Graniastosłupy i ostrosłupy – zadania maturalne

B

Krok 1. Obliczenie długości pojedynczej krawędzi.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość sześcianu i wyznaczymy z niego długość pojedynczej krawędzi:
$$V=a^3 \\
27cm^3=a^3 \\
a=3cm$$

Krok 2. Obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi.
Sześcian ma \(12\) krawędzi równej długości. Skoro tak, to suma wszystkich krawędzi będzie równa:
$$S=12\cdot3cm \\
S=36cm$$

A

Krok 1. Wyznaczenie liczby kątów podstawy graniastosłupa.
Graniastosłup, który ma w swojej podstawie \(n\)-kąt posiada \(3n\) krawędzi. W związku z tym figurą znajdującą się w podstawie będzie pięciokąt, bo:
$$3n=15 \\
n=5$$

Krok 2. Obliczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt posiada \(2n\) wierzchołków. Skoro w podstawie jest pięciokąt to wierzchołków będziemy mieć \(5\cdot2=10\).

D

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Znamy pole całkowite sześcianu, wiemy że sześcian ma sześć ścian, a więc każda ze ścian ma powierzchnię równą:
$$54:6=9$$

Wiemy już, że każda z tych ścian jest kwadratem o polu powierzchni równym \(9\), a więc długość krawędzi sześcianu jest równa:
$$a^2=9 \\
a=3 \quad\lor\quad a=-3$$
Wartość \(a=-3\) musimy oczywiście odrzucić, bo długość boku nie może być ujemna.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Długość przekątnej sześcianu możemy opisać wzorem \(s=a\sqrt{3}\). To znaczy, że nasz sześcian ma przekątną równą \(s=3\sqrt{3}\).

Jeżeli nie pamiętasz tego wzoru, to możesz długość przekątnej sześcianu wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątnymi będą krawędź boczna, czyli \(a=3\) oraz przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(d=3\sqrt{2}\). Przeciwprostokątną będzie wtedy poszukiwana przez nas przekątna sześcianu:
$$3^2+(3\sqrt{2})^2=s^2 \\
9+9\cdot2=s^2 \\
9+18=s^2 \\
s^2=27 \\
s=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi graniastosłupa.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym mamy \(9\) krawędzi. Skąd to wiemy? Możemy to albo sobie wyobrazić (trzy krawędzie w podstawie dolnej, trzy krawędzie w podstawie górnej i trzy krawędzie boczne), albo możemy skorzystać ze wzoru na liczbę krawędzi w graniastosłupach. Graniastosłup posiadającego w swojej podstawie \(n\)-kąt ma liczbę krawędzi równą \(3n\). Czyli w naszym przypadku skoro \(n=3\), to liczba krawędzi będzie równa \(3\cdot3=9\).

Skoro suma wszystkich krawędzi jest równa \(90\), a takich krawędzi mamy \(9\), to każda z nich ma długość:
$$a=90:9 \\
a=10$$

Krok 2. Obliczenie powierzchni podstawy dolnej i górnej.
W podstawie dolnej i górnej znajduje się trójkąt równoboczny o boku \(a=10\). Pole każdej z tych podstaw będzie więc równe:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{100\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=25\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie powierzchni ściany bocznej.
W ścianie bocznej znajdzie się kwadrat o boku \(a=10\), zatem:
$$P_{b}=a^2 \\
P_{b}=10^2 \\
P_{b}=100$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Mamy dwie podstawy (dolna oraz górna) oraz trzy ściany boczne, zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \\
P_{c}=2\cdot25\sqrt{3}+3\cdot100 \\
P_{c}=300+50\sqrt{3}$$

B

W naszej siatce powinniśmy się spodziewać dwóch różnych rodzajów trójkątów. Pierwszym rodzajem są trójkąty \(ABE\) oraz \(ADE\) (są na pewno prostokątne i równoramienne bo wyznacza nam to bok sześcianu). Drugim rodzajem są trójkąty \(BCE\) oraz \(CDE\) (też będą to trójkąty prostokątne, ale już nie będą równoramienne no i będą tak jakby "dłuższe").

Już ta pierwsza weryfikacja sprawia, że odrzucimy odpowiedzi \(C\) i \(D\), bo tam wszystkie trójkąty są jednakowych rozmiarów. Teraz używając naszej wyobraźni przestrzennej musimy dokonać wyboru między \(A\) i \(B\). Siatka \(A\) różni się od \(B\) jedynie ułożeniem dwóch "dłuższych" trójkątów. W siatce \(B\) najdłuższe krawędzie wychodzą z jednego wierzchołka i to jest dla nas znak, że po złożeniu te krawędzie idealnie się ze sobą spasują. W siatce \(A\) już takiej zależności nie znajdziemy i w zasadzie po złożeniu tej siatki otrzymamy bardzo nieregularną figurę przestrzenną (nie będzie nam nawet to przypominać ostrosłupa). Stąd też prawidłowa jest odpowiedź \(B\).

B

Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu.
Ściany sześcianu są kwadratami. Skoro pole jednej ściany jest równe \(4\), to krawędź sześcianu ma oczywiście długość \(2\) (bo \(P=a^2\)).

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
$$V=a^3 \\
V=2^3 \\
V=8$$

C

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej musimy znać długość krawędzi tego sześcianu. Wyznaczymy ją ze wzoru na objętość, bowiem to właśnie objętość jest podana w treści zadania:
$$V=a^3 \\
64=a^3 \\
a=\sqrt[3]{64} \\
a=4$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
Znając długość krawędzi sześcianu możemy przystąpić do obliczenia jego pola powierzchni całkowitej:
$$P_{c}=6\cdot a^2 \\
P_{c}=6\cdot4^2 \\
P_{c}=6\cdot16 \\
P_{c}=96$$

B

Krok 1. Ustalenie liczby krawędzi i ścian bocznych graniastosłupa.
Jeśli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa, to:
Liczba krawędzi: \(3n\)
Liczba ścian bocznych: \(n\)

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie równania.
Korzystając z zależności wypisanych w pierwszym kroku. możemy zapisać treść zadania w formie prostego równania:
$$3n-n=10 \\
2n=10 \\
n=5$$

To oznacza, że w podstawie graniastosłupa mamy pięciokąt.

D

Krok 1. Obliczenie liczby kątów figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa.
Z własności graniastosłupów wiemy, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w swojej podstawie ma \(3n\) krawędzi. Zatem w podstawie graniastosłupa znajduje się:
$$3n=24 \\
n=8 \\
\text{(czyli ośmiokąt)}$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w swojej podstawie ma \(2n\) wierzchołków, zatem łącznie wszystkich wierzchołków będziemy mieć:
$$2\cdot8=16$$

A

Jeśli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów wielokąta, który znajdzie się w podstawie ostrosłupa, to bryła ta będzie mieć \(2n\) krawędzi i \(n\) ścian bocznych. Z treści zadania wynika, że mamy \(10\) krawędzi, tak więc:
$$2n=10 \\
n=5$$

Czyli nasz ostrosłup ma \(5\) ścian bocznych.

B

Wysokość ostrosłupa wyznaczymy podstawiając do wzoru na objętość tej bryły wszystkie dane z treści zadania, pamiętając że w podstawie tego ostrosłupa mamy kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny):
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
432=\frac{1}{3}\cdot12^2\cdot H \\
432=\frac{1}{3}\cdot144\cdot H \\
432=48\cdot H \\
H=9$$

D

Wzór na objętość graniastosłupa:
$$V_{g}=P_{p}\cdot H$$

Wzór na objętość ostrosłupa:
$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$

Podstawmy teraz do wzoru na objętość ostrosłupa objętość z treści zadania:
$$81\sqrt{3}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \quad\bigg/\cdot3 \\
243\sqrt{3}=P_{p}\cdot H$$

Po prawej stronie równania otrzymaliśmy wzór na pole graniastosłupa. W związku z tym \(V_{g}=243\sqrt{3}\).

D

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
W podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Skorzystamy więc ze wzoru na jego pole, podstawiając \(a=8\). Zatem:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$

W takiej postaci to zostawimy, bo widzimy że w odpowiedziach pojawia się \(8^2\).

