Do kwadratu różnicy dwóch dowolnych liczb parzystych dodano różnicę kwadratów tych liczb

Do kwadratu różnicy dwóch dowolnych liczb parzystych dodano różnicę kwadratów tych liczb. Udowodnij, że otrzymana liczba jest podzielna przez \(8\).

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Przyjmijmy, że \(a\) oraz \(b\) to liczby parzyste, które są bohaterami naszego zadania. Zazwyczaj liczby parzyste opisujemy jednomianem \(2n\), ale tutaj skoro mogą to być dwie różne liczby, to możemy zapisać sobie, że \(a=2n\) oraz \(b=2m\), gdzie \(n\) oraz \(m\) są liczbami całkowitymi.

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Zgodnie z treścią zadania interesuje nas następujące działanie:
$$(a-b)^2+a^2-b^2= \\
=a^2-2ab+b^2+a^2-b^2= \\
=2a^2-2ab$$

Podstawiając teraz \(a=2n\) oraz \(b=2m\) otrzymamy:
$$2\cdot(2n)^2-2ab=2\cdot4n^2-2\cdot2n\cdot2m=8n^2-8nm=8\cdot(n^2-m)$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Powiedzieliśmy sobie, że \(n\) oraz \(m\) to liczby całkowite. Liczba całkowita podniesiona do kwadratu daje wynik całkowity, a jak jeszcze od tego odejmiemy kolejną liczbę całkowitą, to wartość cały czas jest liczbą całkowitą. To oznacza, że liczba \(n^2-m\) jaką otrzymaliśmy w nawiasie jest na pewno liczbą całkowitą, a stojąca przed tym wszystkim ósemka sprawia, że na pewno ta liczba jest podzielna przez \(8\).

Odpowiedź

Udowodniono rozpisując wyrażenie i korzystając z informacji na temat liczb parzystych oraz nieparzystych.

Dodaj komentarz