Matura – Matematyka – Czerwiec 2023 (stara matura)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy jakiekolwiek obliczenia, musimy wykonać odpowiednie przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć jedynie \(0\), zatem:
$$x(2x-1)\lt2x \\
2x^2-x-2x\lt0 \\
2x^2-3x\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Musimy teraz wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić, kiedy \(2x^2-3x=0\). Moglibyśmy oczywiście wyznaczyć te miejsca zerowe za pomocą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik \(c=0\)), ale takie równania kwadratowe da się rozwiązać znacznie szybciej - wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias. Całość wyglądałaby następująco:
$$2x^2-3x=0 \\
x(2x-3)=0$$

Teraz postępujemy jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy do zera to co jest przed nawiasem oraz to, co jest w nawiasie, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad 2x-3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 2x=3 \\
x=0 \quad\lor\quad x=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (bo \(a=2\)), zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości mniejszych od zera, czyli zerkamy na to, co znajduje się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$x\in\left(0;\frac{3}{2}\right)$$

Chcąc rozwiązać to równanie, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera i rozwiązać powstałe równania kwadratowe:
$$2x^2+3x=0 \quad\lor\quad x^2-7=0 \\
x(2x+3)=0 \quad\lor\quad x^2=7 \\
x=0 \quad\lor\quad 2x+3=0 \quad\lor\quad x=\sqrt{7} \quad\lor\quad x=-\sqrt{7} \\
x=0 \quad\lor\quad 2x=-3 \quad\lor\quad x=\sqrt{7} \quad\lor\quad x=-\sqrt{7} \\
x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{3}{2} \quad\lor\quad x=\sqrt{7} \quad\lor\quad x=-\sqrt{7}$$

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę i rozbicie liczby \(4\) na sumę \(1+3\), co pozwoli później "zwinąć" zapisy przy wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$a^2+3b^2+4\gt2a+6b \\
a^2+3b^2+4-2a-6b\gt0 \\
a^2-2a+1+3b^2-6b+3\gt0 \\
(a-1)^2+3\cdot(b^2-2b+1)\gt0 \\
(a-1)^2+3\cdot(b-1)^2\gt0$$

Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy \(0\). Z założeń z treści zadania wynika, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że przynajmniej jeden z nawiasów podniesiony do kwadratu da liczbę dodatnią, co z kolei sprawi, że suma po lewej stronie będzie na pewno dodatnia, co należało udowodnić.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że punkt \(B\) informuje nas tak naprawdę o tym, że miejscem zerowym tej funkcji jest \(x=2\). Z własności wykresów funkcji kwadratowych wiemy, że wierzchołek paraboli znajduje się w równej odległości od miejsc zerowych. Skoro tak, to parabola z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Dzięki tej obserwacji jesteśmy w stanie stwierdzić, że w takim razie drugim miejscem zerowym tej funkcji będzie \(x=-2\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji.
W zadaniu nie jest sprecyzowane w jakiej postaci ma być zapisany ten wzór, więc możemy posłużyć się dowolną postacią, a skoro znamy już miejsca zerowe, to najprościej będzie skorzystać z postaci iloczynowej typu:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$

Podstawiając miejsca zerowe \(x_{1}=2\) oraz \(x_{2}=-2\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-2)(x-(-2)) \\
f(x)=a(x-2)(x+2)$$

Do pełnego wzoru brakuje nam już tylko wartości współczynnika \(a\). Poznamy go podstawiając do wzoru współrzędne punktu \(A\), zatem:
$$3=a(0-2)(0+2) \\
3=a\cdot(-2)\cdot2 \\
3=-4a \\
a=-\frac{3}{4}$$

To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(f(x)=-\frac{3}{4}(x-2)(x+2)\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeśli jest to trójkąt prostokątny równoramienny, to znaczy, że przyprostokątne \(AB\) oraz \(AC\) mają jednakową miarę. Wiemy też, że punkt \(D\) dzieli bok \(AB\) na dwie równe części, co sprawia, że sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$x^2+(2x)^2=25 \\
x^2+4x^2=25 \\
5x^2=25 \\
x^2=5 \\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, ponieważ długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(x=\sqrt{5}\).

Przyprostokątne oznaczyliśmy jako \(2x\), zatem każda z przyprostokątnych będzie mieć długość \(2\sqrt{5}\). Długość przeciwprostokątnej moglibyśmy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, ale skoro jest to trójkąt prostokątny równoramienny, to znaczy, że jest to po prostu trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\). Przeciwprostokątna w takich trójkątach jest \(\sqrt{2}\) razy większa od przyprostokątnych, zatem:
$$c=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{10}$$

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znamy już długości wszystkich boków trójkąta, zatem obwód będzie równy:
$$Obw=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{10} \\
Obw=4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy dwie liczby spośród ośmiu, ale losowanie odbywa się bez zwracania. To oznacza, że w pierwszym losowaniu wybieramy spośród ośmiu liczb, ale już w drugim tylko spośród siedmiu. W takim razie, zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć
$$|Ω|=8\cdot7=56$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie liczb, których suma jest dzielnikiem liczby \(8\). Dzielnikami tej liczby są \(1, 2, 4\) oraz \(8\). Sumy równej \(1\) oraz \(2\) nie uda nam się uzyskać w żaden sposób. Sumę równą \(4\) otrzymamy losując pary:
$$(1;3), (3;1)$$

