Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Grudzień 2018 – Odpowiedzi

D

Krok 1. Odrzucenie paczek ze względu na wymiary.
Z zapisu \(38cm\times41cm\times64cm\) wynika, że aby paczka mogła zostać nadana, to długości poszczególnych boków prostopadłościanu mogą mieć maksymalnie:
Pierwszy bok: \(38cm\)
Drugi bok: \(41cm\)
Trzeci bok: \(64cm\)

Z zaprezentowanych paczek tych warunków nie spełnia paczka pierwsza, bo jej trzeci bok ma długość \(66cm\). To oznacza, że pierwszą paczkę musimy odrzucić i w dalszej części zadania interesować nas będą póki co jedynie paczki numer \(2,3,4\).

Krok 2. Odrzucenie paczek ze względu na wagę.
Oprócz odpowiednich wymiarów nasze paczki muszą mieć jeszcze odpowiednią wagę. Maksymalna dopuszczalna waga wynosi \(25kg\) i widzimy, że trzecia paczka jest zbyt ciężka, a to oznacza, że jej także nie możemy nadać przez paczkomat.

Krok 3. Wybór paczek, które możemy nadać przez paczkomat.
Po analizie wykonanej w kroku pierwszym i drugim możemy stwierdzić, że kryterium wymiarów oraz wagi spełniają jedynie paczki numer \(2\) oraz \(4\).

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
W \(100g\) jogurtu mamy \(167mg\) wapnia. Nasz jogurt ma \(150g\), zatem możemy ułożyć następującą proporcję:

Skoro w \(100g\) jogurtu jest \(167mg\) wapnia
To w \(50g\) jogurtu jest \(83,5mg\) wapnia
Więc w \(150g\) jogurtu jest \(250,5mg\) wapnia

To oznacza, że zjedzenie całego jogurtu dostarcza organizmowi około \(250mg\) wapnia.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Chcąc policzyć ile razy więcej jest białka niż witaminy B2 nie musimy przeliczać poszczególnych wartości na \(150g\) jogurtu. Wystarczy nam informacja jak to wygląda w przeliczeniu na \(100g\).

W \(100g\) jogurtu mamy \(4,6g=4600mg\) białka oraz \(0,25mg\) witaminy B2. To oznacza, że białka jest \(4600mg:0,25mg=18400\) razy więcej niż witaminy B2.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
\(120\%\) możemy zamienić na ułamek dziesiętny \(1,2\). Analogicznie \(180\%\) możemy zamienić na ułamek dziesiętny \(1,8\). W związku z tym:
\(120\%\) liczby \(180\) jest równe \(1,2\cdot180=216\)
\(180\%\) liczby \(120\) jest równe \(1,8\cdot120=216\)

Wyszły nam jednakowe wyniki, zatem pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
\(20\%\) możemy zamienić na ułamek dziesiętny \(0,2\). Analogicznie \(40\%\) możemy zamienić na ułamek dziesiętny \(0,4\). W związku z tym:
\(20\%\) liczby \(36\) jest równe \(0,2\cdot36=7,2\)
\(40\%\) liczby \(18\) jest równe \(0,4\cdot18=7,2\)

Wyszły nam jednakowe wyniki, zatem drugie zdanie jest prawdą.

C

Krok 1. Wyznaczenie wartości liczby \(x\).
Musimy ustalić jaka liczba jest najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez \(3\) i \(4\). Taką liczbą jest oczywiście \(12\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to możemy wypisać sobie kilka początkowych wielokrotności liczb \(3\) oraz \(4\) i sprawdzić jaka liczba będzie pierwszą, która się powtórzy:
$$W_{3}=\{3,6,9,12...\} \\
W_{4}=\{4,8,12...\}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości liczby \(y\).
Liczba \(y\) jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(2\) i \(9\). Tutaj możemy wykazać się sprytem, bowiem największą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(9\) jest \(99\), ale niestety \(99\) nie jest podzielne przez \(2\). W związku z tym kolejną liczbą do sprawdzenia byłaby liczba o \(9\) mniejsza, czyli \(90\) i ta z kolei jest podzielna zarówno przez \(9\) jak i przez \(2\), zatem to jest ta poszukiwana przez nas liczba.