Krok 2. Obliczenie pola ściany bocznej.
Skoro każda krawędź ma długość \(8\), to w ścianie bocznej musimy mieć kwadrat o boku \(8\). Jego pole jest wiec równe:
$$P_{b}=a^2 \\
P_{b}=8^2$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Mamy dwie podstawy oraz trzy ściany boczne, więc możemy obliczyć pole całkowite. Na sam koniec obliczeń musimy się jeszcze dopasować do naszych odpowiedzi, czyli wyłączyć \(8^2\) przed nawias:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \\
P_{c}=2\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot8^2 \\
P_{c}=\frac{8^2\sqrt{3}}{2}+3\cdot8^2 \\
P_{c}=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)$$

A

Jeżeli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów wielokąta znajdującego się w podstawie graniastosłupa, to będzie miał on \(2n\) wierzchołków i \(3n\) krawędzi. W naszym przypadku graniastosłup o podstawie ośmiokąta miałby \(16\) wierzchołków i \(24\) krawędzie, tak więc prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Jeżeli ostrosłup czworokątny ma wszystkie krawędzie równej długości to na pewno w podstawie mamy kwadrat. Cały ostrosłup wyglądać będzie mniej więcej w ten sposób:



Na rysunku zaznaczyliśmy sobie też dwa kąty - kąt między krawędzią i przekątną podstawy (czyli kąt \(α\)) oraz poszukiwany kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy (czyli kąt \(β\)).

Krok 2. Wyznaczenie kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
Poszukujemy miary kąta \(β\).
Zwróćmy uwagę na to, że trójkąty \(ABD\) oraz \(BDS\) są trójkątami przystającymi (mają te same długości ramion bo krawędzie są sobie równe oraz mają wspólną podstawę trójkąta, która jest przekątną kwadratu). To oznacza, że na naszym rysunku \(α=β\).

Kąt \(α\) ma znaną nam miarę \(45°\), bo przekątna kwadratu dzieli kąt prosty na dwie równe części, czyli \(90°:2=45°\). Skoro tak, to zgodnie z tym co sobie napisaliśmy wcześniej \(β=45°\).

C

Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu (\(a\)).
Trzeba dobrze wczytać się w treść zadania. Podaną mamy długość przekątnej ściany sześcianu, a nie przekątnej całego sześcianu jako takiego. Wiemy więc, że ścianami sześcianu są kwadraty o przekątnej \(d=2\). Nam do obliczenia pola całkowitego potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu. Z własności kwadratu wynika, że:
$$d=a\sqrt{2} \\
2=a\sqrt{2} \\
a=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Sześcian składa się z sześciu ścian, każda z nich jest kwadratem o boku \(a=\sqrt{2}\), zatem:
$$P_{c}=6\cdot a^2 \\
P_{c}=6\cdot (\sqrt{2})^2 \\
P_{c}=6\cdot2 \\
P_{c}=12$$

B

Jeżeli wysokość graniastosłupa oznaczymy sobie literą \(h\), to z treści zadania wynika, że długość przekątnej podstawy graniastosłupa (podstawy! nie bryły jako takiej) jest równa \(2h\).

Dodatkowo wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (a wiemy to stąd, że jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny). To oznacza, że jego przekątne przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a co za tym idzie - odcinek \(BC\) ma długość \(h\) (patrz rysunek). Wygląda to mniej więcej tak:



Z naszej analizy wynika, że powstał nam trójkąt \(ABC\), który jest prostokątny i równoramienny, a to z kolei oznacza że jest to trójkąt o kątach których miara wynosi \(45°, 45°, 90°\). Poszukiwany przez nas kąt \(α\) ma więc \(45°\).

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Bardzo ważną informacją jest fakt, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Jeśli krawędzi podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to skoro są to wszystko trójkąty równoboczne to także krawędzie boczne możemy opisać jako \(a\). Dodatkowo przekątna kwadratu ma długość \(a\sqrt{2}\).

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ASC\).
W zasadzie możemy miarę tego kąta wyznaczyć na dwa sposoby:
I sposób - z podobieństwa trójkątów.
Możemy zauważyć, że trójkąt \(ASC\) jest trójkątem podobnym do trójkąta \(ABC\). Mają one te same długości ramion , czyli \(a\) oraz podstawy czyli \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to wszystkie miary tych kątów będą także sobie równe. My wiemy, że \(|\sphericalangle ABC|=90°\), bo wszystkie kąty w kwadracie mają taką miarę. Stąd też także \(|\sphericalangle ASC|=90°\).

II sposób - z Twierdzenia Pitagorasa.
Ogólnie z Twierdzenia Pitagorasa możemy korzystać tylko przy obliczeniach na trójkątach prostokątnych. My nie wiemy czy nasz trójkąt jest prostokątny, ale jeśli pod \(a^2+b^2=c^2\) podstawimy nasze dane i równość okaże się prawdziwa, to będzie to oznaczało, że trójkąt jest prostokątny, a tym samym \(\sphericalangle ASC=90°\). Zatem:
$$a^2+a^2=(a\sqrt{2})^2 \\
2a^2=2a^2 \\
L=P$$

Jest to więc trójkąt prostokątny, czyli poszukiwana miara kąta to \(90°\).

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Pierwszą rzeczą którą musimy zauważyć, to że trójkąc \(ABC\) jest równoramienny. Jego ramiona mają długość \(3\), a podstawa jest równa \(|CB|=2\sqrt{2}\). Skąd wiemy, że to jest dokładnie taka długość podstawy? Jest to po prostu przekątna kwadratu o boku \(2\).

Jeżeli z miejsca przecięcia się tych przekątnych (punkt \(P\)) poprowadzimy prostą do wierzchołka \(A\) to otrzymamy tak naprawdę dwusieczną kąta \(α\) (bo jest to wysokość trójkąta równoramiennego, a ta dzieli kąt na dwie równe części). Mamy więc już interesujący nas kąt \(\frac{α}{2}\).

Krok 2. Obliczenie sinusa kąta \(\frac{α}{2}\).
Obliczenia dokonujemy już tylko na trójkącie \(PCA\). Potrzebujemy wyznaczyć sinusa kąta \(CAP\), który ma miarę \(\frac{α}{2}\). Znamy potrzebną nam długosć \(|CA|=3\), potrzebujemy jeszcze poznać długość odcinka \(|CP|\). Jest to połowa przekątnej kwadratu, tak więc:
$$|CP|=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Możemy już teraz obliczyć pożądaną wartość sinusa:
$$sin\frac{α}{2}=\frac{|CP|}{|CA|} \\
sin\frac{α}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

C

Jeżeli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów w figurze znajdującej się w podstawie ostrosłupa, to bryła ta będzie mieć \(2n\) krawędzi i \(n+1\) wierzchołków. To pozwoli nam utworzyć proste równanie:
$$2n-(n+1)=11 \\
2n-n-1=11 \\
n=12$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oznaczmy sobie jako \(a\) krawędź podstawy oraz \(3a\) jako wysokość graniastosłupa. Pamiętaj, że w podstawie graniastosłupa znajdzie się kwadrat, bo jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny.



Krok 2. Zapisanie wzoru na pole podstawy i pole ściany bocznej.
Korzystając z rysunku i zawartych na nim oznaczeń zapiszmy sobie od razu wzory na pole powierzchni podstawy oraz na pole ściany bocznej:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{b}=a\cdot3a=3a^2$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro mamy dwie podstawy oraz cztery ściany boczne i znamy pole powierzchni całkowitej, to możemy ułożyć następujące równanie:
$$2P_{p}+4P_{b}=140 \\
2\cdot a^2+4\cdot3a^2=140 \\
2a^2+12a^2=140 \\
14a^2=140 \\
a^2=10 \\
a=\sqrt{10}$$

Objętość ostrosłupa jest równa \(48\).

Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego.



W zasadzie do obliczenia objętości brakuje nam tylko pola podstawy, bo wysokość bryły już znamy. Aby obliczyć to pole to potrzebna byłaby wysokość trójkąta, który znalazł się w podstawie. Wyliczymy ją bez problemu jeśli poznamy długości boków \(AB\) i \(AC\) i właśnie od tego rozpoczniemy obliczenia.

