Długość odcinka w układzie współrzędnych

W tym temacie dowiemy się jak obliczyć długość odcinka w układzie współrzędnych (czyli odległość między dwoma punktami) oraz jak wykorzystywać wzór na długość odcinka w przykładowych zadaniach.

Wzór na długość odcinka (odległość między dwoma punktami):
Długość odcinka \(AB\), gdzie \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) obliczymy ze wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Sprawdźmy zatem jak ten wzór będziemy wykorzystywać w praktyce.

Przykład 1. Oblicz długość odcinka \(AB\), wiedząc że \(A=(3;-1)\) oraz \(B=(7;2)\).
Zadanie jest bardzo proste, bo tak naprawdę będziemy musieli tylko podstawić dane do wzoru na długość odcinka. Podstawiając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) otrzymamy:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(7-3)^2+(2-(-1))^2} \\
|AB|=\sqrt{(7-3)^2+(2+1)^2} \\
|AB|=\sqrt{4^2+3^2} \\
|AB|=\sqrt{16+9} \\
|AB|=\sqrt{25} \\
|AB|=5$$

Nie ma co ukrywać, podstawianie danych do wzoru nie jest specjalnie skomplikowane, dlatego przejdziemy sobie teraz do nieco trudniejszych zadań w których wykorzystujemy wzór na długość odcinka. Bardzo często wzór na długość odcinka przyda nam się do wyznaczenia kluczowej miary jakiejś figury geometrycznej (np. długości boku, wysokości, długości przekątnej itd.). Spróbujmy więc zrobić takie przykładowe zadanie:

Przykład 2. Punkty \(A=(-5;6)\) oraz \(C=(3;-2)\) tworzą przekątną kwadratu \(ABCD\). Oblicz pole powierzchni tego kwadratu.

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
To co możemy zrobić na samym początku, to obliczenie długości przekątnej \(AC\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(3-(-5))^2+(-2-6)^2} \\
|AC|=\sqrt{8^2+(-8)^2} \\
|AC|=\sqrt{64+64} \\
|AC|=\sqrt{128}$$

Wyszło nam, że przekątna \(AC\) ma długość \(\sqrt{128}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|AC|=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}\).

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). W naszym przypadku wyszło, że przekątna kwadratu ma długość \(8\sqrt{2}\), zatem bok kwadratu będzie miał długość:
$$a\sqrt{2}=8\sqrt{2} \\
a=8$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni kwadratu.
Na koniec została nam już tylko formalność, czyli obliczenie pola powierzchni kwadratu o boku \(a=8\), zatem:
$$P=a^2 \\
P=8^2 \\
P=64$$

Do tej pory wykorzystywaliśmy wzór do obliczenia jakiejś długości odcinka. Może się jednak zdarzyć, że będziemy znać długość odcinka, ale poszukiwać będziemy jednej współrzędnej jakiegoś punktu. Zróbmy sobie zatem i taki przykład:

Przykład 3. Dany jest odcinek \(AB\) o długości \(13\), w którym \(A=(5;2)\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\) wiedząc, że leży on na osi \(OY\).

Krok 1. Rozpisanie współrzędnych punktu \(B\).
Aby rozwiązać to zadanie musimy zwrócić uwagę na to, że skoro punkt \(B\) leży na osi igreków, to jego współrzędna iksowa musi być równa zero. To oznacza, że nasz punkt \(B\) moglibyśmy opisać jako \(B=(0;y_{B})\).

Krok 2. Podstawienie danych do wzoru na długość odcinka.
Z treści zadania wiemy, że \(A=(5;2)\), a odcinek \(AB\) ma długość \(13\). Wiemy też, że \(B=(0;y_{B})\), zatem podstawiając te dane do wzoru na długość odcinka otrzymamy:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|^2=(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2 \\
13^2=(0-5)^2+(y_{B}-2)^2 \\
5^2+(y_{B}-2)^2=13^2$$

Widzimy wyraźnie, że powstanie nam za chwilę równanie kwadratowe. Dla uproszczenia zapisu (i takiej ogólnej przejrzystości) dobrym pomysłem byłoby zapisanie, że \(y_{B}\) jest naszą niewiadomą \(y\). Dałoby nam to zapis:
$$5^2+(y-2)^2=13^2$$

Musimy teraz to równanie doprowadzić do postaci ogólnej, tak aby za chwilę móc obliczyć deltę. W tym celu musimy rozpisać całość w taki sposób, by po lewej stronie były wszystkie wyrazy, a po prawej stronie by zostało zero. Przy rozpisywaniu musimy pamiętać, że \((y-2)^2\) zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia jest równe \(y^2-4y+4\). Całość prezentowałaby się więc następująco:
$$5^2+(y-2)^2=13^2 \\
25+y^2-4y+4=169 \\
y^2-4y+29=169 \\
y^2-4y-140=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam standardowe równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które możemy obliczyć korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=-140\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-140)=16-(560)=576 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-24}{2\cdot1}=\frac{4-24}{2}=\frac{-20}{2}=-10 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+24}{2\cdot1}=\frac{4+24}{2}=\frac{28}{2}=14$$

Wyszło nam, że \(y_{B}=-10\) lub też \(y_{B}=14\). Żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić, a to oznacza, że to zadanie ma dwa rozwiązania: \(B=(0;-10)\) oraz \(B=(0;14)\).

Zobacz też: Środek odcinka
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments