Egzamin ósmoklasisty – Matematyka – 2022 – Odpowiedzi

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Odpowiedź żadne z wymienionych zaznaczyło \(5\%\) osób. Z treści zadania wynika, że były to \(4\) osoby. Skoro tak, to za pomocą prostej proporcji możemy obliczyć liczbę uczniów biorących w ankiecie:
Skoro \(5\%\) ankietowanych to \(4\) uczniów
To \(100\%\) ankietowanych to \(80\) uczniów

Pierwsze zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro wiemy już, że było \(80\) uczniów, to możemy obliczyć, że liczba osób które wybrały film fantasy wynosi:
$$0,4\cdot80=32$$

Analogicznie liczba uczniów, którzy wybrali filmy przyrodnicze wynosi:
$$0,15\cdot80=12$$

To oznacza, że faktycznie filmy fantasy wybrało o \(20\) uczniów więcej, bo \(32-12=20\). Zdanie jest więc prawdą.

A

Korzystając z działań na ułamkach możemy zapisać, że wartość tego wyrażenia jest równa:
$$\frac{4^2}{5}-3^2=\frac{16}{5}-9=\frac{16}{5}-\frac{45}{5}=-\frac{29}{5}$$

B

Krok 1. Ustalenie, jaka liczba jest najmniejsza, a jaka największa.
Aby nasza liczba trzycyfrowa była jak najmniejsza, cyfra setek powinna być równa \(1\), a cyfra dziesiątek równa \(0\). Skoro suma wszystkich cyfr ma być równa \(6\), to cyfra jedności musi być równa \(5\). To oznacza, że najmniejszą liczbą będzie \(105\).

A jaka jest największa liczba? Maksymalną cyfrą setek będzie \(6\), a w takim razie cyfra dziesiątek i jedności będzie równa \(0\). Czyli największą liczbą będzie \(600\).

Krok 2. Obliczenie sumy liczb.
Celem zadania jest zsumowanie tych dwóch liczb, zatem:
$$105+600=705$$

A. 3,

Krok 1. Obliczenie sumy liczb.
Suma dwóch podanych liczb jest równa:
$$323+160=483$$

Krok 2. Ustalenie, czy liczba jest podzielna przez \(3\).
Aby liczba była podzielna przez \(3\), suma jej cyfr musi dawać liczbę podzielną przez \(3\). W naszym przypadku suma cyfr będzie równa:
$$4+8+3=15$$

Liczba \(15\) jest jak najbardziej podzielna przez \(3\), zatem cała liczba \(483\) będzie podzielna przez \(3\). Prawidłowa odpowiedź brzmi więc: Tak, ponieważ suma cyfr \(3\), \(4\) i \(8\) jest liczbą podzielną przez \(3\).

A

Sprawdźmy po kolei wartość każdej z liczb, korzystając z działań na potęgach:
$$x=\frac{10^{30}\cdot10^{70}}{10} \\
x=\frac{10^{30+70}}{10} \\
x=\frac{10^{100}}{10} \\
x=10^{100}:10^1 \\
x=10^{100-1} \\
x=10^{99}$$

$$y=(10^3)^{15}\cdot10^{60} \\
y=(10^{3\cdot15})\cdot10^{60} \\
y=10^{45}\cdot10^{60} \\
y=10^{45+60} \\
y=10^{105}$$

$$z=10^{50}\cdot\frac{10^{80}}{10^{20}} \\
z=10^{50}\cdot10^{80-20} \\
z=10^{50}\cdot10^{60} \\
z=10^{50+60} \\
z=10^{110}$$

Mniejszą liczbą od \(10^{100}\) jest więc tylko \(x\).

A, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Wiemy, że z materiału na \(90\) bluzek w rozmiarze S da się uszyć \(60\) bluzek w rozmiarze L. Skoro tak, to liczba bluzek rozmiaru L uszyta z materiału z \(240\) bluzek rozmiaru S będzie równa:
$$\frac{240}{90}\cdot60=\frac{240}{3}\cdot2=80\cdot2=160$$

Ewentualnie do tematu można podejść jeszcze inaczej, korzystając z proporcji:
Skoro na \(90\) bluzek S przypada \(60\) bluzek L
To na \(3\) bluzki S przypadają \(2\) bluzki L
Więc na \(240\) bluzek S przypada \(160\) bluzek L

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Już w poprzednim kroku (w zapisie proporcji) wyszło nam, że na \(3\) bluzki S przypadają \(2\) bluzki L. To oznacza, że na uszycie dwóch bluzek w rozmiarze L potrzeba tyle samo materiału co na trzy bluzki S.

C

Obliczmy wartość tego wyrażenia dla każdej z proponowanych liczb:

Dla \(n=-3\):
$$\frac{(-3)^4-3}{6}=\frac{81-3}{6}=\frac{78}{6}=13$$

Dla \(n=-1\):
$$\frac{(-1)^4-3}{6}=\frac{1-3}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$$

Dla \(n=0\):
$$\frac{0^4-3}{6}=\frac{0-3}{6}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$$

Dla \(n=-1\):
$$\frac{1^4-3}{6}=\frac{1-3}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$$

Dla \(n=3\):
$$\frac{3^4-3}{6}=\frac{81-3}{6}=\frac{78}{6}=13$$

Najmniejszą wartość otrzymaliśmy dla liczby \(0\).

C

Powinniśmy dostrzec, że \(\sqrt{49}=7\), natomiast \(\sqrt{64}=8\). Liczba \(\sqrt{60}\) jest pomiędzy tymi wartościami, zatem jest ona większa od \(7\) i mniejsza od \(8\).

C

Krok 1. Ustalenie skali osi liczbowej.
Między wartością \(P\) oraz \(R\) mamy \(5\) części. Różnica tych dwóch jest równa \(7-(-3)=10\). To prowadzi nas do wniosku, że skala tej osi liczbowej wynosi \(2\) jednostki.

Krok 2. Obliczenie współrzędnej punktu \(S\).
Punkt \(S\) jest oddalony o 3 części od punktu \(R\), a skoro tak, to jego wartość będzie równa:
$$7+3\cdot2=7+6=13$$

B

Krok 1. Obliczenie rozmiaru pliku Lidki.
Skoro plik Igora ma rozmiar\(13 MB\), a plik Lidki jest \(2,5\) razy większy, to plik Lidki będzie miał
$$2,5\cdot13MB=32,5MB$$

Krok 2. Obliczenie różnicy rozmiarów.
Musimy ustalić, o ile plik Lidki jest większy od pliku Igora, zatem:
$$32,5MB-13MB=19,5MB

D

Rozpiszmy to po kolei:
\(x\) - liczba zakupionej ziemi

W maju ogrodnik użył \(\frac{1}{3}\) zakupionej ziemi, czyli:
\(\frac{1}{3}x\) - tyle ziemi zużyto w maju
\(x-\frac{1}{3}x\) - tyle ziemi pozostało przed czerwcem

W czerwcu ogrodnik użył \(\frac{1}{2}\) tego co zostało, czyli:
\(\frac{1}{2}\cdot(x-\frac{1}{3}x)\) - tyle ziemi zużyto w czerwcu

Skoro zostało mu \(60kg\) ziemi, to prawdziwym równaniem będzie:
$$x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{3}x\right)=60$$

Ewentualnie można do tego podejść jeszcze inaczej:
\(x\) - liczba zakupionej ziemi
\(\frac{1}{3}x\) - tyle ziemi zużyto w maju
\(\frac{1}{2}\cdot(x-\frac{1}{3}x)\) - tyle ziemi zużyto w czerwcu
\(60\) - tyle do zużycia mamy na lipiec

Suma wszystkich zużyć musi dać \(x\), więc:
$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\cdot\left(x-\frac{1}{3}x\right)+60=x$$

Teraz chcąc się dopasować do odpowiedzi (czyli chcąc mieć \(60\) po prawej stronie), możemy cały zapis przekształcić do postaci:
$$60=x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}\cdot\left(x-\frac{1}{3}x\right) \\
\left(x-\frac{1}{3}x\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(x-\frac{1}{3}x\right)=60$$

