Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3:4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\). Oblicz objętość ostrosłupa.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia. Skoro stosunek boków prostokąta ma wynosić \(3:4\), to niech bok \(AB=3x\) oraz \(BC=4x\). Przy okazji zaznaczmy na rysunku kluczowy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Całość będzie więc wyglądać w następujący sposób:
Skorzystamy tutaj z informacji, że pole prostokąta w podstawie jest równe \(192\). Zatem:
$$3x\cdot4x=192 \\
12x^2=192 \\
x^2=16 \\
x=4$$
Długości odcinków \(AB\) i \(BC\) wynoszą więc:
$$|AB|=3x=3\cdot4=12 \\
|BC|=4x=4\cdot4=16$$
Do wyznaczenia długości wysokości ostrosłupa przyda nam się znajomość długości odcinka \(AE\). Jest to dokładnie połowa przekątnej \(AC\). Obliczmy więc z Twierdzenia Pitagorasa najpierw długość odcinka \(AC\):
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
12^2+16^2=|AC|^2 \\
144+256=|AC|^2 \\
|AC|^2=400 \\
|AC|=20$$
Tak jak powiedzieliśmy sobie, odcinek \(AE\) jest równy połowie odcinka \(AC\), zatem:
$$|AE|=\frac{1}{2}|AC| \\
|AE|=\frac{1}{2}\cdot20 \\
|AE|=10$$
Spójrzmy na kluczowy trójkąt \(AES\). Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej z tangensa. Skoro krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\), to:
$$tg30°=\frac{|SE|}{|AE|} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|SE|}{10} \\
|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$
Wysokość naszego ostrosłupa jest więc równa \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\).
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
$$P_{p}=192 \\
H=\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
\\
V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot192\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
V=64\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
V=\frac{640\sqrt{3}}{3}$$
\(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\)
mi wyszło 640 skorzystałem z własności trójkąta prostokątnego chodzi mi o x ,2x i x pierwiasta z 3. wtedy H wynosi 10
Coś musiałeś źle obliczyć, bo tutaj na pewno H nie jest równe 10. Za to bok AE ma długość 10. Prawdopodobnie wziąłeś odwrotnie poszczególne długości boków (czyli 2x pomyliłeś z x pierwiastek z 3).
Wydaje mi się że rozwiązanie jest źle, bo w treści jest podane do płaszczyzny podstawy a tutaj zrobione jest do krawędzi podstawy
Musisz uważniej wczytać się w rozwiązanie – właśnie po to obliczamy długość przekątnej podstawy, by nawiązać za chwilę do tego kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy :) Aby było to wszystko jeszcze jaśniejsze, to specjalnie dla Ciebie dodałem drugi rysunek i lekko zmodyfikowałem pierwszy (jak widzisz jeszcze stary rysunek to trzeba odświeżyć stronę). Teraz mam nadzieję, że wszystko jest jasne ;)
wysokość obliczyłam z własności trójkąta pięknego. pomiędzy wysokością a przekątna podstawy jest kat prosty zgadza się? wynik wyszedł mi ten sam:)
Tak, jest tam kąt prosty :)