W tym temacie omówimy sobie najważniejsze zależności między funkcjami trygonometrycznymi.
1. Jedynka trygonometryczna
Najważniejszą zależnością z jaką się spotkamy w szkole jest jedynka trygonometryczna. Mówi nam ona o tym, że suma kwadratów sinusa i cosinusa kąta alfa daje wynik równy jeden, niezależnie od miary tego kąta:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
Jedynkę trygonometryczną wykorzystujemy przede wszystkim w sytuacji w której mając danego np. sinusa chcemy obliczyć wartość cosinusa. Wtedy podstawiając kwadrat znanej nam funkcji możemy rozwiązać powstałe równanie kwadratowe i obliczyć wartość drugiej z funkcji. Szczegółowe omówienie jedynki trygonometrycznej wraz z przykładami znajdziesz tutaj:
2. Wzory redukcyjne
Drugą ważną zależnością są wzory redukcyjne:
$$sin(90°-α)=cosα \\
sin(90°+α)=cosα \\
sin(180°-α)=sinα \\
sin(180°+α)=-sinα \\
\quad \\
cos(90°-α)=sinα \\
cos(90°+α)=sinα \\
cos(180°-α)=-cosα \\
cos(180°+α)=-cosα \\
\quad \\
tg(180°-α)=-tgα \\
tg(180°+α)=tgα$$
Wzory redukcyjne są potrzebne przede wszystkim do tego, by móc wyznaczać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów większych niż \(90°\). Jest to dość istotna własność, bo tablice trygonometryczne kończą się właśnie zazwyczaj na kącie \(90°\). Ze wzorów redukcyjnych możemy korzystać także po to, by zamieniać jedną funkcję na drugą (np. sinus na cosinus), co może być przydatne w szczególności w zadaniach dowodowych. Więcej informacji i przykładów na temat wzorów redukcyjnych znajdziesz tutaj:
3. Tangens jako iloraz sinusa i cosinusa
Tangens co do zasady jest to stosunek długości dwóch przyprostokątnych. Okazuje się jednak, że nie jest to jedyny sposób na wyznaczenie wartości tangensa i że możemy skorzystać z następującej zależności:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα}$$
Ta własność jest przydatna w szczególności w zadaniach w których podadzą nam wartość jakiejś funkcji (np. \(sinα\)) i poproszą nas o podanie tangensa tego kąta. Jak widzicie nie da się zamienić sinusa na tangensa korzystając ze wzorów redukcyjnych, ale znając sinusa możemy obliczyć cosinusa (z jedynki trygonometrycznej), a mając sinusa i cosinusa dzięki właśnie powyżej zapisanej zależności będziemy mogli obliczyć także wartość tangensa.
4. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów
Na poziomie rozszerzonym przydatnymi wzorami są wzory na sumę i różnicę poszczególnych kątów. Te wzory mają następującą postać:
Suma kątów:
$$sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ \\
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ \\
tg(α+β)=\frac{tgα+tgβ}{1-tgαtgβ}$$
Różnica kątów (we wzorach zmieniają się tak naprawdę tylko znaki):
$$sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ \\
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ \\
tg(α-β)=\frac{tgα-tgβ}{1+tgαtgβ}$$
5. Funkcje trygonometryczne podwojonego i potrojonego kąta.
Na poziomie rozszerzonym będziemy korzystać także ze wzorów na podwojone lub potrojone wartości kątów:
$$sin2α=2sinαcosα \\
cos2α=cos^2α-sin^2α \\
tg2α=\frac{2tgaα}{1-tg^2α}$$
$$sin3α=3sinα-4sin^3α \\
cos3α=4cos^3-3cosα \\
tg3α=\frac{3tgα-tg^3α}{1-3tg^2α}$$