Ciągi liczbowe – zadania maturalne

B

Musimy obliczyć wartość trzeciego wyrazu tego ciągu, czyli tak naprawdę podstawić do wzoru \(n=3\). Zatem:
$$a_{3}=(-1)^3\cdot(3-3) \\
a_{3}=-1\cdot0 \\
a_{3}=0$$

C

Sposób I - obliczenie wartości kilku początkowych wyrazów:
W przypadku tego zadania najprościej jest wyznaczyć sobie wartości kilku pierwszych wyrazów i sprawdzić ile z nich będzie ujemnych. Po odpowiedziach widzimy, że dużo liczenia nas nie czeka, bo będą to maksymalnie trzy wyrazy. Zatem:
$$a_{1}=2\cdot1^2-9=2\cdot1-9=2-9=-7 \\
a_{2}=2\cdot2^2-9=2\cdot4-9=8-9=-1 \\
a_{3}=2\cdot3^2-9=2\cdot9-9=18-9=9$$

Widzimy, że tylko dwa pierwsze wyrazy są ujemne, zatem prawidłowa jest odpowiedź \(C\).

Sposób II - obliczenie za pomocą ułożonej nierówności:
Powyższy sposób nie sprawdziłby się nam w zadaniach z trudniejszymi liczbami albo w zadaniach otwartych. Spróbujmy więc dojść do rozwiązania w nieco bardziej matematyczny sposób. Szukamy wyrazów ujemnych, zatem:
$$2n^2-9\lt0 \\
2n^2\lt9 \\
n^2\lt4,5$$

Teraz musimy się zastanowić jakie liczby naturalne podniesione do kwadratu dadzą wynik mniejszy niż \(4,5\) (interesują nas tylko liczby naturalne, bo w ciągach \(n\in N\)). Na pewno takimi liczbami będą \(1\) oraz \(2\) i to są jedyne dwie możliwości. Zatem to oznacza, że w naszym ciągu znajdą się tylko dwa wyrazy ujemne.

B

Chcąc obliczyć piąty wyraz tego ciągu wystarczy podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=(-1)^5\cdot\frac{2-5}{5^2} \\
a_{5}=-1\cdot\frac{-3}{25} \\
a_{5}=\frac{3}{25}$$

A

Aby poznać wartość ósmego wyrazu (a patrząc na odpowiedzi wiemy, że właśnie tej wartości poszukujemy) musimy podstawić do wzoru ciągu \(n=8\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{8}=\sqrt{2\cdot8+4} \\
a_{8}=\sqrt{16+4} \\
a_{8}=\sqrt{20} \\
a_{8}=\sqrt{4\cdot5} \\
a_{8}=2\sqrt{5}$$

D

Chcąc obliczyć wartość trzeciego wyrazu tego ciągu wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\):
$$a_{n}=\frac{n}{(-2)^n} \\
a_{3}=\frac{3}{(-2)^3} \\
a_{3}=\frac{3}{-8} \\
a_{3}=-\frac{3}{8}$$

A

Zgodnie z treścią zadania musimy ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$a_{n}=4 \\
-2+\frac{12}{n}=4 \\
\frac{12}{n}=6 \\
12=6n \\
n=2$$

B

Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby.
I sposób - metoda podstawiania:
Możemy podstawiać pod \(n\) poszczególne liczby z odpowiedzi (czyli \(n=2\), \(n=3\), \(n=6\) oraz \(n=30\)) i sprawdzić kiedy wynik będzie równy \(6\). Całość wyglądałaby wtedy następująco:
$$a_{2}=2^2-2=4-2=2 \\
a_{3}=3^2-3=9-3=6 \\
a_{6}=n^2-n=6^2-6=36-6=30 \\
a_{30}=n^2-n=30^2-30=900-30=870$$

To oznacza, że to właśnie trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(6\).

II sposób - tworząc odpowiednie równanie kwadratowe:
Gdyby się okazało, że tego typu zadanie jest zadaniem otwartym, bez podpowiedzi, to całość moglibyśmy rozwiązać tworząc i rozwiązując odpowiednie równanie kwadratowe:
$$n^2-n=6 \\
n^2-n-6=0$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Skoro \(n\gt1\), to ujemny wynik odrzucamy i zostaje nam \(n=3\), czyli trzeci wyraz.

C

Krok 1. Obliczenie łącznej liczby wyrazów nieujemnych ciągu \((a_{n})\).
Musimy ustalić ile wyrazów tego ciągu przyjmuje wartość większą lub równą zero. To oznacza, że musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\ge0 \\
\frac{24-4n}{n}\ge0 \quad\bigg/\cdot n \\
24-4n\ge0 \\
-4n\ge-24 \quad\bigg/:(-4) \\
n\le6$$

Z tego rozwiązania wynika, że ciąg ma sześć wyrazów, które są większe lub równe zero.

Tak na marginesie - mogliśmy pomnożyć obie strony nierówności przez \(n\), bo wiemy że \(n\ge1\). Stąd też nie ma obaw, że jest to liczba ujemna, która powodowałaby zmianę znaku. O zmianie znaku nierówności należało za to pamiętać dzieląc obie strony przez \(-4\).

