Obniżki i podwyżki

Bardzo często zadania z procentami związane są z obniżkami i podwyżkami. Chodzi tu przede wszystkim o obniżki i podwyżki cen, ale równie dobrze może to dotyczyć innych wielkości typu długość, czas czy też liczba sztuk jakiegoś przedmiotu. Przyjrzyjmy się zatem jak dokonywać takich obliczeń i z jakimi zadaniami możemy spotkać się w tym dziale, zarówno w szkole podstawowej jak i w szkole średniej.

Pojedyncza podwyżka/obniżka
Tradycyjne zadania na obniżki i podwyżki opierają się na tym, że np. cena jakiegoś produktu zmalała/wzrosła, a my musimy policzyć np. końcową cenę produktu. Spójrzmy na poniższy przykład.

Przykład 1. Kurtka kosztuje $200$ złotych i w ramach promocji cena została obniżona o $30\%$. Jaka jest nowa cena kurtki?

Tego typu zadania możemy rozwiązać na różne sposoby:

I sposób – obliczając wysokość zniżki
Na początku przygody z procentami, takim najbardziej narzucającym się sposobem na rozwiązanie zadania jest zaczęcie od wyliczenia obniżki. Idea jest tutaj bardzo prosta – obliczymy ile wynosi zniżka, a następnie tę zniżkę odejmiemy od kwoty podstawowej. W naszym przypadku zniżka stanowi $30\%$ z kwoty $200zł$, a skoro $30\%$ to ułamek $0,3$ (lub $\frac{3}{10}$, jeśli wolimy działać na ułamkach zwykłych), to moglibyśmy zapisać, że zniżka wynosi:
$$0,3\cdot200zł=60zł$$

Skoro cena kurtki będzie obniżona o $60zł$, to nowa cena wyniesie:
$$200zł-60zł=140zł$$

II sposób – obliczając od razu nową cenę
Pierwszy sposób jest jak najbardziej dobry, ale prawdę mówiąc, bardzo rzadko będziemy w ten sposób wyliczać nową cenę danego towaru, ponieważ da się to zadanie rozwiązać sprytniej i przez to szybciej. Wystarczy zauważyć, że skoro mamy obniżkę ceny o $30\%$, to nowa cena będzie stanowić $100\%-30\%=70\%$ starej ceny. $70\%$ to oczywiście ułamek $0,7$, a skoro tak, to od razu moglibyśmy zapisać, że nowa cena będzie równa:
$$0,7\cdot200zł=140zł$$

Powyższe zadanie było na obniżkę ceny, ale bardzo podobnie będziemy rozwiązywać zadania z podwyżkami.

Przykład 2. Pan Jacek płacił do tej pory za internet $80zł$. Od nowego roku czeka go podwyżka opłat o $10\%$. Ile wyniesie nowy rachunek za internet?

I tu ponownie, możemy podejść do zadania na dwa sposoby:

I sposób – obliczając wysokość podwyżki
Podwyżka jest o $10\%$, a skoro $10\%$ to ułamek $0,1$, to moglibyśmy zapisać, że podwyżka wynosi:
$$0,1\cdot80zł=8zł$$

Tym samym nowa cena będzie o $8zł$ wyższa od tej obecnej, zatem będzie ona równa:
$$80zł+8zł=88zł$$

II sposób – obliczając od razu nową cenę
Znacznie szybszym sposobem będzie obliczenie nowej ceny za pomocą jednego działania. Skoro cena jest podniesiona o $10\%$, to nowa cena będzie stanowić $110\%$ wartości początkowej. $110\%$ moglibyśmy zapisać jako ułamek $1,1$, tak więc:
$$1,1\cdot80zł=88zł$$

Pamiętaj!
· Jeśli coś potaniało/zmalało o np. $30\%$, to nowa wartość stanowi $70\%$ wartości poprzedniej, ponieważ $100\%-30\%=70\%$.
· Jeśli coś potaniało/zmalało o np. $10\%$, to nowa wartość stanowi $90\%$ wartości poprzedniej, ponieważ $100\%-10\%=90\%$.

Analogicznie:
· Jeśli coś podrożało/wzrosło o np. $30\%$, to nowa wartość stanowi $130\%$ wartości poprzedniej, ponieważ $100\%+30\%=130\%$.
· Jeśli coś podrożało/wzrosło o np. $10\%$, to nowa wartość stanowi $110\%$ wartości poprzedniej, ponieważ $100\%+10\%=110\%$.

Oczywiście podwyżki i obniżki mogą dotyczyć nie tylko cen, ale także innych miar. W niektórych przypadkach musimy jednak uważać na jednostki. Spójrzmy na taki oto przykład:

Przykład 3. Podróż pociągiem zgodnie z rozkładem jazdy miała trwać $3$ godziny, ale niestety ze względu na opóźnienia czas jazdy wydłużył się o $15\%$. Ile trwała podróż tym pociągiem?

Skoro czas jazdy zwiększył się o $15\%$, to nowy czas stanowi $115\%$ czasu starego. $115\%$ to ułamek $1,15$, więc moglibyśmy zapisać, że podróż pociągiem trwała:
$$1,15\cdot3h=3,45h$$

I owszem, wynik jest jak najbardziej poprawny, ale w przypadku jednostek czasu, raczej chcielibyśmy zapisać ten czas jako „ileś godzin i ileś minut”. I tu mamy bardzo popularną pułapkę, ponieważ $3,45h$ to nie są $3$ godziny i $45$ minut, a tak bardzo często wielu uczniów to zapisuje. Pełna godzina ma $60$ minut, zatem $0,45$ godziny będzie równe:
$$0,45\cdot60min=27min$$

To by oznaczało, że czas jazdy pociągu wyniósł $3$ godziny i $27$ minut.

