Graniastosłupy i ostrosłupy – zadania maturalne

Graniastosłupy i ostrosłupy - zadania

Zadanie 1. (1pkt) Objętość sześcianu jest równa \(27cm^3\). Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu?

Zadanie 2. (1pkt) Graniastosłup ma \(15\) krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?

Zadanie 3. (1pkt) Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(54\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:

Zadanie 4. (1pkt) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(90\). Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:

Zadanie 5. (1pkt) Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Siatką ostrosłupa czworokątnego \(ABCDE\) jest:

matura z matematyki

Zadanie 6. (1pkt) Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe \(4\). Objętość tego sześcianu jest równa:

Zadanie 7. (1pkt) Objętość sześcianu jest równa \(64\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:

Zadanie 8. (1pkt) Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o \(10\) większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest:

Zadanie 9. (1pkt) Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa \(24\). Wtedy liczba jego wierzchołków jest równa:

Zadanie 10. (1pkt) Jeżeli ostrosłup ma \(10\) krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa:

Zadanie 11. (1pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(432\), a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość \(12\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

Zadanie 12. (1pkt) Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa \(81\sqrt{3}\). Objętość graniastosłupa jest równa:

Zadanie 13. (1pkt) Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:

Zadanie 14. (1pkt) Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie:

Zadanie 15. (1pkt) W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę:

Zadanie 16. (1pkt) Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:

Zadanie 17. (1pkt) Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

matura z matematyki

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(α\) o mierze:

Zadanie 18. (1pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(ASC\) jest równa:

Zadanie 19. (1pkt) Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(2\), a przekątna ściany bocznej ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(α\).

matura z matematyki

Wtedy wartość \(sin\frac{α}{2}\) jest równa:

Zadanie 20. (1pkt) Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa \(11\). Podstawą tego ostrosłupa jest:

Zadanie 21. (1pkt) Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe \(140\). Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa:

Zadanie 22. (4pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek).

matura z matematyki

Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(|AD|=12\), \(|BC|=6\), \(|BD|=|CD|=13\).

Zadanie 23. (4pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\). Oblicz pole trójkąta \(ABF\) wiedząc, że \(|AB|=10\) i \(|CF|=11\). Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt \(ABF\).

Zadanie 24. (4pkt) Punkty \(K\), \(L\), i \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(HG\) i \(AE\) sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \(KLM\).
matura z matematyki

Zadanie 25. (4pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCDW\) jest prostokąt \(ABCD\). Krawędź boczna \(DW\) jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne \(AW\), \(BW\) i \(CW\) mają następujące długości: \(|AW|=6\), \(|BW|=9\), \(|CW|=7\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

matura z matematyki

Zadanie 26. (4pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb \(ABCD\) o boku długości \(4\). Kąt \(ABC\) rombu ma miarę \(120°\) oraz \(|AS|=|CS|=10\) i \(|BS|=|DS|\). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Zadanie 27. (4pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60°\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.

matura z matematyki

Zadanie 28. (4pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\) (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy \(AB\) jest równa \(8\), a pole trójkąta \(ABF\) jest równe \(52\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

matura z matematyki

Zadanie 29. (4pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i wierzchołku \(S\) trójkąt \(ACS\) jest równoboczny i ma bok długości \(8\). Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).

matura z matematyki

Zadanie 30. (4pkt) Pole podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe \(100cm^2\), a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260cm^2\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 31. (4pkt) Podstawą graniastosłupa \(ABCDEFGH\) jest prostokąt \(ABCD\) (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość \(3\). Przekątna prostokąta \(ABCD\) tworzy z jego dłuższym bokiem kąt \(30°\). Przekątna \(HB\) graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt \(60°\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

matura z matematyki

Zadanie 32. (2pkt) Długość krawędzi sześcianu jest o \(2\) krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.