Krok 3. Wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb \(x\) oraz \(y\).
Wiemy już, że \(x=12\) oraz \(y=90\). Naszym zadaniem jest teraz wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW). Oczywiście możemy to wyznaczyć ręcznie, wypisując sobie poszczególne wielokrotności i sprawdzając która z nich będzie NWW, ale ponownie możemy postąpić nieco sprytniej. Patrząc się na odpowiedzi moglibyśmy odrzucić liczby \(72, 108\) oraz \(216\), bo nie są to wielokrotności liczby \(90\). Z tak prostej analizy została nam już tylko jedna odpowiedź i jest to \(180\), która jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb \(12\) oraz \(90\).

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy sprawdzić ile kafli znalazło się pod dywanem. Warto w tym celu sporządzić sobie rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy zajęte kafelki:


Sumując wszystkie części kafli wyjdzie nam, że dywan zajął \(3,75\) kafla, zatem zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Licząc po kaflach nasz dywan ma szerokość \(1,5\) kafla oraz długość \(2,5\) kafla. Skoro każdy kafel ma bok o długości \(60cm\), to znaczy że:
Szerokość dywanu jest równa \(1,5\cdot60cm=90cm\)
Długość dywanu jest równa \(2,5\cdot60cm=150cm\)

To oznacza, że drugie zdanie jest nieprawdą.

C

Do obliczenia prędkości skorzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\). Długość drogi oraz czasu rozchodzenia się impulsu zarówno dla człowieka jak i rośliny mamy podane w treści zadania, zatem bez problemu wyliczymy obydwie te prędkości. Jednak zanim zaczniemy liczyć, to dobrze byłoby sobie ujednolicić pewne jednostki, tak aby u człowieka i u roślin otrzymać jednakową jednostkę prędkości - będzie nam wtedy znacznie łatwiej wykonać końcowe porównanie. To jaką jednostkę sobie wybierzemy jest już zupełnie dowolne, ale najprościej będzie chyba sprowadzić długość do centymetrów, a czas do sekund. W związku z tym:
Człowiek: \(s=2m=200cm\) oraz \(t=1s\)
Roślina: \(s=60cm\) oraz \(t=1min=60s\)

Teraz możemy przejść do obliczeń:
Człowiek: \(v=\frac{200cm}{1s}=200\frac{cm}{s}\)
Roślina: \(v=\frac{60cm}{60s}=1\frac{cm}{s}\)

To oznacza, że prędkość rozchodzenia się tego impulsu u człowieka jest \(200\) razy większa niż u roślin.

B 3.,

Krok 1. Ustalenie wartości liczb \(x\) oraz \(y\).
Skoro Monika zaokrągliła liczbę \(3465\) do pełnych setek, to zgodnie z zasadami zaokrąglania musiała ją zaokrąglić w górę, zatem z takiego zaokrąglenia otrzymała liczbę \(x=3500\).
Skoro Paweł zaokrąglił liczbę \(3495\) do pełnych tysięcy, to zgodnie z zasadami zaokrąglania musiał ją zaokrąglić w dół, przez co otrzymał on liczbę \(y=3000\).

Krok 2. Wybór właściwej odpowiedzi.
Z naszej analizy wynika, że otrzymane przez Monikę i Pawła liczby nie są równe, a otrzymane zaokrąglenia różnią się o \(3500-3000=500\). Z tego też względu prawidłową odpowiedzią jest "Nie, ponieważ otrzymane zaokrąglenia różnią się o \(500\)".

