Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od 0. Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa 0

Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od \(0\). Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa \(0\). Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{7}+a_{8}=0 \\
a_{8}=-a_{7}$$

Teraz musimy się zastanowić co z tego wynika. Skoro ósmy wyraz ma być równy \(-a_{7}\) to znaczy, że ósmy wyraz powstał po pomnożeniu \(a_{7}\) przez \(-1\). Czyli z tego wniosek jest taki, że w tym ciągu \(q=-1\).

Krok 2. Obliczenie sumy tysiąca początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{1-(-1)^{1000}}{1-(-1)} \\
S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{1-1}{1+1} \\
S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{0}{2} \\
S_{1000}=a_{1}\cdot0 \\
S_{1000}=0$$

Odpowiedź

D

Dodaj komentarz