B

Krok 1. Obliczenie cen biletów.
Skoro Martyna za \(6\) biletów \(75\)-minutowych zapłaciła \(24zł\), to każdy bilet kosztował:
$$24zł:6=4zł$$

Skoro Weronika za \(4\) bilety \(20\)-minutowe zapłaciła \(12zł\), to każdy bilet kosztował:
$$12zł:4=3zł$$

Krok 2. Obliczenie wysokości wydatków Ani.
Ania kupiła \(2\) bilety \(75\)-minutowe i \(2\) bilety \(20\)-minutowe, zatem zapłaciła za nie:
$$2\cdot4zł+2\cdot3zł=8zł+6zł=14zł$$

D

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CAD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ADC\). Znamy dwie miary kątów w tym trójkącie, a skoro suma miar kątów w trójkątach jest równa \(180°\), to:
$$|\sphericalangle CAD|=180°-130°-35°=15°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ADC\).
Kąt \(ADB\) jest kątem przyległym do kąta \(ADC\), a skoro suma miar kątów przyległych wynosi \(180°\), to:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-130°=50°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(DAB\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Z treści zadania wynika, że jest to trójkąt równoramienny i wiemy już, że kąt między ramionami ma miarę \(50°\). Skoro tak, to na dwa kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-50°=130°\). W trójkątach równoramiennych kąty przy podstawie mają jednakową miarę, a to oznacza, że:
$$|\sphericalangle DAB|=130°:2=65°$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(CAB\).
Kąt \(CAB\) jest sumą kątów \(CAD\) oraz \(DAB\), zatem:
$$|\sphericalangle CAB|=15°+65°=80°$$

C

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(6\) - tyle było kulek zielonych (przed dołożeniem)
\(x\) - tyle dołożono kulek zielonych
\(6+x\) - tyle mamy kulek zielonych

\(8\) - tyle mamy kulek niebieskich

\(6+x+8=14+x\) - tyle mamy wszystkich kulek

Krok 2. Obliczenie liczby dołożonych kulek.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej wynosi \(\frac{1}{4}\). Mamy \(8\) kulek niebieskich, a wszystkich kulek jest \(14+x\), zatem:
$$\frac{8}{14+x}=\frac{1}{4}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$14+x=32 \\
x=18$$

Zgodnie z oznaczeniami \(x\) to liczba dołożonych kulek, zatem widzimy, że dołożono \(18\) kulek.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie długości boku \(LM\).
Z treści zadania wynika, że wszystkie trójkąty są jednakowe. Z rysunku widzimy, że każdy trójkąt ma długości przyprostokątnych równe \(3cm\) oraz \(4cm\). Skoro tak, to długość przeciwprostokątnej takiego trójkąta (czyli tym samym długość boku \(LM\)) wyniesie:
$$3^2+4^2=c^2 \\
9+16=c^2 \\
c^2=25 \\
c=5 \quad\lor\quad c=-5$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(c=5\), czyli \(|LM|=5\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pole trapezu będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(3cm+6cm)\cdot4cm \\
P=\frac{1}{2}\cdot9cm\cdot4cm \\
P=18cm^2$$

Pierwsze zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Obwód naszego trapezu będzie równy:
$$3cm+5cm+3cm+3cm+4cm=18cm$$

Zdanie jest więc prawdą.

\(3\) zielone korale

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba wszystkich korali
\(4\) - tyle mamy korali srebrnych
\(8\) - tyle mamy korali czerwonych
\(\frac{1}{5}x\) - tyle mamy korali zielonych (bo stanowią one \(20\%\) wszystkich korali

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma korali srebrnych, czerwonych oraz zielonych ma dać \(x\), zatem:
$$4+8+\frac{1}{5}x=x \\
12+\frac{1}{5}x=x \\
12=\frac{4}{5}x \quad\bigg/\cdot\frac{5}{4} \\
x=\frac{60}{4}=15$$

Krok 3. Obliczenie liczby zielonych korali.
Zgodnie z oznaczeniami, \(x\) to liczba wszystkich korali, a my musimy powiedzieć ile jest tych zielonych. Zielonych korali mamy \(\frac{1}{5}x\), czyli:
$$\frac{1}{5}\cdot15=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie pozwalające obliczyć liczbę wszystkich korali np. \(4+8+\frac{1}{5}x=x\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawne równanie pozwalające obliczyć liczbę zielonych korali np. \(x=0,2\cdot(12+x)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(90\frac{km}{h}\)

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy.
Skoro kierowca jechał od godziny \(7:50\) do \(8:05\), to czas jego jazdy wyniósł \(t=15min\). Od razu zamieńmy ten czas na godziny (bo na koniec i tak musimy podać wynik w \(\frac{km}{h}\). Skoro godzina ma \(60\) minut, a czas jazdy wyniósł \(15\) minut, to:
$$t=\frac{15}{60}h=\frac{1}{4}h$$

Krok 2. Obliczenie prędkości.
Najtrudniejsze już za nami. Z treści zadania wiemy, że \(s=22,5km\), przed chwilą obliczyliśmy, że \(t=\frac{1}{4}h\), zatem korzystając ze wzoru na prędkość możemy zapisać, że:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{22,5km}{\frac{1}{4}h} \\
v=22,5km:\frac{1}{4}h \\
v=90\frac{km}{h}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz czas jazdy i wynik podasz w godzinach (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą z wykorzystaniem wzoru na prędkość (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(10cm\)

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Skoro obwód rombu jest równy \(52cm\), a każdy bok rombu ma jednakową długość, to:
$$a=52cm:4 \\
a=13cm$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości. To oznacza, że sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Powstał nam trójkąt prostokątny, z którego teraz musimy wyznaczyć długość połowy przekątnej \(BD\).

Krok 3. Obliczenie długości połowy przekątnej \(BD\) (czyli \(x\)).
Korzystając z zaznaczonego trójkąta prostokątnego obliczmy najpierw długość boku \(x\), który jest połową przekątnej \(BD\). Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$12^2+x^2=13^2 \\
144+x^2=169 \\
x^2=25 \\
x=5 \quad\lor\quad x=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(x=5\).

Krok 4. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).
Przekątna \(BD\) będzie dwa razy dłuższa od wyznaczonego odcinka \(x\), zatem:
$$|BD|=2\cdot5 \\
|BD|=10$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu (patrz: Krok 1.) oraz skorzystasz z twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia połowy długości jednej z przekątnych (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz połowę długości przekątnej \(BD\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie bazujące na twierdzeniu Pitagorasa, z którego możemy obliczyć długość EB, czyli \(|EB|^2+12^2=13^2\).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=6400cm^3\)

Krok 1. Obliczenie wymiarów graniastosłupa.
Spójrzmy na odcinek o długości \(48cm\). Składa się on z trzech jednakowych prostokątów, które są ścianami bocznymi naszej bryły (na pewno są one jednakowe, bo graniastosłup jest prawidłowy, czyli wszystkie ściany boczne są takie same). To oznacza, że krótsza długość pojedynczego prostokąta wynosi:
$$48cm:3=16cm$$

To prowadzi nas do wniosku, że w podstawie znajdzie się kwadrat o boku \(16cm\) (musi to być kwadrat, bo graniastosłup jest prawidłowy). Skoro tak, to wysokość bryły będzie równa:
$$41cm-16cm=25cm$$

Dobrze będzie to wszystko widać na rysunku pomocniczym:


Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie bryły mamy kwadrat o boku \(16cm\), zatem pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=16cm\cdot16cm \\
P_{p}=256cm^2$$

Krok 3. Obliczenie objętści.
Wiemy już, że \(P_{p}=256cm\) i wyznaczyliśmy sobie, że \(H=25cm\). W związku z tym objętość graniastosłupa będzie równa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=256cm^2\cdot25 \\
V=6400cm^3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz krawędź podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia poszczególnych długości oraz objętości bryły, ale otrzymasz błędny wynik np. ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.