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Chcąc obliczyć jaka liczba jest o \(2\) większa od liczby \(3\sqrt{2}-4\) musimy wykonać następujące działanie:
$$3\sqrt{2}-4+2=3\sqrt{2}-2$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Chcąc obliczyć jaka liczba jest \(2\) razy większa od liczby \(3\sqrt{2}-4\) musimy wykonać następujące działanie:
$$2\cdot(3\sqrt{2}-4)=6\sqrt{2}-8$$

D

Krok 1. Obliczenie łącznej liczby lat wszystkich dzieci.
Z treści zadania wynika, że średnia wieku wszystkich dzieci państwa Nowaków jest równa \(10\) lat. Skoro Nowakowie mają czwórkę dzieci (trzy córki i jednego syna) to te dzieci mają łącznie:
$$4\cdot10lat=40lat$$

Krok 2. Obliczenie łącznej liczby lat córek.
Wiemy też, że Nowakowie mają trzy córki, a średnia ich wieku jest równa \(8\), zatem wszystkie trzy córki mają łącznie:
$$3\cdot8lat=24lata$$

Krok 3. Obliczenie wieku syna.
Skoro czwórka dzieci ma łącznie \(40\) lat, a trzy córki mają razem \(24\) lata, to syn państwa Nowaków ma:
$$40lat-24lata=16lat$$

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Na pierwszym bączku mamy pięć różnych liczb: \(1,2,3,4,5\). Nas interesuje wylosowanie liczby większej niż \(3\), czyli interesują nas dwa wyniki: \(4\) oraz \(5\). Skoro interesują nas dwa wyniki z pięciu możliwych, to prawdopodobieństwo wylosowania liczby większej niż \(3\) jest równe \(\frac{2}{5}\). To oznacza, że to prawdopodobieństwo jest mniejsze niż \(\frac{1}{2}\), czyli pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Na pierwszym bączku mamy pięć liczb, a trzy z nich to liczby nieparzyste. W związku z tym prawdopodobieństwo wylosowania liczby nieparzystej jest równe \(\frac{3}{5}\).
Na drugim bączku mamy sześć liczb, a trzy z nich to liczby nieparzyste. W związku z tym prawdopodobieństwo wylosowania liczby nieparzystej jest równe \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).

To oznacza, że prawdopodobieństwa są różne, czyli drugie zdanie jest fałszem.

C

Spróbujmy uprościć sobie informacje, które zawarte są w treści zadania. Z zadania wynika, że \(\frac{1}{3}\) liczby \(x\) jest o \(\frac{3}{4}\) większe od \(\frac{1}{6}\) liczby \(x\). Możemy więc powiedzieć, że \(\frac{1}{3}x\) to tyle samo co \(\frac{1}{6}x+\frac{3}{4}\) i takie też równanie znalazło się w trzeciej odpowiedzi.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby ocenić prawdziwość obydwu zdań najprościej będzie sporządzić rysunek pomocniczy, na którym zamieścimy informacje z treści zadania:


Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Na podstawie rysunku spróbujmy obliczyć miary poszczególnych kątów. Wiedząc, że suma miar kątów w trójkącie jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:
$$48°+α+β=180° \\
48°+α+α-48°=180° \\
2α=180° \\
α=90°$$

W pierwszym pytaniu mamy stwierdzić jaka jest miara kąta przy wierzchołku \(B\), a będzie ona równa zgodnie z rysunkiem:
$$β=α-48° \\
β=90°-48° \\
β=42°$$

Pierwsze zdanie jest więc fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W obliczeń wykonanych w drugim kroku wyszło nam, że kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(90°\), zatem prawdą jest, że ten trójkąt jest prostokątny.

A

W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów na współrzędne środka odcinka:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(P\), więc będziemy w stanie wyznaczyć brakujące współrzędne punktu \(B\). Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
-2=\frac{-8+x_{B}}{2} \\
-4=-8+x_{B} \\
x_{B}=4 \\
\quad \\
y_{P}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
2=\frac{-4+y_{B}}{2} \\
4=-4+y_{B} \\
y_{B}=8$$

To oznacza, że nasz punkt \(B\) ma współrzędne \((4,8)\).

