Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy równanie, w którym niewiadoma \(x\) pojawia się w mianowniku ułamka. Zanim więc zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać stosowne założenia, ponieważ wartość mianownika nie może być równa \(0\) (gdyż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\)). Skoro tak, to:
$$(2x-10)(x+3)\neq0$$
Mamy postać iloczynową równania kwadratowego, zatem każdy z nawiasów musi być różny od zera, czyli:
$$2x-10\neq0 \quad\lor\quad x+3\neq0 \\
2x\neq10 \quad\lor\quad x\neq-3 \\
x\neq5 \quad\lor\quad x\neq-3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać podane równanie, musimy obydwie strony pomnożyć przez wartość w mianowniku, zatem:
$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot(2x-10)(x+3) \\
(4x+1)(x-5)=0$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera:
$$4x+1=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
4x=-1 \quad\lor\quad x=5 \\
x=-\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=5$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na koniec musimy zweryfikować otrzymane wyniki z zapisanymi założeniami. Widzimy, że rozwiązanie \(x=5\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości mianownik był równy \(0\). Skoro tak, to jedynym rozwiązaniem tego zadania będzie \(x=-\frac{1}{4}\).