Krok 2. Wyznaczenie liczby całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu.
Niestety to nie koniec zadania. Pułapka w tym zadaniu polega na tym, że nie każdy z tych sześciu nieujemnych wyrazów jest liczbą całkowitą. Nie ma innego wyjścia, musimy obliczyć po kolei wartość każdego z tych wyrazów:
$$a_{1}=\frac{24-4\cdot1}{1}=\frac{24-4}{1}=\frac{20}{1}=20 \\
a_{2}=\frac{24-4\cdot2}{2}=\frac{24-8}{2}=\frac{16}{2}=8 \\
a_{3}=\frac{24-4\cdot3}{3}=\frac{24-12}{3}=\frac{12}{3}=4 \\
a_{4}=\frac{24-4\cdot4}{4}=\frac{24-16}{4}=\frac{8}{4}=2 \\
a_{5}=\frac{24-4\cdot5}{5}=\frac{24-20}{5}=\frac{4}{5} \\
a_{6}=\frac{24-4\cdot6}{6}=\frac{24-24}{6}=\frac{0}{6}=0$$

Z naszych obliczeń wynika, że pięć wyrazów jest liczbą całkowitą (wszystkie oprócz \(a_{5}\)), zatem prawidłową odpowiedzią jest \(C\).

B

Aby obliczyć piąty wyraz ciągu musimy do wzoru ciągu podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=\frac{2^5-1}{2^5+1} \\
a_{5}=\frac{32-1}{32+1} \\
a_{5}=\frac{31}{33}$$

C

Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym. Aby obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów będziemy potrzebować wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{10}\):
$$a_{1}=6\cdot(1-16)=6\cdot(-15)=-90 \\
a_{10}=6\cdot(10-16)=6\cdot(-6)=-36$$

Sumę dziesięciu pierwszych wyrazów obliczymy za pomocą wzoru:
$$S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{-90+(-36)}{2}\cdot10 \\
S_{10}=(-126)\cdot5 \\
S_{10}=-630$$

B

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności kwadratowej.
Chcąc sprawdzić dla jakich wartości \(n\) ciąg przyjmuje wartości ujemne musimy rozwiązać następującą nierówność kwadratową:
$$(n+3)(n-5)\lt0$$

Ta nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, zatem w bardzo łatwy sposób wyznaczymy jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera:
$$n+3=0 \quad\lor\quad n-5=0 \\
n=-3 \quad\lor\quad n=5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed przed \(n\) nie stoi żaden znak minusa. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności i interpretacja otrzymanego wyniku.
Interesują nas wartości ujemne, czyli znajdujące się pod osią, a więc rozwiązaniem naszej nierówności jest przedział \(x\in(-3;5)\).

Teraz musimy się zastanowić co ten wynik oznacza i jaka jest odpowiedź na nasze zadanie, bowiem pytają nas o to ile jest wyrazów ujemnych w tym ciągu. Musimy więc w otrzymanym rozwiązaniu uwzględnić jeszcze założenie wynikające z własności ciągów, czyli że \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią. W związku z tym rozwiązaniami które nas interesują są jedynie:
$$x\in\{1,2,3,4\}$$

(Piątki nie uwzględniamy, bo nawias nie był domknięty).
To oznacza, że są tylko cztery wyrazy tego ciągu, które przyjmują ujemną wartość.

\(S_{20}=10970\)

Krok 1. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=444 \\
a_{n}=653 \\
r=11$$

Aby obliczyć ile jest wyrazów w tym ciągu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
653=444+(n-1)\cdot11 \\
653=444+11n-11 \\
653-444+11=11n \\
11n=220 \\
n=20$$

To oznacza, że nasz ciąg ma \(20\) wyrazów.

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy korzystając z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n \\
S_{20}=\frac{444+653}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{1097}{2}\cdot20 \\
S_{20}=10970$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że liczba wyrazów tego ciągu to \(n=20\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie obliczysz liczbę wyrazów, ale konsekwentnie do niej obliczysz poprawnie sumę wszystkich wyrazów.
ALBO
• Gdy wypiszesz kolejne wyrazy tego ciągu, ale nie obliczysz ich sumy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(S_{4}=36\)

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu.
Wartość pierwszego wyrazu już znamy, widzimy że \(a_{1}=-2\). Korzystając z drugiej części wzoru rekurencyjnego, musimy obliczyć wartości drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu, zatem:
$$a_{2}=a_{1+1}=1\cdot a_{1}+4=1\cdot(-2)+4=-2+4=2 \\
a_{3}=a_{2+1}=2\cdot a_{2}+4=2\cdot2+4=4+4=8 \\
a_{4}=a_{3+1}=3\cdot a_{3}+4=3\cdot8+4=24+4=28$$

Krok 2. Obliczenie sumy czterech początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając z obliczeń z poprzedniego kroku, możemy zapisać, że suma czterech początkowych wyrazów będzie równa:
$$S_{4}=-2+2+8+28=36$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartości drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.