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Każdy prostopadłościan, którego użyliśmy do zbudowania formy ma wymiary \(2cm\times2cm\times9cm\), zatem objętość każdego takiego elementu wynosi:
$$V=abc \\
V=2cm\cdot2cm\cdot9cm \\
V=36cm^3$$

Z racji tego, iż do konstrukcji użyliśmy czterech takich elementów, to objętość drewna z którego zbudowano formę jest równa:
$$V=4\cdot36cm^3=144cm^3$$

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Musimy wyznaczyć wymiary naszego odlewu gipsowego. Z wysokością nie ma problemu, widzimy wyraźnie że będzie to \(2cm\), ale potrzebna nam jest jeszcze długość i szerokość tego odlewu. Najprościej będzie wyznaczyć te wartości na rysunku pomocniczym:


Skoro odlew ma wymiary \(7cm\times7cm\times2cm\), to jego objętość będzie równa:
$$V=7cm\cdot7cm\cdot2cm=98cm^3$$

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Ostrosłup ma \(8\) krawędzi, natomiast graniastosłup ma \(9\) krawędzi. Skoro każda z krawędzi ma jednakową długość, to suma wszystkich krawędzi ostrosłupa jest na pewno mniejsza niż suma suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa. Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro wszystkie krawędzie mają jednakową długość, to znaczy że ścianami tych brył są trójkąty równoboczne oraz kwadraty. W związku z tym musimy skorzystać ze wzorów na pole trójkąta równobocznego oraz kwadratu.
$$P_{tr}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{kw}=a^2$$

W ostrosłupie mamy cztery ściany trójkątne i jedną ścianę kwadratową, zatem pole powierzchni całkowitej ostrosłupa będzie równe:
$$P_{o}=4\cdot P_{tr}+P_{kw} \\
P_{o}=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+a^2 \\
P_{o}=a^2\sqrt{3}+a^2$$

W graniastosłupie mamy dwie ściany trójkątne oraz trzy kwadratowe, zatem pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie równe:
$$P_{g}=2\cdot P_{tr}+3\cdot P_{kw} \\
P_{g}=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3a^2 \\
P_{g}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3a^2$$

Teraz powinniśmy porównać do siebie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa i graniastosłupa, ale tak na pierwszy rzut oka nie jesteśmy w stanie stwierdzić, które pole jest większe. Dlatego też w jednym i drugim polu powierzchni musimy jeszcze wyłączyć wspólny czynnik przed nawias:
$$P_{o}=a^2\sqrt{3}+a^2=a^2(\sqrt{3}+1) \\
P_{g}=3a^2+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=a^2\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

W tym momencie porównanie pól powierzchni robi się już znacznie łatwiejsze, bowiem przyjmując przybliżenie \(\sqrt{3}\approx1,73\) wyjdzie nam, że:
$$P_{o}\approx a^2\cdot(1,73+1)\approx 2,73a^2 \\
P_{g}\approx a^2\cdot\left(3+\frac{1,73}{2}\right)\approx3,865a^2$$

To oznacza, że pole ostrosłupa jest mniejsze niż pole graniastosłupa, zatem zdanie jest fałszem.

\(|KB|=0,8cm\)

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni trapezu \(KBCL\).
Z treści zadania wynika, że prostokąt \(ABCD\) ma wymiary \(7cm\times8cm\). W związku z tym pole tego prostokąta jest równe:
$$P_{ABCD}=7cm\cdot8cm=56cm^2$$

Jeżeli pole trapezu jest czterokrotnie mniejsze od pola tego prostokąta, to znaczy że to pole jest równe:
$$P_{KBCL}=56cm^2:4=14cm^2$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(KB\).
O trapezie \(KBCL\) wiemy, że jedna z jego podstaw ma długość \(a=3,2cm\), wysokość ma miarę \(h=7cm\), a pole tego trapezu jest równe \(P=14cm^2\). W związku z tym jeżeli podstawę \(KB\) oznaczymy sobie symbolem \(b\), to korzystając ze wzoru na pole trapezu możemy zapisać, że:
$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \\
14cm^2=\frac{3,2cm+b}{2}\cdot7cm \quad\bigg/:7cm \\
2cm^2=\frac{3,2cm+b}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
4cm^2=3,2cm+b \\
b=0,8cm$$