Wariantu \((2;2)\) nie rozważamy, bo nie da się wylosować dwóch czwórek. Sumę równą \(8\) otrzymamy losując pary:
$$(1;7), (2;6), (3;5), \\
(5;3), (6;2), (7;1)$$

Wariantu \((4;4)\) nie rozważamy, bo nie da się wylosować dwóch czwórek. W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=2+6=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na trapez kluczowe dane z treści zadania, otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej \(AB\).
Chcąc poznać współrzędne punktu \(A\), musimy ustalić najpierw jakie jest równanie prostej, która przechodzi przez podstawę \(AB\). Ta prosta będzie prostopadła do osi symetrii, czyli do prostej \(y=-\frac{4}{3}x+15\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro tak, to nasza prosta prostopadła musi mieć współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), ponieważ \(\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=-1\). Możemy zatem już stwierdzić, że nasza prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=\frac{3}{4}x+b\).

Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(b\). Aby go poznać, wystarczy podstawić do wyznaczonego równania \(y=\frac{3}{4}x+b\) współrzędne punktu \(B\), który do tej prostej należy. Otrzymamy w tedy:
$$8=\frac{3}{4}\cdot\frac{23}{2}+b \\
8=\frac{69}{8}+b \\
b=-\frac{5}{8}$$

To oznacza, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{8}\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
Oś symetrii przecina podstawę \(AB\) na dwie równe części. To prowadzi nas do wniosku, że miejsce przecięcia się tej osi z wyznaczoną przed chwilą prostą \(AB\) będzie jednocześnie środkiem odcinka \(AB\). Aby poznać to miejsce przecięcia się tych prostych, wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{8} \\
y=-\frac{4}{3}x+15
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{3}{4}x-\frac{5}{8}=-\frac{4}{3}x+15 \\
\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=15+\frac{5}{8} \\
\frac{9}{12}x+\frac{16}{12}x=15\frac{5}{8} \\
\frac{25}{12}x=\frac{125}{8} \quad\bigg/\cdot\frac{12}{25} \\
x=7\frac{1}{2}$$

Znamy już współrzędną \(x\). Teraz chcąc poznać współrzędną \(y\) musimy podstawić wyznaczony \(x=7\frac{1}{2}\) do wybranego równania z układu równań (np. z pierwszego). Otrzymamy wtedy:
$$y=\frac{3}{4}\cdot7\frac{1}{2}-\frac{5}{8} \\
y=\frac{3}{4}\cdot\frac{15}{2}-\frac{5}{8} \\
y=\frac{45}{8}-\frac{5}{8} \\
y=\frac{40}{8} \\
y=5$$

To oznacza, że \(S=\left(7\frac{1}{2};5\right)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Znamy współrzędne środka odcinka \(AB\) oraz znamy współrzędne punktu \(B\). Interesujące nas współrzędne punktu \(A\) możemy zatem poznać korzystając ze wzoru na środek odcinka:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Dla lepszej przejrzystości obliczeń, wyznaczmy osobno współrzędną \(x_{A}\) oraz \(y_{A}\), zatem:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
7\frac{1}{2}=\frac{x_{A}+\frac{23}{2}}{2} \\
15=x_{A}+\frac{23}{2} \\
15=x_{A}+11\frac{1}{2} \\
x_{A}=3\frac{1}{2}$$

$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
5=\frac{y_{A}+8}{2} \\
10=y_{A}+8 \\
y_{A}=2$$

To oznacza, że \(A=\left(3\frac{1}{2};2\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości podstawy \(AB\).
Do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy długości odcinka \(AB\). Skorzystamy w tym celu z następującego wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Podstawiając znane współrzędne \(A=\left(3\frac{1}{2};2\right)\) oraz \(B=\left(\frac{23}{2};8\right)\), otrzymamy
$$|AB|=\sqrt{(\frac{23}{2}-3\frac{1}{2})^2+(8-2)^2} \\
|AB|=\sqrt{8^2+6^2} \\
|AB|=\sqrt{64+36} \\
|AB|=\sqrt{100} \\
|AB|=10$$

Krok 6. Obliczenie wysokości trapezu.
Wysokość trapezu to długość odcinka \(SF\). Podstawiając do wzoru na długość odcinka współrzędne \(S=\left(7\frac{1}{2};5\right)\) oraz \(F=(3,11)\), otrzymamy:
$$|SF|=\sqrt{(3-7\frac{1}{2})^2+(11-5)^2} \\
|SF|=\sqrt{(-4,5)^2+6^2} \\
|SF|=\sqrt{20,25+36} \\
|SF|=\sqrt{56,25} \\
|SF|=7,5$$

To oznacza, że \(h=7,5\).

Krok 7. Obliczenie pola powierzchni.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola powierzchni trapezu, zatem możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(10+5)\cdot7,5 \\
P=\frac{1}{2}\cdot15\cdot7,5 \\
P=56,25$$