Zadanie 33. (4pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) (tak jak na rysunku) jest równa \(72\), a promień okręgu wpisanego w podstawę \(ABC\) tego ostrosłupa jest równy \(2\). Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.

matura z matematyki

Zadanie 34. (4pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) (zobacz rysunek) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\sqrt{2}\). Kąt \(ASC\) między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę \(60°\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

matura z matematyki

Zadanie 35. (4pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \(22\), a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy \(\frac{4\sqrt{6}}{5}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

matura z matematyki

Zadanie 36. (4pkt) Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zadanie 37. (5pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest równa \(27\sqrt{3}\). Długość krawędzi \(AB\) podstawy ostrosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

matura z matematyki

Zadanie 38. (4pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3:4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\). Oblicz objętość ostrosłupa.

matura z matematyki

Zadanie 39. (5pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa \(27\). Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Zadanie 40. (5pkt) Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60°\), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

matura z matematyki

Zadanie 41. (4pkt) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 42. (4pkt) Jacek bawi się sześciennymi klockami o krawędzi \(2cm\). Zbudował z nich jeden duży sześcian o krawędzi \(8cm\) i wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę i ułożył z tych klocków drugą bryłę – graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wtedy okazało się, że został mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni całkowitej drugiej bryły i wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

24 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
adriangalazka15

W zadaniu 8. Liczba ścian bocznych n+2 powinno być i jedyny dobry wynik to sześciokąt.

Kornel

W zadaniu 33 skąd wiemy że r=1/3 h?

paweu504

W zadaniu 36. poszedłem drogą na skróty, tzn. wziąłem wartość cosinus 3/5 podłożyłem to pod trójkąt o bliższej przyprostokątnej 3 i przeciwprostokątnej 5, wyszła dalsza przyprostokątna o wartości 4. Porównałem to z trójkątem który wychodzi w zadaniu o dalszej przyprostokątnej o wartości 16, wywnioskowałem więc, że jest po prostu 4x większy. Wyszedł z tego trójkąt o przyprostokątnych 12,16 i przeciwprostokątnej 20. Dalsze liczenia doprowadziły do poprawnego wyniku. Podobnie robiłem zadanie 35. Pytanie, czy jest sens tak robić kiedy te zależności wyglądają tak ładnie jak właśnie chociażby w zadaniu 36. gdzie było 4 i 16, czy lepiej nie ryzykować?

Kornelia

W zadaniu 27 na końcu jest błąd, zastał zastosowany wzór na ostrosłup a nie graniastosłup

Marzena

bardzo łatwe

eluwina

Subcio! Jutro mam z tego kartkówkę z matmy, i mogę sobie na spokojnie dziś przećwiczyć. Zadania przystępne dla ósmej klasy na spokojnie, jeśli znasz wzory. Parę zadań nie do zrobienia na podstawę ósmej jak np. z sinusem, ale większość na spokojnie. Dzięki!

Last edited 3 lat temu by eluwina
księżniczka
Reply to  eluwina

Bo to są zadania maturalne, a nie dla ósmoklasistów. ;)

pancako
Reply to  eluwina

Nawet znając wzory, dla części osób byłby to niewykonalne

anka1nina

zadanie 32. ciekawa rzecz mi wyszła i zarazem dziwna. Ja do tego zadania podeszłam inaczej ponieważ dla mnie a było od razu a-2, natomiast s było dla mnie a. Rozpisując to wyszło mi że dla mnie d było poprostu (a-2)pierwiastek 2. Podstawiając te dane do pitagorasa wyszła mi funkcja kwadratowa i licząc je z deltą wyszły mi dwa rozwiązania cztli 3-pierwiastek3 i 3+pierwiastek3.
Analizując Twój tok rozumowania to go rozumiem całkowicie ale zastanawia mnie gdzie ja popełniłam błąd lub jakie wykluczenie miałam zrobić bo wynik defakto wyszedł mi taki sam ale dodatkowo wynik z minusem też.

FIlipo2324234

zadanie 25 dlaczego mamy 4 dane w pitagorasie? to juz nie bedze trojkat tylko jakis czworokat

Wiktoria

Dlaczego w zadaniu 35 gdy obliczano pitagorasa, liczby w piątej linijce tak się podniosły?

Damian

Czy w zadaniu 24 można połączyć K środkiem odcinka DC i obliczyć pitagorasa z dwóch odcinków 0,5 i potem obliczyć długość KL z tej przeciwprostokątnej?

WERTGH

Zadanie 25 czemu BD^2 to X^2 + Y^2?

nnn

dlaczego zad. 40 jest tak zawiłe? Wystarczy policzyć trójkąt SOC???