To oznacza, że odcinek \(KB\) ma miarę \(0,8cm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w którym jedyną niewiadomą jest długość boku \(KB\) (patrz: Krok 2.), ale samo równanie rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy obliczysz, że trapez \(KBCL\) ma mieć powierzchnię równą \(14cm^2\) oraz podstawisz dane do wzoru na pole trapezu otrzymując wyrażenie algebraiczne typu \(\frac{3,2cm+b}{2}\cdot7cm\), ale nie wpadniesz na pomysł, że trzeba z tych dwóch danych ułożyć równanie typu \(\frac{3,2cm+b}{2}\cdot7cm=14cm^2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono pokazując, że gdyby w danym miesiącu miały się urodzić maksymalnie \(3\) osoby, to grupa mogłaby liczyć maksymalnie \(36\) osób.

Rok ma \(12\) miesięcy. Gdyby nawet w każdym miesiącu urodziły się dokładnie trzy osoby, to łącznie otrzymalibyśmy liczbę \(3\cdot12=36\) uczniów. Na zajęcia sportowe zapisanych jest \(37\) uczniów, a to oznacza, że ten trzydziesty siódmy uczeń musi być przynajmniej tym czwartym, który urodził się w danym miesiącu.

To oznacza, że w grupie \(37\) osób muszą być przynajmniej cztery osoby, które urodziły się w danym miesiącu. Gdyby grupa liczyła maksymalnie \(36\) osób, to takiej pewności już byśmy nie mieli.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy \(36\) osób rozdzielisz na poszczególne miesiące w taki sposób, że w każdym miesiącu są po \(3\) osoby i nie zapiszesz jakiegokolwiek wniosku końcowego.
ALBO
• Gdy \(36\) osób rozdzielisz na poszczególne miesiące w taki sposób, że w każdym miesiącu są po \(3\) osoby i przypiszesz trzydziestą siódmą osobę do konkretnego miesiąca (czyli np. założysz sztywno, że ta trzydziesta siódma osoba urodziła się w styczniu).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(19\) klocków oraz \(3cm\times3cm\times3cm\)

Krok 1. Ustalenie wymiarów prostopadłościanu.
Na początku spróbujmy ustalić jakie to wymiary będzie mieć nasz nowo powstały prostopadłościan. Najlepiej będzie to widać na rysunku pomocniczym:


Po zsumowaniu odpowiednich długości widzimy wyraźnie, że nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(3cm\times3cm\times3cm\).

Krok 2. Ustalenie ile klocków sześciennych trzeba dołożyć.
Nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(3cm\times3cm\times3cm\), czyli jego objętość będzie równa:
$$V=3cm\cdot3cm\cdot3cm \\
V=27cm^3$$

W tym prostopadłościanie znajdują się już cztery klocki o wymiarach \(2cm\times1cm\times1cm\), czyli ich łączna objętość jest równa:
$$V=4\cdot2cm\cdot1cm\cdot1cm \\
V=4\cdot2cm^3 \\
V=8cm^3$$

To oznacza, że do zapełnienia kostkami sześciennymi zostaje nam przestrzeń równa \(27cm^3-8cm^3=19cm^3\).

Sześcienne kostki, które mamy dołożyć, mają długość krawędzi równą \(1cm\). W związku z tym objętość każdego takiego klocka jest równa:
$$V=1cm\cdot1cm\cdot1cm \\
V=1cm^3$$

W związku z tym liczba klocków sześciennych, które musimy dołożyć będzie równa:
$$19cm^3:1cm^3=19$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz wymiary nowego prostopadłościanu (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz ile klocków sześciennych trzeba dołożyć (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Maksymalna długość boku kwadratu wynosi \(3cm\).