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AB\) i \(AC\).
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa. Aby obliczyć bok \(AB\) wystarczy wziąć do obliczeń duży trójkąt \(ABD\), którego miary dwóch boków są nam znane, a więc:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\
|AB|^2+12^2=13^2 \\
|AB|^2+144=169 \\
|AB|^2=25 \\
|AB|=5 \quad\lor\quad |AB|=-5$$

(wartość ujemną odrzucamy, bo bok nie może mieć długości ujemnej)

Długość boku \(AC\) wyliczymy dokładnie w ten sam sposób, tyle tylko że skorzystamy z trójkąta \(ACD\). Jego wymiary są identyczne co trójkąta \(ABD\) (są to więc trójkąty przystające), a więc i bok \(AC\) ma długość \(5\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\).



W podstawie mamy trójkąt równoramienny, a więc jego wysokość podzieli nam bok \(BC\) na dwie równe części. Wysokość trójkąta wyliczymy więc używając ponownie Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
h^2+|CE|^2=|AC|^2 \\
h^2+3^2=5^2 \\
h^2+9=25 \\
h^2=16 \\
h=4 \quad\lor\quad h=-4$$

(wartość ujemną oczywiście odrzucamy)

Krok 4. Obliczenie pola podstawy trójkąta znajdującego się w podstawie.
$$P_{p}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4 \\
P_{p}=12$$

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając już wszystkie potrzebne miary możemy bez problemu obliczyć objętość ostrosłupa:
$$P_{p}=12 \\
H=12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot12=48$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy postęp rozwiązywania jest niewielki np. obliczysz że \(|AB|=5\) lub \(|AC|=5\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy postęp rozwiązywania zadania jest nieco większy i np. obliczysz że wysokość trójkąta \(ABC\) jest równa \(h=4\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy dojdziesz do poprawnego obliczenia pola podstawy (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=70\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie ten graniastosłup i oznaczmy na nim od razu długości, które są podane w treści zadania. Pamiętaj, że jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, dlatego w podstawie znajdzie się trójkąt równoboczny.



Dodatkowo musimy zauważyć, że trójkąt \(ABF\) jest trójkątem równoramiennym, bowiem jego dwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych.

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AF\) oraz \(BF\).
Spójrzmy na trójkąc \(ACF\). Jest to trójkąt prostokątny, którego długości przyprostokątnych są nam znane. W związku z tym bez problemu obliczymy długość przeciwprostokątnej \(AF\):
$$|AC|^2+|CF|^2=|AF|^2 \\
10^2+11^2=|AF|^2 \\
100+121=|AF|^2 \\
|AF|^2=221 \\
|AF|=\sqrt{221}$$

Powiedzieliśmy sobie, że trójkąt ABF jest równoramienny, zatem także \(|BF|=\sqrt{221}\).

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABF\).
Spójrzmy może na rysunek samego trójkąta \(ABF\):



Znamy długość podstawy \(|AB|=10\). Brakuje nam jeszcze wysokości tego trójkąta. Wiemy, że w trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem otrzymamy mały trójkąt prostokątny \(SBF\), z którego za pomocą Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość trójkąta.
$$|SB|^2+|SF|^2=|BF|^2 \\
5^2+|SF|^2=(\sqrt{221})^2 \\
25+|SF|^2=221 \\
|SF|^2=196 \\
|SF|=14$$

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(ABF\).
Wystarczy już podstawić do wzoru na pole trójkąta wszystkie dane, które uzyskaliśmy przed chwilą:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot |AB| \cdot |SF| \\
P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot14 \\
P=70$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy narysujesz graniastosłup i poprawnie zaznaczysz w nim poszukiwany trójkąt \(ABF\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej ściany bocznej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta znajdującego się w podstawie, czyli \(h=5\sqrt{3}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ABF\), czyli \(|SF|=14\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz sinus kąta \(AFB\), czyli \(sin=\frac{140}{221}\), celem skorzystania ze wzoru na pole trójkąta z użyciem sinusa.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale popełnisz błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\)

Krok 1. Ustalenie tego, że trójkąt \(KLM\) jest równoboczny.

Gdybyśmy dorysowali sobie odcinki \(AK\), \(KG\) i \(EL\) to zauważymy, że za każdym razem boki naszego trójkąta \(KLM\) są przeciwprostokątnymi trójkąta prostokątnego, bo trójkąty \(AKM\), \(GKL\) oraz \(ELM\) są przystające. Wszystko powinien wyjaśnić rysunek pomocniczy.


Naszym celem będzie obliczenie długości jednego z boków trójkąta \(KLM\) (dowolnego, bo wszystkie są przecież tej samej miary). Przyjmijmy więc, że obliczymy długość odcinka \(MK\). Możemy to zrobić wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa, ale potrzebujemy jeszcze znać miarę odcinków \(AM\) oraz \(AK\). Z treści zadania wiemy, że \(|AM|=1:2=\frac{1}{2}\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(AK\). Analizowany trójkąt wygląda więc mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AK\).
Długość odcinka \(AK\) wyliczymy Twierdzeniem Pitagorasa z trójkąta \(ABK\):


$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|BK|^2=|AK|^2 \\
1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=|AK|^2 \\
1+\frac{1}{4}=|AK|^2 \\
|AK|^2=\frac{5}{4} \\
|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}} \quad\lor\quad |AK|=-\frac{5}{4}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości, więc \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(MK\), czyli boku trójkąta równobocznego \(KLM\).
Znamy długości odcinków \(|AM|=\frac{1}{2}\) oraz \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\), możemy więc wrócić do trójkąta \(AMK\) i tym razem już bez przeszkód obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa długość odcinka \(MK\) (czyli boku trójkąta równobocznego \(KLM\)).
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AM|^2+|AK|^2=|MK|^2 \\
\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{5}{4}}\right)^2=|MK|^2 \\
|MK|^2=\frac{1}{4}+\frac{5}{4} \\
|MK|^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \\
|MK|=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

W związku z tym wiemy już, że bok naszego trójkąta równobocznego \(KLM\) ma miarę \(a=\sqrt{\frac{3}{2}}\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta równobocznego \(KLM\).
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem:
$$P_{KLM}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że trójkąt \(KLM\) jest równoboczny (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(|AK|^2=\frac{5}{4}\).
3 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że trójkąt \(KLM\) jest równoboczny (patrz: Krok 1.) oraz gdy obliczysz długość jednego z jego boków, np. \(|MK|=\sqrt{\frac{3}{2}}\) (patrz: Krok 3.). Dopuszczalne jest także obliczenie kwadratów tych długości lub zapisanie długości w postaci \(|MK|=\frac{\sqrt{6}}{2}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=8\sqrt{10}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na naszym rysunku długości z treści zadania i przeanalizujmy sobie ten ostrosłup:



Potrzebujemy poznać długości wszystkich boków zaznaczonych na zielono, czyli \(x\) oraz \(y\) do obliczenia pola podstawy oraz wysokość \(H\) całego ostrosłupa (którą w naszym przypadku jest odcinek \(DW\)).

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(BD\).
Za chwilę będziemy budować różne równania z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to jeszcze przydałoby nam się zapisanie wzoru na długość odcinka \(BD\). Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:
$$x^2+y^2=|BD|^2$$

I w takiej formie możemy to na razie zostawić, bo przy Twierdzeniu Pitagorasa i tak posługujemy się długościami boków podniesionymi do kwadratu.

Krok 3. Wypisanie równań na podstawie Twierdzenia Pitagorasa.
Z trójkąta \(ADW\) wynika, że: \(y^2+H^2=36\)
Z trójkąta \(DCW\) wynika, że: \(x^2+H^2=49\)
Z trójkąta \(DBW\) wynika, że: \(|BD|^2+H^2=81\), czyli \(x^2+y^2+H^2=81\)

Krok 4. Wyznaczenie poszczególnych długości.
Podstawiając z pierwszego równania \(y^2+H^2=36\) do trzeciego równania otrzymamy:
$$x^2+36=81 \\
x^2=45 \\
x=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$

Podstawiając \(x=\sqrt{45}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$(\sqrt{45})^2+H^2=49 \\
45+H^2=49 \\
H^2=4 \\
H=2$$

Podstawiając \(H=2\) do pierwszego równania otrzymamy:
$$y^2+2^2=36 \\
y^2+4=36 \\
y^2=32 \\
y=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie znajduje się prostokąt o bokach \(x\) oraz \(y\), zatem:
$$P_{p}=x\cdot y \\
P_{p}=3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{2} \\
P_{p}=12\sqrt{10}$$

Krok 6. Obliczenie objętości bryły.
Znamy wszystkie potrzebne długości, zatem możemy przejść do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{10}\cdot2 \\
V=4\sqrt{10}\cdot2 \\
V=8\sqrt{10}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy błędne rozwiązanie wynika ze złego podpisania danych na rysunku.
1 pkt
• Gdy zapiszesz przynajmniej jedno równanie z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość przynajmniej jednej krawędzi podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz wszystkie długości krawędzi podstawy oraz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sinα=\sqrt{\frac{22}{23}}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Stwórzmy sobie szkic rysunku na którym zaznaczymy wszystkie informacje z treści zadania.



Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(CO\) oraz \(BO\).
Wbrew pozorom nie będą to odcinki równej długości, bo przecież przekątne rombu mają różne długości.

Przekątne rombu dzielą kąty przy wierzchołkach na dwie równe części. To oznacza, że kąty \(CBD\) oraz \(CDB\) mają po \(60°\). To z kolei powoduje, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równobocznym o boku długości \(4\). Analogicznie będzie z trójkątem \(ABD\). Wszystko wyjaśni poniższy rysunek z zaznaczonymi kątami i z niebieskimi liniami, które mówią nam o tym które tworzą dwa trójkąty równoboczne:



To dla nas bardzo ważna informacja, bo teraz bez przeszkód obliczymy długość odcinka \(CO\), który jest wysokością trójkąta równobocznego \(BCD\) o boku \(a=4\).
$$|CO|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

Skoro ustaliliśmy sobie, że trójkąt \(BCD\) jest równoboczny, to znaczy że przekątna \(BD\) ma także długość \(4\). Przekątne w rombie przecinają się w połowie swojej długości, a to pozwoli nam na obliczenie długości boku \(BO\):
$$|BO|=4:2=2$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
W poprzednim kroku obliczyliśmy długość odcinka \(|CO|=2\sqrt{3}\). Z treści zadania znamy też długość krawędzi \(|SC|=10\). To oznacza, że bez przeszkód obliczymy wysokość \(SO\) naszego ostrosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOC\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|SO|^2+|CO|^2=|SC|^2 \\
|SO|^2+(2\sqrt{3})^2=10^2 \\
|SO|^2+4\cdot3=100 \\
|SO|^2+12=100 \\
|SO|^2=88 \\
|SO|=\sqrt{88} \quad\lor\quad |SO|=-\sqrt{88}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość i jest ona równa \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\).

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(BS\) (czyli naszej krawędzi bocznej).
Tu ponownie skorzystamy sobie z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem wobec trójkąta \(BOS\). Znamy wysokości obu przyprostokątnych \(|BO|=2\) (wyliczyliśmy to w drugim kroku) oraz \(|SO|=2\sqrt{22}\) (wyliczyliśmy to w trzecim kroku), więc bez przeszkód wyznaczymy długość krawędzi \(BS\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|BO|^2+|SO|^2=|BS|^2 \\
2^2+(2\sqrt{22})^2=|BS|^2 \\
4+4\cdot22=|BS|^2 \\
|BS|^2=92 \\
|BS|=\sqrt{92} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{92}$$

Wartość ujemną także oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\).

Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc na koniec musimy obliczyć jeszcze sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
$$sinα=\frac{|SO|}{|BS|}=\frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\sqrt{\frac{22}{23}}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości odcinków \(|CO|=2\sqrt{3}\) oraz \(|BO|=2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa, czyli \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz tangens kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, czyli \(tgβ=\sqrt{22}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{32\sqrt{3}}{3}\)

Krok 1. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Skorzystamy tutaj z trójkąta prostokątnego \(ACE\). Znamy długość \(|AC|=4\) i znamy też miarę jednego z kątów \(|\sphericalangle ACE|=60°\). Te dwie dane posłużą nam do wyznaczenia wysokości graniastosłupa (czyli \(AE\)), a skorzystamy tutaj z funkcji tangensa:
$$tg60°=\frac{|AE|}{|AC|} \\
\sqrt{3}=\frac{|AE|}{4} \\
|AE|=4\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że w swojej podstawie ma on kwadrat. Znamy przekątną tego kwadratu i jest ona równa \(d=|AC|=4\). Z własności kwadratu wiemy też, że \(d=a\sqrt{2}\), a to pozwoli nam szybko wyliczyć długość krawędzi podstawy:
$$4=a\sqrt{2} \\
a=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

Ta długość przyda nam się teraz do obliczenia pola podstawy.

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=2\sqrt{2}\), to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(2\sqrt{2})^2=4\cdot2=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości wyznaczonego ostrosłupa.
Musimy teraz obliczyć objętość ostrosłupa. Znamy jego wysokość \(h=4\sqrt{3}\), obliczyliśmy także że \(P_{p}=8\), więc wystarczy już tylko podstawić te dane do standardowego wzoru na objętosć ostrosłupów:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot8\cdot4\sqrt{3} \\
V=\frac{32\sqrt{3}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy gdy obliczysz pole podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa oraz pole podstawy (patrz: Krok 1. oraz 3.), ale jedna z otrzymanych wartości będzie błędna w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie wysokość ostrosłupa oraz pole podstawy (patrz: Krok 1. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz objętość ostrosłupa zapominając o tym, że we wzorze jest mnożenie przez \(\frac{1}{3}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=176\sqrt{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy do głównego rysunku dwie wysokości - pierwszą niech będzie wysokość trójkąta \(ABC\) oraz drugą, tym razem trójkąta \(ABF\). Dodatkowo podpiszmy długości poszczególnych boków, a skoro jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie mamy trójkąt równoboczny, czyli więc wszystkie krawędzie podstawy mają długość \(8\).



Krok 2. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABF\), czyli odcinka \(FG\).
Możemy dostrzec, że trójkąt \(ABF\) jest trójkątem równoramiennym (obydwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych). Korzystając więc z pola trójkąta podanego w treści zadania (\(P=52\)) oraz długości podstawy trójkąta (\(a=8\)) możemy obliczyć wysokość trójkąta \(ABF\):
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h_{1} \\
52=\frac{1}{2}\cdot8\cdot h_{1} \\
52=4h_{1} \\
h_{1}=13$$

Wysokość \(|FG|\) jest więc równa \(13\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\), czyli odcinka \(CG\).
Jak już sobie ustaliliśmy - w podstawie jest trójkąt równoboczny o boku długości \(a=8\). Jego wysokość możemy więc obliczyć korzystając z następującego wzoru:
$$h_{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
h_{2}=4\sqrt{3}$$

Wysokość \(|CG|\) jest więc równa \(4\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa, czyli odcinka \(FC\).
Do obliczenia objętości potrzebna nam jest oczywiście wysokość graniastosłupa. Wyznaczymy ją przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa z trójkąta \(FCG\):
$$|FC|^2+|CG|^2=|FG|^2 \\
|FC|^2+(4\sqrt{3})^2=13^2 \\
|FC|^2+16\cdot3=169 \\
|FC|^2+48=169 \\
|FC|^2=121 \\
|FC|=11$$

Wysokość całego graniastosłupa jest więc równa \(H=11\).

Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny, to jego pole jest równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{8^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{64\sqrt{3}}{4} \\
P=16\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie dane, tak więc możemy przystąpić do obliczenia objętości:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=16\sqrt{3}\cdot11 \\
V=176\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość wysokości trójkąta \(ABF\), czyli \(FG=13\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie, czyli odcinka \(CG=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz zarówno długość odcinka \(FG=13\) jak i \(CG=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej ściany bocznej \(AF=\sqrt{185}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa, czyli \(H=11\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sinα=\frac{\sqrt{42}}{7}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną \(AC\), bo z treści zadania wynika, że będziemy pracować na trójkącie \(ACS\).



Warto zauważyć, że skoro \(ACS\) jest trójkątem równobocznym, to \(|AC|=|AS|=|SD|=8\).

