac{3}{4}x=\frac{25}{4} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\
x=\frac{25}{3}$$

Możemy więc zapisać, że \(A=\left(\frac{25}{3},0\right)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Współrzędna iksowa punktu \(B\) jest dość oczywista, bo skoro punkt \(B\) leży na osi igreków, to współrzędna iksowa jest równa \(0\). Współrzędną igrekową możemy wprost odczytać z równania prostej \(AB\). Skoro współczynnik \(b\) tej prostej jest równy \(\frac{25}{4}\), to współrzędna igrekowa także będzie równa \(y=\frac{25}{4}\). Gdybyśmy nie pamiętali o tej własności, to wystarczy do równania prostej \(AB\) podstawić \(x=0\), otrzymamy dokładnie to samo:
$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \\
y=-\frac{3}{4}\cdot0+\frac{25}{4} \\
y=\frac{25}{4}$$

W związku z tym \(B=\left(0,\frac{25}{4}\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) nie pozostaje nam nic innego jak podstawić je do wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{\left(0-\frac{25}{3}\right)^2+\left(\frac{25}{4}-0\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{\left(-\frac{25}{3}\right)^2+\left(\frac{25}{4}\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{\frac{625}{9}+\frac{625}{16}} \\
|AB|=\sqrt{\frac{625\cdot16}{9\cdot16}+\frac{625\cdot9}{16\cdot9}} \\
|AB|=\sqrt{\frac{10000}{144}+\frac{5625}{144}} \\
|AB|=\sqrt{\frac{15625}{144}} \\
|AB|=\frac{125}{12}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz boku \(AB\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że np. \(|AC|=4x\) oraz \(|BC|=3x\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy ułożysz równanie typu \((4x)^2+(3x)^2=10^2\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długości wszystkich boków trójkąta (patrz: Krok 1. oraz 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Skoro trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i na nim jest opisany okrąg, to znaczy że przeciwprostokątna tego trójkąta (czyli właśnie bok \(AB\)) jest równy średnicy tego okręgu. Wynika to z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Z treści zadania wiemy, że promień okręgu jest równy \(r=5\) (bo odcinek \(SC\) jest promieniem), zatem średnica okręgu, czyli odcinek \(AB\) będzie równy:
$$|AB|=2\cdot5 \\
|AB|=10$$

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AC\) oraz \(BC\).
Skoro stosunek boków \(AC\) do \(BC\) jest równy \(4:3\), to możemy zapisać, że \(|AC|=4x\), natomiast \(|BC|=3x\). Wartość niewiadomej \(x\) obliczymy teraz z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\):
$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2 \\
(4x)^2+(3x)^2=10^2 \\
16x^2+9x^2=100 \\
25x^2=100 \\
x^2=4 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej wartości, zatem zostaje nam \(x=2\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami zapisaliśmy długości boków \(AC\) oraz \(BC\) jako \(4x\) oraz \(3x\), czyli:
$$|AC|=4x \\
|AC|=4\cdot2 \\
|AC|=8 \\
\quad \\
|BC|=3x \\
|BC|=3\cdot2 \\
|BC|=6$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na prostokąt \(BEFC\). Wiemy, że jego pole jest równe \(48\) i wiemy też, że dolny bok tego prostokąta (czyli bok \(BC\)) ma długość \(6\). To oznacza, że wysokość tego prostokąta (czyli wysokość całego graniastosłupa) jest równa:
$$P=|BC|\cdot|BE| \\
48=6\cdot|BE| \\
|BE|=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o przyprostokątnych \(6\) oraz \(8\), czyli bez przeszkód obliczymy pole podstawy. Dodatkowo wiemy już, że wysokość graniastosłupa jest równa \(8\), zatem możemy przejść do obliczenia objętości tej bryły:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot8 \\
V=192$$