Krok 1. Obliczenie maksymalnej długości boku kwadratu (licząc kwadraty na krótszym boku).
Z rysunku wynika, że wzdłuż boku kartki o długości \(15cm\) Agata zmieściła \(3\) kwadraty. Sprawdźmy zatem jaka może być maksymalna długość przekątnej takiego kwadratu (analizujemy przekątną, bo jest ona równoległa do boku kartki):
$$15cm:3=5cm$$

Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Ta zależność pozwoli nam obliczyć długość boku kwadratu, przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,4\):
$$a\sqrt{2}=5cm \\
1,4a\approx5cm \\
a\approx3,57cm$$

Z treści zadania wynika, że długość boku kwadratu musi wyrażać się całkowitą liczbą centymetrów, zatem największy możliwy kwadrat jaki zmieści się wzdłuż krótszej krawędzi kartki może mieć bok o długości \(3cm\).

Krok 2. Obliczenie maksymalnej długości boku kwadratu (licząc kwadraty na dłuższym boku).
To jednak nie koniec zadania, bo choć owszem wzdłuż krótszej krawędzi zmieszczą się trzy kwadraty o boku długości \(3cm\), to nie mamy jeszcze pewności, czy z takimi wymiarami zmieszczą się cztery kwadraty wzdłuż dłuższej krawędzi kartki. Musimy zatem wykonać podobne obliczenia dla dłuższego boku kartki.

Z rysunku wynika, że wzdłuż dłuższego boku kartki o długości \(18cm\) Agata zmieściła \(4\) kwadraty, zatem maksymalna długość przekątnej takiego kwadratu wynosi:
$$18cm:4=4,5cm$$

I tu ponownie korzystając z własności przekątnych obliczymy, że bok kwadratu może mieć długość:
$$a\sqrt{2}=4,5cm \\
1,4a\approx4,5cm \\
a\approx3,21cm$$

Zgodnie z treścią zadania bok kwadratu ma mieć całkowitą liczbę centymetrów, czyli wzdłuż dłuższego boku kartki także zmieści się nam kwadrat o boku długości \(3cm\).

To oznacza, że maksymalna długość boku kwadratu wynosi \(3cm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przedstawisz poprawny sposób pozwalający na wyznaczenie długości boku kwadratu, korzystając z krótszego lub dłuższego boku (patrz: Krok 1. lub Krok 2.), ale samej długości nie wyznaczysz poprawnie (np. nie zaokrąglisz do \(3cm\), albo popełnisz błąd rachunkowy).
2 pkt
• Gdy przedstawisz poprawny sposób pozwalający na wyznaczenie długości boku kwadratu, korzystając z krótszego oraz dłuższego boku (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.), ale samej długości nie wyznaczysz poprawnie (np. nie zaokrąglisz do \(3cm\), albo popełnisz błąd rachunkowy).
ALBO
• Gdy całe zadanie obliczysz poprawnie, ale do obliczeń wykorzystasz tylko jeden z boków kartki (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.) i tym samym nie sprawdzisz, czy obliczone wymiary kwadratu pasują do drugiego boku prostokąta.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Helena otrzymała \(11\) głosów, a Grzegorz otrzymał \(5\) głosów.

Krok 1. Obliczenie liczby osób głosujących.
Na samym początku obliczmy ile osób głosowało w wyborach. Dokonamy tego dzięki informacji, która mówi o tym, że \(9\) zdobytych głosów stanowi \(36\%\) wszystkich głosów. Skoro tak, to możemy ułożyć następującą proporcję:
Skoro \(9\) głosów stanowi \(36\%\) wszystkich głosów
To \(1\) głos stanowi \(4\%\) wszystkich głosów
Więc \(25\) głosów stanowi \(100\%\) wszystkich głosów

To oznacza, że w głosowaniu oddano \(25\) głosów.