Potrzebujemy obliczyć sinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy, czyli zgodnie z naszym rysunkiem:
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie ma on na pewno kwadrat. My znamy długość przekątnej tego kwadratu, bo \(|AC|=8\). Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8 \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym, wiedząc że bok naszego trójkąta \(ACS\) ma długość \(a=8\).
$$|SE|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|SE|=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
|SE|=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SF\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(FDS\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny, bo wysokość ściany bocznej jest opuszczona pod kątem prostym. Punkt \(F\) znajduje się w połowie długości odcinka \(AD\), bo \(ADS\) jest trójkątem równoramiennym, a wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części. Długość odcinka \(AD\) wyliczyliśmy w drugim kroku, a to oznacza, że:
$$|FD|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2} \\
|FD|=2\sqrt{2}$$

Skoro znamy długość \(|FD|=2\sqrt{2}\), wiemy też, że \(|SD|=8\), to z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy potrzebną nam długość \(|SF|\):
$$|FD|^2+|SF|^2=|SD|^2 \\
(2\sqrt{2})^2+|SF|^2=8^2 \\
4\cdot2+|SF|^2=64 \\
8+|SF|^2=64 \\
|SF|^2=56 \\
|SF|=\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot14}=2\sqrt{14}$$

Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Wszystkie potrzebne długości już wyznaczyliśmy, zatem wystarczy je tylko podstawić do wzoru który zapisaliśmy sobie w pierwszym kroku.
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{42}}{2\cdot14} \\
sinα=\frac{4\sqrt{42}}{28} \\
sinα=\frac{\sqrt{42}}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy, czyli \(a=4\sqrt{2}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SE|=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa, czyli \(|SF|=2\sqrt{14}\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz zarówno długość krawędzi podstawy jak i wysokości ostrosłupa oraz ściany bocznej (patrz: Krok 2. oraz 3. oraz 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(tgα=\sqrt{6}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=400cm^3\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Do obliczenia objętości potrzebujemy miarę wysokości ostrosłupa, czyli odcinka \(SO\). Obliczmy ją z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to musimy poznać miary odcinków \(OE\) oraz \(SE\).

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy oraz odcinka \(OE\).
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w swojej podstawie kwadrat. Skoro pole powierzchni jest równe \(100cm^2\), to długość krawędzi podstawy jest równa \(10cm\).

Odcinek \(OE\) jest równy połowie długości podstawy, czyli \(|OE|=5cm\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Pole powierzchni bocznej jest równe \(260cm^2\). Skoro mamy cztery identyczne trójkątne ściany, a każda z nich ma w podstawie trójkąt, to z tego pola powierzchni będziemy w stanie wyznaczyć wysokość każdego takiego trójkąta, czyli nasz odcinek \(SE\).

$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \\
260cm^2=4\cdot\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot h \\
260cm^2=20cm\cdot h \\
h=13cm$$

Mamy już więc kolejną długość \(|SE|=13cm\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa na trójkącie \(SOE\).
$$a^2+b^2=c^2 \\
|OE|^2+|SO|^2=|SE|^2 \\
(5cm)^2+|SO|^2=(13cm)^2 \\
25cm^2+|SO|^2=169cm^2 \\
|SO|^2=144cm^2 \\
|SO|=12cm \quad\lor\quad |SO|=-12cm$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość ostrosłupa nie może być ujemna.

Krok 4. Obliczenie objętości bryły.
Znamy pole podstawy, mamy obliczoną wysokość ostrosłupa, więc wystarczy już tylko podstawić dane do wzoru:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot100cm^2\cdot12cm \\
V=400cm^3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz zadanie błędnie tylko dlatego, że przymiesz iż pole powierzchni bocznej to pole powierzchni tylko jednej ściany bocznej, a nie suma powierzchni wszystkich ścian bocznych.
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=162\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie na rysunku kąty \(30°\) i \(60°\) oraz odpowiednie długości boków omówione w treści zadania:



Wbrew pozorom już podczas zaznaczania odpowiednich długości można było popełnić spory błąd. Skąd wiemy, że to akurat boki \(AD\) oraz analogicznie \(BC\) są tymi krótszymi i akurat one mają długość \(3\)? Treść zadania nie sugeruje nam tego wprost, ale wynika to chociażby z własności trójkątów \(30°\), \(60°\), \(90°\), a takim jest trójkąt \(ABD\). W takich trójkątach dłuższą przyprostokątną jest ten bok, który znajduje się przy kącie \(30°\) i stąd też wiemy, że dłuższymi krawędziami są \(AB\) oraz analogicznie \(CD\), a krótszymi są \(AD\) oraz \(BC\).

Do obliczenia objętości będziemy potrzebowali znać długości boków prostokąta oraz wysokość całego graniastosłupa, zatem wyznaczmy po kolei każdą z wartości.

Krok 2. Obliczenie miary dłuższego boku prostokąta.
Do obliczenia długości, którą oznaczyliśmy sobie jako \(a\) skorzystamy z trójkąta \(ABD\). Użyjemy tutaj albo własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\), albo funkcji tangensa:
$$tg30°=\frac{3}{a} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{a}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$\sqrt{3}a=9 \\
a=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Ponownie spoglądamy na trójkąt \(ABD\). Do obliczenia długości przekątnej \(DB\) skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa i z miary boku prostokąta, którą obliczyliśmy przed chwilą:
$$3^2+(3\sqrt{3})^2=|DB|^2 \\
9+9\cdot3=|DB|^2 \\
9+27=|DB|^2 \\
|DB|^2=36 \\
|DB|=6$$

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Tym razem interesuje nas trójkąt \(DBH\). Odcinek \(DH\), który oznaczyliśmy sobie jako \(H\) wyliczymy z funkcji tangensa (właśnie po to liczyliśmy przed chwilą długość przekątnej \(DB\)):
$$tg60°=\frac{H}{6} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{6} \\
H=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczeń objętości:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=3\cdot3\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\
V=9\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\
V=54\cdot3 \\
V=162$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę dłuższego boku prostokąta (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz miarę dłuższego boku prostokąta oraz długość przekątnej podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole podstawy graniastosłupa \(P_{p}=9\sqrt{3}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz dodatkowo wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(s=3+\sqrt{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną sześcianu (\(s\)) oraz przekątną podstawy (\(d\)), która przyda nam się do dalszych obliczeń. I tu od razu możemy zauważyć, że nasza przekątna podstawy jest tak naprawdę przekątną kwadratu, który znalazł się w podstawie sześcianu. Zatem jeśli długość krawędzi oznaczymy jako \(a\) to \(d=a\sqrt{2}\).



Krok 2. Wyznaczenie wzoru ogólnego na długość przekątnej sześcianu.
Ten krok możemy pominąć, jeśli po prostu pamiętamy że przekątna sześcianu jest opisana wzorem \(s=a\sqrt{3}\). Niestety tego wzoru nie ma w tablicach maturalnych, dlatego zobaczmy jak go łatwo możemy sobie wyprowadzić.

Spójrzmy na trójkąt \(BDH\). Jest on prostokątny, a jego przyprostokątne mają długośc odpowiednio \(a\) oraz \(a\sqrt{2}\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+(a\sqrt{2})^2=s^2 \\
a^2+2a^2=s^2 \\
s^2=3a^2 \\
s=\sqrt{3\cdot a^2} \\
s=a\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Z treści zadania wynika, że \(a=s-2\). Możemy teraz podstawić tą zależność do wyznaczonego wzoru z kroku drugiego i otrzymamy wtedy:
$$s=(s-2)\sqrt{3} \\
s=s\sqrt{3}-2\sqrt{3} \\
s-s\sqrt{3}=-2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot(-1) \\
s\sqrt{3}-s=2\sqrt{3} \\
s(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3} \\
s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$

(Mnożenie przez \(-1\) nie było koniecznie, ale sprawiało że pozbyliśmy się minusów, więc warto było ten krok wykonać). Teoretycznie otrzymany wynik można byłoby uznać za prawidłowy, ale warto tutaj jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym przypadku wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez (\(\sqrt{3}+1\)).
$$s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \\
s=\frac{2\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1\cdot(\sqrt{3}+1)} \\
s=\frac{6+2\sqrt{3}}{3-1} \\
s=\frac{6+2\sqrt{3}}{2} \\
s=3+\sqrt{3}$$

0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy do wzoru na przekątną sześcianu \(s=a\sqrt{3}\) (patrz: Krok 2.) podstawisz równanie \(s=a+2\) lub \(a=s-2\) (patrz: Krok 3.), ale same obliczenia wykonasz błędnie.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(tgα=\frac{\sqrt{3}}{9}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie wysokość ściany bocznej, oznaczmy kąt którego tangensa musimy obliczyć. Przyjmijmy też, że krawędź podstawy jest równa \(a\):



Musimy obliczyć tangens między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną, czyli:
$$tgα=\frac{|OD|}{|SO|}$$

Długość odcinka \(OD\) jest nam znana, bo jest to długość promienia okręgu, czyli \(|OD|=r=2\). Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć wysokość całego ostrosłupa i dopiero wtedy będziemy mogli obliczyć wartość tego tangensa.

