Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=3\) oraz \(a_{4}=15\). Podstawiając te informacje do wzoru na czwarty wyraz ciągu arytmetycznego możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \\
15=3+3r \\
3r=12 \\
r=4$$
Krok 2. Obliczenie sumy sześciu początkowych wyrazów ciągu.
Znając wartość różnicy ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu możemy obliczyć sumę dowolnej liczby wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{6}=\frac{2\cdot3+(6-1)\cdot4}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{6+20}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{26}{2}\cdot6 \\
S_{6}=13\cdot6 \\
S_{6}=78$$
Odpowiedź:
\(S_{6}=78\)