Krok 2. Obliczenie liczby głosów oddanych łącznie na Helenę oraz Grzegorza.
Skoro na Jacka oddano \(9\) głosów, a wszystkich głosów było \(25\), to na Grzegorza i Helenę oddano łącznie \(25-9=16\) głosów.

Krok 3. Obliczenie liczby głosów oddanych oddzielnie na Helenę oraz Grzegorza.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - liczba głosów oddanych na Grzegorza
\(x+6\) - liczba głosów oddanych na Helenę

Wiemy też, że łącznie ta dwójka zebrała \(16\) głosów, zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$x+x+6=16 \\
2x+6=16 \\
2x=10 \\
x=5$$

Naszą niewiadomą \(x\) jest liczba głosów oddanych na Grzegorza, a to oznacza, że na Grzegorza oddano \(5\) głosów.
Musimy jeszcze policzyć liczbę głosów oddanych na Helenę, a skoro Helena zdobyła \(6\) głosów więcej od Grzegorza, to Helenę oddano \(5+6=11\) głosów.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz liczbę głosów oddanych w wyborach (patrz: Krok 1.) albo przynajmniej podasz poprawny sposób na wykonanie takiego obliczenia.
ALBO
• Gdy przedstawisz sposób na obliczenie łącznej liczby głosów oddanych na Helenę i Grzegorza (patrz: Krok 2.), ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na jakieś błędy rachunkowe.
2 pkt
• Gdy przedstawisz poprawny sposób obliczenia głosów oddanych osobno na Helenę i Grzegorza (patrz: Krok 3.), ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na jakieś błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Ania pokonała trasę o długości \(76km\).

Krok 1. Zapisanie kluczowych informacji z wykresu.
Musimy z podanego wykresu odczytać kluczowe informacje na temat czasu oraz prędkości poruszania się przez Anię. Wypisując te dane musimy pamiętać o tym, by ujednolicić sobie jednostki. Skoro prędkość mamy podaną w \(\frac{km}{h}\) to dobrze by było od razu zapisywać czas w przeliczeniu na godziny.

Trasę pokonaną przez Anię możemy podzielić na dwa etapy:
1. Pieszo z domu na przystanek (od godziny \(8{:}00\) do \(8{:}10\)):
Czas pokonania trasy: \(10\) minut, czyli \(t=\frac{1}{6}h\)
Prędkość: \(v=6\frac{km}{h}\)

2. Autobusem do babci (od godziny \(8{:}15\) do \(9{:}30\)):
Czas pokonania trasy: \(1\) godzina i \(15\) minut, czyli \(t=\frac{5}{4}h\)
Prędkość: \(v=60\frac{km}{h}\)

Czas oczekiwania na przystanku nie jest dla nas istotny, ponieważ w tym momencie Ania nie pokonywała żadnego dystansu.

Krok 2. Obliczenie długości pokonanej trasy.
Skorzystamy tutaj z klasycznego wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\). Przekształcając ten wzór otrzymamy wzór na drogę:
$$v=\frac{s}{t} \quad\bigg/\cdot t \\
s=vt$$

Teraz możemy obliczyć długości poszczególnych tras:
1. Pieszo z domu na przystanek:
$$s=vt \\
s=6\frac{km}{h}\cdot\frac{1}{6}h \\
s=1km$$

2. Autobusem do babci:
$$s=vt \\
s=60\frac{km}{h}\cdot\frac{5}{4}h \\
s=\frac{300}{4}km \\
s=75km$$

To oznacza, że łącznie Ania pokonała \(1km+75km=76km\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny sposób obliczenia długości trasy przebytej pieszo (patrz: Krok 2.), ale otrzymasz błędny wynik.
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawny sposób obliczenia długości trasy przebytej autobusem (patrz: Krok 2.), ale otrzymasz błędny wynik.
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny sposób obliczenia długości trasy przebytej pieszo oraz autobusem (patrz: Krok 2.), ale otrzymasz błędny wynik.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.