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
Aby wyznaczyć wysokość ostrosłupa musimy najpierw policzyć pole podstawy, bowiem znając pole podstawy i objętość bryły (a ta jest podana w treści zadania) bez problemu obliczymy poszukiwaną wysokość ostrosłupa. Do obliczenia pola podstawy brakuje nam tak naprawdę znajomości długości krawędzi trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie i to właśnie tą długość teraz wyznaczymy (wiemy, że jest to trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny).

Punktem wyjścia będzie promień okręgu wpisanego w podstawę (którego długość znamy, bo \(r=2\)), który stanowi \(\frac{1}{3}\) wysokości tego trójkąta. Skoro jest to trójkąt równoboczny to wzór na jego wysokość możemy zapisać jako \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$r=\frac{1}{3}\cdot h\\
r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
2=\frac{a\sqrt{3}}{6} \\
a\sqrt{3}=12 \\
a=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Znając długość krawędzi możemy bez przeszkód obliczyć pole podstawy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{16\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=12\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Zgodnie z tym co opisaliśmy sobie wcześniej - wysokość ostrosłupa wyznaczymy ze wzoru na objętość:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
72=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot H \\
72=4\sqrt{3}\cdot H \\
H=\frac{72}{4\sqrt{3}} \\
H=\frac{18}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Oblicznie wartości tangensa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, możemy więc wyznaczyć wartość tangensa między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:
$$|OD|=r=2 \\
|SO|=H=6\sqrt{3} \\
\text{więc} \\
tgα=\frac{|OD|}{|SO|} \\
tgα=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy na rysunku zaznaczysz kąt między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość boku trójkąta znajdującego się w podstawie (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{32\sqrt{6}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego i analiza danych z treści zadania.



Dorysujmy sobie wysokość naszego ostrosłupa, bo będzie nam ona potrzebna do obliczenia objętości. Widzimy wyraźnie, że wysokość ostrosłupa jest jednocześnie wysokością trójkąta \(ACS\). Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to wszystkie ramiona trójkąta \(ACS\) mają tą samą długość (patrz kolor pomarańczowy na rysunku), a więc na pewno jest to trójkąt równoramienny. Ale... okazuje się, że on jest nawet nie tyle równoramienny, co równoboczny. Skąd to wynika? Wiemy, że między pomarańczowymi ramionami kąt ma miarę \(60°\). To oznacza, że kąty przy podstawie muszą mieć łącznie \(180°-60°=120°\). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie muszą mieć tą samą miarę, czyli każdy z nich ma\(120°:2=60°\). Z tego wynika, że wszystkie kąty trójkąta \(ACS\) będą mieć \(60°\).

Dostrzeżenie tej własności bardzo ułatwia nam rozwiązanie zadania, bo w tablicach mamy bezpośredni wzór na wysokość trójkąta równobocznego. Gdybyśmy nie zauważyli że to trójkąt równoboczny, to moglibyśmy próbować obliczyć wysokość z tangensa w trójkącie \(AOS\).

Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy na pewno kwadrat, bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). Długość tej przekątnej jest podana w treści i wynosi \(|AC|=4\sqrt{2}\), zatem w podstawie mamy kwadrat o boku \(4\). To oznacza, że jego pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=4^2 \\
P_{p}=16$$

Krok 3. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Z treści zadania wiemy, że \(|AC|=4\sqrt{2}\). Ta przekątna kwadratu jest jednocześnie podstawią naszego trójkąta równobocznego \(ACS\), a więc wysokość obliczymy w następujący sposób:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{4\sqrt{6}}{2} \\
H=2\sqrt{6}$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne informacje, więc możemy podstawić dane i obliczyć objętość ostrosłupa.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot2\sqrt{6} \\
V=\frac{32\sqrt{6}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy pole podstawy (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na rysunku z treści zadania odpowiednie długości, które zostały nam podane w treści. Skoro znamy tangens kąta nachylenia ściany bocznej, to także dorysujemy sobie wysokość naszej bocznej ściany.



Już na podstawie tego rysunku warto zauważyć, że jeśli krawędź podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to odcinek \(|OE|=\frac{1}{2}a\).

Krok 2. Wyznaczenie wzoru na wysokość ostrosłupa.
Korzystając z tangensa spróbujmy wyznaczyć wzór na wysokość ostrosłupa.
$$tgα=\frac{|SO|}{|OE|} \\
\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}a \\
H=\frac{4\sqrt{6}}{5}\cdot\frac{1}{2}a \\
H=\frac{2\sqrt{6}}{5}a$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy (\(a\)).
Z Twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}a\right)^2=22^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{4\cdot6}{25}a^2=484 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{24}{25}a^2=484 \\
\frac{25}{100}a^2+\frac{96}{100}a^2=484 \quad\bigg/\cdot100 \\
25a^2+96a^2=48400 \\
121a^2=48400 \\
a^2=400 \\
a=20$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Skoro sama podstawa jest kwadratem to jej pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=20^2 \\
P_{p}=400$$

Krok 5. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Podstawiając \(a=20\) do wzoru na wysokość ostrosłupa wyznaczonego w kroku drugim otrzymamy:
$$H=\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot20 \\
H=\frac{40\sqrt{6}}{5} \\
H=8\sqrt{6}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając miary wysokości ostrosłupa oraz jego pole podstawy możemy bez problemów obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p} \cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot400\cdot8\sqrt{6} \\
V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności tangensa zapiszesz, że \(\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz równanie np. \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość krawędzi podstawy \(a=20\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań składający się przykładowo z równań: \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2\) oraz \(\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a}\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz długość krawędzi podstawy\(a=20\) (patrz: Krok 3.) oraz obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=8\sqrt{6}\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{c}=144+384\sqrt{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).

Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).
$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|} \\
\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|\\
\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3} \\
|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2 \\
(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2 \\
2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9 \\
18a^2+2304=50a^2 \\
-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32) \\
a^2-72=0$$

Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
$$a^2-72=0 \\
a^2=72 \\
a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H \\
P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16 \\
P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2} \\
P_{c}=144+384\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy powiążesz ze sobą długości przekątnej podstawy, przekątnej graniastosłupa i wysokości graniastosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz że \(tgα=\frac{4}{3}\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej graniastosłupa: \(|EC|=20\)
ALBO
• Gdy zaznaczysz na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
ALBO
• Gdy obliczysz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny bo pomylisz sinusa z cosinusem.
2 pkt
• Gdy zgodnie z przyjętym przez siebie sposobem rozwiązywaniem zadania otrzymasz równanie lub układ równań w którym jedyną niewiadomą jest długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.). Dopuszczalna jest dowolna forma zapisu np. \(a^2-72=0\) albo \(\frac{16}{a\sqrt{2}}=\frac{4}{3}\) albo \(16^2+(a\sqrt{2})^2=20^2\) itd.
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy graniastosłupa: \(|AC|=12\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\)

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy ostrosłupa.
Musimy sobie ustalić jaka to figura znajduje się w podstawie naszej bryły. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Podaną mamy też długość boku tego trójkąta i jest ona równa \(6\). Policzenie pola podstawy jest więc bardzo proste, bo skoro jest to trójkąt równoboczny to skorzystamy z następującego wzoru:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni podstawy, znamy też objętość naszej bryły, więc policzymy wysokość ostrosłupa. Przyda nam się ona w późniejszych krokach do wyznaczenia długości ściany bocznej.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
27\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot H \\
27\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot H \\
H=9$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AD\) oraz \(|OD|\).