Podwójne podwyżki/obniżki
Bardzo popularnym typem zadań są tzw. podwójne podwyżki/obniżki. Chodzi tutaj o sytuacje, w których np. cena produktu zmienia się kilka razy. Spójrzmy na taki oto przykład:

Przykład 4. Cena torebki z nowej kolekcji wynosiła $300zł$. Po miesiącu sklep obniżył jej cenę o $20\%$, na trzy miesiące później obniżono cenę jeszcze o $10\%$. Ile kosztuje torebka po tych dwóch obniżkach?

Od razu rozwiejmy wszelkie wątpliwości – torebka nie potaniała o $20\%+10\%=30\%$. Dlaczego? Otóż druga obniżka powinna być liczona od ceny już obniżonej, a nie od ceny początkowej i to jest właśnie największa trudność przy tego typu zadaniach. Do tego przykładu trzeba byłoby więc podejść w taki sposób, że najpierw obliczymy cenę po pierwszej obniżce, a potem po drugiej obniżce.

Pierwsza obniżka jest o $20\%$ z ceny $300zł$. Możemy więc od razu zapisać, że ta cena stanowi $80\%$ ceny podstawowej, czyli:
$$0,8\cdot300zł=240zł$$

Teraz mamy drugą obniżkę i wynosi ona $10\%$, ale już od ceny $240zł$. Ta najnowsza cena stanowi więc $90\%$ ceny obniżonej, czyli:
$$0,9\cdot240zł=216zł$$

To oznacza, że po dwóch obniżkach torebka kosztuje $216$ złotych.

Podwyżki/obniżki – pozostałe zadania

Powyższe zadania były bardzo proste, bo opierały się na obliczeniu nowej ceny. Możemy jednak sobie wyobrazić sytuację odwrotną, czyli że celem zadania będzie poznanie ceny początkowej.

Przykład 5. Pani Ania skorzystała z promocji obniżającej cenę o $25\%$ i dzięki temu zapłaciła za tablet $300$ złotych mniej. Ile kosztował tablet przed promocją?

To jest klasyczny przykład zadania, do którego rozwiązania użyjemy niewiadomej $x$. Wprowadźmy zatem proste oznaczenia:
$x$ – cena tabletu przed promocją

Wiemy, że zniżka wynosi $25\%$ z tej ceny, czyli moglibyśmy jeszcze zapisać, że:
$0,25x$ – wysokość zniżki

Teraz wystarczy ułożyć proste równanie. Z treści zadania wiemy, że zniżka wyniosła $300$ złotych, zatem:
$$0,25x=300 \\
x=1200$$

$x$ to nasza cena tabletu przed promocją, stąd też mamy już gotowe rozwiązanie – tablet przed promocją kosztował $1200$ złotych.

Przykład 6. Cenę pralki obniżono o $20\%$ i obecnie kosztuje ona $1800zł$. Ile wyniósł rabat na tę pralkę?

Tu bardzo dobrze będzie widać, dlaczego pierwsze zadania dużo lepiej było rozwiązywać tym drugim sposobem. Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
$x$ – początkowa cena pralki

Wiemy, że cenę pralki obniżono o $20\%$, czyli nowa cena stanowi $80\%$ ceny początkowej. Moglibyśmy więc zapisać, że:
$0,8x$ – nowa cena pralki

Z treści zadania wiemy, że ta nowa cena wynosi $1800zł$, stąd też:
$$0,8x=1800zł \\
x=2250zł$$

Ale uwaga, to jeszcze nie jest koniec zadania. Tym razem mamy policzyć wysokość obniżki, a nie początkową cenę. Możemy więc oczywiście obliczyć ile to jest $20\%$ z ceny $2250zł$, albo też po prostu odjąć nową cenę od ceny początkowej:
$$2250zł-1800zł=450zł$$

Na koniec pokażemy sobie przykład zadania, którego możemy spodziewać się w liceum, a nawet na maturze (bo zadania z podwyżkami i obniżkami są jednymi z tych, które często widujemy na egzaminach). Jeśli więc chodzisz do szkoły podstawowej, to poniższe zadanie możesz potraktować jako ciekawostkę.

Przykład 7. Na początku roku pani Marta otrzymała podwyżkę opłat za mieszkanie w wysokości $20\%$. W połowie roku dokonano kolejnej podwyżki, tym razem o $10\%$. Obecnie opłaty za mieszkanie wynoszą $660zł$. O ile złotych wzrósł czynsz Pani Marty w wyniku tych dwóch podwyżek?

Ponownie kluczem do sukcesu będzie wprowadzenie do zadania pewnych oznaczeń z niewiadomą $x$.
$x$ – początkowa wysokość opłat za mieszkanie

Wiemy, że nastąpiła podwyżka o $20\%$, czyli nowa wysokość opłat stanowi $120\%$ starych opłat. Możemy więc zapisać, że:
$1,2x$ – wysokość opłat po pierwszej podwyżce

Po tej podwyżce nastąpiła kolejna, tym razem o $10\%$. Skoro tak, to najnowsza wysokość opłat stanowi $110\%$ tego co było po pierwszej podwyżce, czyli:
$1,1\cdot1,2x=1,32x$ – wysokość opłat po drugiej podwyżce

Z treści zadania wiemy, że obecnie pani Marta płaci $660zł$, więc możemy ułożyć następujące równanie:
$$1,32x=660zł \\
x=500$$

To oznacza, że czynsz wzrósł o:
$$660zł-500zl=160zł$$

Zobacz także pozostałe tematy związane z procentami:

Zamiana procentów na ułamki

Procent z liczby

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Podwójna obniżka/podwyżka