Zazwyczaj układ równań ma jedno rozwiązanie, którym jest konkretna para liczb (taki układ nazywamy oznaczonym). Może się jednak zdarzyć, że układ równań nie ma rozwiązań (układ równań sprzeczny) lub ma ich nieskończenie wiele (układ równań nieoznaczony). Przyjrzyjmy się jak to wygląda w praktyce.
Warto sobie przypomnieć:
Jeśli nie pamiętasz jak rozwiązujemy układy równań, to możesz sobie tę wiedzę przypomnieć tutaj:
Układ równań oznaczony
To najpopularniejszy typ układu równań z jakim spotykamy się na matematyce. Układ dwóch równań jest oznaczony, gdy jego rozwiązaniem jest jedna para liczb. Spójrzmy na przykładowy układ oznaczony:
$$\begin{cases}
x-3y=-14 \\
2x+4y=12
\end{cases}$$
Aby się przekonać o tym, że jest to układ oznaczony, musimy go po prostu rozwiązać. Możemy skorzystać z dowolnej metody, ale najprościej będzie chyba użyć tutaj metody podstawiania. W tym celu musimy przekształcić pierwsze równanie w taki sposób, by po lewej stronie mieć \(x\), a po prawej całą resztę, zatem:
$$\begin{cases}
x=3y-14 \\
2x+4y=12
\end{cases}$$
Teraz w drugim równaniu możemy podstawić w miejsce \(x\) wartość \(3y-14\), otrzymując:
$$2\cdot(3y-14)+4y=12 \\
6y-28+4y=12 \\
10y=40 \\
y=4$$
Znamy już wartość \(y\), więc możemy bez przeszkód obliczyć brakującą wartość \(x\). W tym celu wystarczy podstawić \(y=4\) do np. pierwszego równania:
$$x=3y-14 \\
x=3\cdot4-14 \\
x=12-14 \\
x=-2$$
Otrzymaliśmy zatem informację, że rozwiązaniem układu równań jest para liczb \(x=-2\) oraz \(y=4\). Taki wynik jest typowy dla układu oznaczonego.
Układ równań sprzeczny
Układ równań jest sprzeczny, gdy nie ma rozwiązań. Krótko mówiąc, nie istnieje żadna para \(x\) oraz \(y\), która by ten układ spełniła (czyli sprawiła, że w obydwu równaniach lewa strona będzie równa prawej). Spójrzmy na taki oto przykład:
$$\begin{cases}
x-4y=5 \\
2x-8y=9
\end{cases}$$
Ponownie spróbujmy skorzystać z metody podstawiania, zaczynając od przekształcenia pierwszego równania:
$$\begin{cases}
x=4y+5 \\
2x-8y=9
\end{cases}$$
Podstawiając teraz \(x=4y+5\) do drugiego równania, otrzymamy:
$$2\cdot(4y+5)-8y=9 \\
8y+10-8y=9 \\
10=9$$
Otrzymaliśmy sprzeczność, bo oczywiście \(10\) nie jest równe \(9\). Co oznacza taki wynik? Oznacza on, że ten układ równań nie ma rozwiązań. Mówiąc wprost – nie istnieje jakakolwiek para liczb \(x\) oraz \(y\), która pasowałaby jednocześnie do pierwszego i drugiego równania, które znalazły się w naszym układzie. Możemy więc powiedzieć, że ten układ równań jest sprzeczny.
Zastanówmy się jeszcze, co tak naprawdę sprawia, że dany układ równań jest sprzeczny. Spójrz, gdybyśmy w pierwszym równaniu wymnożyli obydwie strony przez \(2\), to otrzymalibyśmy taki oto układ:
$$\begin{cases}
2x-8y=10 \\
2x-8y=9
\end{cases}$$
Mamy więc sytuację, w której w pierwszym równaniu \(2x-8y\) jest równe \(10\), a w drugim równaniu to samo \(2x-8y\) jest równe \(9\). Taka sytuacja jest niemożliwa i to nam sygnalizuje, że ten układ równań jest sprzeczny.
Układ równań nieoznaczony
Układ równań jest nieoznaczony, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań. Krótko mówiąc, istnieje nieskończenie wiele wartości \(x\) oraz \(y\), które są rozwiązaniami takiego układu. Spójrzmy na przykład:
$$\begin{cases}
x-4y=5 \\
2x-8y=10
\end{cases}$$
Ponownie skorzystajmy z metody podstawiania, zatem przekształcając pierwsze równanie otrzymamy:
$$\begin{cases}
x=4y+5 \\
2x-8y=10
\end{cases}$$
Podstawiając \(x=4y+5\) do drugiego równania, otrzymamy:
$$2\cdot(4y+5)-8y=10 \\
8y+10-8y=10 \\
10=10$$
Otrzymaliśmy nietypowy wynik \(10=10\), jednak tym razem otrzymana równość jest prawdziwa. To oznacza, ze mamy do czynienia z układem nieoznaczonym, czyli takim, który ma nieskończenie wiele rozwiązań. Mówiąc wprost – istnieje nieskończenie wiele par liczb \(x\) oraz \(y\), które możemy podstawić do naszego układu równań, tak aby lewe strony równań były równe stronom prawym.
I tu ponownie warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy pierwsze równanie pomnożyli przez \(2\), to otrzymalibyśmy taką oto sytuację:
$$\begin{cases}
2x-8y=10 \\
2x-8y=10
\end{cases}$$
Po takim przekształceniu okazało się, że obydwa równania z układu są tak naprawdę jednakowe. To właśnie sprawiło, że ten układ jest nieoznaczony.