Spójrzmy teraz na rysunek i na trójkąt \(ODS\). Długość odcinka \(SO\) obliczyliśmy przed chwilą. Musimy jeszcze obliczyć długość odcinka \(OD\) i wtedy z Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość ściany bocznej.

Z własności trójkąta równobocznego wiemy, że odcinek \(OD\) jest równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta.
Wysokość trójkąta, czyli bok \(|AD|\) jest równy:
$$|AD|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|AD|=\frac{6\sqrt{3}}{2} \\
|AD|=3\sqrt{3}$$

Tak więc \(|OD|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3}=\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Teraz bez przeszkód możemy obliczyć wysokość trójkąta w ścianie bocznej:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|SO|^2+|OD|^2=|SD|^2 \\
9^2+(\sqrt{3})^2=|SD|^2 \\
81+3=|SD|^2 \\
|SD|=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot21}=2\sqrt{21}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni ściany bocznej.
Obliczmy teraz pole pojedynczej ściany bocznej naszego ostrosłupa:
$$P_{b}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{21} \\
P_{b}=6\sqrt{21}$$

Krok 6. Obliczenie pola całkowitego ostrosłupa.
$$P_{c}=P_{p}+3\cdot P_{b} \\
P_{c}=9\sqrt{3}+3\cdot6\sqrt{21} \\
P_{c}=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}$$

Otrzymana postać jest chyba najlepszą możliwą do otrzymania. Alternatywnie moglibyśmy zapisać to jako \(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\) lub też obliczyć przybliżenie tej liczby jako \(\approx98,07\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 2.) oraz długość odcinka \(OD\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymasz złą odpowiedź przez błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia. Skoro stosunek boków prostokąta ma wynosić \(3:4\), to niech bok \(AB=3x\) oraz \(BC=4x\). Przy okazji zaznaczmy na rysunku kluczowy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Całość będzie więc wyglądać w następujący sposób:



Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\).
Skorzystamy tutaj z informacji, że pole prostokąta w podstawie jest równe \(192\). Zatem:
$$3x\cdot4x=192 \\
12x^2=192 \\
x^2=16 \\
x=4$$

Długości odcinków \(AB\) i \(BC\) wynoszą więc:
$$|AB|=3x=3\cdot4=12 \\
|BC|=4x=4\cdot4=16$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Do wyznaczenia długości wysokości ostrosłupa przyda nam się znajomość długości odcinka \(AE\). Jest to dokładnie połowa przekątnej \(AC\). Obliczmy więc z Twierdzenia Pitagorasa najpierw długość odcinka \(AC\):
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
12^2+16^2=|AC|^2 \\
144+256=|AC|^2 \\
|AC|^2=400 \\
|AC|=20$$

Tak jak powiedzieliśmy sobie, odcinek \(AE\) jest równy połowie odcinka \(AC\), zatem:
$$|AE|=\frac{1}{2}|AC| \\
|AE|=\frac{1}{2}\cdot20 \\
|AE|=10$$

Krok 4. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.

Spójrzmy na kluczowy trójkąt \(AES\). Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej z tangensa. Skoro krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\), to:
$$tg30°=\frac{|SE|}{|AE|} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|SE|}{10} \\
|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Wysokość naszego ostrosłupa jest więc równa \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
$$P_{p}=192 \\
H=\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
\\
V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot192\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
V=64\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
V=\frac{640\sqrt{3}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości boków prostokąta znajdującego się w podstawie \(|AB|=12\) oraz \(|BC|=16\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej prostokąta znajdującego się w podstawie \(|AC|=20\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{b}=9\sqrt{30}\) oraz \(cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



W podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest zawsze trójkąt równoboczny (co zresztą jest jeszcze potwierdzone w treści zadania), więc każdą długość jego krawędzi podstawy oznaczmy sobie jako niewiadomą \(a\).

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy ze wzoru na objętość.
Wzór na objętość ostrosłupa to \(V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H\). Potrzebujemy więc znać pole podstawy i wysokość bryły.

a) Pole powierzchni trójkąta równobocznego (będącego podstawą bryły) możemy zapisać jako \(P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
b) Wysokość ostrosłupa jest zgodnie z treścią zadania równa wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego też jest nam znany, stąd \(H=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
c) Objętość mamy podaną w treści zadania i jest ona równa \(27\).

Podstawiając te wszystkie informacje do wzoru na objętość otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
27=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
27=\frac{a^3\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{24} \\
27=\frac{3a^3}{24} \\
27=\frac{a^3}{8} \\
a^3=27\cdot8 \\
a^3=216 \\
a=6$$

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znając już wartość długości krawędzi podstawy możemy zapisać wysokość ostrosłupa (i tym samym wysokość trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie) w formie konkretnej liczby:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{6\sqrt{3}}{2} \\
H=3\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej, czyli odcinka \(|DS|\).
Aby obliczyć pole powierzchni ściany bocznej ostrosłupa (bo o nią proszą nas w zadaniu) potrzebujemy znać długość podstawy (tą już mamy wyliczoną) oraz wysokość ściany bocznej - i to właśnie ją teraz sobie policzymy.

Do wyznaczenia wysokości ściany bocznej posłużymy się trójkątem prostokątnym \(DOS\). Odcinek \(DO\) zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta, czyli:
$$|DO|=\frac{1}{3}h \\
|DO|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3} \\
|DO|=\sqrt{3}$$

Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$|DO|^2+|OS|^2=|DS|^2 \\
(\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2=|DS|^2 \\
3+9\cdot3=|DS|^2 \\
|DS|^2=30 \\
|DS|=\sqrt{30}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Pamiętając o tym, że mamy trzy trójkąty w ścianach bocznych, to pole powierzchni bocznej jest równe:
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot|DS|\cdot3 \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot\sqrt{30}\cdot3 \\
P_{b}=9\sqrt{30}$$

Krok 6. Obliczenie cosinusa kąta \(SDB\).
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze podać wartość cosinusa jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa. W naszym przypadku będzie to kąt \(SDB\):
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{|DO|}{|DS|} \\
cos\sphericalangle SDB=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}$$

Usuwając jeszcze niewymierność z mianownika otrzymamy:
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{30}}{\sqrt{30}\cdot\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{90}}{30}= \\
=\frac{\sqrt{9\cdot10}}{30}=\frac{3\sqrt{10}}{30}=\frac{\sqrt{10}}{10}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa np. \(\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=27\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć wysokość ostrosłupa np. \(\frac{1}{3}\cdot\frac{\left(\frac{2H}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot H=27\)
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy \(a=6\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=3\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość ściany bocznej ostrosłupa \(|DS|=\sqrt{30}\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa \(|SB|=\sqrt{39}\).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(P_{b}=9\sqrt{30}\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy: \(cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}\) (patrz: Krok 6.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=21\sqrt{7}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Dodatkowo możemy opisać sobie długość boku podstawy jako \(a\), pamiętając w podstawie jest trójkąt równoboczny.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(|DC|\) oraz \(|DO|\).
Odcinek \(|DC|\) jest wysokością trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie. Jeżeli założyliśmy sobie, że krawędź podstawy ma długość \(a\), to zgodnie ze wzorami wysokość jest takiego trójkąta jest równa \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Odcinek \(|DO|\) będzie mieć zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego długość równą \(\frac{1}{3}\) długości wysokości:
$$|DO|=\frac{1}{3}\cdot|DC|=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(DS\).
Spójrzmy na trójkąt \(DOS\).

W tym kroku wyznaczymy długość odcinka \(DS\), który jest jednocześnie wysokością ściany bocznej naszej bryły. Do jego wyznaczenia wykorzystamy funkcję cosinusa:
$$\frac{|DO|}{|DS|}=cos60° \\
\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{|DS|}=\frac{1}{2} \\
\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}\cdot|DS| \\
|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(OS\), czyli wysokości ostrosłupa.
Nadal korzystamy z trójkąta \(DOS\) i tym razem wykorzystamy funkcję sinusa:
$$\frac{|OS|}{|DS|}=sin60° \\
\frac{|OS|}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
|OS|=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3} \\
|OS|=\frac{3a}{6}=\frac{1}{2}a$$

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Tym razem interesuje nas trójkąt \(BDS\), bo to z niego uda nam się wyznaczyć wartość niewiadomej \(a\), którą oznaczyliśmy długość krawędzi podstawy i która pojawiła nam się już w dotychczasowych obliczeniach.

Długość odcinka \(DS\) obliczyliśmy przed chwilą w trzecim kroku i jest ona równa \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Długość odcinka \(BS\) jest podana w treści zadania i wynosi \(7\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(DB\), ale wiedząc, że wysokość trójkąta równoramiennego (a taki mamy w ścianach bocznych) przecina podstawę w połowie jej długości to możemy zapisać, że \(|DB|=\frac{1}{2}a\). Znamy długości wszystkich boków, więc podstawmy te dane do Twierdzenia Pitagorasa.
$$|DB|^2+|DS|^2=|BS|^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=7^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=49 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{3}a^2=49 \quad\bigg/\cdot12 \\
3a^2+4a^2=588 \\
7a^2=588 \\
a^2=84 \\
a=\sqrt{4\cdot21} \\
a=2\sqrt{21}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Do obliczenia objętości potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły.

Pole podstawy wyznaczymy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), gdzie \(a=2\sqrt{21}\), zatem:
$$P_{p}=\frac{(2\sqrt{21})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\cdot21\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=21\sqrt{3}$$

Wysokością jest nasz odcinek \(|OS|=\frac{1}{2}a\). Wystarczy więc podstawić \(a=2\sqrt{21}\) i otrzymamy wysokość ostrosłupa.
$$H=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{21}=\sqrt{21}$$

Znając pole podstawy i wysokość obliczymy teraz objętość bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot21\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3\cdot7} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{7} \\
V=7\cdot3\cdot\sqrt{7} \\
V=21\sqrt{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz długości odcinków \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) oraz \(|DO|=\frac{a\sqrt{3}}{6}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) (patrz: Krok 3.)
3 pkt
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(|OS|=\frac{1}{2}a\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy \(a=2\sqrt{21}\) (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{\sqrt{209}}{12}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Krok 2. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej.
Wiemy, że wszystkie ściany boczne mają łączną powierzchnię równą \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Skoro są trzy takie ściany, to każda z nich ma pole powierzchni równe:
$$P_{śb}=\frac{15\sqrt{3}}{4}:3=\frac{5\sqrt{3}}{4}$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy \(a\).
W podstawie ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny. To oznacza, że każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h=\frac{5\sqrt{3}}{4}\) (wysokość jest podana w treści zadania). Skoro tak, to z pola trójkąta możemy wyznaczyć długość krawędzi \(a\):
$$P_{śb}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/:\frac{5\sqrt{3}}{4} \\
1=\frac{1}{2}a \\
a=2$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(DE\).
Odcinek \(DE\) stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego (czyli odcinka \(DB\)) znajdującego się w podstawie. Ze wzorów na wysokość trójkąta równobocznego wiemy, że:
$$|DB|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|DB|=\frac{2\sqrt{3}}{2} \\
|DB|=\sqrt{3}$$

Skoro odcinek \(DE\) ma stanowić \(\frac{1}{3}\) długości odcinka \(DB\), to:
$$|DE|=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(DES\):
$$|DE|^2+|SE|^2=|DS|^2 \\
\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+|SE|^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2 \\
\frac{3}{9}+|SE|^2=\frac{25\cdot3}{16} \\
\frac{1}{3}+|SE|^2=\frac{75}{16} \\
\frac{16}{48}+|SE|^2=\frac{225}{48} \\
|SE|^2=\frac{225}{48}-\frac{16}{48} \\
|SE|^2=\frac{209}{48} \\
|SE|=\sqrt{\frac{209}{48}}=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{627}}{12}$$

Krok 6. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie obliczymy według wzoru:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\sqrt{3}$$

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Skoro \(P_{p}=\sqrt{3}\) oraz \(H=\frac{\sqrt{627}}{12}\), to objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{627}}{12} \\
V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{12} \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot3}{12} \\
V=\frac{\sqrt{209}}{12}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z którego da się wyliczy długość krawędzi podstawy np. \(\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4}\) (patrz: Krok 3.)
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(|DE|=\frac{1}{3}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\) lub \(|EB|=\frac{2}{3}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\)
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy: \(a=2\) (patrz: Krok 3.) oraz zapiszesz równanie prowadzące do obliczenia wysokości ostrosłupa np. wykorzystując układ równań albo Twierdzenie Pitagorasa (patrz: Krok 4.)
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=\frac{\sqrt{627}}{12}\) lub \(H=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}\).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadania, ale otrzymasz niepoprawny wynik w wyniku błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{16}{17}\)

Krok 1. Wyznaczenie liczby klocków, którymi bawi się Jacek.
Najpierw obliczmy objętość pojedynczego klocka, będzie to:
$$V=(2cm)^3=8cm^3$$

Teraz obliczmy objętość pierwszej bryły jaką ułożył Jacek, czyli sześciokąta o boku długości \(8cm\):
$$V=(8cm)^3=512cm^3$$

Skoro do ułożenia tego sześciokąta Jacek wykorzystał wszystkie swoje klocki, to znaczy że tych klocków ma:
$$512cm^3:8cm^3=64$$

Krok 2. Wyznaczenie wymiarów graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.
Z treści zadania wynika, że Jacek do budowy graniastosłupa użył \(63\) klocków (bo jeden klocek został mu wolny).

Skoro Jacek ułożył graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że ułożył bryłę która ma w podstawie kwadrat. Krótko mówiąc, podstawa (czyli tak jakby pierwsza warstwy bryły) musi wyglądać w taki sposób, że mamy np. \(2\) na \(2\) klocki, albo \(5\) na \(5\) klocków itd. W związku z tym do ułożenia samej podstawy Jacek musiał użyć np. \(1, 4, 9, 16, 25, 36\) lub \(49\) klocków. Innych możliwości nie ma, bo musi to być kwadrat liczby naturalnej.

W zasadzie możemy odrzucić wariant, w którym w podstawie jest jeden klocek (czyli byłaby to wieża wysoka na \(63\) klocki), bo gdyby tak wyglądała ta bryła, to przecież nie byłoby problemu dostawić także \(64\)-ty klocek na samą górę.

Musimy więc teraz sprawdzić, która z liczb \(4, 9, 16, 25, 36\) czy \(49\) jest dzielnikiem liczby \(63\). Taką liczbą jest jedynie \(9\), a więc wiemy już, że graniastosłup ma w podstawie \(3\times3\) klocki i jest wysoki na \(7\) klocków.

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu i graniastosłupa.
Z treści zadania wiemy, że sześcian ma długość \(8cm\), zatem skoro każda ściana sześcianu ma powierzchnię \(P=8cm\cdot8cm\) i takich ścian mamy \(6\), to pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe:
$$P_{S}=6\cdot8^2 \\
P_{S}=6\cdot64 \\
P_{S}=384[cm^2]$$

Teraz musimy ustalić wymiary graniastosłupa. Skoro wymiary w klockach możemy wyrazić jako \(3\times3\times7\) klocków, a każdy klocek ma \(2cm\), to wymiary graniastosłupa w centymetrach będą następujące: \(6cm\times6cm\times14cm\). Czyli mamy dwie podstawy o powierzchni \(P_{p}=6cm\cdot6cm\) oraz cztery ściany boczne o powierzchni \(P_{b}=6cm\cdot14cm\). To oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe:
$$P_{G}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{G}=2\cdot6^2+4\cdot(6\cdot14) \\
P_{G}=2\cdot36+4\cdot84 \\
P_{G}=72+336 \\
P_{G}=408[cm^2]$$

Krok 4. Wyznaczenie stosunku pola powierzchni całkowitej pierwszej bryły względem drugiej.
Na sam koniec musimy jeszcze obliczyć stosunek tych pól powierzchni:
$$\frac{P_{S}}{P_{G}}=\frac{384cm^2}{408cm^2}=\frac{16}{17}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że Jacek ma \(64\) klocki (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz, że wymiary tego prostopadłościanu to \(6cm\times6cm\times14cm\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni całkowitej bryły \(P_{G}=408cm^2\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.